2018辽宁省大连市双基考试数学试卷及答案理科
辽宁省大连市2018届高三下学期第二次模拟考试理数试题Word版含答案
辽宁省大连市2018届下学期第二次模拟考试高三理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{1,2}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 的子集共有（ ） A ． 2个 B ． 4个 C ． 6个 D ．8个2.复数1()z ai a R =+∈在复平面对应的点在第一象限，且||z =z 的虚部为（ ） A ． 2 B ． 4 C ．2i D ．4i3.对于直线,m n 和平面,αβ，下列条件中能得出αβ⊥的是（ ） A ．,//,//m n m n αβ⊥ B ．,,m n m n αβα⊥=⊂C ．//,,m n n m βα⊥⊂D ．//,,m n m n αβ⊥⊥ 4.执行下图的程序框图，如果输入1x =，则输出t 的值为（ ）A ． 6B ． 8 C. 10 D ．125.已知{}n a 为等差数列，48336a a +=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ． 9 B ． 17 C. 36 D ．816.已知函数2()2f x x x =--+，则函数()y f x =-的图象为（ ）7.已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数3, 3.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ． 0.4 2.3y x =+B ．2 2.4y x =- C. 29.5y x =-+ D ．0.4 4.4y x =-+ 8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C. 16 D ．1639. D 是ABC ∆所在平面内一点，(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则01λ<<，01μ<<是点D 在ABC ∆内部（不含边界）的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 10.命题0:[0,]4p x π∃∈，00sin 2cos2x x a +>是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a <B ．a <1a ≥ D ．a ≥11.过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，点(1,2)M -，若0MA MB ∙=，则直线l 的斜率k =（ ）A ． -2B ． -1 C. 1 D ．212.函数1()ln (0)axf x e x a a=->存在零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a e <≤ B ．210a e <≤ C. 1a e ≥ D ．21a e≥第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有 种．（用数字作答）14.设12,F F 分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点(,)M a b ，若1230MF F ∠=，则双曲线C 的离心率为 ．15.已知函数232(22),0()(33),0x a x x f x x a x ax x ⎧-+-≤⎪=⎨-++>⎪⎩，若曲线()y f x =在点(,())i i i P x f x （1,2,3i =，其中123,,x x x 互不相等）处的切线互相平行，则a 的取值范围是 ．16.若数列{}n a 满足：120,3a a ==，且1(1)(1)1n n n a n a n +-=+-+*(,2)n N n ∈≥，数列{}n b 满足18()11n n b -=，则数列{}n b 的最大项为第 项．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，cos sin b a C C =． （1）求A ；（2）若2,4a b c =+≥，求ABC ∆的面积．18. （本小题满分12分）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为23，乙胜的概率为13，如果比赛采用“五局三胜”制（先胜三局者获胜，比赛结束）． （1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AA =，AC =M 是1CC 的中点，P 是AM 的中点，点Q 在线段1BC 上，且113BQ QC =． （1）证明：//PQ 平面ABC ；（2）若直线1BA 与平面ABM ，求BAC ∠的大小．20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2e =，且椭圆上一点M 与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+ （1）求椭圆C 的方程；（2）如图，设点D 为椭圆上任意一点，直线y m =和椭圆C 交于,A B 两点，且直线,DA DB 与y 轴分别交于,P Q 两点，试探究12PF F ∠和12QF F ∠之间的等量关系并加以证明．已知函数()ln ()f x x kx k R =+∈． （1）当1k =-时，求函数()f x 的极值点；（2）当0k =时，若()0(,)bf x a a b R x+-≥∈恒成立，试求11a e b --+的最大值； （3）在（2）的条件下，当11a e b --+取最大值时，设1()()a F b m m R b-=-∈，并设函数()F x 有两个零点12,x x ，求证：212x x e >．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为4sin ρθ=，从极点作圆C 的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线1C ．（1）求1C 的极坐标方程； （2）已知曲线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（0απ≤<，t 为参数，且0t ≠），l 与C 交于点A ，l 与1C 交于点B ，且||AB =a 的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,,a b c 均为正实数，且2221111a b c++=．（1）证明：111a b c++≤ （2）求证：2224441a b c b c a++≥．辽宁省大连市2018届高三下学期第二次模拟考试理数试题答案一．选择题1.A2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.D9.B 10.D 11.C 12.A 二．填空题13. 48 14. 2 15. (-1，2) 16. 6 三．解答题17.解：(Ⅰ)cos sin b a C a C =+3C A C A B sin sin 33cos sin sin +=∴.............................2分 C A C A C A C A sin sin 33cos sin sin cos cos sin +=+...........................4分即C A C A sin sin 33sin cos =又0sin ≠C A A sin 33cos =∴ 即3tan =A 3π=∴A ....................................6分(Ⅱ)A bc c b a cos 2222-+=bc c b bc c b 3)(22222-+=-+=∴................................8分 bcc b 2≥+416)(2≤+≤+∴c b c b ，即又由题意知4≥+c b ，4=+∴c b .(当2==c b 时等式成立.).............................10分33sin 2221=⨯⨯⨯=∴∆πABC S ............................................12分18.解：（Ⅰ）设比赛局数分别为3,4,5时,甲获胜分别为事件123,A A A ，， 则由相互独立事件同时发生的概率乘法公式可得：3128()()327P A ==，2323218()()3327P A C =⋅⋅=,23342116()()3381P A C =⋅⋅=2（），...........3分所以由互斥事件的概率加法公式可得， 甲获胜的概率为123881664=()+()+()=++=27278181P P A P A P A ..................................6分 （Ⅱ）由题意可知，X 的取值为3,4,5， 则332191(3)()+()=33273P X ===，232333211210(4)()+()333327P X C C ==⋅⋅=,2224218(5)()()3327P X C ==⋅=....................................9分所以，X 的分布列为X ∴的数学期望108107=3+4+5=3272727EX ⨯⨯⨯（）............................12分19.证明：(Ⅰ)取中点MC ，记为点D ,连结QD PD ,中点为中点，为MC D MA PPD ∴//AC又131DC CD =,=113BQ QC ,QD ∴//BC又D QD PD =PQD 平面∴//平面ABC ...........................................4分又PQD PQ 平面⊂PQ ∴//平面ABC .........................................................6分（Ⅱ）1,,BB BA BC 两两互相垂直，∴建立如图所示空间直角坐标系B xyz -，设,,BC a BA b ==则各点的坐标分别为：1(,0,0),(0,,0),(0,,2),(,0,1)C a A b A b M a ，1(0,,2),(0,,0),(,0,1)BA b BA b BM a ∴===..........................8分设平面ABM 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BA n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,0by ax z =⎧∴⎨+=⎩，取1x =，则可得平面ABM的一组法向量(1,0,)n a =-，1cos ,15n BA ∴<>==，...........................10分 又因为228a b +=，4224120,2a a a ∴+-=∴=或6-（舍）.即6,21222sin ,2π=∠∴==∠∴=BAC BAC a .........................12分20.解：22==a c e ，c a 2=∴ 224222222121+=+=+=++c c c a F F MF MF22==∴a c ，............................................................3分∴椭圆方程为12422=+y x .............................................4分 （Ⅱ）︒=∠+∠902121F QF F PF ，..............................5分 证明如下：设),(),(1100y x D y x B ，，则),(00y x A -, 直线BD 方程为)(110101x x x x y y y y ---=-，令0=x ，则101010x x x y y x y --=)0(101010x x xy y x Q --∴，同理)0(101010x x x y y x P ++，...................................7分21F PF ∠ 和21F QF∠均为锐角， )(tan 10101010101021x x c x y y x c x x x y y x F PF ++=++=∠∴ )(tan 10101021x x c x y y x F QF --=∠)()()(tan tan 21202212021201010101010102121x x c x y y x x x c x y y x x x c x y y x F QF F PF --=--⋅++=∠⋅∠∴ 1)(221)22()22(212120212021202021212=--=----=x x x x x x x x x x ...........................10分 21F PF ∠∴与21F QF∠互余,︒=∠+∠∴902121F QF F PF ................................12分21.解：（Ⅰ）1k =-时，1()ln ()101f x x x f x x x'=-⇒=->⇒<，()f x ∴在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，故函数()f x 有唯一的极大值点1x =，无极小值点...................2分 （Ⅱ）0k =时，()ln b b f x a x a x x +-=+-，设()ln ,(0)bg x x a x x=+->， 则221()b x bg x x x x-'=-=. 当0b ≤时，则()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞单调递增，又0x >且0x →时，()g x →-∞与题意矛盾，舍.当0b >时，则()0g x x b '>⇒>，所以()g x 在(,)b +∞单调递增，(0,)b 单调递减， 所以min ()()ln 1g x g b b a ==+-，.......................................5分 所以11ln 101ln 11a a b a a b e b e b --+-≥⇒-≤⇒≤⇒-+≤，故11a eb --+的最大值为1........................................7分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当11a e b --+取最大值1时，1ln 1ln (),(0)a be b a b F b m b b-=⇒-=⇒=->， 记ln (),(0)xF x m x x=->.................................9分 方法一：()0ln 0F x x mx =⇒-=，设()ln h x x mx =-，则1()h x m x'=-， 若0m ≤，则()0h x '>恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞单调递增，与题意不符，舍.若0m >，则1()0h x x m '>⇒<，()h x ∴在1(0,)m 单调递增，在1(,)m+∞单调递减，所以若函数()F x 有两个零点，则只需1()0h m >，解得10m e<<.不妨设12x x <，则1210x x m <<<， 设111()()(),(0)G x h x h x x m m m =+--<<，则11()()(),G x h x h x m m'''=++- 化简可得32222()01m x G x m x'=>-，所以函数()G x 在1(0,)m 单调递增，11()(0)()()0G x G h h m m >=-= 10x m ∴<<时，11()()h x h x m m +>-，1122()()()h x h x h x m∴->=，又因为1221,(,+x x m m -∈∞），且函数()h x 在1(,)m +∞单调递减，122x x m ∴-<，121222x x mx mx m∴+>⇒+>，即12ln ln 2x x +>， 所以212x x e >成立...........................................12分 方法二：不妨设12x x <，由题意1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩， 则221121221121ln ln (),ln ()x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-， 欲证212x x e ⋅>，只需证明：12ln()2x x ⋅>，只需证明：12()2m x x +>，即证：122211()ln 2x x x x x x +>-， 即证2122111ln 21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->⋅+， 也就是证明：1ln 201t t t --⋅>+.....................................10分 记1()ln 2,(1)1t u t t t t -=-⋅>+，22214(1)()0(1)(1)t u t t t t t -'∴=-=>++， ()u t ∴在(1,)+∞单调递增，()(1)0u t u ∴>=，所以原不等式成立...................................................12分22.解：（Ⅰ）设1C 上任意一点的极坐标为()θρ，则点()θρ，2在圆C 上，故θρsin 42=，所以1C 的极坐标方程为)0(sin 2≠=ρθρ.............................4分 （Ⅱ）B A ,两点的极坐标分别为),sin 2(),,sin 4(ααααB A ，又因为πα<≤0，acbc ab c b a 111111222++≥++∴ 又acbc ab c b a c b a 222111)111(2222+++++=++ ）（2221113c b a ++≤ 由题中条件知1111222=++cb a ， 3)111(2≤++∴cb a 即3111≤++cb a ......................................5分 （Ⅱ）22422422121ba b a a b a =⋅≥+ 同理：224221c b c b ≥+，224221ac a c ≥+ )111(2111222222424242cb ac b a a c c b b a ++≥+++++∴ 21424242≥+++∴ac c b b a 1424242≥++∴ac c b b a .............................10分。
2018年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)
2018 年辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0分）1.集合 A={1 ， 2， 3} ，则集合 A 的子集个数是（）A. 6B. 7C.8D. 92.复数z=i（1-i），则|z|=）（A. 1B.C.2D. 43.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.12B.24C.36D.724. 设等比数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，S2 =-1，S4=-5 ，则 S6=（）A. -9B. -21C. -25D. -635.某工厂生产的一种零件的尺寸（单位：mm）服从正态分布 N（ 500，52）．现从该零件的生产线上随机抽取20000 件零件，其中尺寸在（ 500，505）内的零件估计有（）（附：若随机变量X 服从正态分布2N（μ，σ），则 P（μ-σ＜ X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545A.6827 个B.9545 个C.13654 个D.19090个6. 下列函数中，既是偶函数，又在（-∞， 0）上单调递增的是（）A. f（x）=x2B. f（x）=2|x|C.D.7. 双曲线的左焦点为F，虚轴的一个端点为B P，为双曲线C 右支上的一点，若，则双曲线 C 的离心率是（）A. B. C.2 D.8.下面四个命题：p1：命题“ ? n∈N， n2＞ 2n”的否定是“”；p2：向量，则m=n是的充分且必要条件；p3：“在△ABC 中，若 A＞ B，则“ sinA＞ sinB”的逆否命题是“在△ABC中，若sinA≤ sinB，则“ A≤B”；p4：若“ p∧q”是假命题，则p 是假命题．其中为真命题的是（）A. p1，p2B. p2，p3C. p2，p4D. p1，p39. 设椭圆的左焦点为 F ，直线 l ：y=kx（k≠0）与椭圆 C 交于 A，B 两点，则△AFB 周长的取值范围是（）A. （2，4）B.C. （6，8）D. （8，12）10.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级 500 名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对（x， y）（ 0＜ x＜ 1，0＜ y ＜ 1）；②若卡片上的x，y 能与 1 构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为 m；④根据统计数m 估计π的值．假如本次试验的统计结果是m=113，那么可以估计π的值约为（）A. B. C. D.11.已知sinx+cosx=a，x∈[0，2π），若0＜a＜1，则x的取值范围是（）A. B.C. D.12.已知f(x)是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（）A.恒成立B.恒成立C. f(1)=0D.当时，；当时，二、填空题（本大题共 4 小题，共20.0 分）13.某班共有 36 人，编号分别为 1， 2， 3，， 36．现用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知编号 3、12、30 在样本中，那么样本中还有一个编号是 ______．14.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 ______．15.已知圆锥的底面直径为，母线长为 1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 ______．16.已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n，若 a1=1，a2 =2，a3n=2n-2a n，a3 n+1=a n+1，a3 n+2=a n-n，则 S60=______ （用数字作答）．三、解答题（本大题共7 小题，共82.0 分）ABC中，，D是BC边上的一点．17. 在△（ 1）若，求 CD 的长；（ 2）若∠B=120°，求△ABC 周长的取值范围．18.