2019-2020学年苏教版必修4 2.4 第1课时 向量数量积的物理背景及其含义 作业
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[学生用书P111(单独成册)])
[A 基础达标]
1．已知单位向量a ，b ，则(2a ＋b )·(2a －b )的值为( ) A ． 3 B ． 5 C ．3
D ．5
解析：选C ．由题意得(2a ＋b )·(2a －b )＝4a 2－b 2＝4－1＝3.
2．已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．π6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6
解析：选C ．因为a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝－1
2，
又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝2π
3
.
3．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模是( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．12
解析：选C ．因为(a ＋2b )·(a －3b )＝a 2－a ·b －6b 2 ＝|a |2－|a |·|b |cos 60°－6|b |2 ＝|a |2－2|a |－96＝－72. 所以|a |2－2|a |－24＝0. 解得|a |＝6或|a |＝－4(舍去)． 故选C ．
4．如图所示，△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，则AB →·BC →
等于( )
A ．－
32
B ．
32
C ．－32
D ．32
解析：选C ．因为△ABC 是顶角为120°的等腰三角形，且AB ＝1，所以BC ＝3，所以
AB →·BC →
＝1×3×cos 150°＝－32
.
5．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →
，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形
D ．直角三角形
解析：选D ．因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →
， 所以AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)， 所以AB →·CB →＝BC →2， 所以BC →·(BC →＋AB →
)＝0， 所以BC →·AC →
＝0， 所以AC ⊥BC ，
所以△ABC 是直角三角形．
6．已知向量a 与b 的夹角为60°，且|a |＝4，⎝⎛⎭
⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝12，则|b |＝________． 解析：因为⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·(2a －3b )＝|a |2＋1
2a·b －3|b |2 ＝16＋1
2|a ||b |cos 60°－3|b |2
＝16＋|b |－3|b |2， 即16＋|b |－3|b |2＝12， 所以3|b |2－|b |－4＝0， 解得|b |＝4
3.
答案：43
7．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →
＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →
的值是________．
解析：由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →
，
所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫
AD →－34AB →
＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，
即2＝25－12AD →·AB →－3
16×64，
解得AD →·AB →
＝22. 答案：22
8．如图所示的是正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，则下列向量的数量积中最大的是________．(只填序号)
①P 1P 2→·P 1P 3→；②P 1P 2→·P 1P 4→；③P 1P 2→·P 1P 5→； ④P 1P 2→·P 1P 6→.
解析：根据正六边形的几何性质，得P 1P 2→·P 1P 5→＝0，P 1P 2→·P 1P 6→＜0，P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→
|·3|P 1P 2→|·cos π6＝32|P 1P 2→|2，P 1P 2→·P 1P 4→＝|P 1P 2→|·2|P 1P 2→|·cos π3＝|P 1P 2|2，经比较可知P 1P 2→·P 1P 3→
的数量积
最大．
答案：①
9．已知|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为3π4.
求：(1)(3a －2b )·(a －2b )；(2)|a ＋b |.
解：(1)(3a －2b )·(a －2b )＝3a 2－8a ·b ＋4b 2＝3×32－8×3×4cos 3π4＋4×42＝91＋48 2.
(2)|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝
a 2＋2a ·
b ＋b 2
＝32＋2×3×4cos 3π
4＋42
＝
25－12 2.
10．已知a ，b 是非零向量，且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，求a 与b 的夹角． 解：因为(a －2b )⊥a ，
所以(a －2b )·a ＝0，即a 2－2a ·b ＝0. 因为(b －2a )⊥b ， 所以(b －2a )·b ＝0， 即b 2－2a ·b ＝0.
所以a 2＝b 2，即|a |＝|b |.a ·b ＝12
a 2，