定积分的性质

f ( x ) g ( x ) g ( x )
x, x Δ i
x , x Δ i
g i

Mif Mig .
于是
i T
fg
x i M i x i M x i
f
M i f xi M ig xi
最小值 m. 由于 m f ( x ) M , x [a , b], 因此
m(b a ) mdx f ( x )dx
a a
b
b
Mdx M (b a ),
a
b
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即
1 b m a f ( x )dx M . ba
由连续函数的介值性定理， [a , b], 使 1 b f ( ) a f ( x )dx. ba
T g i

T
2M
.
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令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则
ifg sup f ( x) g( x) f ( x) g( x)
sup g( x) f ( x) f ( x)
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分割 , 且
f ( )Δx f ( )Δx f ( )Δx .
i i T T i i T i i
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得

b a
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
可积, 且

b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
a a b b a a
b
b
证 记 J1 f ( x )d x , J 2 g( x )d x . 于是 0,
0, 当 T 时， i [ xi 1 , xi ], i 1, 2, , n,
存在 f 和 g 的连续点 x0 [a, b], 使 f ( x0 ) g( x0 ),
则

b
a
f ( x ) d x g( x ) d x .
a
b
注3 若 f ( x ) g( x ), x [a , b], 由 f , g在 [a , b] 上可
积,可得

b
a
f ( x )d x g( x )d x.
a
b
此结论, 由本章总练习题10证明.
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二、积分中值定理
定理9.7 ( 积分第一中值定理 )
若 f 在 [a , b]上连续, 则存在 [a , b], 使
a
b
f ( x )dx f ( )(b a ).
证 由于 f 在 [a, b] 上连续，因此存在最大值 M 和
n
i
J2

2


2
.
因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
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b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
a a
b
b
性质3 若 f , g 在 [a , b] 上可积，则 f g 在 [a , b] 上
注1 还可以在 (a , b) 内取到,事实上若
1 b x (a , b), f ( x ) a f ( x )dx, ba
则由连续函数的介值定理, 必恒有
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f ( x ) f ( t )dt , x (a , b),
a
b
或恒有
因此
f ( x ) f ( t )dt , x (a , b).
T
iΔxi i Δxi .
T
因此，f 在 [a, c] 与 [c, b]上都可积. 若 f 在 [a, b] 上可积,由必要性证明,若分割 T 使点
c 为其中一个分点, 则 T 在 [a , c] 的部分 T 构成
对 [a , c] 的分割,在 [c, b] 的部分 T 构成对 [c, b] 的
i 1
n


k 1
.
从而
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k f ( i )Δ xi kJ
i 1
n
k
f ( i )Δ xi J
i 1
n
k
b

k 1
.
b
因此 kf 在 [a , b] 可积, 且 kf ( x )dx k f ( x )dx .
a a
性质2 若 f , g 在 [a , b] 上可积, 则 f g 在 [a , b] 上
if xi . 由 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ,
T
i sup{ f ( x) f ( x)
f
x, x [ xi 1 , xi ] }
) f ( x) x, x [ xi 1 , xi ] } if . sup{ f ( x
a a
b
b
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即


b
b
a
f ( x )dx g( x )dx .
a
b
性质6 若 f 在 [a, b] 上可积,则 | f |在 [a, b] 上也 可积,且
a
f ( x) d x
b
a
f ( x ) d x.
证 因为 f 在 [a , b] 上可积, 0, T , 使得
也可积.
证 因 f , g 在 [a , b] 上可积， 故在 [a , b] 上都有界,
即 M 0, x [a , b], f ( x ) M , g( x ) M .
0, 存在分割 T , 使 i Δxi
f

