多延时输入下压电驱动器迟滞建模及实验验证

第 31 卷第 10 期2023 年 5 月
Vol.31 No.10
May 2023光学精密工程
Optics and Precision Engineering
多延时输入下压电驱动器迟滞建模及实验验证
杨柳1，2*，石树先1，李东洁1，2
（1.哈尔滨理工大学自动化学院，黑龙江哈尔滨 150080；
2.哈尔滨理工大学黑龙江省复杂智能系统与集成重点实验室，黑龙江哈尔滨 150040）
摘要：压电陶瓷驱动器（PEAs）是一种多用于在精密仪器仪表中实现高速、高精度定位的智能驱动器。

然而，其自身存在迟滞、蠕变等非线性，尤其是迟滞特性严重影响了压电驱动器的的控制精度。

针对迟滞建模中的不对称和速率相关问题，提出一种多延时输入Prandtl-Ishlinskii（MDPI）模型，基于传统PI模型引入了一组延时输入来描述迟滞的率相关特性，随后加入了偏移系数用于改善模型的非对称性。

最后，在压电微运动平台上采集了1~100 Hz的1 V正弦信号实验数据，并与率相关PI模型和动态延迟PI模型进行了模型精度对比。

实验结果表明，相比另外两个动态PI模型，该模型能够更准确地描述PEAs的动态特性和迟滞特性。

在50 Hz和100 Hz下，MDPI模型最大绝对误差（MAE）分别为0.081 5 μm和0.142 9 μm，均方根误差（RMSE）分别为0.009 5 μm，0.011 9 μm。

相较二者该模型均方根误差精度分别平均提高了72.46%和64.21%。

关键词：压电驱动器；多延时输入；Prandtl-Ishlinskii；动态迟滞
中图分类号：TP394.1；TH691.9 文献标识码：A doi：10.37188/OPE.20233110.1501 Hysteresis modeling and experimental verification of piezoelectric
actuators with multi-delay input
YANG Liu1，2*，SHI Shuxian1，LI Dongjie1，2
（1.School of Automation， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China；
2.Heilongjiang Provincial Key Laboratory of Complex Intelligent System and Integration，
Harbin University of Science and Technology ， Harbin 150040，China）
* Corresponding author， E-mail ： yangliuheu@
Abstract： Piezoelectric actuators （PEAs） are smart drivers that are widely employed in precision instru‑ments to achieve high-speed，high-precision positioning.However，the nonlinear properties of PEAs，such as creep and， particularly， hysteresis， seriously affect their control precision. This paper proposes a multiple delay-input Prandtl–Ishlinskii （MDPI）model to solve the offset and rate-dependent issues en‑countered during modeling.Notably，the MDPI model has a set of rate-dependent dynamic factors，and offset coefficients are added to improve the asymmetry of the model. Next， experimental data of 1 V sinu‑soidal signals ranging from 1 to 100 Hz are collected on the piezoelectric micro-motion platform， and the accuracy of the model is compared with that of rate-dependent and dynamic delay PI models. The experi‑mental results indicate that the MDPI model describes the dynamic and hysteresis characteristics of PEAs 文章编号1004-924X（2023）10-1501-08
收稿日期：2022-11-16；修订日期：2022-11-28.
基金项目：国家自然科学基金资助项目（No.62203146）；中国博士后科学基金面上项目资助（No.2018M631896）
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光学 精密工程
more accurately than the other two dynamic PI models. For input signal frequencies of 50 and 100 Hz ， the maximum absolute errors of the MDPI model are 0.0815 and 0.1429 μm ， and the root mean square errors （RMSEs ） are 0.009 5 and 0.011 9 μm ， respectively. Compared with the RMSE accuracies of the other two models ， that of the MDPI model is improved by 72.46% and 64.21%， respectively.Key words ： piezoelectric actuator ； multiple delay -input ； Prandtl -Ishlinskii ； dynamic hysteresis
1 引 言
压电驱动器是一种被广泛应用于精密仪器中理想的驱动元件，它能够以高精度、高分辨率、大力矩驱动仪器进行微运动［1］。