某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查．在使用华为手机的用户中，随机抽取 100 名，按年龄（单位：岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数的估计值（均精确到个位）；（ 2）在抽取的这100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20 人参加华为手机宣传活动，现从这20 人中，随机选取 2 人各赠送一部华为手机，求这 2 名市民年龄都在 [40， 45）内的人数为X，求 X 的分布列及数学期望．19. 如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，△ABC 和△AA1C 均是边长为 2 的等边三角形，点O 为 AC 中点，平面 AA1 C1C⊥平面 ABC．（ 1）证明： A1O⊥平面 ABC；（ 2）求直线 AB 与平面 A1BC1所成角的正弦值．第3页，共 19页220.已知抛物线 C： y =2 px（p＞ 0）的焦点为 F ，点 M 的坐标为（ 6，4），点 N 在抛物线 C 上，且满足，（O为坐标原点）．（ 1）求抛物线 C 的方程；（ 2）过点 M 作斜率乘积为 1 的两条不重合的直线l1、l 2，且 l 1与抛物线C 交于 A，B 两点， l2与抛物线C 交于 D， E 两点，线段AB ，DE 的中点分别为G， H ，求证：直线 GH 过定点，并求出定点坐标．21.已知函数/．（ 1）当 a=1 时，解不等式 f （x）≤0；（ 2））若 f（ x）在内有两个不同的两点，求 a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为θl（为参数），直线经过点 P（1， 1），斜率为，直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点．（ 1）写出曲线 C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）求 ||PA |-|PB||的值．23.关于x的不等式的解集为R．（ 1）求实数 m 的值；（ 2）若 a， b，c＞ 0，且 a+b+c=m，求证：．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】根据排列组合知识或直接逐一写出计算，本题主要考查子集概念，属于基础知识，基本概念的考查．【解答】解：集全A={1 ，2，3} 的子集有：? ，{1} ，{2} ，{3} ，{1 ，2} ，{1 ，3} ，{2 ，3} ，{1 ，2， 3} ，共 8个．故选 C．2.【答案】B【解析】解：∵z=i（1-i ）=1+i，∴|z|=．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱，是一个以正视图为底面的三棱柱，底面是直角边长为：4，3，棱柱的高为 6，所以几何体的体积为：=36．故选 C．4.【答案】B【解析】解：∵数列 {a n} 为等比数列，且 S2=-1，S4=-5，∴S2，S4-S2，S6-S4构成等比数列，即-1-4S+5则2S =-21构成等比数列，．6（）（6），得6故选：B．由等比数列的性质结合已知列关于 S6的方程求解．本题考查等比数列的前 n 项和，考查等比数列的性质，是基础的计算题．5.【答案】A【解析】解：其中尺寸在（500，505）内的零件估计=0.6827 ×20000=6827．故选：A．其中尺寸在（500，505）内的零件 X 属于（μ-σ，μ+σ），即可得出．本题考查了正态分布的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对2为间为题于 A ，f （x）=x ，f（-x ）=f（x），偶函数，在区（-∞，0）减函数，不符合意；对于 B，f（x|x|f（-x）=f（x），为偶函数，当 x＜0 时，f （x）=2|x| -xx，）=2 ，=2=（）在区间（-∞，0）为减函数，不符合题意；对于 C，f （x）=log2为时，f（x）=log2=log2，f（-x ）=f（x），偶函数，当 x＜0（-）=-log2（-x），在区间（-∞，0）为增函数，符合题意；对于 D，f （x）=||，f（-x ）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的判定，关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量知识的运用，考查双曲线的离心率，利用向量知识确定 P 的坐标是解题的关键．利用左焦点为 F（-c，0），点B（0，b），线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 P，确定 P 的坐标，代入双曲线方程，化简可求双曲线的离心率．【解答】解：设 P（x，y），∵左焦点为设线线C 的右支交于点 P，F（-c，0），不妨点 B（0，b），段 BF 与双曲∵，∴x=c，y=2b，代入双曲线方程，可得-=1，∴e= =．故选 D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与逆否命题，考查充分必要条件的判定方法，是中档题．直接写出全程命题的否定判断 A ；由向量垂直的坐标运算结合充分必要条件的判定方法判断B；写出原命题的逆否命题判断 C；由复合命题的真假判断判断 D．【解答】题“ n∈N，n 2＞2n”的否定是“∈ ，”，故为假命题；p10N向量，由 m×1-1 ×n=0?则m=n 是m=n，的充分且必要条件，故 p2是真命题；“在△ABC 中，若 A ＞B，则“ sinA＞ sinB ”的逆否命题是“在△ABC 中，若sinA ≤ sinB，则“ A≤ B，”故p3是真命题；若“p∧q”是假命题，则 p、q 中至少一个是假命题，故p4是假命题．∴其中为真命题的是 p2，p3．故选 B．9.【答案】C 【解析】椭圆的左焦点为F（-解：∵，0），右焦点F2（，0），直线l：y=kx （k≠0）与椭圆 C 交于 A ，B 两点，连结 BF2，则 AF=BF 2，AB=2OB ，由一的定义可知：BF+BF2=2a=4，OB∈（1，2）则△AFB 周长的取值范围是（6，8）．故选：C．画出图形，利用椭圆的定义，转化求解△AFB 周长的取值范围，本题考查椭圆的定义，以及椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查随机模拟法求圆周率的问题，考查几何概率的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．500 对都小于 l 的正实数对（x，y）满足，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对满22＞1且积为1- ，由此能估计π的值．（x，y），足 x+y，x+y＞1，面【解答】题对都小于 l 的正实数对满积为1，解：由意，500（x，y）足，面两个数能与 1 构成锐角三角形三边的数对满22＞1且，（x，y），足 x+y积为1-，x+y＞ 1，面因为统计两数能与 l 构成锐角三角形三边的数对（x ，y）的个数 m=113，所以=1-，所以π=．故选 A．【答案】 D11.【解析】解：a=sinx+cosx=，∵0＜a＜1，∴0＜＜1，即 0＜sin（x+ ）＜，∴2k π或，k∈Z．即或，k∈Z．∵x∈[0，2π），∴x∈，故选：D．由已知利用辅助角公式化积，结合 0＜a＜ 1 转化为三角不等式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查三角不等式的解法，是中档题．12.【答案】A【解析】【分析】构造函数 g（x ）=（x-1）f（x），求函数的导数，判断函数的单调性，结合不等式的关系进行判断即可．本题主要考查函数单调性的应用，根据条件构造函数，判断函数的单调性以及利用不等式的性质进行转化是解决本题的关键．【解答】解：由题意设 g（x）=（x-1）f（x），则g′（x）=f（x）+（x-1）f′（x），∵f（x ）+（x-1）f'（x）＞0，∴g（x ）在（-∞，+∞）上为增函数，当 x=1 时，g（1）=0，即当 x＞1 时，g（x）＞g（1）=0，即（x-1 ）f（x）＞0，得f （x）＞0，当 x＜1 时，g（x）＜g（1）=0，即（x-1 ）f（x）< 0，得 f（x）＞0，∵f（x ）+（x-1）f'（x）＞0∴f（1）+（1-1）f'（1）＞0，即 f（1）＞0，综上 f （x）＞0 恒成立，故选 A．13.【答案】21【解析】【分析】本题考查系统抽样,根据系统抽样的定义先求出样本间隔，然后进行计算即可．【解答】解 : 样本抽取间隔为 36÷4=9，则样本中还有一个编号是 12+9=21，故答案为 21.14.【答案】【解析】执图所示的程序框图，如下；解：行如n=1，s=2，满足循环条件 n≤ 2018；计算 s=满环条件 n≤2018；=-3，n=2，足循计算 s==-满环条件 n≤2018；，n=3，足循计算 s==，n=4，满足循环条件 n≤2018；计算 s==2，n=5，满足循环条件 n≤2018；；计算 s 的值是以 4 为周期的数值，n=2018=4×504+2 时，计算 s=-，n=2019，不满足循环条件n≤2018，终止循环，输出的 S值为-．故答案为：-．模拟程序的运行过程知：该程序是利用循环计算变量 s 的值，并输出满足条件的 s 值，找出规律，不难得到输出结果．本题主要考查了循环结构应用问题，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，OA=，PA=1，则PO=，设OD=x，（0≤x＜则=，）， PD=BC=2=，∴截面三角形 PBC 的面积 S===．∴当，即x=时，S 有最大值为．故答案为：．由题意画出图形，设圆锥底面圆的圆心到截面底边距离为 x，然后把截面面积用含有 x 的代数式表示，再由二次函数求最值．本题考查圆锥截面面积最值的求法，考查数学转化思想方法，训练了利用二次函数求最值，是中档题．16.【答案】264【解析】解：∵a3n=2n-2a n，a3n+1 =a n+1，a3n+2=a n-n，a1=1，a2=2，∴a3=2-2a1=2-2=0，a4=a1+1=2，a5=a2-2=0，∴a6=a3×2=2×2-2a2=4-2 ×2=0，∴a20=a3×6+2=a6-6=-6∴a60=2×20-2a20=40+12=52∴a3+a4+a5=2∴a3n+a3n+1+a3n+2=n+1，∴S60=a1+a2+（a3+a4+a5）+（a6+a7+a8）+ +（a57+a58+a59）+a60=1+2+ +52=264，故答案为：264．根据题意可得 a3+a4+a5=2，a60=52，a3n+a3n+1+a3n+2=n+1，则 S60=a1+a2+（a3+a4+a5）+（a6+a7+a8）+ +（a57+a58+a59）+a60=264．本题考查了数列的递推公式和数列的求和公式，考查了转化能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（ 1）在△ADC 中， AD=1， AC=2 ，所以?=||?||?cos∠DAC =1×2×cos∠DAC =3，所以 cos∠DAC =．由余弦定理得CD222-2AC AD cos DAC=12+1-2 ×2×1× =7，?∠所以 CD=．（2）在△ABC 中，由正弦定理得=，所以 AB+BC=4 （ sinA+sinC），=，由于，所以，AB +BC则 AB+BC+AC，所以△ABC 周长的取值范围为.【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理和余弦定理的应用．（1）直接利用向量的数量积的应用和余弦定理求出结果．（2）利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．18.【答案】解：（1）根据题意，计算平均数的估计值为=（ 27.5 ×0.01+32.5 0×.04+37.5 0×.07+42.50×.06+47.5 0×.02）× 5=38.5 ≈39；中位数的估计值为：因为 5×0.01+5 ×0.04=0.25 ＜ 0.5，5×0.06+5 ×0.02=0.4 ＜ 0.5，所以中位数位于区间[35， 40）年龄段中，设中位数为x，所以 0.24+0.07 ×（x-35） =0.5， x≈39；（ 2）用分层抽样的方法，抽取的20 人，应有 6 人位于 [40， 45）年龄段内，14人位于 [40 ，45）年龄段外；依题意， X 的可能值为 0，1， 2；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==；所以 X 的分布列为：X012P（ X）数学期望为EX=0×+1×+2×= ．【解析】（1）利用频率分布直方图计算平均数和中位数的估计值即可；（2）用分层抽样法结合题意知随机变量 X 的可能值，本题考查了利用频率分布直方图求平均数与中位数的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题．19.【答案】（1）证明：∵AA1=A1C，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC，又∵平面 AA1C1C⊥平面 ABC，且交线为AC，又 A1O? 平面 AA1C1C，∴A1O⊥平面 ABC；（ 2）解：如图，以O 为原点， OB，OC， OA1为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系．由已知可得O（0，0，0）A（0，-1，0），，平面 A1BC1的法向量为，则有，所以的一组解为，设直线 AB 与平面 A1BC1所成角为α，则 sin α=又∵== =，所以直线AB 与平面 A1BC1所成角的正弦值：．【解析】（1）证明 A 1O⊥AC，通过平面 AA 1C1C⊥平面 ABC ，推出 A 1O⊥平面 ABC ．（2）如图，以O 为原点，OB，OC，OA 1为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．求标为设线A 1BC1所成角为α，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面所成角的求法，平面与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．1）解：∵，点M 6 4N920.【答案】（的坐标为（，），可得点的坐标为（，6），C 的方程为 y2=4x．∴36=18p，∴p=2，所以抛物线（ 2）证明：由条件可知，直线l1，l 2的斜率存在且均不能为0，也不能为1、 -1设 l1：y=k（ x-6） +4，则 l 2的方程为 y= （ x-6） +4，将 l1方程与抛物线方程联立得ky2 -4y+16-24k=0，设 A（x1， y1）， B（ x2， y2），则 y1+y2= ，又 y1+y2=k（ x1+x2 -12） +8 ，∴x1+x2=，∴点 G 的坐标为（），用代替 k，得到点 H 坐标为（2k2-4k+6， 2k），∴k GH=，GH y-2k=[x-（2k2） ]．∴ 方程为：-4k+6整理得（ k+） y=x-4．令 y=0 ，则 x=4，所以直线 GH 过定点（ 4，0）．【解析】熟练掌握向量的运算法则、抛物线的标准方程、直线与抛物线相交问题、根与系数的关系、斜率计算公式、点斜式、中点坐标公式是解题的关键．（1）利用向量线段即可得到点 N 的坐标，代入抛物线 C 的方程即可得到 p 的值，从而得到抛物线 C 的方程；（2）设直线 l1，l2，的方程，与抛物线 C 的方程联立，利用根与系数的关系即可得到中点 G，H 的坐标，从而得到直线 GH 的方程，令 y=0，只要x 是一个常数即可．21.时， f（ x） =， f′（ x） =，【答案】解：（ 1）当 a=1令 g（ x）=1-ln x-x2，可得 g′（ x） =＜0，x∈（0，+∞），在（ 1， +∞）上， g（ x）＜ 0．∴f（x）在（ 0，1）上为增函数，在（1， +∞）上为减函数，∴f（x）max=f（ 1） =0 ，即 f（ x）≤0．∴不等式 f（ x）≤0的解集为（ 0， +∞）；（ 2） f（ x）在内有两个不同的零点可转化为方程在内有两个不同的实数根，令 h（ x）=，，令φ（ x） =1- x-2ln x，φ′（ x） =1- ＜ 0， x∈[]，∴φ（ x）在 []上单调递减，且φ（ 1）=0．2∴当＜ x＜ 1 时， h′（ x）＞ 0，当 1＜x＜ e 时， h′（ x）＜ 0，∴h（ x）在（）上单调递增，在（ 1， e2）上单调递减，又 h（） =e-e2＜ 0， h（ e2） =＞ 0， h（ 1） =1，∴≤a＜1．即 f（ x）在内有两个不同的零点， a 的取值范围是 [， 1）．【解析】导2导（1）把a=1代入 f（x）求得 f ′（x）=，令g（x ）=1-lnx-x，再由数判断间为为g（x）在不同区内的符号，可得 f（x）在（0，1）上增函数，在（1，+∞）上减函数，从而求得 f （x）（），即（）≤0，可得不等式（）≤0的解集为（，max=f 1=0 f x f x0 +∞）；（2）把f（x）在内有两个不同的两点可转化为方程在内有两个不同的实数根，令 h（x）=，利用导数求其极值，即可得到满足 f （x）在内有两个不同的零点的 a 的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调查利用导数求函数的最值现性，考，体了数学转化思想方法，是中档题．22.（θ为参数），【答案】解：（ 1）∵曲线 C 的参数方程为∴曲线 C 的普通方程为=1．第17 页，共 19页∴直线 l 的参数方程为：（t为参数）．（ 2）直线 l：（t为参数），将直线l 代入=1 中，得 84t2+240t-125=0 ，∵＜1，∴点 P（ 1， 1）在椭圆的内部，∴直线 l 与曲线 C 的交点 A， B 位于点 P 的两侧，即点A，B 所对应的t 值异号．设点 A 的对应值为t1，点 B 的对应值为t2，则 t1 +t2=-，t1t2=-，故 ||PA|-|PB||=||t1|-|t2||=|t1+t2|=|- |= ．【解析】本题考查曲线的普通方程、直线的参数方程的求法，考查两线段的差的绝对值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题（1）曲线 C 的参数方程消去参数，能求出曲线 C 的普通方程；由直线 l 经过点 P （1，1），斜率为，能求出直线l的参数方程．（2）直线 l 的参数方程代入=1 中，得 84t 2+240t-125=0，由此能求出||PA|-|PB||．．23.【答案】（Ⅰ）解：∵不等式的解集为R，∴（）2≤（ x+2）2恒成立，整理得：223x +（ 16-4m） x+16-4 m ≥0，由题可得：△=（ 16-4m）2-4 ×3×（16-4m2）≤0，即（ m-1）2≤0，∴m=1．（Ⅱ）证明：∵a+b+c=1， a+b≥2， b+c≥2， c+a≥2，∴=1，∵（++）2=a+b+c+2+2+2，∴（++）2≤3，所以++≤（当且仅当 a=b=c=时取等号）成立．【解析】问题等价于（2≤ x+222+（16-4m））（x+16-4m 222≤0m，≥0，由△=（16-4m）-4×3×（16-4m）可得=1，可得（+ +2（Ⅱ）由）=a+b+c+2+2+2≤3既可证明，本题考查了不等式恒成立问题、不等式得证明，属于中档题．。
最新-2018年普通高等学校招生全国统一考试数学理辽宁
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学理（辽宁卷，含答案）一- 选择题（每小题5分，共60分）（1）已知集合M={x|-3<x ≤5},N={x|-5<x<5},则M ∩N=(A) {x|-5<x<5} (B) {x|-3<x<5}(C) {x|-5<x ≤5} (D) {x|-3<x ≤5}（2）已知复数12z i =-，那么1z= （A）55+ （B）55- （C ）1255i + （D ）1255i -（3）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b += （A(B) (C) 4 (D)12 (4) 已知圆C 与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=（5）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（A ）70种 （B ） 80种 （C ） 100种 （D ）140种 （6）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69S S = （A ） 2 （B ） 73（C ） 83 （D ）3(7)曲线y=2xx -在点（1，-1）处的切线方程为 （A ）y=x-2 (B) y=-3x+2 (C)y=2x-3 (D)y=-2x+1 (8)已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f = （A ）23- (B) - 12 (C) 23 (D) 12（9）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是（A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23） 10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。
2018辽宁省大连市双基考试数学试卷及答案理科
