2021-2022学年广东省佛山市南海区两校联考高一(上)第一次学科素养监测数学试卷(解析版)

2021-2022学年广东省佛山市南海区两校联考高一（上）第一次学科素养监测数学试卷（10月份）
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．以下元素的全体不能够构成集合的是（）
A．中国古代四大发明B．周长为10cm的三角形
C．方程x2﹣1＝0的实数解D．地球上的小河流
2．已知集合M＝{x∈Z|﹣2＜x≤1}，则M的元素个数为（）
A．4 B．3 C．7 D．8
3．下列各式中，正确的个数是（）
①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{2，1，0}；③∅⊆{0，1，2}；
④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{（0，1）}；⑥0＝{0}．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列命题中是存在量词命题的是（）
A．∀x∈R，x2＞0 B．∃x∈R，x2﹣2≤0
C．平行四边形的对边平行D．矩形的任一组对边相等
5．若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：
①A∩B＝A；
②A∪B＝A；
③A∩（∁I B）＝A；
④A∩B＝I．
中与命题A⊆B等价的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．设x∈R，则“|x﹣1|＞1”是“x＞3”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．设集合U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，A＝{（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B＝{（x，y）|x+y﹣n ≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是（）
A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞5
8．若两个正实数x，y满足+＝1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围是（）
A．{m|﹣1＜m＜4} B．{m|m＜﹣1或m＞4} C．{m|﹣4＜m＜1}
D．{m|m＜0或m＞3}
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分。

共20分。

在每小题给出的四个选项中。

有多项符合题目要求。

全部选对的得5分。

部分选对的得2分。

有选错的得0分.
9．下列关系式表示错误的是（）
①∈Q；
②∉R；
③0∈N*；
④x﹣1∈Z．
A．①B．②C．③D．④
10．设a，b，c为非零实数，a＞b＞c，则（）
A．a﹣b＞b﹣c B．C．a+b＞2c D．
11．设集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，则下列选项中，满足A∩B＝∅的实数a的取值范围可以是（）
A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4} C．{a|a≤0} D．{a|a≥8} 12．下列有关命题的说法正确的是（）
A．判定定理：“同位角相等，两直线平行”给出了两直线平行的一个充分条件
B．命题：“∃a∈R，方程x2﹣ax﹣1＝0”的否定是真命题
C．命题：“若p：a∈P∪Q，则q：a∈Q”，可以判断p是q的一个必要不充分条件D．对于命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+2≤0
三、填空题：本题共4小题。

每小题5分。

共20分。

13．已知a∈A＝{1，3，a2}，则a的取值为．
14．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则A∪B＝；A∩B ＝．
15．“x∈A∩B”是“x∈A∪B”的（用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空）
16．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝
{5n+k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4；给出下列四个结论：
①2015∈[0]；
②﹣3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．
其中正确的结论是．
四、解答题：本大题共6小题。

共70分。

解答须写出必要的文字说明、证用过程或演算步骤.
17．已知全集U＝{x∈N*|x＜10}，A＝{2，4，6}，B＝{1，3，5，6，8}．（1）求A∩B；
（2）求A∪B；
（3）求（∁U B）∩A．
18．（1）已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况；
（2）巳知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6﹣a∈M，试求所有M可能的结果．
19．已知集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B，（∁R A）∪B；
（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．
20．已知正数x，y满足x+3y＝1．
（1）求xy的最大值；
（2）求+的最小值．
21．已知命题“∃x∈R，不等式x2﹣2x﹣m≤0”成立是假命题．
（1）求实数m的取值集合A；
（2）若q：﹣4＜m﹣a＜4是集合A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．22．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨．
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本；
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，
可以获得最大利润？并求最大利润．
参考答案
一、单选题：本题共8小题。