例如，搭载压电驱动器扫描仪的原子力显微镜、微操作器以及微纳精密加工［2-3］等。

但是，压电驱动器具有良好性能的同时也有着明显的非线性，如迟滞特性、蠕变特性等非线性环节，严重影响了仪器的被控精度。

当设备运行速度提升时，蠕变的影响逐渐减弱，迟滞将成为压电驱动器被控精度下降的主要原因，其所形成的迟滞环除了有着明显的不对称性还具有频率正相关特性，会随着输入信号频率增大而增大［4］。

为了消除迟滞非线性的影响，一般会建立迟滞的数学模型从而获得其逆模型，然后通过逆模型补偿将迟滞线性化。

一个准确的逆模型将会大幅降低基于逆模型补偿的控制难度［5-6］。

因此，建立精准的动态迟滞模型成为提高压电驱动器控制精度的关键。

现有的迟滞模型有Bouc -Wen 模型［7］、Duhem 模型［8］、Prandtl -Ishlinskii 模型等等。

在上述模型中，Prandtl -Ishlinskii 模型因为建模简单和逆模型可解析的优点而受到众学者青睐，被广泛用于智能驱动器的迟滞建模中，但Prandtl -Ishlinskii 模型是中心对称且率无关的［9］，因此需要对其进行非对称和率相关的改进。

对
于一些复杂的非对称迟滞问题，如超磁滞伸缩致动器（Giant Magnetostrictive Actuator ，SMA ），会选择将输入信号改用关于电压的复合函数，即一种广义输入PI 模型［10］。

针对在压电驱动器中出现的迟滞非对称问题，有学者选择在PI 模型的基础上引入一组死区算子或者分段建立PI 模型［11-12］。

目前，关于PI 模型的动态迟滞建模方法较少，一般会将输入信号的实时变化率添加到PI 模型的阈值或权值当中［13］，Wang 选择引进两个不同大小的延迟因子以描述非对称动态迟滞，并认为动态迟滞是基于静态迟滞的一种延迟［14］。

本文研究了迟滞问题与李沙如曲线的关系，利用输入和输出的相位差将PI 模型改进为多延迟输入PI 模型，解决了动态迟滞建模问题。

在此基础上引入一组偏移算子，以此改善迟滞建模中的非对称问题。

提出了一种结构简单、建模精准的速率相关PI 模型，用于解决压电驱动器的动态迟滞建模，同时进行参数辨识。

最后在压电驱动平台上与其他率相关PI 模型对比并进行结果分析，验证了模型的稳定性及有效性。

2 迟滞特性的动态数学描述
2.1　PI 模型
PI 模型由有限个不同大小的play 算子叠加而成。

PI 模型如式（1）所示：
ìí
î
ï
ïïïΓr []u ()k =max {
}
u ()k -r i ，
min {
}u ()k +r i ，Γr []u ()k -1y ()t =∑i =1n w i Γr u ()t ，（1）
其中：
Γr [u (k )]是play 算子在第k 时刻的输出，u ()k 是第k 时刻的输入，r 代表PI 模型的第i 个阈
值，
w i 是第i 个算子的权值。

经典PI 模型的play 算子的形状和大小由输入信号的幅值和设定的阈值直接决定，不随信号频率变化，通常算子数量被设为10个，且它是完全对称的，所以经典PI
模型无法描述非对称动态迟滞。

2.2　李沙如曲线表征下的迟滞特性
迟滞是压电陶瓷驱动器中影响设备定位精度的主要非线性环节。

其本质是一种多值映射，即当前时刻的输入影响着后几个时刻的输出，同时此刻的输出也是由前几个时刻的输入共同决
1502
第 10
期杨柳，等：多延时输入下压电驱动器迟滞建模及实验验证
定的。