页脚内容1页脚内容2页脚内容3页脚内容4页脚内容5页脚内容6页脚内容72018年大连市高三双基考试数学（理科）参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1.C2.D3.B4.A5.B6.D7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.B二．填空题13.6014. 15.2 16.{1}-三．解答题17. 解：（Ⅰ）在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠， 在ACD ∆中，由正弦定理可得sin sin AC DC ADC CAD =∠∠，页脚内容8因为sin sin ,sin sin ADB ADC BAD CAD ∠=∠∠=∠， 所以12AB BD AC DC ==. ┄┄┄┄┄┄4分 （面积法、平面几何法酌情给分） （Ⅱ）法一：因为12BD DC =， 所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，┄┄┄┄┄┄8分 所以2221()33AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，即8448++cos<,9999AB AC =>u u u r u u u r ，所以cos<,0AB AC >=u u u r u u u r ， 所以<,=2AB AC π>u u u r u u u r ，所以ABC ∆面积为112=12⨯⨯. ┄┄┄┄┄12分 法二：设BAD α∠=，则ABD ∆面积为11sin 2α⨯，ACD ∆面积为12sin 23α⨯⨯，ABC ∆面积为112sin 22α⨯⨯⨯，所以11sin 2α⨯1+2sin 23α⨯⨯⨯112sin 22α=⨯⨯⨯，┄┄┄┄┄┄8分sin 22sin cos αααα==，所以sin cos 2αα==， 所以ABC ∆面积为112sin 2=12α⨯⨯⨯.┄┄┄┄┄┄12分 法三：设,2BD t DC t ==，在ABD ∆和ACD ∆中分别利用余弦定理，得到：页脚内容9222222(12()2t t +-+-=（），解得3t =，┄┄┄┄┄┄8分所以BC ==ABC ∆为直角三角形，面积为112=12⨯⨯.┄┄┄12分 法四：设,2BD t DC t ==，在ABD ∆和ACD ∆中分别对BAD CAD ∠∠、利用余弦定理，22222212(2)33t t +-+-=，解得t =8分所以BC ==ABC ∆为直角三角形，面积为112=12⨯⨯.┄┄┄12分 18.解：（Ⅰ）设移动支付笔数为X ，则4~(10,)5X B ， ┄┄┄┄┄┄2分 所以4418108,105555EX DX =⨯==⨯⨯=. ┄┄┄┄┄┄6分 （Ⅱ）因为222()5002703017030)= 2.841 3.841()()()()44060300200n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯=≈<++++⨯⨯⨯（，┄┄┄┄┄9分 所以没有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与该用户是城市用户还是农村用户有关.┄┄┄┄┄┄12分19. （Ⅰ）法一：过'C 作'C O BD ⊥交BD 于点O ，因为平面'BC D ⊥平面ABD ，所以'C O ⊥平面ABD ，┄┄┄┄┄┄2分页脚内容10 因为AD ⊂平面ABD ，所以'C O ⊥AD ，假设'90ADC ∠=o ，即'AD DC ⊥，因为'''C O DC C =I ，'C O ⊂平面'BC D ，'DC ⊂平面'BC D ， 所以AD ⊥平面'BC D ，又BD ⊂平面'BC D ，所以AD BD ⊥，与已知90ADB ∠≠o 矛盾，所以假设不成立.所以'90ADC ∠≠o .┄┄┄┄┄┄4分 法二：过'C 作'C O BD ⊥交BD 于点O ，因为平面'BC D ⊥平面ABD ， 所以'C O ⊥平面ABD ， ,,'OD OE OC 为过O 作OE BD ⊥交AB 于点E ，以O 为坐标原点，,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：所以13'(0,0,(,0,0),(0,0),(1,2222C B D A -，，所以，13(,'(,0,2222AD C D =-=-u u u r u u u u r ，所以3'04AD C D ⋅=≠u u u r u u u u r ，所以'90ADC ∠≠o .┄┄┄┄┄┄4分（Ⅱ）由（Ⅰ）的方法二可知，31'(1,'(,0,'(,0,222222C A C D C B =-=-=--u u u u r u u u u r u u u u r页脚内容11设平面'ADC 的一个法向量为111(,,)m x y z =r ，所以有'0'0m C A m C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u u r r，即111110302x y z x z ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，不妨令11x =，则113z y ==，即(1,3m =r ，┄┄┄┄┄┄6分 设平面'ABC 的一个法向量为222(,,)n x y z =r ，所以有'0'0n C A n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r r u u u u r r，即2222201-022x y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 不妨令23x =，则22z y ==-(3,n =-r ，┄┄┄┄┄┄8分所以3cos ,||||13m n m n m n ⋅<>===-r r r r r r .┄┄┄┄┄┄10分 由题可得，二面角'B AC D --的余弦值为313-.┄┄┄┄┄┄12分 20.解：（Ⅰ）显然点A 在椭圆外，所以1||||PF PA -22(||||)a PA PF =-+， 当P 在线段2AF 上时2||||PA PF +取到最小值，1||||PF PA -取到最大值2a 2分 又12c a =，化简22a a a ==，为长半轴长.┄┄┄4分 （Ⅱ）由12c a =，可得2b a =，所以椭圆方程可化简为222343x y a +=，2AF斜率为b a c =- 所以可以设直线l 方程为y m =+，其与椭圆联立可得：22215430x m a ++-=，且页脚内容1222180480a m ∆=->┄┄┄┄┄┄5分设1122(,),(,)M x y N x y ，根据两点间距离公式及韦达定理可得||MN == 根据点到直线距离公式可得，O 到直线l 的距离为||2m ，┄┄┄┄┄8分 所以222212212(4512)9024OMN m S m a m ∆=⎫+-=≤=⎪⎝⎭当224524a m =时，上式的等号成立，面积取到最大值24，所以2422=4,3a b =， 即椭圆C 的方程为22143x y +=.┄┄┄┄┄12分 21.解：（Ⅰ）法一：()0f x ≤可得ln 2x a x +≥，┄┄┄┄┄┄1分 设ln 2()(0)x g x x x +=>， 则2ln 1'()(0)x g x x x --=>，1'()00g x x e >⇒<<，1'()0g x x e<⇒>， 所以函数()g x 在区间1(0,)e 上为增函数，在1(+)e∞，上为减函数，┄┄┄┄┄3分 所以max 1()()g x g e e==.所以实数a 的取值范围为[,)e +∞.┄┄┄┄┄4分页脚内容13法二：显然0a ≤时，(1)0f >，不符合题意；┄┄┄┄┄1分当0a >时，1'()ax f x x -=，1'()00f x x a >⇒<<，1'()0f x x a <⇒>， 所以函数()f x 在区间1(0,)a 上为增函数，在1(+)a∞，上为减函数，┄┄┄┄┄3分 所以max 11()()ln 10f x f a a==+≤，解得实数a 的取值范围为[,)e +∞.┄┄┄┄┄4分 （Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知+1212ln 222x x e e e x x e x ex +--≥--+，┄┄┄┄┄6分 设12()2(0)2x e h x e x ex x +=--+≥，则1'()x h x e ex e +=--， 令()'()x h x φ=，则1'()x x e e φ+=-，当0x >时，恒有'()0x φ>，所以函数'()h x 在区间(0,+)∞上为增函数， 所以'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 在区间(0,+)∞上为增函数， 所以0x >时，()(0)2 4.72h x h e >=+≈，┄┄┄┄┄9分 又112211ln 4.85222e e +-⨯-≈，所以m 的最大值为4.┄┄┄┄┄12分 法二：设2()1(0)2xx h x e x x =---≥，则'()1x h x e x =--，令()'()x h x ψ=，则'()1x x e ψ=- 当0x >时，恒有'()0x ψ>，所以函数'()h x 在区间(0,+)∞上为增函数， 所以'()'(0)0h x h >=，页脚内容14所以函数()h x 在区间(0,+)∞上为增函数，所以()(0)0h x h >=， 所以当0x >时，2+122ln (1)ln ln 222x e x e e x x e x x x ex e x -->++--=+-， 设()+ln t x ex e x =-，则1'()t x e x=-， 1'()0t x x e >⇒>，1'()00t x x e<⇒<<， 所以函数()t x 在区间1(0,)e 上为减函数，在1(+)e∞，上为增函数， 所以1()()2 4.72t x t e e≥=+≈，┄┄┄┄┄9分 又112211ln 4.85222e e +-⨯-≈，所以m 的最大值为4.┄┄┄┄┄12分 22.解：（Ⅰ）4sin ((0,))2πρθθ=∈可以化为224(0)x y y x +=>， 其参数方程为2cos 22sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（参数(,)22ππβ∈-）. ┄┄┄┄┄4分 (Ⅱ)由题得||4sin OP α=，6||sin cos OQ αα=+，其中(0,)2πα∈，┄┄┄┄┄6分 所以2||221cos 2sin 22sin 2cos 21(sin sin cos )()=()||3322322OP OQ ααααααα--=+=++21=[)]32423πα-+≤，┄┄┄┄┄8分 因为32(,)444πππα-∈-，所以当242ππα-=即38πα=时取到等号，页脚内容15 所以||||OP OQ的最大值为3.┄┄┄┄┄10分 23. 解：（Ⅰ）当1a =时，1()|21|||02f x x x =+--<，即1|21|||2x x +<-， 两边平方可得221(21)()2x x +<-，解得31(,)26x ∈--.┄┄┄┄┄4分 （Ⅱ）1,2211()3,22211,22a x a x a a f x x a x a a x a x a a ⎧---≤-⎪⎪⎪=+--<≤⎨⎪⎪++>⎪⎩，所以()f x 在(,)2a -∞-上为减函数，在(,)2a -+∞为增函数，┄┄┄┄┄6分()f x的最小值1()()1222a a m f a =-=-+≤-=-，当且仅当122a a=即1a =时取到等号. ┄┄┄┄┄8分所以32+10,10m m ≤-≥，所以532322321()(1)1(1)(1)0m m m m m m m m ---=--+=+-≤. 所以5321m m m -≤-┄┄┄┄10分。
大连市2018届高三上学期期末数学理科试题含答案
2017-2018学年度上学期期末考试高三年级数学科（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知是虚数单位，则复数的虚部是（）A. -1B. 1C.D.【答案】B因为 ,所以的虚部是，故选B.2. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C∵集合∴∵集合∴故选C3. 若，且为第二象限角，则（）A. B. C. D.【答案】B因为，且为第二象限角，所以,,故选B.4. 已知向量与的夹角为，，，则（）A. B. 2 C. D. 4【答案】B因为所以,,,故选B.5. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（）A. 1B.C.D.【答案】B由三视图可知，该四棱锥是底面为边长为的正方形，一条长为的侧棱与底面垂直，将该棱锥补成棱长为的正方体，则棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体外接球的直径就是正方体的对角线，即，故选B.【方法】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，做题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.6. 已知数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】D由，得，两式相减可得，是以为公差的等差数列，是递减数列，，故选D.7. 若满足约束条件，则的最大值是（）A. -2B. 0C. 2D. 4【答案】C作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），由图可知平移直线，当直线经过点时，直线的截距最小最大，所以，的最大值为故选C. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 把四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】C从个球中选出个组成复合元素有种方法，再把个元素（包括复合元素）放入个不同的盒子中有种放法，所以四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有，故选C.9. 已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（）A. B. C. D.【答案】A将函数向左平移个单位，可得对应的函数式为:，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象对应的函数式为:，则∵∴∴∴∴故选A：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的式为，遵循“左加右减”；（2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍（），那么所得图像对应的式为.10. 已知椭圆的左右焦点分别为、，过的直线与过的直线交于点，设点的坐标，若，则下列结论中不正确的是（）A. B. C. D.【答案】A由题意可得椭圆的半焦距，且由可知点在以线段为直径的圆上，则.....................∴，故A不正确故选A11. 某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高.若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（）A. 甲、乙、丙B. 甲、丙、乙C. 乙、甲、丙D. 丙、甲、乙【答案】B甲和三人中的第小组那位不一样，说明甲不在第小组；三人中第小组那位比乙分数高，说明乙不在第3组，说明丙在第3组，又第3组成绩低于第1组，大于乙，这时可得乙为第2组，甲为第1组，那么成绩从高到低为：甲、丙、乙，故选B.12. 已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D由题意得函数的定义域为，且若在处取极大值，则在递增，在递减，则在恒成立，故在恒成立令，，则∴在上为减函数∵∴故选D：本题考查函数极值问题，转化到不等式恒成立问题.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④分类讨论参数.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13. 已知实数满足，则__________．【答案】由，得，即，解得，即，故答案为.14. 如图是一个算法的流程图，则输出的的值是__________．【答案】11执行程序框图，当输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，，结束循环输出，故答案为.【方法】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.15. 已知双曲线的两个焦点为、，渐近线为，则双曲线的标准方程为__________．【答案】∵双曲线的两个焦点为、，焦点在轴上∴∵渐近线∴∵∴∴双曲线的方程为故答案为：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据，，及渐近线之间的关系，求出，的值．16. 等比数列的前项和记为，若，则__________．【答案】设等比数列的首项为，公比为，，，，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 中，角的对边分别为，.（1）求的值；（2）若，边上的高为，求的值.【答案】(1)；(2).试题：（1）由，根据两角和的正弦公式可得，从而可得，进而可得；（2）结合（1），由面积相等可得，由余弦定理可得，配方后可其求得.试题：（1）∵，∴，∴，∵，∴.（2）由已知，，∵，∴又∴∴∴18. 甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论：（2）规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“良好”的个数的分布列和数学期望．（注：方差，其中为的平均数）【答案】(1)答案见；(2)答案见.试题：（1）根据根据所给数据，利用茎叶图的作法可得茎叶图，根据茎叶图可得甲乙两人成绩的中位数，根据平均值公式可得甲乙两人的平均成绩根据方差公式可得甲的方程，比较两人的成绩的中位数及平均成绩即可的结果；（2）的可能取值为0，1，2，分别求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望..试题：（1）茎叶图如图乙的均值为，中位数为；甲的平均值为，中位数为，甲的方差为，所以甲的中位数大于乙的中位数，甲的平均成绩小于乙的平均成绩；（2）由已知，的可能取值为0，1，2，分布列为：0 1 2，，, .【方法】本题主要考查茎叶图的画法、方差与平均值的求法、中位数的定义以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该离散型随机变量的分布列与数学期望，首项要理解问题的关键，其次要准确无误的随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，，，点分别为的中点，设直线与平面交于点.（1）已知平面平面，求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见；(2).试题：（1）由三角形中位线定理可得,利用线面平行的判定定理可得平面,在根据线面平行的性质定理可得；（2）由勾股定理可得，∵平面，由此可以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用两直线垂直数量积为零列出方程组，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式. 试题：（1）∵,平面,平面.∴平面,∵平面,平面平面∴.（2）∵底面是菱形，为的中点∴∴∵平面，则以点为原点，直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系则∴，，设平面的法向量为，有得设，则，则解之得，∴，设直线与平面所成角为则∴直线与平面所成角的正弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的性质与判定以及利用空间向量求线面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知直线与抛物线交于两点.（1）若，求的值；（2）以为边作矩形，若矩形的外接圆圆心为，求矩形的面积.【答案】(1)；(2)30.试题：（1）与联立得，设，根据韦达定理可得，结合可列出关于的方程，从而可得结果；（2）设弦的中点为, 设圆心，则，由得，可得，根据点到直线距离公式可得，根据弦长公式可得，从而可得矩形的面积.试题：（1）与联立得由得，设，则∵,∴∴，∴∴，满足题意.（2）设弦的中点为,则，，设圆心∵∴∴，则，∴，∴∴∴∴面积为21. 已知函数.（1）时，求在上的单调区间；（2）且，均恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是；(2).试题：（1）根据，对求导，再令，再根据定义域，求得在上是单调递减函数，由，即可求出在上的单调区间；（2）通过时，化简不等式，时，化简不等式，设，利用函数的导数，通过导函数的符号，判断单调性，推出时，在上单调递增，符合题意；时，时，都出现矛盾结果；得到的集合．试题：（1）时，，设，当时，，则在上是单调递减函数，即在上是单调递减函数，∵∴时，；时，∴在上的单调增区间是，单调减区间是；（2）时，，即；时，，即；设，则时，∵∴在上单调递增∴时，；时，∴符合题意；时，，时，∴在上单调递减，∴当时，，与时，矛盾；舍时，设为和0中的最大值，当时，，∴在上单调递减∴当时，，与时，矛盾；舍综上，：通过导数证明不等式或研究不等式恒成立问题的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最（极）值为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行探究，经常是把不等式问题转化为判断函数的单调性、求函数的最值，利用最值得出相应结论，其中分类讨论是经常用到的数学思想方法．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. 已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，且），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.已知直线与曲线交于两点，且.（1）求的大小；（2）过分别作的垂线与轴交于两点，求.【答案】(1)；(2)4.试题:（1）根据加减消元法可得直线直角坐标方程，根据极坐标极径含义可得到直线的距离，根据点到直线距离公式可解得的大小（2）根据投影可得，即得结果试题：（1）由已知，直线的方程为，∵，，∴到直线的距离为3，则，解之得∵且，∴（2）23. 已知函数（1）当时，解不等式；（2）若存在，使成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2).试题：（1）当时，原不等式可化为，通过对取值范围的讨论，去掉式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；（2）由则可得，求出的取值范围．试题：（1）由已知时，解得，则；时，解得；则时，解得，则综上：解集为（2）∵∴当且仅当且时等号成立.∴，解之得或，∴的取值范围为。
数学---辽宁省大连市2018届高三下学期第一次双基测试试题(文)(扫描版)