2M
; 又存在分
割 T ，使 Δxi

b
a
f ( x )dx g( x )dx .
a
b
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例1 设 f ( x ) 和 g( x ) 在 [a , b] 上连续, f ( x ) g( x ),
x [a, b] , 且存在 x0 [a, b], 使 f ( x0 ) g( x0 ), 则

b
a
f ( x ) d x g( x ) d x .
g ( x0 ) f ( x0 ) [ g( x ) f ( x )]d x 2 2
[ g( x0 ) f ( x0 ) ] 0,
即

b
a
f ( x )d x g( x )d x .
a
b
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注2
例1中条件 f 与 g 的连续性, 可减弱为:
f 和 g 在 [a , b] 上可积, f ( x ) g( x ), x [a, b] , 且
T
由§3习题第1题, 知道
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Δx i Δxi .
T
i i
T
分割 T 在 [a , c ] 和 [c , b] 上的部分, 分别构成对
[a, c] 和 [c, b] 的分割,记为 T 和 T , 则
iΔxi i Δxi ,
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[ g( x ) f ( x ) ] d x
a
b

x0
a
[ g( x ) f ( x ) ]d x
b x0
x0 x0
[ g( x ) f ( x )]d x
[ g( x ) f ( x ) ]d x

x0 x0
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故 i Δxi i f Δxi , 即 f 在 [a , b] 上可积.
f T
且由于 f ( x ) f ( x ) f ( x ) , 得到
f ( x ) dx f ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
因此证得
§4 定积分的性质
本节将讨论定积分的性质, 包括定积分
的线性性质、关于积分区间的可加性、积
分不等式与积分中值定理, 这些性质为定
积分研究和计算提供了新的工具.
一、定积分的性质
二、积分中值定理
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一、定积分的性质
性质1 若 f 在 [ a,b ] 上可积，k 为常数, 则 k f
b b a a
a c
c
b
证(充分性)
若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则
0, [a , c] 与 [c, b] 上分割 T 与 T , 使得
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ixi 2 , ixi 2 . T T
令 T T T , 它是 [a , b] 的一个分割,
a
可积, 则 f ( x ) dx 0. 性质5 若f 在 [a , b]上非负、
b
b
a
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i [ xi 1 , xi ],
因此
n
f ( i )Δxi J
T
J .
f ( i )xi J J 0, i 1
这与 f ( i ) 0, Δxi 0 矛盾.
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f ( )Δ x
i 1 i
n
i
J1

2
,
g( )Δ x
i 1 i
n
i
J2

2
.
从而
[ f ( ) g( ) ]Δ x
i 1 i i
n
i
( J1 J 2 )


f ( )Δx
i 1 i
n
i
J1
g( )Δx
i 1 i
推论 若 f , g 在 [a , b] 上可积, 且 f ( x ) g( x ), x
[a , b], 则

b a
b
a
f ( x )dx g( x )dx .
a
b
证 设 F ( x ) g( x ) f ( x ) 0, x [a , b], 则
0 F ( x )dx g( x )dx f ( x )dx ,
在 [a, b] 上也可积，且 k f ( x )d x k f ( x )d x.
证 记 J f ( x )d x . 由 f 在 [a , b] 上可积, 故
a b
0, , xi ],
f ( i )Δ xi J


i xi ixi ixi . T T T
因此, f 在 [a, b] 上可积. (必要性) 已知 f 在 [a , b ] 上可积, 则 0, T ,
使 i Δxi . 在T上加入分点 c 得到新的分割 T .
T T
T
T
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M

2M
M

2M
.
因此 f g 在 [ a, b] 上可积. 性质4 f 在[a, b]上可积的充要条件是:c (a , b ),
f 在 [a , c] 与 [c, b] 上都可积. 此时且有
a
b
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c b a
c
b
注 若规定 a b 时 a f ( x )dx b f ( x )dx , a b 时
f ( x )dx 0, 则对 a , b, c 的任何大小顺序, 恒有

b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
c b a c
证 若 J f ( x ) dx 0. 对 J 0, 0, T ,

b
a
f ( x )d x
b
a
f ( x ) d x.
注1 由 f ( x ) g( x ), 但 f ( x ) g( x ), 一般不能推得

b
a
f ( x )dx g( x )dx . 但若 f ( x ) 和 g( x )在 [a , b] a
b
上连续，则可得到严格不等式
a
b
证 g( x ) f ( x ) 0, 且 g( x0 ) f ( x0 ) 0, 不妨设
x0 (a , b). 由连续函数的局部保号性质, 0,
当 x ( x0 , x0 ) [a, b] 时,
1 g ( x ) f ( x ) [ g( x0 ) f ( x0 ) ]. 2 由此推得