图1是输入电压信号频率从1~100 Hz 变化时，所对应的迟滞输出。

容易发现，在低频10 Hz 以下，迟滞环基本不发生变化，这时表现为静态迟滞。

随着频率的不断增大，迟滞环也随之变宽，且角度发生倾斜，环两端曲率也渐渐变大。

ìí
î
ïïx =A sin ()ω1t y =B sin ()
ω2t +φ.（2）
如式（2）所示，由这样两个正弦信号所形成的曲线被称为李沙如曲线［15］。

A =B =1，ω1=ω2，两个信号所形成的曲线如图2所示。

当两个
信号幅值和频率相等时，曲线会随着相位差的增加而变大，在相位差φ=0.5π时，曲线由椭圆变为圆形。

同样地，设A =1，
ω1=ω2，φ=0.2π，改变幅值B 的大小，所获得的曲线如图3所示，令δ=B /A 。

此时，当两个信号保有一定相位差时，
且频率相等的情况下，减小y 方向信号的幅值，曲线的宽度和高度都有所减小，整体有顺时针倾斜的趋势。

2.3　多延时输入动态迟滞模型
利用李沙如曲线成椭圆性对经典PI 模型进行改进。

此时给予输入信号一个相位滞后，即
u (t )→u (t +φ)，在离散信号中表现为[u (k )]→[u (k -τ)]，其中τ为正整数。

定义
D ∙u (t )=u (t +φ)，其中D ∙u (t )代表延迟输入，
离散下表示为H ∙[u (t )]=[u (t -τ)]。

为了更精确拟合不同频率下的迟滞动态特性，并结合PI
模型算子加权叠加的优势，将PI 模型中每个play 算子的输入替换成数个延时输入信号，修改后的
模型如式（3）所示：
Γr ，τH ∙[u (k )]=Γr [u (k -τ1)，u (k -τ2)…]，（3）其中：
Γr ，τH ∙[u (k )]代表改进后的算子输出，u (k -τ1)是延时算子的第一个输入信号，τ1是第
一个延时系数。

图4是当输入信号在阈值r =0.4时，不同频率与延迟系数所获得的相应算子输出情况。

修改后的PI 模型具有了率相关性质，其算子能够随着信号频率的增大而增大，并且不同的延迟系数也可以获得不同大小的算子。

但是，这时的算子仍然是中心对称的，针
对
图1　迟压电驱动器迟滞特性
Fig.1　Classical Prandtl -
Ishlinskii model play operators
图2　相位对李沙如曲线的影响Fig.2　
Influence of phase on Lisaru curve
图3　幅值对李沙如曲线的影响Fig.3　Influence of amplitude on Lisaru curve
1503
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光学 精密工程
实际的迟滞模型的非对称偏移问题依然无法解决。

于是，对算子的阈值进行更改，将算子处在上升阶段的阈值改为广义阈值，使得上升和下降阈值产生差值，从而转移算子的中心，解决拟合过程中的非对称问题。

图5是在阈值r =0.4时，偏移系数从0到2变化时，算子相应的输出。

本文提出的基于PI 模型的多延时输入迟滞模型（MDPI ）表达式如下：
ìí
î
ïïïïï
ïïïïïΓγ，τH ∙[]u ()k =max {u ()k -τi - γi
r ，min {}
u ()k -τi +γi d ，Γγ，τ[]u ()k -1y ()t =∑i =1n w i Γγ，τH ∙u ()t γi r =αi r i ，γi d =r i ， （4）其中：Γγ，τH ∙[u (k )]是第k 时刻算子的输出，u (k -τi )是第i 个算子在k 时刻输入，
γi r 和γi d 分别代表第i 个算子的上升和下降阈值，
Γγ，τ[u (k -1)]是算子上一时刻的输出，y (t )是MDPI 模型的输出，w i 是第i 个算子的权值。