辽宁省大连市2018届高三下学期第一次双基测试数学试题（文）【参考答案】一．选择题1.C2.D3.B4.A5.B6.D7.C8.B9. C 10.A 11.C 12.B 二．填空题 13.3415.2 16.{1} 三．解答题17.解:（Ⅰ）法一：设数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得12111+37()(33)a d a d a a d =⎧⎨+=+⎩，解得17272a d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，此时20a =，舍，或112a d =⎧⎨=⎩，符合题意，所以21n a n =-（N n +∈）.（也可以由210a a d =+≠，12111+37()(33)a d a d a a d =⎧⎨+=+⎩可得111+373a d a d a =⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩）法二：123,,a a S 是等比数列，所以2132a S a =，又3230S a =≠，所以123a a =，设数列{}n a 的公差为d ，即2112d a a a =-=，又4137a a d =+=，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-（N n +∈）. （Ⅱ）111111=()21)(21)22121n n n b a a n n n n +==--+-+（， 所以111111111()(1)21335212122121n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=-+++（N n +∈）. 18.解：（Ⅰ）设该家庭四名成员分别为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙、丙为该支付平台用户， 则任取两人的基本事件空间为{（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）}，有6个元素，设两人都是该支付平台用户为事件A ，则A ={（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）}，有3个元素， 所以31()62P A ==.（Ⅱ）因为222()5002703017030)= 2.841 3.841()()()()44060300200n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯=≈<++++⨯⨯⨯（，所以没有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与该用户是城市用户还是农村用户有关.19. 解：（Ⅰ）过'C 作'C O BD ⊥交BD 于点O ，因为平面'BC D ⊥平面ABD ，所以'C O ⊥平面ABD ，以三角形ABD 为三棱锥'C ABD -的底面，则'C O为高，'C O =， 所以三棱锥'C ABD -的体积为1111324⨯⨯.（Ⅱ）因为AD ⊂平面ABD ，'C O ⊥平面ABD ，所以'C O ⊥AD ，假设'90ADC ∠=，即'AD DC ⊥，因为'''C O DC C = ，'C O ⊂平面'BC D ，'DC ⊂平面'BC D ，所以AD ⊥平面'BC D ，又BD ⊂平面'BC D ，所以AD BD ⊥，与已知90ADB ∠≠矛盾，所以假设不成立.所以'90ADC ∠≠.20.解：（Ⅰ）直线1AF斜率为b a c =+，结合222b a c =-，化简得2220a ac c --=， 解得离心率12c e a ==. （Ⅱ）由12c a =，可得2b a =，所以椭圆方程可化简为222343x y a +=， 2AF斜率为ba c=- 所以可以设直线l方程为y m +，与椭圆联立可得：22215430x m a ++-=，且22180480a m ∆=->，设1122(,),(,)M x y N x y ，根据两点间距离公式及韦达定理可得||MN ==根据点到直线距离公式可得，O 到直线l 的距离为||2m ， 所以22212212(4512)2OMN m S m a m ∆=⎫+-=≤=⎪⎝⎭当224524a m =时，上式的等号成立，面积取到最大值24，所以24即22=4,3a b =，即椭圆C 的方程为22143x y +=.21.解：（Ⅰ）法一：()0f x ≤可得ln 2x a x +≥，设ln 2()(0)x g x x x+=>， 则2ln 1'()(0)x g x x x --=>，1'()00e g x x >⇒<<，1'()0eg x x <⇒>， 所以函数()g x 在区间1(0,)e 上为增函数，在1(+)e ∞，上为减函数，所以max 1()()e eg x g ==.所以实数a 的取值范围为[e,)+∞.法二：显然0a ≤时，(1)0f >，不符合题意；当0a >时，1'()ax f x x -=，1'()00f x x a >⇒<<，1'()0f x x a <⇒>， 所以函数()f x 在区间1(0,)a 上为增函数，在1(+)a ∞，上为减函数， 所以max 11()()ln 10f x f a a==+≤，解得实数a 的取值范围为[e,)+∞.（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知+11e ln e e 2x x x x +-≥-+， 设1()e e 2(0)x h x x x +=-+≥，则1'()e e x h x +=-，当0x >时，恒有'()0h x >，所以函数()h x 在区间(0,+)∞上为增函数，()(0)e 2 4.7h x h >=+≈， 又1131eln 4.883+-≈，所以m 的最大值为4.法二：设()e 1(0)x h x x x =--≥，则'()e 1x h x =-，当0x >时，恒有'()0h x >，所以函数()h x 在区间(0,+)∞上为增函数， 所以()(0)0h x h >=，所以当0x >时，+1e ln e e ln x x x x ->+-，设()e +e ln t x x x =-，则1'()e t x x=-， 1'()0e t x x >⇒>，1'()00et x x <⇒<<， 所以函数()t x 在区间1(0,)e 上为减函数，在1(+)e ∞，上为增函数，所以1()()2e 4.7e t x t ≥=+≈，又1131e ln 4.883+-≈，所以m 的最大值为4.法三：设+1()e ln x h x x =-，则+11'()e x h x x=-， 令()'()x h x φ=，则+121'()e 0x x x φ=+>，所以'()h x 在(0,+)∞上为增函数， 又131'()e e 303h =⨯->，1+1101'()e 10010h =-<，所以01(0,)3x ∃∈，使得0'()0h x =，所以在0(0,)x 上'()0h x <，()h x 为减函数；在0(+)x ∞，上'()0h x >，()h x 为增函数， 所以0100001()()e ln ln x h x h x x x x +≥=-=-. 设11()ln (0)3t x x x x =-<<，211'()0t x x x-=-<，所以()t x 为减函数， 所以1()() 4.13t x t >≈.所以() 4.1h x >，又11311()e ln 4.8833h +=-≈，所以m 的最大值为4.法四：设+1()e ln x h x x =-，则+11'()e x h x x=-，令()'()x h x ψ=，则+121'()e 0x x xψ=+>，所以'()h x 在(0,+)∞上为增函数，又131'()e e 303h =⨯->，1+1101'()e 10010h =-<，所以01(0,)3x ∃∈，使得0'()0h x =，所以在0(0,)x 上'()0h x <，()h x 为减函数；在0(+)x ∞，上'()0h x >，()h x 为增函数， 所以0100001()()e ln 1x h x h x x x x +≥=-=++. 设11()1(0)3t x x x x =++<<，21'()10t x x-=+<，所以()t x 为减函数， 所以11()()433t x t >=.11 所以1()43h x >，又11311()e ln 4.8833h +=-≈，所以m 的最大值为4. 22.解：（Ⅰ）π4sin ((0,))2ρθθ=∈可以化为224(0)x y y x +=>， 其参数方程为2cos 22sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（参数ππ(,)22β∈-）. (Ⅱ)由题得||4sin OP α=，6||sin cos OQ αα=+，其中π(0,)2α∈， 所以2||221cos 2sin 22sin 2cos 21(sin sin cos )()=()||3322322OP OQ ααααααα--=+=++2π1=[)]32423α-+≤， 因为ππ3π2(,)444α-∈-，所以当ππ242α-=即3π8α=时取到等号， 所以||||OP OQ. 23. 解：（Ⅰ）当1a =时，1()|21|||02f x x x =+--<，即1|21|||2x x +<-， 两边平方可得221(21)()2x x +<-，解得31(,)26x ∈--. （Ⅱ）1,2211()3,22211,22a x a x a a f x x a x a a x a x a a ⎧---≤-⎪⎪⎪=+--<≤⎨⎪⎪++>⎪⎩，所以()f x 在(,)2a -∞-上为减函数，在(,)2a -+∞为增函数， ()f x的最小值1()()1222aa m f a =-=-+≤--，当且仅当122a a =即1a =时取到等号. 所以3210,10m m +≤-≥，所以532322321()(1)1(1)(1)0m m m m m m m m ---=--+=+-≤.所以5321m m m -≤-.。
辽宁省大连市2018届高三上学期期末数学理科试题Word版含解析
2017-2018学年度上学期期末考试高三年级数学科（理科）试卷第I卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知是虚数单位，则复数--一的虚部是（）1-iA. -1B. 1C.D.【答案】Bfl - i? 2i 21（1 + i） 2 + 2i （1+护【解析】因为，所以的虚部是，故选1- i 1 - i 十1） 2 1 - jB.2. 设集合J - I ；,[• = •：.•：：.二上，则（）A. I'- I IB.C.：丨|D.【答案】C【解析】•••集合=「：/：：• j•.•集合• - ■故选C43. 若:=.，且为第二象限角，则站；（）4 3 4 3A. B. ——C. 一D.3 4 3 斗【答案】B4 3 sina 3【解析】因为■■■••■■■■：■=-，且为第二象限角，所以n =, ,故选B.5 5 COSOL44. 已知向量与的夹角为，，仃=〉，叮;；•】|- （）A. .. -B. 2C. ..D. 4【答案】B- 一， ]【解析】因为厂二所以口I，「:| =〔•：：•：= I • —：- i = - i, ■■■. : h|--.4 -■ - I■- ' -:-'，故选 B.5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（）4主轴【答案】B【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力, 属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，做题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正， 宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响 6. 已知数列 的前••项和■■- -ii-''卜：［,若 ，则（）A. '-1''-1■ , B. I 「巴「巴 C.：：■, D. 宀一［「些【答案】D【解析】由卜J ,得\ | -：八「卜：」： 两式相减可得，L 是以 为 公差的等差数列，；■- 是递减数列，：；・」「—.，故选D.■ x 十 y-2 < 07.若凡y 满足约束条件 x-2y-2 < 0 ，则z = x-y 的最大值是（） ,2x-y + 2 > 0A. -2B. 0C. 2D. 4 【答案】CA. 1B.2C.D.2 2【解析】由三视图可知, 该四棱锥是底面为边长为的正方形，一条长为 的 侧棱与底面垂直，将该棱锥补成棱长为 I 的正方体，则棱锥的外接球就是正方体的外接球, 正方体外接球的直径就是正方体的对角线，即，故选B.当直线X X 「经过点上;时，直线的截距最小 最大，所以， 的最大值为；:-厂-:：故选C. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题 •求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最 后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 把四个不同的小球放入三个分别标有 1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（ ） A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种 【答案】C【解析】从•个球中选出 个组成复合元素有 种方法，再把■■个元素（包括复合元素） 放入：个不同的盒子中有种放法，所以四个不同的小球放入三个分别标有1? 3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有故选C.兀兀9. 已知函数 ，现将 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的A. | - IB. I'- l|C. 卜D. I "|【答案】A横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数.7 - 的图象,【解析】将函数f(x) = 2sin(2x + 71向左平移 兀一个单位，可得对应的函数解析式7t 71*2、.，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的631倍，纵坐J—■0 < 4x < -3E- 1 -二'：故选A 点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换 的规律：（1把函数的图像向左平移h ；h 小个单位长度，则所得图像对应的解析式为■- ：..：•、||'|，遵循“左加右减”；（2）把函数e 图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变 为原来的°）倍（tn > 0），那么所得图像对应的解析式为 y = f （—x ）.2 p 210. 已知椭圆—i 的左右焦点分别为、，过 的直线 与过 的直线 交于点，设点32的坐标 ，若〕，则下列结论中不正确的是（）2 2X ： V ：X ； V ：7,也対A.B.C. 山：小上：：；：：’1D. — —:3232 3 2【答案】A【解析】由题意可得椭圆的半焦距C - -.3-2 — 1,且由1_ _可知点Pix _,.y _.i 在以线段「一二为直径的圆上，则：•：，+ y 二1 ................... ，故A 不正确 3 2662故选A11. 某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组•某次数学考试成绩公布情况如下 ：甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第 1小组的那位的成绩低，三人中第 3小组的 那位比乙分数高.若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（ ）A.甲、乙、丙B. 甲、丙、乙C.乙、甲、丙 D. 丙、甲、乙【答案】B【解析】甲和三人中的第 ■■小组那位不一样，说明甲不在第 ：小组；三人中第■■小组那位比乙分标不变，得到的图象对应的函数解析式为兀 nt r 兀:;:三二；，贝U 1：： ..7T数高，说明乙不在第3组，说明丙在第3组，又第3组成绩低于第1组，大于乙，这时可得乙为第2组，甲为第1组，那么成绩从高到低为：甲、丙、乙，故选 B.12. 已知函数ire :「心：：」在处取得极大值，则实数的取值范围是（）1 1A. : 一：B. - IC. ] : I--'D. ! ]. .•:【答案】D【解析】由题意得函数匚；：的定义域为：门.・八，M il?.- .：■,■. I .1•:' ||..：■■:.若:;I在丨处取极大值，则：;N在：：：I |递增，在门.-:递减，则I；在〕.-:恒成立，11KX 一、故;] 在」.•"恒成立x-11lnx 1---- lnx令，：、I ：,贝UW x—1 J hfx）= ---------------- <0（x-1）2•••上「在1 上为减函数lnx 1■/ 二=.-=i x-JX-l L IX• •• 故选D点睛：本题考查函数极值问题，转化到不等式恒成立问题.不等式恒成立问题常见方法：①分离参数沦心恒成立（匚上” 1：；」二可）或亡i' -':恒成立（即可）；②数形结合乜- I：•::-图象在】：-£汽-上方即可）；③讨论最值丄「或：1 ' 恒成立；④分类讨论参数.第n卷二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13. 已知实数x满足5x_1l0Jx= S x，则玄=____________ .【答案】4【解析】由:.：i■■.■■■■■" = ；■",得= 即，解得-〉• J |；,即，故答案为.4 4 14. 如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是___________ .当输入I:-,第一次循环，：.-:「一-：；第二次循环，「-」「:•：：第三次循环，"：:上？；第四次循环，J 八•「:；第五次循环，；| ?止「，结束循环输出3 -,故答案为•【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题•解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构 还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；（5）要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的 试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可 15.已知双曲线的两个焦点为 卜：，J 」：、•. ，渐近线为y = ; j ：，则双曲线的标准方程 为 ___________ .2 2【答案】二丄I8 2【解析】•••双曲线的两个焦点为 . 、 ，焦点在 轴上•••渐近线b 1a 2T :■十：'二丁.■?' = ： J'''二x 2 y 2【解析】执行程序框图, 【答案】11•••双曲线的方程为-一I8 2.•. ； I ， • ； 故答案为二一匚I8 2点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法•具体过程是先定形，再定量，即先确 定双曲线标准方程的形式，然后再根据，，及渐近线之间的关系，求出，的值.s s16.等比数列 的前.•项和记为 ，若 -，则工3nS2n【答案】.al （!-Q2T ，）1—□ 【解析】设等比数列 的首项为，公比为..,%S3n ] -q q 2" I q 114 14 I 2 十丨 7 ““宀 t7，故答案为.九引(1 占 q 1' 12+133三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. ■..■■I"'中，角「-.I ，；.的对边分别为•：：■」•，.6 （1）求的值;2（2）若■■- =，■-, 边上的高为，求 •的值.,兀L【答案】⑴.;（2）.【解析】试题分析：（1）由\:二— '，根据两角和的正弦公式可得：:s '_兀4而可得tanA = $，进而可得心=亍（2）结合（1）,由面积相等可得bc=-，由余弦定理可得::I ：' - ■.,配方后可其求得 ''='试题解析：（1）T 、I 门| I :二1，•.的i 「= •. r飞3 1厂2 1 兀4 (2)由已知， .•，•.••，.•• h -：-2¥3 23318. 甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下: 甲：137, 121 , 131 , 120, 129, 119, 132, 123, 125, 133 乙：110, 130, 147, 127, 146, 114, 126, 110, 144, 146（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论：（2）规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“良好”的个数的分布列和数学期望.（注：方差，其中为「•、的平均数）n. -【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据根据所给数据，利用茎叶图的作法可得茎叶图，根据茎叶图可得甲乙两人成绩的中位数，根据平均值公式可得甲乙两人的平均成绩根据方差公式可得甲的方程；：」=['.，比较两人的成绩的中位数及平均成绩即可的结果；（2）.的可能取值为0, 1 , 2, 分别求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得■的数学期望..试题解析：（1）茎叶图如图7*---------------------------------- ---------------------- H91)00 495 3 1 011673 J 1 71)146 67 4乙的均值为：，中位数为.；甲的平均值为•，中位数为I"，甲的方差为•，所以甲的中位数大于乙的中位数，甲的平均成绩小于乙的平均成绩；（2）由已知，〔的可能取值为0, 1, 2,分布列为：牛=.」，y',1心；=二:=.【方法点睛】本题主要考查茎叶图的画法、方差与平均值的求法、中位数的定义以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题•求解该离散型随机变量的分布列与数学期望，首项要理解问题的关键，其次要准确无误的随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19. 如图，在底面是菱形的四棱锥点3.7?中，上"I平面冷二，仝—£严，.'，点二.F分别为二一；二：的中点，设直线与平面交于点.（1）已知平面：丄「.Ti平面2…；I ,求证：沁；（2）求直线.与平面所成角的正弦值.【答案】⑴证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由三角形中位线定理可得几:-记门，利用线面平行的判定定理可得•平面，在根据线面平行的性质定理可得；（2）由勾股定理可得」丄：,•/平面-■■.:?■,由此可以点为原点，直线二0分别为轴建立空间直角坐标系，利用两直线垂直数量积为零列出方程组，分别求出直线..的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式•试题解析：（1 ）••*汎心，.：平面,:平面.•.迅1平面比D,「■-平面，平面T'l 平面；一1•••_山71.（2）V底面是菱形，为的中点. •••£/ I - ■■■■ .■- :•」I八门•/ 平面，则以点为原点，直线Fmm分别为轴建立如图所示空间直角坐标系则 c ：./）＜/ :叵寫;m•••二卯；.広「门，「丨「，'- I ' :!设平面「：-［的法向量为•】.-，有.- y I -门：:得门:I ■., 7- t ::设直线•.与平面所成角为则「一•直线..与平面二二所成角的正弦值为'■.