专题03 解三角形-2017年高考数学文母题题源系列新课标

【母题原题1】 【2017全国Ⅱ，文16】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若
2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ．
【答案】
π3
【解析】由正弦定理可得
1π2sin cos sin cos sin cos sin()sin cos 23
B B A
C C A A C B B B =+=+=⇒=
⇒=． 【考点】正弦定理
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．
【母题原题2】【2016全国Ⅱ，文15】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4
cos 5
A =
，5
cos 13
C =
，a =1，则b =____________． 【答案】
2113
【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式
【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦
定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
【母题原题3】【2015全国Ⅱ，文17】△ABC 中D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD =2DC ． （I ）求
sin sin B
C
∠∠ ；
（II ）若60BAC ∠=，求B ∠． 【答案】（I ）
1
2
；30．
试题解析：（I ）由正弦定理得
,,sin sin sin sin AD BD AD DC
B BAD
C CAD
==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ，
BD =2DC ，所以
sin 1
.sin 2
B D
C C B
D ∠==∠． （II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=
所以()1
sin sin sin .2
C BAC B B B ∠=∠+∠=
∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠，
所以tan 30.B B ∠=
∠= 【考点定位】本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用，意在考查考生的三角变换能力及运算能力． 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式，()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-
()tan tan A B C +=-，就是常用的结论，另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等
式，常考虑对其实施“边化角”或“角化边．”
【命题意图】考查正余弦定理和三角形面积公式，考查三角函数中同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差三角函数公式、二倍角公式在恒等变形中的应用，考查数形结合思想、等价转换思想在解题中的应用．
【命题规律】解三角形是高考的必考内容，重点是正余弦定理和三角形面积公式，考题灵活多样，选择题、填空题和解答题都有可能考到，难度中等偏下．考查方向首先是确定研究对象：为某一三角形，其次会利用正余弦定理和三角形面积公式进行有效的边角转换，最后根据范围及隐含条件确定解的取值．
【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下三步：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果． 【方法总结】
1．三角形中判断边、角关系的具体方法： (1)通过正弦定理实施边角转换； (2)通过余弦定理实施边角转换； (3)通过三角变换找出角之间的关系；
(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；
(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解．
2．三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin
A ＋B
2＝cos C
2
等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增
解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数
3．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性
4．三角函数考题大致可以分为以下几类：与三角函数单调性有关的问题，应用同角变换和诱导公式
求值、化简、证明的问题，与周期性、对称性有关的问题，解三角形及其应用问题等．其中解三角形可能会放在测量、航海等实际问题中去考查（常以解答题的形式出现）．主要通过给定条件进行画图，利用数形结合的思想，找准需要研究的三角形，利用正弦、余弦定理进行解题．
5．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．
6．高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小．
7．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．
8．三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的．
9．解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识紧密联系在一起，通过向量的工具作用，将条件集中到三角形中，然后利用三角恒等变换、正弦定理和余弦定理及其相关知识解题，是常见的解题思路，为此，熟练掌握向量的基本概念和向量的运算，熟练进行三角变换和熟练运用正弦定理以及余弦定理是解题的关键．
10． （1）在解决三角形的问题中，面积公式B ac A bc C ab S sin 2
1
sin 21sin 21===
最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来；
（2）在三角形中，知道两边和一角，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边． （3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断． （4）在三角形中，注意π=++C B A 这个隐含条件的使用，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围．
1．【2017湖南娄底二模】在ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别是，，，已知b = 5c =，且2B C =，点D 为边BC 上一点，且3CD =，则ADC 的面积为__________． 【答案】6