其中权值w 、延
迟系数τ和偏移系数α需要通过实验数据辨识获取。

3 实验验证与结果分析
3.1　实验设备介绍
PEA(Piezoelectric Actuators)数据采集流程如图6所示，分别是上位计算机、数据采集卡、双轴驱动控制器和压电微运动平台。

获取实验数据，首先要通过计算机生成一个电压信号，经由数据采集卡中的模数转换器将电压信号传输至驱动控制器中，此时的控制电压会通过电压放大模块作用于压电微运动平台。

通过微运动平台内部集成的电容式位移传感器测量平台输出的位移，再经由数据采集卡传回至计算机。

其中数据采集卡由NI 公司生产，驱动控制器和压电平台是由Physik Instrument 公司生产。

其中，控制信号电压输入范围为-2~12 V ，放大器放大倍数为10。

3.2　参数辨识
MDPI 模型与PI 模型不同，算子形状由阈值r 、权值w 、延迟系数τ和偏移系数α
共同决定。

同
图4　在不同频率下修改后的动态play 算子
Fig.4　Dynamic play operator modified at different fre‑
quencies
图5　偏移系数对play 算子的影响
Fig.5　
Influence of offset coefficient on play operator
图6　压电实验平台
Fig.6　Piezoelectric experimental platform
1504
第 10 期杨柳，等：多延时输入下压电驱动器迟滞建模及实验验证
时，每个阈值又对应着不同的权值、延迟系数和偏移系数，大大增加了算子的灵活性。

因此，MDPI模型可以在以较少的算子数量下完成对动
态非对称迟滞的描述，在减轻参数辨识工作的同时也简化了模型结构。

为了验证模型的有效性进行参数辨识工作。

设定阈值r= {0，0.165，0.33，0.495，0.66，0.825，0.99}，选择u(t)=sin (2πft)作为输入信号，频率f= {10，20，40，50，100}，五组实验数据进行率相关
参数辨识，在MATLAB软件上采用整数优化遗传算法来进行参数辨识工作。

本文选择的适应度函数如式（5）所示：
F itness(Θ)=∑m=15k
（5）由于参数辨识采用的几组实验数据长度不一，可能使辨识结果陷入某频段的局部最优。

故为了能让所获得适应度值大小更加平均，为每组实验数据添加合适的比重k={2，1，2，1，3}。

其中m和n分别为实验数据组数和每组数据的长度，y m和y exp m分别代表第m组模型输出和实验平
台输出，Θ={w，α，τ}是待辨识参数。

MDPI模型算子选定为7个，i为算子序号，表一为本次参数辨识结果。

3.3　实验步骤
为了进一步验证MDPI模型的准确性，将该模型与其他率相关PI模型进行对比，率相关PI 模型（Rate-Dependent Prandtl-Ishlinskii，RD‑PI）[13]和动态延迟PI模型（Dynamic Delay Prandtl-Ishlinskii， DDPI）[14]，这两个模型都是在PI模型的基础上进行部分改进去实现率相关。

其中，RDPI模型选择在阈值中添加关于输入电压的导数，DDPI模型是通过两个大小不一的延迟因子改变算子的率相关和不对称性。

在该实验中，在上位机中输入信号设为u(t)=sin (2πft)，频率范围为1~100 Hz，该设备采样频率为10 kHz。

两个模型的算子数量设定为10个，阈值设定方法和参数辨识方法与MDPI 模型方法一致。

为了对比模型精度，选择最大绝对误差（Maximum Absolute Error，MAE）、平均绝对误差（Mean Absolute Error，MRE）和均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）作为建模误差指标，各指标定义如式（8)~式（10）所示：
MAE=max
i∈[]
1，n|y
(i)-y exp(i)|，（8）
MRE=
1
n∑i=1
n|
|y()i-y exp()i×100%，（9）RMSE
=（10）式中，y和y exp分别是模型数据和压电平台实验数据。