【方法点晴】本题主要考查线面平行的性质与判定以及利用空间向量求线面角，属于难题•空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3 ）设出相应平面的法向量，禾U用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离•20. 已知直线■■" 与抛物线i ：!：：交于宀1；两点.（1）若--L'，求…的值；（2）以.为边作矩形.沁•二？，若矩形二;的外接圆圆心为，求矩形.沁•二？的面积.【答案】⑴；（2）30.【解析】试题分析：（1）1： J：；- 5与厂心联立得y". <■ + ■：,设■■- '■■■■! I ■,根据韦达定理可得：结合2S：=二可列出关于•的方程，从而可得结果；（2）设弦.的中点为⑴，设圆心二-, nt比+力>'M -111 1 -m则•，讥=2-1------------ 2= - 1 厂由| ■■: - .--n得，可得「『一〔，根据点到直线距离公式可得厂；=-,根据弦2 2长公式可得：•.，从而可得矩形的面积.试题解析：（1 —心与厂心联立得- "Ju :.•: g 丄OB, A OA- OB = 02-1----------- 2= - 1• I • ： _ .：丨-• •丨川-!2__2-•面积为|.-3| - |匚二-匸21. 已知函数ir ■ ；?■?'.：' >■2：.■<.：■：■-二':三(1)时，求在上的单调区间；(2)且，均恒成立，求实数的取值范围x-1【答案】(1)单调增区间是，单调减区间是；(2) .【解析】试题分析：(1)根据，对求导，再令，再根据定义域，求得在-上是单调递减函数，由，即可求出在上的单调区间；(2)通过时，化简不等式，时，化简不等式,'：：-I时，在◎十⑴；上单调递增，^ - I符合题意;时，时，都出现矛盾结果；得到的集合.试题解析：(1) 时,.U-Hz,设-当•时，，则在上是单调递减函数，即在x-上是单调递减函数，= 0 I v 兀丘2 时，v 0 ；0 vx < I 时，f(x) > 0•••在上的单调增区间是，单调减区间是；加+ 1 (2) I 时，二J」：：二： .<1 .< 「，即二山’■■■'■ ■- ■■■■ 1 时,.■: 1 .■::，即二2a+l；X… ,(2)设弦.的中点为,则———:, ，设圆心.，禾U用函数的导数, 通过导函数的符号，判断单调性，推出，•卩-「I=二,• :口■....y ：在a ：. - .■ I 上单调递增•••瓷；L 时，；：；「：.：■ I ： : ； —r I 时， '•：-：：—■・.■：； ■■- I 时，•二 I I' ，” ■■：'：■ - ] ■时，；c ：、：：匚•在：I. -' - |，上单调递减，.•.当—；：：w 十.；时，.:.；、.：：■ I ： :■,与 时， 矛盾；舍：：■ ■-1时，设一.1为―I 和0中的最大值，当一 I•- 「时, f •:匚 •在•上单调递减•••当-■■■ ■- < I 时，：「丨::■,与「：.一：| 时，矛盾；舍 综上，点睛：通过导数证明不等式或研究不等式恒成立问题的基本思路是：以导函数和不等式为基 础，单调性为主线，最(极)值为助手，从数形结合、分类讨论等多视角进行探究，经常是 把不等式问题转化为判断函数的单调性、求函数的最值，利用最值得出相应结论，其中分类 讨论是经常用到的数学思想方法. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 •做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑•X = —Ai + tcn^fx. (为参数，匸兰:且a# ;),以原点°为极点，兀轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 直线与曲线交于•两点，且占」沁. (1)求的大小;(2)过-分别作 的垂线与 轴交于两点，求"疝| . 【答案】⑴;(2)4.【解析】试题分析：(1)根据加减消元法可得直线直角坐标方程，根据极坐标极径含义可得 I|AB|到直线•的距离，根据点到直线距离公式可解得的大小(2)根据投影可得：，即得I■:: - I 时， :l I.结果试题解析：( 1 )由已知，直线I 的方程为：“.、：「■,「，T |二；l ，亠，匚亠 |3lanct +"口 J |AB| 、到直线啲距离为3，则，解之得.“ii 、-Jinn%卜】 -T：：：.；・：且 ,—■:=2 6、 |AB| (2)cos30D23.已知函数•：、：, E(1) 当 时，解不等式 「宀―(2) 若存在■，使；-n 1 k ■成立，求 的取值范围论，去掉式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；(2)由:- ■<-则可得 ' -〕 ，求出 的取值范围.试题解析：(1)由已知 「— - I1 1时，解得 ，则;ZZ■时，解得、# 口；贝y ■ r 9 9 •时，解得 ，则z2 19综上：解集为■卡“ > Y2 T(2)v \：；|....- |/.-■< 严■ l ；|- ：：■■■ ■:.••• 山卜 I- ：-1当且仅当：「且卜宀丨：十1时等号成立•4• :•，解之得 或 ,•的取值范围为 p 、w -⑴］【解析】试题分(1)当三-时，原不等式可化为：、-:■-,通过对 取值范围的【答案】。
辽宁省大连市2018届高三第二次模拟考试理科数学试卷(解析版)
辽宁省大连市2018届高三第二次模拟考试试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合，则集合的子集个数是（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】分析:根据子集的概念写出集合A的子集得解.详解：由题得集合A的子集有：所以共8个.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查集合的子集，意在考查学生对子集基础知识的掌握能力.(2)如果一个集合有n个元素，则集合的子集个数为，真子集的个数为.2. 复数，则（）A. 1B.C. 2D. 4【答案】B【解析】分析：先化简复数z,再求复数z的模得解.详解：由题得所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查复数的基础知识.(2)复数3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 12B. 24C. 36D. 72【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，再根据柱体体积公式求体积.详解：几何体如图，为一个三棱柱，高为6，底面为直角三角形，直角边长分别为3，4；因此体积为，选C.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．4. 设等比数列的前项和为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据等比数列性质，成等比数列列式，解得结果.详解：由等比数列性质得，成等比数列，即,选B.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.5. 某工厂生产的一种零件的尺寸（单位：）服从正态分布.现从该零件的生产线上随机抽取20000件零件，其中尺寸在内的零件估计有（）（附：若随机变量服从正态分布，则，A. 6827个B. 9545个C. 13654个D. 19090个【答案】A【解析】分析：根据定义求，再根据频数等于频率与总数的乘积得结果.详解：由，得，因此尺寸在内的零件估计有，选A.点睛：正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.6. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据偶函数定义判断ABC为偶函数，根据在上函数解析式以及二次函数、指数函数、对数函数，反比例函数性质确定单调性.详解：是偶函数，在上单调递减；是偶函数，在上单调递减；既是偶函数，又在上单调递增；不是偶函数，在上不单调；综上选C.点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．7. 双曲线的左焦点为，虚轴的一个端点为，为双曲线右支上的一点，若，则双曲线的离心率是（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】分析：设双曲线的右焦点为,由题得|OB|=,化简即得双曲线C的离心率.详解：设双曲线的右焦点为,由题得|OB|=,所以,所以所以e=.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.本题利用的就是方程法，根据已知找到离心率的方程，再解方程即得离心率的值.(3)本题利用到了双曲线的通径公式：.8. 下面四个命题：：命题“”的否定是“”；:向量，则是的充分且必要条件；：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”；：若“”是假命题，则是假命题.其中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解.详解：对于：命题“”的否定是“”，所以是假命题；对于:等价于m-n=0即m=n,所以向量，则是的充分且必要条件，所以是真命题；对于：“在中，若，则“”的逆否命题是“在中，若，则“”，所以是真命题；对于：若“”是假命题，则p或q是假命题，所以命题是假命题.故答案为：B点睛：本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.9. 设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则周长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据椭圆对称性，转化研究弦长AB取值范围，再根据弦长公式以及分数函数性质求取值范围，最后可得结果.详解：根据椭圆对称性得周长等于,(为右焦点),由得，即周长的取值范围是，选C.点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 10. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验.受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级 500名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数估计的值.假如本次试验的统计结果是，那么可以估计的值约为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：500对都小于l的正实数对（x，y）满足，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＞1且，x+y＞1，面积为1﹣，由此能估计π的值．详解：由题意，500对都小于l的正实数对（x，y）满足，面积为1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对（x，y），满足且，即x2+y2＞1，且，面积为1﹣，因为统计两数能与l 构成锐角三角形三边的数对（x，y）的个数m=113，所以=1﹣，所以π=．故答案为：A点睛：（1）本题考查随机模拟法求圆周率的问题，考查几何概率的应用等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是转化“卡片上的能与1构成锐角三角形”，这里涉及到余弦定理，由于1的对角最大，所以其是锐角，所以，化简得x2+y2＞1.11. 已知，若，则的取值范围是（）A. B. C.D.【答案】D【解析】分析：先化成的形式，再利用三角函数的图像性质求x的取值范围.详解：由题得，因为，所以因为，所以所以或，所以x的取值范围为.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角函数的图像性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合思想. (2)解答本题的关键是三角函数的图像分析，先求出函数的再根据值域得到或，从而求出x 的取值范围.12. 已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（）A. 恒成立B. 恒成立C. D. 当时，；当时，【答案】A【解析】分析：先构造函数g(x)=(x-1)f(x),再利用导数得到函数的单调性和图像，从而得到恒成立.详解：设g(x)=(x-1)f(x),所以，所以函数g(x)在R上单调递增，又因为所以x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0，所以x>1时，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;所以x<1时，(x-1)f(x)<0，所以f(x)>0.所以恒成立.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查导数的乘法运算，考查导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、数形结合分析的能力. (2)解答本题有两个关键，其一是观察已知想到构造函数g(x)=(x-1)f(x),再求导,其二是得到函数g(x)的单调性后，分析出x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某班共有36人，编号分别为1，2,3,…，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号3、12、30在样本中，那么样本中还有一个编号是__________．【答案】21【解析】分析：利用系统抽样的编号成等差数列求解.详解：由于系统抽样得到的编号组成等差数列，因为，所以公差为9，因为编号为3、12、30，所以第三个编号为12+9=21.故答案为：2114. 执行如图所示的程序框图，输出的值为__________．【答案】【解析】分析：运行程序找到函数的周期性，从而得解.详解：运行程序如下：1≤2018，s=-3,n=2;2≤2018，s=,n=3;3≤2018，s=,n=4；4≤2018，s=2,n=5;所以s的周期为4,因为2018除以4的余数为2，所以输出s=.故答案为：点睛：(1)本题主要考查程序框图和数列的周期性,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题易错，不要输出s=-3,而是s=.程序框图一定要读懂程序，把好输出关，既不能提前，也不能滞后.15. 已知圆锥的底面直径为，母线长为1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为__________．【答案】【解析】分析：先根据条件求轴截面顶角，再根据顶角大于，确定当顶角为时截面面积取最大值.详解：由底面直径为，母线长为1，根据余弦定理得轴截面顶角为，因此截面面积的最大值为.点睛：圆锥轴截面顶角为所有过圆锥的顶点的截面中顶角最大的，根据三角形面积公式，面积最大值决定于顶角正弦值的最大值.16. 已知数列的前项和为，若，，则__________ (用数字作答).【答案】264【解析】分析：先根据条件确定，求得中间57项的和，再利用条件求，即得结果.详解：因为，，所以，因此因为，，所以，因此综上点睛：找寻规律常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，，是边上的一点.（1）若，求的长；（2）若，求周长的取值范围.【答案】17. （1）（2）【解析】分析：（1）先化简得到cos∠DAC＝再利用余弦定理求出CD得解.(2)先利用正弦定理求出AB+BC 的表达式，再求其范围.详解：（Ⅰ）在△ADC中，AD＝1，，所以＝cos∠DAC＝1×2×cos∠DAC＝3,所以cos∠DAC＝.由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠DAC＝12＋1－2×2×1×＝7，所以CD＝.（Ⅱ）在△ABC中由正弦定理得.的周长为 .点睛：（1）本题主要考查数量积，考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和函数的思想及分析推理能力. (2)本题求周长的取值范围运用了函数的思想，先求，再求函数的定义域,再利用三角函数的图像性质求其范围.函数的思想是高中数学的重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.18. 某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，现从这20人中，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在内的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）39，39（2）见解析详解：解：(Ⅰ)平均值的估计值中位数的估计值：因为，所以中位数位于区间年龄段中，设中位数为，所以，.(Ⅱ)用分层抽样的方法，抽取的20人，应有6人位于年龄段内，14人位于年龄段外。
辽宁省大连市2018届高三上学期期末数学理科试题含解析
2017-2018学年度上学期期末考试高三年级数学科（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12项是切合题目要求的. ）1.已知是虚数单位，则复数小题,每题 5分,共60的虚部是（分 . 在每题给出的四个选项中，只有一）A. -1B. 1C.D.【答案】B【分析】由于, 因此的虚部是，应选B.2.设会合，，则（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】∵会合∴∵会合∴应选 C3.若，且为第二象限角，则（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由于4.已知向量，且与的夹角为为第二象限角，因此，，，则,（）, 应选B.A. B. 2 C. D. 4【答案】 B【分析】由于因此,,,应选 B.5.某四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的外接球半径为（）A.1B.C.D.【答案】 B【分析】由三视图可知，该四棱锥是底面为边长为的正方形，一条长为的侧棱与底面垂直，将该棱锥补成棱长为的正方体，则棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体外接球的直径就是正方体的对角线，即，应选 B.【方法点睛】此题利用空间几何体的三视图要点考察学生的空间想象能力和抽象思想能力，属于难题 . 三视图问题是考察学生空间想象能力最常有题型，也是高考热门.察看三视图并将其“翻译”成直观图是解题的要点，做题时不只需注意三视图的三因素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及同样图形的不同地点对几何体直观图的影响.6.已知数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】由，得，两式相减可得，是以为公差的等差数列，是递减数列，，应选 D.7.若知足拘束条件，则的最大值是（）A.-2B.0C.2D.4【答案】 C【分析】作出不等式组对应的平面地区，如图（暗影部分），由图可知平移直线，当直线经过点时，直线的截距最小最大，因此，的最大值为故选 C.【方法点晴】此题主要考察线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（ 1）作出可行域（必定要注意是实线仍是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最初经过或最后经过的极点就是最优解）；（ 3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8.把四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，不同意有空盒子的放法有（）A.12 种B.24种C.36种D. 48种【答案】 C【分析】从个球中选出个构成复合元素有种方法，再把个元素（包含复合元素）放入个不同的盒子中有种放法，因此四个不同的小球放入三个分别标有1? 3 号的盒子中，不同意有空盒子的放法有，应选 C.9.已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为本来的倍，纵坐标不变，获得函数的图象，则在的值域为（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】将函数向左平移个单位，可得对应的函数分析式为 :，再将所得图象上各点的横坐标缩短为本来的倍，纵坐标不变，获得的图象对应的函数分析式为:，则∵∴∴∴∴应选 A点睛：此题主要考察了三角函数的图象变换及三角函数性质，属于基础题；图象的伸缩变换的规律：（1）把函数的图像向左平移个单位长度，则所得图像对应的分析式为，依据“左加右减”；（ 2）把函数图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为本来的倍（10.已知椭圆），那么所得图像对应的分析式为的左右焦点分别为、，过的直线.与过的直线交于点，设点的坐标，若，则以下结论中不正确的选项是（）A. B. C. D.【答案】 A【分析】由题意可得椭圆的半焦距，且由可知点在以线段为直径的圆上，则.....................∴，故 A 不正确应选 A11.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组. 某次数学考试成绩宣布状况以下: 甲和三人中的第 3 小组那位不同样，丙比三人中第 1 小组的那位的成绩低，三人中第 3 小组的那位比乙分数高. 若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低摆列，正确的选项是（）A. 甲、乙、丙B.甲、丙、乙C.乙、甲、丙D.丙、甲、乙【答案】 B【分析】甲和三人中的第小组那位不同样，说明甲不在第小组；三人中第小组那位比乙分数高，说明乙不在第 3 组，说明丙在第 3 组，又第 3 构成绩低于第 1 组，大于乙，这时可得乙为第 2 组，甲为第 1 组，那么成绩从高到低为：甲、丙、乙，应选 B.12.已知函数在处获得极大值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】由题意得函数的定义域为，且若在处取极大值，则在递加，在递减，则在恒成立，故在恒成立令，，则∴在上为减函数∵∴应选 D点睛：此题考察函数极值问题，转变到不等式恒成立问题. 不等式恒成立问题常有方法：①分离参数恒成立 (可)或恒成立（即可）；②数形联合(图象在上方即可 ) ；③议论最值或恒成立；④分类议论参数.第Ⅱ卷二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应地点上）13.已知实数知足，则__________．