1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 - 学生版

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
知识拓展
1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．
(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．
(3)非p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则非q”，否命题是“若非p，则非q”．
题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断
1．(2018·济南调研)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是()
A．p∨q B．p∧q
C．(非p)∧(非q) D．p∨(非q)
2．(2017·山东)已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是()
A．p∧q B．p∧(非q)
C．(非p)∧q D．(非p)∧(非q)
3．已知命题p：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q：在空间中，对于三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.对以上两个命题，有以下命题：
①p∧q为真；②p∨q为假；③p∨q为真；④(非p)∨(非q)为假．
其中，正确的是________．(填序号)
思维升华“p∨q”“p∧q”“非p”等形式命题真假的判断步骤
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p、q的真假；
(3)确定“p∧q”“p∨q”“非p”等形式命题的真假．
题型二 含有一个量词的命题
命题点1 全称命题、特称命题的真假 典例 下列四个命题：
p 1：∃x 0∈(0，＋∞)，0011()()23
x x <； p 2：∃x 0∈(0,1)，10102
3
log log x x >；
p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x
＞12
log x ；
p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭
⎫1
2x ＜13
log x . 其中真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4
命题点2 含一个量词的命题的否定
典例 (1)命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x
＞0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，01
()3
x ＜0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x
≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x ＜0 D ．∃x 0∈R ，01
()3
x ≤0
(2)(2017·河北五个一名校联考)命题“∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，1＜f (x )≤2 B ．∃x 0∈R ，1＜f (x 0)≤2 C ．∃x 0∈R ，f (x 0)≤1或f (x 0)＞2 D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )＞2
思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，
证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．
(2)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
②对原命题的结论进行否定．
跟踪训练(1)下列命题是假命题的是()
A．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β
B．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
C．∃x0∈R，使x30＋ax20＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R且为常数)
D．∀a>0，函数f(x)＝ln2x＋ln x－a有零点
(2)(2017·福州质检)已知命题p：“∃x0∈R，0
e x－x0－1≤0”，则非p为()
A．∃x0∈R，0
e x－x0－1≥0
B．∃x0∈R，0
e x－x0－1>0
C．∀x∈R，e x－x－1>0
D．∀x∈R，e x－x－1≥0
题型三含参命题中参数的取值范围
典例(1)已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________________．
(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝
x
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
2
1
－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，
则实数m的取值范围是________________．引申探究
本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是___________．
思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．
跟踪训练 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋1
2≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1,3)
C ．(－3，＋∞)
D ．(－3,1)
(2)(2017·洛阳模拟)已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤
14，12，2x <m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是__________．
常用逻辑用语
考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系． 一、命题的真假判断
典例1 (1)(2017·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
(2)(2017·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x
，x ＜0，
m －x 2
，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝1
9，则f (f (－1))＝0，则下列命题为真命
题的是( ) A ．p ∧q B ．(非p )∧q C ．p ∧(非q ) D ．(非p )∧(非q )
二、充要条件的判断
典例2 (1)(2017·湖南五市十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
(2)(2017·湖北七市联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)．设p ：0＜r ＜3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
三、求参数的取值范围
典例3 (1)已知命题p ：∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0，若命题“p ∧q ”
是真命题，则实数a 的取值范围是__________．
(2)已知函数f (x )＝x ＋4
x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．
1．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x ＞0；q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(非p )∧(非q ) C ．(非p )∧q D ．p ∧(非q )
2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对
称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．非q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真
3．下列命题中为假命题的是( ) A ．∀x ∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2，x ＞sin x
B ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2
C ．∀x ∈R ，3x ＞0
D ．∃x 0∈R ，lg x 0＝0
4．(2017·豫西五校联考)若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是( )
A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )
B ．∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )
C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)
D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)＝－f (x 0)
5．(2017·安庆二模)设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，
则下列命题为真的是( ) A ．p ∧(非q ) B ．(非p )∧q C ．p ∧q D ．(非p )∨q
6．(2018届东莞外国语学校月考)已知命题p ：∃x 0∈R ，cos x 0＝5
4；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x
＋1>0.则下列结论正确的是( ) A ．命题p ∧q 是真命题 B ．命题p ∧(非q )是真命题 C ．命题(非p )∧q 是真命题 D ．命题(非p )∨(非q )是假命题
7．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，0e x ≤0 B ．∀x ∈R ，2x ＞x 2
C ．a ＋b ＝0的充要条件是a
b
＝－1
D ．“a ＞1，b ＞1”是“ab ＞1”的充分条件
8．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若非p 是真命题，则实数a 的取值范围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
9．命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p可写为____________________．答案∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1
10．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“∃x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a ＋b)＝________.
11．以下四个命题：
①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x0∈Q，x20＝2；③∃x0∈R，x20＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x －1＋3x2.其中真命题的个数为________．
12．(2017·江西五校联考)已知命题p：∃x0∈R，(m＋1)·(x20＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________．
13．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：1
3－x
>1，若“(非q)∧p”为真，则x的取值范围是___．
14．下列结论：
①若命题p：∃x0∈R，tan x0＝1；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧(非q)”是假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a
b ＝－3；
③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________．
15．已知命题p ：∃x 0∈R ，0e x
－mx 0＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(非q )为假命题，则实数m 的取值范围是____．
16．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1
x －1
(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2)．
(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________； (2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2, ＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________．。