3.4　实验结果与分析
图7展示了三种率相关PI模型对于迟滞环的拟合情况。

在低频下，三者都能够表征压电驱动器的迟滞特性，但随着频率逐渐升高， RDPI和DDPI两种模型出现了较大的拟合误差。

在图8拟合误差曲线中能够清晰看到，MDPI模型拟合迟滞的稳定性和精度远远好于其余两种动态迟滞模型。

尤其在100 Hz下，MDPI模型的误差曲线与其他模型形成了鲜明的对比。

同时从图8不同频率下的误差曲线中可以看出，本文提出的模型克服了PI模型在描述迟滞特性中普遍出现的
表1　参数辨识结果Tab.1　Parameter identification results
i 1 2 3 4 5 6 7
w
i
0.629 2
0.082 9
0.049 2
0.016 5
0.017 1
0.031 8
0.052 8
α
i
0.223 1
0.200 3
0.359 5
0.525 1
0.619 5
0.357 0
0.586 3
τ
i
6
14
15
18
8
19
25
1505
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光学 精密工程
迟滞环两端误差较大的缺点。

此外，表2列出了此次实验各个模型最终的误差指标结果。

在100 Hz 信号下，MDPI 模型的最大绝对误差（MAE ）比DDPI 模型小了0.042 μm ，比RDPI 模型小了0.243 μm 。

结合图8
可以
图7　动态迟滞模型建模结果
Fig.7　
Dynamic hysteresis models modeling results
图8　动态迟滞模型拟合误差
Fig.8　Fitting errors of dynamic hysteresis models
1506
第 10 期杨柳，等：多延时输入下压电驱动器迟滞建模及实验验证
发现MDPI对于迟滞初载曲线的拟合更加准确。

正弦信号频率为50 Hz时，MDPI模型相较DDPI
均方根误差精度提高了65.83%，较RDPI均方根
误差精度提高了74.8%。

100 Hz时，精度分别提
高了87.91%和92.98%。

4 结论
本文提出了一种可以准确描述动态迟滞的
多输入率相关PI模型。

该模型由多个延时输入
信号作为输入，以及具有描述不对称特征的偏移
算子构成。

并通过实验数据辨识获得了该模型
的参数，最后利用压电平台采集到的实验数据，
与其他率相关PI模型进行了对比。

实验结果表
明，MDPI模型对比RDPI模型和DDPI模型有着
更好的迟滞拟合效果，当控制信号为1 V的正弦
电压信号时，相较二者该模型均方根误差精度分
别平均提高了72.46%和64.21%。

本文研究内
容有利于提高在压电陶瓷驱动器驱动下的各类
精密仪器逆模型补偿的控制精度。

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表2　动态迟滞模型拟合误差结果
Tab.2　Evaluation results of fitting errors of dynamic hys‑teresis models
Frequency/
Hz
20
40
50
100Model
RDPI
DDPI
MDPI
RDPI
DDPI
MDPI
RDPI
DDPI
MDPI
RDPI
DDPI
MDPI
MRE/
μm
0.017 4
0.011 9
0.006 9
0.016 3
0.011 9
0.006 7
0.030 0
0.020 4
0.007 2
0.138 3
0.086 4
0.007 3
RMSE/
μm
0.020 8
0.016 1
0.008 1
0.021 8
0.019 5
0.008 5
0.037 7
0.027 8
0.009 5
0.169 6
0.098 4
0.011 9
MAE/
μm
0.087 0
0.101 7
0.039 3
0.096 4
0.111 7
0.064 2
0.112 2
0.112 8
0.081 5
0.385 9
0.184 9
0.142 9
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作者简介：
杨柳（1985-），女，黑龙江哈尔滨人，博士，副教授，硕士生导师，博士学位，主要从事微振动、纳米驱动器定位控制、机器人技术等方面的研究。

E-mail：yangliuheu@ 石树先（1998-），男，黑龙江伊春人，硕士研究生，2020年于哈尔滨理工大学获得学士学位，主要从事压电驱动平台动力学建模与跟踪控制等方面研究。

E-mail：2212202914@qq.
com 1508。