【答案】【分析】由，得，即，解得，即，故答案为. 14.如图是一个算法的流程图，则输出的的值是__________．【答案】 11【分析】履行程序框图，当输入，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，，结束循环输出，故答案为 .【方法点睛】此题主要考察程序框图的循环构造流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时必定注意以下几点：(1)不要混杂办理框和输入框；(2) 注意划分程序框图是条件分支构造仍是循环构造； (3)注意划分当型循环构造和直到型循环构造；(4)办理循环构造的问题时必定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的次序, （ 6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只需依据程序框图规定的运算方法逐次计算，直抵达到输出条件即可.15. 已知双曲线的两个焦点为、，渐近线为，则双曲线的标准方程为 __________ ．【答案】【分析】∵双曲线的两个焦点为、，焦点在轴上∴∵渐近线∴∵∴∴双曲线的方程为故答案为点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．详细过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，而后再依据，，及渐近线之间的关系，求出，的值．16.等比数列的前项和记为，若，则__________ ．【答案】【分析】设等比数列的首项为，公比为，，，，故答案为.三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.中，角的对边分别为，.（ 1）求的值；（ 2）若，边上的高为，求的值.【答案】 (1)；(2).【分析】试题剖析：（ 1）由，依据两角和的正弦公式可得而可得，从而可得；（2）联合（1），由面积相等可得，配方后可其求得.，从，由余弦定理可得试题分析：（ 1）∵，∴，∴，∵，∴.（ 2）由已知，，∵，∴又∴∴∴18.甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试以行进行了十次模拟测试，测试成绩以下：甲： 137， 121，131， 120， 129， 119， 132， 123， 125， 133乙： 110， 130，147， 127， 146， 114， 126， 110， 144， 146（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的均匀数和方差，并依据茎叶图，写出甲、乙两位同学均匀成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论：（2）规定成绩超出 127 为“优秀”，此刻老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“优秀”的个数的散布列和数学希望．（注：方差，此中为的均匀数）【答案】 (1) 答案看法析； (2) 答案看法析 .【分析】试题剖析：（ 1）依据依据所给数据，利用茎叶图的作法可得茎叶图，依据茎叶图可得甲乙两人成绩的中位数，依据均匀值公式可得甲乙两人的均匀成绩依据方差公式可得甲的方程，比较两人的成绩的中位数及均匀成绩即可的结果；（2）的可能取值为0，1，2，分别求出各随机变量对应的概率，从而可得散布列，从而利用希望公式可得的数学希望 ..试题分析：（ 1）茎叶图如图乙的均值为，中位数为；甲的均匀值为，中位数为，甲的方差为，所以甲的中位数大于乙的中位数，甲的均匀成绩小于乙的均匀成绩；（2）由已知，的可能取值为 0，1， 2，散布列为：012，，,.【方法点睛】此题主要考察茎叶图的画法、方差与均匀值的求法、中位数的定义以及失散型随机变量的散布列与数学希望，属于中档题.求解该失散型随机变量的散布列与数学希望，首项要理解问题的要点，其次要正确无误的随机变量的因此可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的散布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（ 1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关 .19.如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面，，，点分别为的中点，设直线与平面交于点.（ 1）已知平面平面，求证：；（ 2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】 (1) 证明看法析； (2).【分析】试题剖析：（ 1）由三角形中位线定理可得, 利用线面平行的判断定理可得平面, 在依据线面平行的性质定理可得；（2）由勾股定理可得，∵平面，由此能够点为原点，直线分别为轴成立空间直角坐标系，利用两直线垂直数目积为零列出方程组，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式.试题分析：（ 1）∵,平面,平面.∴平面,∵平面,平面平面∴.（ 2）∵底面是菱形，为的中点∴∴∵平面，则以点为原点，直线分别为轴成立以下图空间直角坐标系则∴，，设平面的法向量为，有得设，则，则解之得，∴，设直线与平面所成角为则∴直线与平面所成角的正弦值为.【方法点晴】此题主要考察线面平行的性质与判断以及利用空间向量求线面角，属于难题 .空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（ 1）察看图形，成立适合的空间直角坐标系；（ 2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（ 3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数目积为零列出方程组求出法向量；（ 4）将空间地点关系转变为向量关系；（ 5）依据定理结论求出相应的角和距离 .20. 已知直线与抛物线交于两点 .（ 1）若，求的值；（ 2）以为边作矩形，若矩形的外接圆圆心为，求矩形的面积 .【答案】 (1)； (2)30.【分析】试题剖析：（ 1）与联立得，设，依据韦达定理可得，联合可列出对于的方程，从而可得结果；（2）设弦的中点为则，由得，可得，依据点到直线距离公式可得弦长公式可得，从而可得矩形的面积.试题分析：（ 1）与联立得由得，设，则∵, ∴∴，∴∴,设圆心，依据，，知足题意.（ 2）设弦的中点为, 则，，设圆心∵∴∴，则，∴，∴∴∴∴面积为21. 已知函数.（ 1）时，求在上的单一区间；（ 2）且，均恒成立，务实数的取值范围 .【答案】 (1) 单一增区间是，单一减区间是；(2).【分析】试题剖析：（ 1）依据，对求导，再令，再依据定义域，求得在上是单一递减函数，由，即可求出在上的单一区间；（ 2）经过时，化简不等式，时，化简不等式，设，利用函数的导数，经过导函数的符号，判断单一性，推出时，在上单一递加，切合题意；时，时，都出现矛盾结果；获得的会合．试题分析：（ 1）时，，设，当时，，则在上是单一递减函数，即在上是单一递减函数，∵∴时，；时，∴在上的单一增区间是，单一减区间是；（ 2）时，，即；时，，即；设，则时，∵∴在上单一递加∴时，；时，∴切合题意；时，，时，∴在上单一递减，∴当时，，与时，矛盾；舍时，设为和 0 中的最大值，当时，，∴在上单一递减∴当时，，与时，矛盾；舍综上，点睛：经过导数证明不等式或研究不等式恒成立问题的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单一性为主线，最（极）值为助手，从数形联合、分类议论等多视角进行研究，常常是把不等式问题转变为判断函数的单一性、求函数的最值，利用最值得出相应结论，此中分类议论是常常用到的数学思想方法．请考生在22、23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. 已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，且），以原点为极点，轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线的极坐标方程为. 已知直线与曲线交于两点，且.（ 1）求的大小；（ 2）过分别作的垂线与轴交于两点，求.【答案】 (1)； (2)4.【分析】试题剖析 : （1）依据加减消元法可得直线直角坐标方程，依据极坐标极径含义可得到直线的距离，依据点到直线距离公式可解得的大小（ 2）依据投影可得，即得结果试题分析：（ 1）由已知，直线的方程为，∵，，∴到直线的距离为 3，则，解之得∵且，∴（2）23.已知函数（ 1）当时，解不等式；（ 2）若存在，使成立，求的取值范围.【答案】 (1)；(2).【分析】试题剖析：（ 1）当时，原不等式可化为，经过对取值范围的讨论，去掉式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；（ 2）由则可得，求出的取值范围．试题分析：（ 1）由已知时，解得，则；时，解得；则时，解得，则综上：解集为（ 2）∵∴当且仅当且时等号成立.∴，解之得或，∴ 的取值范围为。
2018年高考辽宁卷数学(理)试卷及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的11Z i =-模为A.12B.22 2．已知集合A={x|0<log4x<1}，B={x|x ≤2}，则A ∩B=A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 3．已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为 A.3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B.4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- C.3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D.4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)20,40,40,60，[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是A.45B.50C.55D.606．在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >，则B ∠= A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 7．使得()3n x n N n+⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为。
【数学】辽宁省大连市2018届高三第二次模拟考试理科数学试卷含解析
辽宁省大连市2018届高三第二次模拟考试试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ，则集合）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】分析:根据子集的概念写出集合A的子集得解.详解：由题得集合A8个.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查集合的子集，意在考查学生对子集基础知识的掌握能力.(2)如果一个集合有n，真子集的个数为2. ）【答案】B【解析】分析：先化简复数z,再求复数z的模得解.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的模，意在考查复数的基础知识.(2)复数3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 12B. 24C. 36D. 72【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，再根据柱体体积公式求体积.详解：几何体如图，为一个三棱柱，高为6，底面为直角三角形，直角边长分别为3，4；因C.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．4. ）【答案】B.选B.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.5. 现从该零件的生产线上随机抽取20000内的零件估计有（）A. 6827个B. 9545个C. 13654个D. 19090个【答案】A.A.点睛：正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.6. ）C.【答案】C不是偶函数，在综上选C.点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．7. ，，则双曲线的离心率是（）C. 2D.【答案】D由题得化简即得双曲线C的离心率.由题得所以所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.本题利用的就是方程法，根据已知找到离心率的方程，再解方程即得离心率的值.(3)本题利用到了双曲线8. 下面四个命题：：命题“的充分且必要条件；.其中为真命题的是（）D.【答案】B【解析】分析：利用每一个命题涉及的知识点判断每一个命题的真假得解.：命题“m-n=0即m=n,且必要条件，所以是真命题；”的逆否命题是“在p或q是假命题，所以命题是假命题.故答案为：B点睛：本题主要考查全称命题的否定、充要条件、逆否命题和“且”命题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.9.取值范围是（）C.【答案】C【解析】分析：先根据椭圆对称性，转化研究弦长AB取值范围，再根据弦长公式以及分数函数性质求取值范围，最后可得结果...............................周长的取值范围是 C.点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.10. .受其启发，试验步骤如下：①先请高二年级 500名同学每1构成锐角三；④根据统计数.假如本次）【答案】A【解析】分析：500对都小于l的正实数对（x，y1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＞1，x+y＞1，面积为1此能估计π的值．详解：由题意，500对都小于l的正实数对（x，y1，两个数能与1构成锐角三角形三边的数对（x，y），即x2+y2＞1面积为1因为统计两数能与l 构成锐角三角形三边的数对（x，y）的个数m=113，π故答案为：A点睛：（1）本题考查随机模拟法求圆周率的问题，考查几何概率的应用等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)1构成锐角三角形”，这里涉及到余弦定理，由于1的对角最大，所以其是锐角，化简得x2+y2＞1.11. ）【答案】Dx的取值范围.，所以，所以，x的取值范围为故答案为：D点睛：（1）本题主要考查三角函数的图像性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合思想. (2)x的取值范围.12. 是定义在上的函数，为下列结论中正确的是（）B.【答案】A【解析】分析：先构造函数g(x)=(x-1)f(x),再利用导数得到函数的单调性和图像，从而得到.详解：设g(x)=(x-1)f(x),所以函数g(x)在R上单调递增，所以x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0，所以x>1时，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;所以x<1时，(x-1)f(x)<0，所以f(x)>0..故答案为：A点睛：（1）本题主要考查导数的乘法运算，考查导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力、数形结合分析的能力. (2)解答本题有两个关键，其一是观察已知想到构造函数g(x)=(x-1)f(x),再求导,其二是得到函数g(x)的单调性后，分析出x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某班共有36人，编号分别为1，2,3,…，36.现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知编号3、12、30在样本中，那么样本中还有一个编号是__________．【答案】21【解析】分析：利用系统抽样的编号成等差数列求解.9，因为编号为3、12、30，所以第三个编号为12+9=21.故答案为：21点睛：（1）本题主要考查系统抽样，意在考查学生对系统抽样的掌握能力.（2）系统抽样时，如果有n个个体，需要抽出m14. 执行如图所示的程序框图，输出的值为 __________．【解析】分析：运行程序找到函数的周期性，从而得解.详解：运行程序如下：1≤2018，s=-3,n=2;2≤2018，；4≤2018，s=2,n=5;所以s的周期为4,因为2018除以4的余数为2，所以输出点睛：(1)本题主要考查程序框图和数列的周期性,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题易错，不要输出s=-3,而是.程序框图一定要读懂程序，把好输出关，既不能提前，也不能滞后.15. 母线长为1，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为__________．【解析】分析：先根据条件求轴截面顶角，再根据顶角大于最大值.详解：母线长为1，点睛：圆锥轴截面顶角为所有过圆锥的顶点的截面中顶角最大的，根据三角形面积公式，面积最大值决定于顶角正弦值的最大值.16. 已知数列用数字作答).【答案】26457项的和，再利用条件.点睛：找寻规律常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. .（1（2，求.【答案】17. （1（2【解析】分析：（1CD得解.(2)先利用正弦定理求出AB+BC的表达式，再求其范围.详解：（Ⅰ）在△ADC中，AD＝13,所以由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠DAC＝12＋17，所以CD（Ⅱ）在△ABC中由正弦定理得点睛：（1）本题主要考查数量积，考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和函数的思想及分析推理能力. (2)本题求周长的取值范围运用了函数的，再求函数的定义域再利用三角函数的图像性质求其范围.函数的思想是高中数学的重要思想，大家要理解掌握并灵活运用.18. 某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，现从这20人中，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2.【答案】（1）39，39（2）见解析【解析】分析：(1)根据组中值与对应区间概率的乘积得平均数，根据中位数对应概率为0.5，列式可得结果，（2）先根据分层抽样得区间人数，再确定随机变量取法，利用组合数求对应区间概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：解：(Ⅰ)平均值的估计值中位数的估计值：(Ⅱ)用分层抽样的方法，抽取的20人，应有614段外。
2018年全国高考辽宁省数学（理）试卷及答案【精校版】
2018年全国⾼考辽宁省数学（理）试卷及答案【精校版】2018年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试（辽宁卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B =（）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<2.设复数z 满⾜(2)(2)5z i i --=，则z =（）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i -3.已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>4.已知m ，n 表⽰两条不同直线，α表⽰平⾯，下列说法正确的是（）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α?，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5.设,,a b c 是⾮零向量，学科⽹已知命题P ：若0a b ?=，0b c ?=，则0a c ?=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ?∧?D ．()p q ∨?6.6把椅⼦摆成⼀排，3⼈随机就座，任何两⼈不相邻的做法种数为（）A ．144B ．120C ．72D ．247.某⼏何体三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为（）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-8.设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（）。
辽宁省大连市高三双基测试数学试卷(理科).docx
