高考数学试卷4.docx

2016年数学全真模拟试卷四

试题Ⅰ

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1． 已知集合{}0 1 2A =，

，，则A 的子集个数为 ▲ ． 【答案】8

2． 设复数12i z a =+，22i z =-（其中a 0>，i 为虚数单位）．若12z z =，则a 的值为 ▲ ． 【答案】1

3． 运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 ▲ ．

【答案】12

4． 若直线1(e )e y x b =+是自然对数的底数是曲线ln y x =

的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 【答案】0

5． 某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中 的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ． 【答案】14

6． 设定义在区间()

π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2

y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的 值为 ▲ ．

7． 已知一组数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的方差为3，若数据1ax b +，2ax b +，⋅⋅⋅，n ax b +(a b ∈R ，) 的方差为12，则a 的值为 ▲ ．

【答案】2±

8． 已知函数()f x 是定义在R 上偶函数，且在区间( 0)-∞，上单调递减，则不等式2(3)(4)f x x f -< 的解集为 ▲ ．

【答案】(1 4)-，

9． 我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为1：4，类比该命

题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 ▲ ．

（第3题）

【答案】1：27

10．在平面直角坐标系xOy ，设双曲线22221(0 0)y x a b a b

-=>>，的焦距为2(0)c c >．当a ，b 任意变 化时，a b c +的最大值是 ▲ ．

【解析】因为2

2

2

=a b c +，即()()2

2

1a

b

c

c

+=，令 a b m n c c ==，得22

1m n +=，故a b m n c

+=+，

利用不等式得a b m n c

+=+（当且仅当m n =时等号成立）；

11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 与圆C 1：221x y +=和圆C 2：((

2

2

49x y -+-=

都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为 ▲ ．

【答案】7

【解析】设两切点分别为A 、B ，连结AC 1、BC 2，过C 1作C 1D //AB 交BC 2于点D ，得到直角

三角形C 1C 2D ，易得tan ∠D C 1C 2 =34，而∠xC 1C 2=π4

，所以tan ∠D C 1 x

=tan ()

12DC C π∠+4

=7，即直线l 的斜率是7；

12．观察下列一组关于非零实数a ，b 的等式：

a 2-

b 2=(a -b )(a ＋b )， a 3-b 3=(a -b )( a 2＋ab ＋b 2)， a 4-b 4=(a -b )( a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)，

……

通过归纳推理，我们可以得到等式a

2015

-b

2015

=(a -b )(

x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2015)，其中x 1，x 2，x 3，…，x 2015构成一个有穷数列{x n }，则该数列的通项公式为x n = ▲ ()12015 n n *∈N ≤≤，且．

(结果用a ，b ，n 表示) 【答案】x n =()

1

2014

n b

a

a

-．

【解析】易得数列{x n }是以1

n a

-为首项，b a 为公比的等比数列，所以x n =()

1

2014n b

a a

-．

13．已知角α，β满足tan 7tan 13αβ=．若2sin()3

αβ+=，则sin()αβ-的值为 ▲ ．

【答案】15

-

【解析】设sin()x αβ-=，即sin cos cos sin x αβαβ-=，①

又2sin()3αβ+=，即2sin cos cos sin 3αβαβ+=，②

由①②得1sin cos 32x αβ=+，1cos sin 32x αβ=-，

两式相除得1tan 732tan 113

32

x

x αβ+==-，

解得15

x =-．

14．在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B

分别为曲线y =x 轴的两个交点，C ，D

分别为曲线上的两个动点，则AC BD ⋅u u u r u u u r

的取值范围是 ▲ ． 【答案】142⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

，

【解析】易得曲线y =O ：221(0)x y y +=≥，不妨设(10)A -，，(10)B ，，当 AC BD u u u r u u u r ，方向相反，且长度均为2时，min 224AC BD ⋅=-⨯=-u u u r u u u r ；设点D 在AC u u u r

上的投

影点为H ，OD 与BC 交于点M ，且OM x =，则当DH 为圆O 的切线时，AC BD ⋅u u u r u u u r

12(1)2AC CH x x =⨯=⋅-u u u r u u u r ≤（当且仅当12x =时等号成立），所以AC BD ⋅u u u r u u u r

142⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

，． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知A （0，0），B （4，3），若A 、B 、C 三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC ，且直线BC 与x 轴交于点D . （1）求cos ∠CAD 的值； （2）求点C 的坐标．

解：（1）设∠BAD =α，∠CAD =β，

因为5AB =，由三角函数的定义得43cos sin 55

αα==，

， 故cos cos(60)βα=-

o 1cos 2αα=

+=

即cos ∠BAD

；（7分）

（2）设点()C x y ，，