每小题5分，共4分。

在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的.
1．以下元素的全体不能够构成集合的是（）
A．中国古代四大发明B．周长为10cm的三角形
C．方程x2﹣1＝0的实数解D．地球上的小河流
【分析】集合中的元素具有确定性，而地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合．解：在A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A能构成集合；
在B中，周长为10cm的三角形具有确定性，能构成集合，故B能构成集合；
在C中，方程x2﹣1＝0的实数解为±1，能构成集合，故C能构成集合；
在D中，地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，故D不能构成集合．
故选：D．
2．已知集合M＝{x∈Z|﹣2＜x≤1}，则M的元素个数为（）
A．4 B．3 C．7 D．8
【分析】利用列举法表示集合M，由此能出M的元素个数．
解：∵集合M＝{x∈Z|﹣2＜x≤1}＝{﹣1，0，1}，
∴M的元素个数为：3．
故选：B．
3．下列各式中，正确的个数是（）
①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{2，1，0}；③∅⊆{0，1，2}；
④∅＝{0}；⑤{0，1}＝{（0，1）}；⑥0＝{0}．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用集合之间的关系是包含与不包含、元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系及其∅的意义即可判断出正误．
解：①集合之间的关系是包含与不包含，因此{0}∈{0，1，2}，不正确，应该为{0}⫋{0，1，2}；
②{0，1，2}⊆{2，1，0}，正确；
③∅⊆{0，1，2}，正确；
④∅不含有元素，因此∅⫋{0}；
⑤{0，1}与{（0，1）}的元素形式不一样，因此不正确；
⑥元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为0∈{0}，因此不正确．
综上只有：②，③正确．
故选：B．
4．下列命题中是存在量词命题的是（）
A．∀x∈R，x2＞0 B．∃x∈R，x2﹣2≤0
C．平行四边形的对边平行D．矩形的任一组对边相等
【分析】根据存在量词命题和全称量词命题的定义判定即可．
解：选项ACD都符合全称量词命题；对于选项B即为∃x∈R，x2﹣2≤0符合存在量词命题定义．
故选：B．
5．若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：
①A∩B＝A；
②A∪B＝A；
③A∩（∁I B）＝A；
④A∩B＝I．
中与命题A⊆B等价的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】对于①，A∩B＝A⇔A⊆B，对于②，A∪B＝A⇔B⊆A，对于③，A∩（∁I B）＝A⇔A⊆（∁I B），对于④，A∩B＝I不成立．
解：由A、B是全集I的真子集，得：
对于①，A∩B＝A⇔A⊆B，故①正确，
对于②，A∪B＝A⇔B⊆A，故②错误，
对于③，A∩（∁I B）＝A⇔A⊆（∁I B），故③错误，
对于④，∵A、B是全集I的真子集，∴A∩B＝I不成立，故④错误．
故选：B．
6．设x∈R，则“|x﹣1|＞1”是“x＞3”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由判断充要条件的方法，由于|x﹣1|＞1⇔x＞2或x＜0，而{x|x＞3}⫋{x|x＞2或x ＜0}，结合集合关系的性质，不难得到正确结论．
解：由|x﹣1|＞1，得到x＞2或x＜0，
由于{x|x＞3}⫋{x|x＞2或x＜0}，则“|x﹣1|＞1”是“x＞3”的必要不充分条件．
故选：B．
7．设集合U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，A＝{（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B＝{（x，y）|x+y﹣n ≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是（）
A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞5 【分析】由P（2，3）∈A∩（∁U B）则点P既适合2x﹣y+m＞0，也适合x+y﹣n＞0，从而求得结果．
解：∁U B＝{（x，y）|x+y﹣n＞0}
∵P（2，3）∈A∩（∁U B）
∴2×2﹣3+m＞0，2+3﹣n＞0
∴m＞﹣1，n＜5
故选：A．
8．若两个正实数x，y满足+＝1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围是（）
A．{m|﹣1＜m＜4} B．{m|m＜﹣1或m＞4} C．{m|﹣4＜m＜1}
D．{m|m＜0或m＞3}
【分析】不等式x+＜m2﹣3m有解，即为m2﹣3m大于x+的最小值，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范围．
解：正实数x，y满足+＝1，
则x+＝（+）（x+）＝2++≥2+2＝4，
当且仅当y＝4x＝8，x+取得最小值4，
由x+＜m2﹣3m有解，可得m2﹣3m＞4，
解得：m＞4或m＜﹣1，
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分。