2016年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={2，4，6，8，10}，集合A，B满足∁U（A∪B）={8，10}，A∩∁U B={2}，则集合B=（）A．{4，6}B．{4}C．{6}D．Φ2．已知复数z=1+i，则z4=（）A．﹣4i B．4i C．﹣4 D．43．已知函数f（x）定义域为R，则命题p：“函数f（x）为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f （x0）=f（﹣x0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．执行如图的程序框图，输出的C的值为（）A．3 B．5 C．8 D．135．已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是（）A．若a∥α，a∥β，α∩β=b，则a∥b B．若α⊥β，a⊥α，b⊥β则a⊥bC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱7．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（）A．B．C．D．8．已知点（x，y）满足不等式组，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．29．若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（）A．B．1 C．D．210．已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若，则实数m=（）A．±1 B．C．D．11．在区间[0，π]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤sinx”发生的概率为（）A．B．C． D．12．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对定义域内的任意x，均有f（f（x）﹣lnx﹣x3）=2，则f（e）=（）A．e3+1 B．e3+2 C．e3+e+1 D．e3+e+2二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线x2﹣2y2=1的渐近线方程为．14．的展开式中，x4项的系数为（用数字作答）．15．数列{a n}前n项和，则a n=．16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为．三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）经过点（，﹣2），（，2），且在区间（，），上为单调函数．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）设a n=nf（）（n∈N*），求数列{a n}的前30项和S30．18．2015年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：甲电商：[0，1）[1，2）[2，3）[3，4）[4，5]消费金额（单位：千元）频数50 200 350 300 100乙电商：[0，1）[1，2）[2，3）[3，4）[4，5]消费金额（单位：千元）频数250 300 150 100 200 （Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）（ⅰ）根据上述数据，估计“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中，消费金额小于3千元的概率；（ⅱ）现从“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位，记消费金额小于3千元的人数为X，试求出X的期望和方差．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°．PA⊥面ABCD，且PA=3．F在棱PA上，且AF=1，E在棱PD上．（Ⅰ）若CE∥面BDF，求PE：ED的值；（Ⅱ）求二面角B﹣DF﹣A的大小．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A、B两点，满足|AF2|=c．（1）求椭圆C的离心率；（2）M、N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点（异于椭圆C的顶点），直线MP、NP分别和x轴相交于R、Q两点，O为坐标原点，若|OR|•|OQ|=4，求椭圆C的方程．21．设函数（x∈R，实数a∈[0，+∞），e=2.71828…是自然对数的底数，）．（Ⅰ）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若e x≥lnx+m对任意x＞0恒成立，求证：实数m的最大值大于2.3．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，AB是⊙O的直径，DA⊥AB，CB⊥AB，DO⊥CO（Ⅰ）求证：CD是⊙O的切线；（Ⅱ）设CD与⊙O的公共点为E，点E到AB的距离为2，求+的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|（x∈R，实数a＜0）．（Ⅰ）若f（0）＞，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）≥．2016年辽宁省大连市高三双基测试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={2，4，6，8，10}，集合A，B满足∁U（A∪B）={8，10}，A∩∁U B={2}，则集合B=（）A．{4，6}B．{4}C．{6}D．Φ【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由A与B并集的补集得到元素8，10不属于B，再由A与B补集的交集得到元素2不属于B，即可得出B，【解答】解：∵全集U={2，4，6，8，10}，∁U（A∪B）={8，10}，∴A∪B={2，4，6}，又∵A∩{∁U B}={2}，∴B={4，6}．故选：A．2．已知复数z=1+i，则z4=（）A．﹣4i B．4i C．﹣4 D．4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=1+i，∴z2=（1+i）2=2i，则z4=（2i）2=﹣4．故选：C．3．已知函数f（x）定义域为R，则命题p：“函数f（x）为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f （x0）=f（﹣x0）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）为偶函数，则∀x∈R，f（﹣x）=f（x），则∃x0∈R，f（x0）=f （﹣x0）成立，则充分性成立，若f（x）=x2，﹣1≤x≤2，满足f（﹣1）=f（1），但函数f（x）不是偶函数，故必要性不成立，即p是q的充分不必要条件，故选：A．4．执行如图的程序框图，输出的C的值为（）A．3 B．5 C．8 D．13【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量C的值并输出，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：模拟执行程序，可得A=1，B=1，k=3满足条件k≤5，C=2，A=1，B=2，k=4满足条件k≤5，C=3，A=2，B=3，k=5满足条件k≤5，C=5，A=3，B=5，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出C的值为5．故选：B．5．已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是（）A．若a∥α，a∥β，α∩β=b，则a∥b B．若α⊥β，a⊥α，b⊥β则a⊥bC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由线线平行的性质定理能判断A的正误；由面面垂直和线面垂直的性质定理能判断B的正误；由线面垂直的判定定理能判断C的正误；在D中，a∥β或a⊂β．【解答】解：由互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，知：在A中，由于α∩β=b，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=d，β∩γ=c，则a∥d且a∥c，∴d∥c．又d⊂α，α∩β=b，∴d∥b．∴a∥b．故A正确；在B中，若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质得a⊥b，故B正确；在C中，若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则由线面垂直的判定定理得a⊥α，故C正确；在D中，若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故D错误．故选：D．6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱 B．钱C．钱D．钱【考点】等差数列的通项公式．【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a=﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5求得a=1，则答案可求．【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d=a+a+d+a+2d，即a=﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，则a﹣2d=a﹣2×=．故选：B．7．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，则cosC=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinC==，又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC得值．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠B=60°，∴由正弦定理可得：sinC===，又∵AB＜AC，C为锐角，∴cosC==．故选：D．8．已知点（x，y）满足不等式组，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即B（5，2），此时z max=5﹣2×2=1．故选：C．9．若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，求出P的坐标，然后求出三角形的面积．【解答】解：由抛物线定义，|PF|=x P+1=2，所以x P=1，|y P|=2，所以，△PFO的面积S=|y P|==1．故选：B10．已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若，则实数m=（）A．±1 B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算．【分析】联立，得2x2+2mx+m2﹣1=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能求出m．【解答】解：联立，得2x2+2mx+m2﹣1=0，∵直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，∴△=4m2+8m2﹣8=12m2﹣8＞0，解得m＞或m＜﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣m，，y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，=（﹣x1，﹣y1），=（x2﹣x1，y2﹣y1），∵，∴=+y12﹣y1y2=1﹣﹣+m2﹣m2=2﹣m2=，解得m=．故选：C．11．在区间[0，π]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤sinx”发生的概率为（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】确定区域的面积，即可求出事件“y≤sinx”发生的概率．【解答】解：在区间[0，π]上随机地取两个数x、y，构成区域的面积为π2；事件“y≤sinx”发生，区域的面积为=2，∴事件“y≤sinx”发生的概率为．故选：D．12．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对定义域内的任意x，均有f（f（x）﹣lnx﹣x3）=2，则f（e）=（）A．e3+1 B．e3+2 C．e3+e+1 D．e3+e+2【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意得f（x）﹣lnx﹣x3是定值，令f（x）﹣lnx﹣x3=t，得到lnt+t3+t=2，求出t 的值，从而求出f（x）的表达式，求出f（e）即可．【解答】解：∵函数f（x）对定义域内的任意x，均有f（f（x）﹣lnx﹣x3）=2，则f（x）﹣lnx﹣x3是定值，不妨令f（x）﹣lnx﹣x3=t，则f（t）=lnt+t3+t=2，解得：t=1，∴f（x）=lnx+x3+1，∴f（e）=lne+e3+1=e3+2，故选：B二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线x2﹣2y2=1的渐近线方程为y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由渐近线方程为y=±x，即可得到所求方程．【解答】解：双曲线x2﹣2y2=1即为x2﹣=1，可得a=1，b=，渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故答案为：y=±x．14．的展开式中，x4项的系数为﹣15（用数字作答）．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式（x﹣）10的展开式中通项公式，求出展开式中x4项的系数．【解答】解：（x﹣）10的展开式中的通项为=•（﹣）r•x10﹣2r，T r+1令10﹣2r=4，解得r=3，所以展开式中x4项的系数为•=﹣15．故答案为：﹣15．15．数列{a n}前n项和，则a n=．【考点】数列递推式．【分析】由数列的前n项和求出首项，再由n≥2时，a n=S n﹣S n求得通项公式，验证首项﹣1后可得数列{a n}的通项公式．【解答】解：∵，∴a1=S1=2，=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，2n﹣1=1≠a1，∴，故答案为：a n=．16．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为34π．【考点】简单空间图形的三视图；球的体积和表面积．【分析】由三视图知，该几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，画出直观图，再建立空间直角坐标系，求出三棱锥外接球的球心与半径，从而求出外接球的表面积．【解答】解：由三视图知，该几何体是三棱锥S﹣ABC，且三棱锥的一个侧面SAC与底面ABC垂直，其直观图如图所示；由三视图的数据可得OA=OC=2，OB=OS=4，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示；则A（0，﹣2，0），B（4，0，0），C（0，2，0），S（0，0，4），则三棱锥外接球的球心I在平面xOz上，设I（x，0，z）；由得，，解得x=z=；∴外接球的半径R=|BI|==，∴该三棱锥外接球的表面积S=4πR2=4π×=34π．故答案为：34π．三．解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）经过点（，﹣2），（，2），且在区间（，），上为单调函数．（Ⅰ）求ω，φ的值；（Ⅱ）设a n=nf（）（n∈N*），求数列{a n}的前30项和S30．【考点】数列的求和；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由题可得+φ=2kπ﹣， +φ=2kπ+，（k∈Z），从而解得；（Ⅱ）化简a n=nf（）=2nsin（﹣）（n∈N*），而数列{2sin（﹣）}的周期为3；从而可得a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣，从而解得．【解答】解：（Ⅰ）由题可得+φ=2kπ﹣， +φ=2kπ+，（k∈Z）；解得ω=2，φ=2kπ﹣（k∈Z），∵|φ|＜π，∴φ=﹣．（Ⅱ）∵a n=nf（）=2nsin（﹣）（n∈N*），而数列{2sin（﹣）}的周期为3；前三项依次为2sin0=0，2sin=，2sin=﹣，∴a3n﹣2+a3n﹣1+a3n=﹣，∴S30=（a1+a2+a3）+…+（a28+a29+a30）=﹣10．18．2015年“双十一”当天，甲、乙两大电商进行了打折促销活动，某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额，得到了消费金额的频数分布表如下：甲电商：消费金额（单位：千元）[0，1）[1，2）[2，3）[3，4）[4，5]频数50 200 350 300 100乙电商：消费金额（单位：千元）[0，1）[1，2）[2，3）[3，4）[4，5]频数250 300 150 100 200 （Ⅰ）根据频数分布表，完成下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小（其中方差大小给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）（ⅰ）根据上述数据，估计“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中，消费金额小于3千元的概率；（ⅱ）现从“双十一”当天在甲电商购物的大量的消费者中任意调查5位，记消费金额小于3千元的人数为X，试求出X的期望和方差．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由频数分布表，能作出下列频率分布直方图，并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小．（Ⅱ）（i）利用等可能事件概率计算公式求解．（ii）利用二项分布的性质求解．【解答】解：（Ⅰ）频率分布直方图如下图所示，…甲的中位数在区间[2，3]内，乙的中位数在区间[1，2）内，所以甲的中位数大．由频率分布图得甲的方差大．…（Ⅱ）（ⅰ）估计在甲电商购物的消费者中，购物小于3千元的概率为；…（ⅱ）由题可得购物金额小于3千元人数X～B（5，），…∴E（X）==3，D（X）=5××=．…19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°．PA⊥面ABCD，且PA=3．F在棱PA上，且AF=1，E在棱PD上．（Ⅰ）若CE∥面BDF，求PE：ED的值；（Ⅱ）求二面角B﹣DF﹣A的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的性质定理进行推理得到E为PD中点即可求PE：ED的值；（Ⅱ）根据二面角的定义作出二面角的平面角，即可求二面角B﹣DF﹣A的大小．【解答】证明：（Ⅰ）过E作EG∥FD交AP于G，连接CG，连接AC交BD于O，连接FO．∵EG∥FD，EG⊄面BDF，FD⊂面BDF，∴EG∥面BDF，又EG∩CE=E，CE∥面BDF，EG，CE⊂面CGE，∴面CGE∥面BDF，…又CG⊂面CGE，∴CG∥面BDF，又面BDF∩面PAC=FO，CG⊂面PAC，∴FO∥CG．又O为AC中点，∴F为AG中点，∴FG=GP=1，∴E为PD中点，PE：ED=1：1．…（Ⅱ）过点B作BH⊥直线DA交DA延长线于H，过点H作HI⊥直线DF交DF于I，…∵PA⊥面ABCD，∴面PAD⊥面ABCD，∴BH⊥面PAD，由三垂线定理可得DI⊥IB，∴∠BIH是二面角B﹣DF﹣A的平面角．由题易得AH=，BH=，HD=，且=，∴HI=，∴tan∠BIH=×=，…∴二面角B﹣DF﹣A的大小为arcran．…20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A、B两点，满足|AF2|=c．（1）求椭圆C的离心率；（2）M、N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点（异于椭圆C的顶点），直线MP、NP分别和x轴相交于R、Q两点，O为坐标原点，若|OR|•|OQ|=4，求椭圆C的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）令x=c，求得y，由题意可得=c，再由离心率公式，解方程可得e；（2）求出椭圆上下顶点坐标，设P（x o，y o），R（x1，0），Q（x2，0），利用M，P，R三点共线求出R，Q的横坐标，利用P在椭圆上，推出|OR|•|OQ|=a2即可得到a，b的值，进而得到椭圆方程．【解答】解：（1）令x=c，可得y2=b2（1﹣），即有y=±，由题意可得=c，即为6a2﹣6c2=ac，即有6﹣6e2=e，解得e=；（2）由椭圆方程知M（0，b），N（0，﹣b），另设P（x o，y o），R（x1，0），Q（x2，0），由M，P，R三点共线，知=，所以x1=；同理得x2=．|OR|•|OQ|=…①，又P在椭圆上所以+=1，即b2﹣y02=代入①得|OR|•|OQ|=a2=4，即有a=2，又e==，可得c=，b=1，椭圆的方程为+y2=1．21．设函数（x∈R，实数a∈[0，+∞），e=2.71828…是自然对数的底数，）．（Ⅰ）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若e x≥lnx+m对任意x＞0恒成立，求证：实数m的最大值大于2.3．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题得以解决；（Ⅱ）构造函数设，利用导数求出函数的最值，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）∵，f（x）≥0在x∈R上恒成立，∴a≤，设h（x）=，∴h′（x）=，令h′（x）=0，解得x=，当x＞，即h′（x）＞0，函数单调递增，当x＜，即h′（x）＜0，函数单调递减，∴h（x）min=h（）=，∴0＜a≤，故a的取值范围为；（Ⅱ）设，∴，g'（x）＞0，可得；g'（x）＜0，可得．∴g（x）在（，+∞）上单调递增；在上单调递减．∴g（x）≥g（）=，∵，∴＞1.6，∴g（x）＞2.3．由（Ⅰ）可得e x＞x+，∴e x﹣lnx的最小值大于2.3，故若e x≥lnx+m对任意x＞0恒成立，则m的最大值一定大于2.3．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，AB是⊙O的直径，DA⊥AB，CB⊥AB，DO⊥CO（Ⅰ）求证：CD是⊙O的切线；（Ⅱ）设CD与⊙O的公共点为E，点E到AB的距离为2，求+的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）证明CO是∠BCD的平分线，圆心O到CD的距离等于半径，即可证明：CD 是⊙O的切线；（Ⅱ）分类讨论，过E作EF⊥AB交AB于F，过C作CG⊥AD交AD于G，交EF于H，由（Ⅰ）可得DA=DE，CB=CE．在△CGD中，有，即可求+的值．【解答】（Ⅰ）证明：由题可知DA，BC为⊙O的切线．∵∠DOC=90°，∴∠AOD+∠BOC=90°；∵∠OBC=90°，∴∠OCB+∠BOC=90°；∴∠AOD=∠OCB，∴△AOD∽△BCO，∴=，…又∵AO=OB，∴=，∴Rt△OCD∽Rt△BCO，∴∠OCD=∠BCO，∴CO是∠BCD的平分线，∴圆心O到CD的距离等于半径，∴CD是⊙O的切线；…（Ⅱ）解：若DA=CB，显然可得+=1．…若DA≠CB，不妨设DA＞CB．过E作EF⊥AB交AB于F，过C作CG⊥AD交AD于G，交EF于H．由（Ⅰ）可得DA=DE，CB=CE．在△CGD中，有，即=，化简得+=1．综上： +=1．…[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值．（II）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=+1，利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2，展开为：x2+y2﹣2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=．曲线C2：（φ为参数，实数b＞0），化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，当2θ+=时，θ=时取到最大值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x+a|+|x﹣|（x∈R，实数a＜0）．（Ⅰ）若f（0）＞，求实数a的取值范围；（Ⅱ）求证：f（x）≥．【考点】绝对值不等式的解法；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值号，解关于a的不等式组，求出a的范围即可；（Ⅱ）通过讨论x 的范围，结合基本不等式的性质求出求出f（x）的最小值即可．【解答】（Ⅰ）解：∵a＜0，∴f（0）=|a|+|﹣|=﹣a﹣＞，即a2+a+1＞0，解得a＜﹣2或﹣＜a＜0；（Ⅱ）证明：f（x）=|2x+a|+|x﹣|=，当x≥﹣时，f（x）≥﹣﹣；当＜x＜﹣时，f（x）＞﹣﹣；当x≤时，f（x）≥﹣a﹣，∴f（x）min=﹣﹣≥2=，当且仅当﹣=﹣即a=﹣时取等号，∴f（x）≥．2016年10月17日。