【解析】由正弦定理得
5
sin sin 2sin cos C B C C ==
，可得c o s C =，从而1
36
2ABC S ∆=⨯⨯=
2．【2017重庆二诊】设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆222
，
则C =_______． 【答案】30︒
3．【2017北京丰台5月综合测试】在ABC 中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c ，且
sin cos B b A =，则角A 的大小为________．
【答案】
π
6
【解析】因为sin cos B b A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A =，显然sin 0B ≠，所以
tan A =
6A π=．
点睛：在解三角形中，正弦定理与余弦定理都涉及到边角关系，因此解三角形时可能有两个方向的转化，一是化“角”为“边”，一是化“边”为“角”，关键是看要求的是什么，还有转换后再变形时
的难易程度．本题由正弦定理化边为角后，可直接得出A 的正切值，从而易求得A 角．
4．【2017安徽马鞍山三模】在锐角ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为，，，且
()()()
sin sin sin sin c b C B a A B +-=-．若c =22a b +的取值范围是___．
【答案】(]
20,24
【点睛】本题考查了三角恒等变换和利用正弦定理解三角形，考查了转化与化归的能力，以及计算和
变形能力，本题的一个难点是如何表示22
a b +，如果使用余弦定理和基本不等式只能得到一边的范
围，所以这个题比较好的方法是利用正弦定理，用角表示边，这样转化为利用三角函数的有界性求取值范围．
5．【2017陕西汉中二模】在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且bsinA = （1）求角B 的大小
（2）若b ＝3，sinC=2sinA ，求a 、c 的值及△ABC 的面积
【答案】（1）3
B π
=
（2【解析】【试题分析】（１）依据题设运用正弦定理及同角关系求解；（２）借助正弦定理及余弦定理求出边长，再运用三角形的面积公式求解：
(1) 由bsinA =及正弦定理得sinBsinA =
sin 0A ≠ tan sinB B ∴=⇒=，而()0,B π∈
故3
B π
=
(2) 由sinC=2sinA 及
sin sin a b A B
=得c=2a ①． 又b ＝3由余弦定理2222cos b a c ac B =+- 得229a c ac =+- ②
由①②得a c ==∴△ABC 的面积1sin 2S ac B =
=6．【2017福建4月质检】ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 2cos 2b C c a -=． （1）求B 的大小；
（2）若3a =，且AC 边上的中线长为2
，求的值． 【答案】（1）23
B π=
；（2）5c =．
因为()0,B π∈，所以23
B π=
． （2）
由（1）得， 2222
39b a c ac c c =++=++，①
又因为在ABC ∆中， 222
cos 2a b c C ab
+-=，
取AC 中点D ，连结BD ．
因为3,a BD ==
， 在CBD ∆中， 22
2221944cos 2?b a BC CD BD C BC CD ab
+-
+-==
， 所以22
2
1992944b b c ⎛⎫
+-=+
- ⎪⎝
⎭，② 把①代入②，化简得23100c c --=， 解得5c =，或2c =-（舍去），所以5c =．
点睛：考察解三角形，要注意运用正余弦定理得边化角和角化边
7．【2017四川资阳4月模拟】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
2
1
sin sin sin 24
B C B C -+=． (Ⅰ) 求角A 的大小；
(Ⅱ) 若a =
ABC ∆
b c +的值． 【答案】（Ⅰ）2π
3
A =
（Ⅱ）
3
试题解析： （Ⅰ）由已知得
()
1cos 1
sin sin 2
4
B C B C --+=
， 化简得
1cos cos sin sin 1
sin sin 24
B C B C B C --+=，
整理得1cos cos sin sin 2B C B C -=，即()1
cos 2B C +=，
由于0πB C <+<，则π3B C +=，所以2π
3
A =．
（Ⅱ）因为11sin 2222
ABC S bc A bc ∆==⨯=
，所以2bc =．
根据余弦定理得
()2
2
22222π2cos
3
b c bc b c bc b c bc =+-⋅=++=+-， 即()2
72b c =+-，所以b ＋c ＝3．
8．【2017福建漳州5月质检】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中b c ≠，且
cos cos b B c C =，延长线段BC 到点D ，使得4430BC CD CAD ==∠=︒，．
（Ⅰ）求证： BAC ∠是直角； （Ⅱ）求tan D ∠的值．
【答案】(1)详见解析；（2）2
【解析】 证明：
（Ⅱ）设,1,4ADC CD BC α∠===，
在ABC ∆中，因为90,30BAC ACB α∠=︒∠=︒+，
所以()cos 30=AC
BC α︒+，所以()4cos 30AC α=︒+． 在ABC ∆中， sin sin AC CD CAD α=∠，即1
=21
sin 2
AC α=， 所以2sin AC α=， 所以()cos 30=2sin αα︒+，
即1
2sin sin 2ααα⎫-=⎪⎪⎝⎭
2sin αα=，
所以tan α=
，即tan ADC ∠=． 9．【2017河北唐山三模】在ABC 中，角A ， B ， C 所对应的边分别为，，， cos a b b C -=． （1）求证： sin tan C B =； （2）若1a =， 2b =，求． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
（Ⅱ）由cos a b b C -=，且1a =， 2b =，得1
cos 2
C =-
， 由余弦定理， 22212cos 1421272c a b ab C ⎛⎫
=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，
所以c =
10．【2017河北五邑三模】如图，在ABC ∆中， 4
B π
=
，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设
,sin 5
BAD αα∠==
． （1）求sin C ； （2）若·28BA BC =，求AC 的长．
【答案】（1
（2）5AC =
（2）由正弦定理，得sin sin AB BC C BAC =∠
45BC =
，∴8AB BC =， 又·28BA BC =
，∴28AB BC =
，由上两式解得BC = 又由sin sin AC BC B BAC =∠
45BC =，∴5AC =．。