共20分。

在每小题给出的四个选项中。

有
多项符合题目要求。

全部选对的得5分。

部分选对的得2分。

有选错的得0分.
9．下列关系式表示错误的是（）
①∈Q；
②∉R；
③0∈N*；
④x﹣1∈Z．
A．①B．②C．③D．④
【分析】根据元素与集合的关系以及常用数集的表示方法，逐个判断即可．
解：对于①，因为是有理数，所以，故①正确，
对于②，因为是实数，所以，故②错误，
对于③，因为0不是正整数，所以0∉N*，故③错误，
对于④，因为x的值不确定，所以x﹣1不确定是否为整数，故④错误，
所以错误的是②③④，
故选：BCD．
10．设a，b，c为非零实数，a＞b＞c，则（）
A．a﹣b＞b﹣c B．C．a+b＞2c D．
【分析】对于AB，运用特殊值法，即可判断，对于C，运用不等式的可加性，即可判断，对于D，根据已知条件，结合作差法，即可判断．
解：对于A，当a＝4，b＝3，c＝2时，a﹣b＝b﹣c＝1，故A错误，
对于B，当a＝1.5，b＝1，c＝﹣1时，，故B错误，
对于C，∵a＞c，b＞c，
∴由不等式的可加性可得，a+b＞2c，故C正确，
对于D，∵a＞b＞c，
∴a﹣b＞0，b﹣c＞0，
∴＞0，即，故D正确．
故选：CD．
11．设集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，则下列选项中，满足A∩B＝∅的实数a的取值范围可以是（）
A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4} C．{a|a≤0} D．{a|a≥8}
【分析】由A∩B＝∅，得到a﹣1≥5或a+1≤1，由此能求出实数a的取值范围．
解：∵集合A＝{x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，
满足A∩B＝∅，
∴a﹣1≥5或a+1≤1，
解得a≥6或a≤0．
∴实数a的取值范围可以是{a|a≤0}或{a|a≥8}．
故选：CD．
12．下列有关命题的说法正确的是（）
A．判定定理：“同位角相等，两直线平行”给出了两直线平行的一个充分条件
B．命题：“∃a∈R，方程x2﹣ax﹣1＝0”的否定是真命题
C．命题：“若p：a∈P∪Q，则q：a∈Q”，可以判断p是q的一个必要不充分条件D．对于命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+2≤0
【分析】直接利用命题的否定，充分条件和必要条件，一元二次方程的解法的应用判断A、
B、C、D的结论．
解：对于A：判定定理：“同位角相等，两直线平行”给出了两直线平行的一个充分条件，故A正确；
对于B：命题：“∃a∈R，方程x2﹣ax﹣1＝0”由于△＝a2+4＞0，故该命题为真命题，故该命题的否定是假命题，故B错误；
对于C：命题：“若p：a∈P∪Q，则q：a∈Q”，可以判断p是q的一个必要不充分条件，故C正确；
对于D：对于命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0，故D错误；
故选：AC．
三、填空题：本题共4小题。