辽宁省大连市高三双基测试卷数学试题理科
辽宁省大连市高三双基测试卷数学试题（理科）说明：1．本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．将I 卷和II 卷的答案都写在答题纸上，在试卷上答题无效。
参考公式：棱锥体积公式：Sh V 31=（其中S 为棱锥底面积，h 为棱锥的高）第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．集合A i x x x A 则第三象限在复平面上对应的点在复数},)2()1(|{-+-∈=R =（ ） A ．}21|{≤≤x x B ．}12|{<>x x x 或C ．}12|{≤≥x x x 或D ．}21|{<<x x2．在等差数列n a a a a n n 则已知中,2009,3,1,}{21===等于 （ ）A ．1003B ．1004C ．1005D ．1006 3．函数)42sin(2)(π-=x x f 的一个单调减区间是（ ）A ．]87,83[ππ B ．]83,8[ππ-C ．]89,85[ππ D ．]85,8[ππ 4．已知函数)()(,)(x f x f x f -+则定义域为R 一定为（ ）A ．非奇非偶函数B ．奇函数C ．偶函数D ．既奇又偶函数5．二项展开式x x 中10)12(-的奇次幂项的系数之和为（ ）A ．23110+B ．23110-C ．21310-D ．—23110+6．已知函数)]}2([{,)0(log )0)(6sin()(2f f f x x x x x f 则⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=ππ= （ ）A ．23B ．—23 C ．21 D ．—217．已知等腰直角2,90,==∠∆AB B ABC，点M 是△ABC 内部或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AM AN ⋅的最大值为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 8．已知数列n n a N n n n a 则),(5*23∈-=的最小值为（ ） A ．—19 B ．—18 C ．—17 D ．—16 9．下列说法错误．．的是（ ）A ．已知命题p 为“若a>b ，则a 2>b 2”，则p ⌝为“若a>b ，则a 2≤b 2”B ．若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题C ．x >1的一个充分不必要条件是x >2D ．“全等三角形的面积相等”的否命题是假命题10．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上。
2018辽宁省大连市双基考试数学试卷及答案理科
I 2018年大连市高三双基测试卷数学(理科)命题人：王 < 手飞.邯汝姣陈威赵文莲*5：i・本试巻分第1 *1远幵疋丿「片U匸遶甘题两邙分•其中第n卷第22題〜第23题为选考题，其它题为盜考是. r2.考生作答时，将签案芻在菸题卡上，在本试汞上#题无效.考试结未后，琴本试电和答题卡一并交炉參考公式：--球的表面积公式：S=4X R,其申R听*-第I稚(选择题共60分人一.选择H(本大题共12小題，每小思5牙•灭60分.在每小题给出旳四个选項中，只有_ 项是符合题目要求的〉.••已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,3,5,6} ,B={2,5,7} ,>J(CuA)nB«() (D){2,5,7)第1页(理科数学试卷共6页〉(A){2} (B){7)!・已知复数±=吿。
为虔数单位)，则x=⑻-*+窃3.已知直线人加，平面a、0、y,则下列条件能推出(A〉/Ua,mU0,a〃pCB)a 〃目,a fl y=/,0门y =加(C"〃a,mUa(D"Ua・af)p=m .y ................................L已知某班一次数学测验男女生成填的茎叶图如图关于该班男女生成绩判斷正确的是(A)男生平均分高，波动大(B)男生平均分高，波动小：(C)男生平均分低，波动大.(D》男生平均分低，波动小9"l〃rn的毘所示，則下列()—g-女97/ 8981 9114789765 101235678842 11124567653 12b T—7321 13 |b863) 14 10) 15 1(C)⑵ 7)5•鲁如图所示,输出的s 是数列㈣的前100頊和，则判惭框中 (A)*<100： 〉(BM>100 ■ (C) *<101 (D) 4>101工 p+lNo6.设实数工，，满吕约束条件2工+ y —1二0，则目标函数z=2z + y 的取lx —Ko值范围为(A)[—8,2] (B)[-8,1] (C)[2 > 4~°°)(D)[l,+8)7. 已知等比效列3・}的前"项和为S.5WN+),且成等差数列，则数列的 公比g 为 ”()(A)l(B) — 1(C)l 或一L(D)28. 2017年12月31日，大连市在星梅湾大桥举行了迎新年烟花晚会，某班班主任老师了解该班甲、乙、丙、丁四位同学是否去现场观頁了该晚会，四位同学回答如下： 甲：我们四人都没有去看. 乙：我们四人有人去看了. 丙：乙和丁至少有一人没有去看. 丁 ：我没去看.•后来证实上述四人有两人说真话，阳人说假话. 根据以上信息，判断正确的选项为(>(A)说真话的是乙和丁 (B)说真话的是乙和丙 (C)说真话的是甲和丙(D)说真话的是丙和丁9 •巳知直线2交圆C 于A 、B 两点"不过08心C ・且|AB|=2,则忆•恥=< )(A)丄(B)l (CM (D)2 ：、2]0•已知抛物线C ：y =2px(/>>0)的焦点为 mF 作直线/交拋物线C 于A 、B 两点•若|AF|=£|BFI=2,则 p=第2页(理科数学试卷共&页)(B)| <C)2(D){11•已知函数只工)"-2云+(aT )=的图象与工抽相切，则实数°所有可能的值之和 为(A)l(A)l (B)2(03(D)6)⑹14兀'012用 0)1()^JKD ■（非选择财共90分〉.衣專色招必才題令堆才题腐押分■第13题〜第21题为必考题，爭道试题考生那必须 作#•第22 JI 〜第23题外堆才題■才生根扔妥現作#・ 二、填空■（本大翱共4小题・毎小題5分・#力另13. （x+2/的展开式中分顼的系数为* _____________14・双曲级G 牙一若8心＞0』＞0）的一条渐近线方程为＞ = 2x,则双曲线C 的离心率 为 ・15. fig 数— flina ＞x4-5/Jcos«?x （a ；＞0）的图象在y 轴右侧的第一个量髙点的横坐标为巻•则实tta ＞« _________ ・16. 巳知关于乂的不笹式&才一2" — 3）ln 马丄二0在工＞一1时恒成立，则实数a 的取值集合为 ________ ・三、解答■（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步甌7.（本小题滴分12分〉如图，巳知AABC 中，点D 在边BC 上,2为^BAC 的角平分线，且AB=1,AD=^. AC^2.（I ）求器的值（说明理由卄（H ）求/MBC 的面积•、第3页（理科数学试卷共6页）•. K* d ＜ • • '••• e • •* •18・（本小題價分12分）随鲁移动支付的普及•中国人的生活方式正悄拔巨变，带智能手机，不带钱包出门理渐成为中国人的新习惯.2017年我国移动支付增长迅猛•据统计•某支付平台2017年移动支付的笔数占总支付笔数的80%.< I）从该支付平台2017年的所有支付中任取10笔，求移动支付笔数的期望和方差, （II ）现有500名便用该支付平台的用户，其中300名是城市用户・200名是农村用户・鸿査他们2017年个人移动支付的比例是否达到了80% •得到2X2列联表如下：艰据上表数据•问是否有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与谈用户是城市用户还是农村用户有关？酣2 = _______ n（（id—bc）* ______昭：才一（a+6〉（c+H）（a+c）（6+石0.050 0.010k 3.841 - 6.6359.（本小题满分12分、如图（1）所示，长方形ABCD中，AB=折，BC=1,沿着该长方形对角线BD将ABCD 折起，得到平面BUD,且满足平面BCD丄平面ABD,如图（2）所示.（I）求证:ZADC'H90°$（n）求二面角B-AU-D的余弦值..4页（理科数学试卷共6页）第5贡(理科数学试卷共6页)20.(本小题满分12勺、已知椭圆话+4心皿左朴点分别•点P 为橢 圆C 上一动点•点A 的坐标为(3鼻"的育心率为2•(I )求证:IPF.I-I PA I 的最大值为吧°黑了蔦;,O 为坐标原& *(H )已知动直线律AF,平行，/与椭圆。
大连2018一模理数答案
x2 4
y2 3
1
，
x my 1
消去 x 得 (3m2 4) y2 6my 9 0 ，设点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ，
有
0,
y1
y2
6m 3m2 4
,
y1 y2
9 3m2
4
,
………………………6
分
有| AB |
1 m2
12 1 m2 3m2 4
12(1 m2 ) 3m2 4
8
d i1
yi y wi w
8
2
wi w
8
i1
wi yi wyi ywi w y
8
2
wi w
8
8
8
wi yi wyi
wi yi 8w y
i1 8
i 1 2
wi w
i1
8
2
wi w
i 1
i 1
i 1
i 1
31280 6.8 5738 68 ………………………………………6 分 1.6
平面 PDC ，
EF
∥平面 PDC
……5 分
（2） PA 平面 ABC ,且四边形 ABCD 是正方形， AD, AB, AP 两两垂直，
以 A 为原点， AP ， AB ， AD 所在直线为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系 A xyz ，…………………………………………………6 分
E 为 DA 中点， ABCD 为正方形， DE // CB, DE 1 CB , 2
MF // DE, MF DE , 四边形 DEFM 为平行四边形………3 分
EF // DM , EF 平面 PDC ， DM 平面 PDC ， EF // 平面 PDC ………………………………………………5 分
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年大连市高三双基考试 数学（理科）参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题 ✌ ✌ 二．填空题602 {1}- 三．解答题 17. 解：（Ⅰ）在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin AB BDADB BAD =∠∠， 在ACD ∆中，由正弦定理可得sin sin AC DCADC CAD=∠∠， 因为sin sin ,sin sin ADB ADC BAD CAD ∠=∠∠=∠， 所以12AB BD AC DC ==. ┄┄┄┄┄┄4分 （面积法、平面几何法酌情给分）（Ⅱ）法一：因为12BD DC =， 所以1121()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，┄┄┄┄┄┄8分所以2221()33AD AB AC =+，即8448++cos<,9999AB AC =>，所以cos<,0AB AC >=，所以<,=2AB AC π>，所以ABC ∆面积为112=12⨯⨯. ┄┄┄┄┄12分法二：设BAD α∠=，则ABD ∆面积为11sin 2α⨯，ACD ∆面积为12sin 23α⨯⨯，ABC ∆面积为112sin 22α⨯⨯⨯，所以11sin 2α⨯1+2sin 23α⨯⨯⨯112sin 22α=⨯⨯⨯，┄┄┄┄┄┄8分解得：sin 22sin cos αααα==，所以sin cos αα==， 所以ABC ∆面积为112sin 2=12α⨯⨯⨯.┄┄┄┄┄┄12分 法三：设,2BD t DC t ==，在ABD ∆和ACD ∆中分别利用余弦定理，得到：22222212233t t +-+-=（），解得t =8分所以BC ==ABC ∆为直角三角形，面积为112=12⨯⨯.┄┄┄12分法四：设,2BD t DC t ==，在ABD ∆和ACD ∆中分别对BAD CAD ∠∠、利用余弦定理，得到：2222221(2((2)t t +-+-=，解得t =8分所以BC ==ABC ∆为直角三角形，面积为112=12⨯⨯.┄┄┄12分18.解：（Ⅰ）设移动支付笔数为X ，则4~(10,)5X B ， ┄┄┄┄┄┄2分所以4418108,105555EX DX =⨯==⨯⨯=. ┄┄┄┄┄┄6分（Ⅱ）因为222()5002703017030)= 2.841 3.841()()()()44060300200n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯=≈<++++⨯⨯⨯（，┄┄┄┄┄9分 所以没有95%的把握认为2017年个人移动支付比例达到了80%与该用户是城市用户还是农村用户有关.┄┄┄┄┄┄12分19. （Ⅰ）法一：过'C 作'C O BD ⊥交BD 于点O ，因为平面'BC D ⊥平面ABD ， 所以'C O ⊥平面ABD ，┄┄┄┄┄┄2分因为AD ⊂平面ABD ，所以'C O ⊥AD ， 假设'90ADC ∠=，即'AD DC ⊥，因为'''C ODC C =，'C O ⊂平面'BC D ，'DC ⊂平面'BC D ，所以AD ⊥平面'BC D ，又BD ⊂平面'BC D ，所以AD BD ⊥，与已知90ADB ∠≠矛盾，所以假设不成立. 所以'90ADC ∠≠.┄┄┄┄┄┄4分法二：过'C 作'C O BD ⊥交BD 于点O ，因为平面'BC D ⊥平面ABD ，所以'C O ⊥平面ABD ，,,'OD OE OC 过O 作OE BD ⊥交AB 于点E ，以O 为坐标原点，为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：所以13(,0,0),(0,0),22C B D A -，，所以，133(,,0),'(,0,2222AD C D =-=-，所以3'04AD C D ⋅=≠， 所以'90ADC ∠≠.┄┄┄┄┄┄4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）的方法二可知，33331'(1,,),'(,0,),'(,0,22C A C D C B =-=-=- 设平面'ADC 的一个法向量为111(,,)m x y z=，所以有'0'm C A m C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111110223022x y z x z ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，不妨令11x =，则11z y ==，即3(1,,m =，┄┄┄┄┄┄6分 设平面'ABC 的一个法向量为222(,,)n x y z=，所以有'0'0nC A n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222201-02x y z x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨令23x =，则22z y ==-，即(3,3n =-，┄┄┄┄┄┄8分 所以3cos ,||||1313m n m n m n ⋅<>===-⨯.┄┄┄┄┄┄10分由题可得，二面角'B AC D --的余弦值为313-.┄┄┄┄┄┄12分 20.解：（Ⅰ）显然点A 在椭圆外，所以1||||PF PA -22(||||)a PA PF =-+，当P 在线段2AF 上时2||||PA PF +取到最小值，1||||PF PA -取到最大值2a ┄┄┄┄┄┄2分又12c a =，化简22a a a ==，为长半轴长.┄┄┄4分 （Ⅱ）由12c a =，可得2b a =，所以椭圆方程可化简为222343x y a +=，2AF斜率为b a c =- 所以可以设直线l方程为y m =+，其与椭圆联立可得：22215430x m a ++-=，且22180480a m ∆=->┄┄┄┄┄┄5分设1122(,),(,)M x y N x y ，根据两点间距离公式及韦达定理可得||MN == 根据点到直线距离公式可得，O 到直线l 的距离为||2m ，┄┄┄┄┄8分所以222212212(4512)9024OMN m S m a m ∆=⎫+-=≤=⎪⎝⎭ 当224524a m =时，上式的等号成立，面积取到最大值24，所以24，即22=4,3a b =， 即椭圆C 的方程为22143x y +=.┄┄┄┄┄12分21.解：（Ⅰ）法一：()0f x ≤可得ln 2x a x+≥，┄┄┄┄┄┄1分 设ln 2()(0)x g x x x+=>， 则2ln 1'()(0)x g x x x --=>，1'()00g x x e >⇒<<，1'()0g x x e<⇒>， 所以函数()g x 在区间1(0,)e 上为增函数，在1(+)e ∞，上为减函数，┄┄┄┄┄3分所以max 1()()g x g e e==.所以实数a 的取值范围为[,)e +∞.┄┄┄┄┄4分法二：显然0a ≤时，(1)0f >，不符合题意；┄┄┄┄┄1分当0a >时，1'()ax f x x -=，1'()00f x x a >⇒<<，1'()0f x x a <⇒>， 所以函数()f x 在区间1(0,)a 上为增函数，在1(+)a∞，上为减函数，┄┄┄┄┄3分所以max 11()()ln10f x f a a==+≤，解得实数a 的取值范围为[,)e +∞.┄┄┄┄┄4分 （Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知+1212ln 222x x e e e x x e x ex +--≥--+，┄┄┄┄┄6分 设12()2(0)2x e h x e x ex x +=--+≥，则1'()x h x e ex e +=--， 令()'()x h x φ=，则1'()x x e e φ+=-，当0x >时，恒有'()0x φ>，所以函数'()h x 在区间(0,+)∞上为增函数，所以'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 在区间(0,+)∞上为增函数，所以0x >时，()(0)2 4.72h x h e >=+≈，┄┄┄┄┄9分 又112211ln 4.85222e e +-⨯-≈，所以m 的最大值为4.┄┄┄┄┄12分 法二：设2()1(0)2x x h x e x x =---≥，则'()1x h x e x =--，令()'()x h x ψ=，则'()1x x e ψ=- 当0x >时，恒有'()0x ψ>，所以函数'()h x 在区间(0,+)∞上为增函数，所以'()'(0)0h x h >=，所以函数()h x 在区间(0,+)∞上为增函数，所以()(0)0h x h >=，所以当0x >时，2+122ln (1)ln ln 222x e x e e x x e x x x ex e x -->++--=+-， 设()+ln t x ex e x =-，则1'()t x e x=-， 1'()0t x x e >⇒>，1'()00t x x e<⇒<<， 所以函数()t x 在区间1(0,)e 上为减函数，在1(+)e∞，上为增函数， 所以1()()2 4.72t x t e e ≥=+≈，┄┄┄┄┄9分 又112211ln 4.85222e e +-⨯-≈，所以m 的最大值为4.┄┄┄┄┄12分 22.解：（Ⅰ）4sin ((0,))2πρθθ=∈可以化为224(0)x y y x +=>， 其参数方程为2cos 22sin x y ββ=⎧⎨=+⎩（参数(,)22ππβ∈-）.┄┄┄┄┄4分(Ⅱ)由题得||4sin OP α=，6||sin cos OQ αα=+，其中(0,)2πα∈，┄┄┄┄┄6分 所以2||221cos 2sin 22sin 2cos 21(sin sin cos )()=()||3322322OP OQ ααααααα--=+=++21=)]342πα-+≤8分 因为32(,)444πππα-∈-，所以当242ππα-=即38πα=时取到等号， 所以||||OP OQ的最大值为3.┄┄┄┄┄10分 23.解：（Ⅰ）当1a =时，1()|21|||02f x x x =+--<，即1|21|||2x x +<-， 两边平方可得221(21)()2x x +<-，解得31(,)26x ∈--.┄┄┄┄┄4分 （Ⅱ）1,2211()3,22211,22a x a x a a f x x a x a a x a x a a ⎧---≤-⎪⎪⎪=+--<≤⎨⎪⎪++>⎪⎩，所以()f x 在(,)2a -∞-上为减函数，在(,)2a -+∞为增函数，┄┄┄┄┄6分()f x的最小值1()()1222a a m f a =-=-+≤-=-，当且仅当122a a=即1a =时取到等号. ┄┄┄┄┄8分所以32+10,10m m ≤-≥，所以532322321()(1)1(1)(1)0m m m m m m m m ---=--+=+-≤.所以5321m m m -≤-┄┄┄┄10分学 习 计 划 表周一至周五。