每小题5分。

共20分。

13．已知a∈A＝{1，3，a2}，则a的取值为3或0．
【分析】利用元素的互异性分类讨论即可求出a的值．
解：a∈A＝{1，3，a2}，
①当a＝1时，a2＝1，不满足元素的互异性，舍去，
②当a＝3时，a2＝9，
此时A＝{1，3，9}，符合题意，
③当a＝a2时，a＝0或1，
又∵a2≠1，
∴a＝0，此时A＝{1，3，0}，符合题意，
综上所述，a的值为3或0，
故答案为：3或0．
14．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则A∪B＝（2，10）；A∩B＝[3，7）．
【分析】利用集合交集与并集的定义求解即可．
解：因为A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，
则A∪B＝（2，10）；A∩B＝[3，7）．
故答案为：（2，10）；[3，7）．
15．“x∈A∩B”是“x∈A∪B”的充分不必要条件（用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空）
【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可．
解：若x∈A∩B，则x∈A∪B，是充分条件，
若x∈A∪B，则推不出x∈A∩B，不是必要条件，
故答案为：充分不必要条件．
16．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n+k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4；给出下列四个结论：
①2015∈[0]；
②﹣3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．
其中正确的结论是①③④．
【分析】根据题意，由“类”的定义依次分析四个结论，综合可得答案．
解：根据题意，依次分析4个结论；
对于①，2015＝403×5，故2015∈[0]，①正确；
对于②，﹣3＝5×（﹣1）+2，则﹣3∈[2]，②错误；
对于③，所有整数倍5整除，余数为0，或1，或2，或3，或4，五种情况，所以Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；
对于④，若整数a，b属于同一“类”，则余数相同，作差余数为0，则[a﹣b]∈[0]，若[a﹣b]∈[0]，则a，b被5整除的余数相同，即整数a，b属于同一“类”，④正确；
故答案为：①③④．
四、解答题：本大题共6小题。

共70分。

解答须写出必要的文字说明、证用过程或演算步骤.
17．已知全集U＝{x∈N*|x＜10}，A＝{2，4，6}，B＝{1，3，5，6，8}．（1）求A∩B；
（2）求A∪B；
（3）求（∁U B）∩A．
【分析】根据交、并、补集的混合运算性质，直接求解即可．
解：U＝{x∈N*|x＜10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A＝{2，4，6}，B＝{1，3，5，6，8}．
（1）A∩B＝{6}，
（2）A∪B＝{1，2，3，4，5，6，8}；
（3）（∁U B）∩A＝{2，4，7，9}∩{2，4，6}＝{2，4}．
18．（1）已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况；
（2）巳知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6﹣a∈M，试求所有M可能的结果．
【分析】（1）利用集合间的包含关系求解．
（2）利用集合间的包含关系以及元素与集合间的关系求解．
解：（1）∵集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，
∴集合M所有可能情况为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
（2）∵非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6﹣a∈M，
∴所有M可能的结果为：{1，5}，{2，4}，{3}，{1，5，3}，{2，4，3}，{1，5，2，4}，{1，5，2，4，3}．
19．已知集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B，（∁R A）∪B；
（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据交集、补集和并集的定义计算即可；
（2）由B∩C＝C知C⊆B，讨论m的取值情况，求出满足条件的m取值范围．解：（1）集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，
∴A∩B＝{x|2≤x＜5}，
∁R A＝{x|﹣3＜x＜2}，
∴（∁R A）∪B＝{x|﹣3＜x＜5}；
（2）∵B∩C＝C，∴C⊆B，
又C＝{x|m﹣1≤x≤2m}，
①当C＝∅时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1；
②当C≠∅时，，2＜m＜；
综上，m的取值范围是．
20．已知正数x，y满足x+3y＝1．
（1）求xy的最大值；
（2）求+的最小值．
【分析】（1）由均值不等式可将原式整理1≥2，进而求出ab的最大值；
（2）原式乘以1，整理成均值不等式的形式，由性质可得其值的最小值．
解：（1）因为正数x，y满足x+3y＝1．
所以1≥2，整理可得3xy≤，
解得xy≤，
所以xy的最大值为：；
（2）因为+＝（+）•1＝（+）•（x+3y）＝2+18++，
因为x＞0，y＞0，所以＞0，＞0，
所以+≥20+2＝32，当且仅当＝，即x＝y时取等号，
所以+的最小值为32．
21．已知命题“∃x∈R，不等式x2﹣2x﹣m≤0”成立是假命题．
（1）求实数m的取值集合A；
（2）若q：﹣4＜m﹣a＜4是集合A的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）先写出原命题的命题的否定，然后分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出（x2﹣2x）max，求出m的范围．
（2）设p对应集合A，q对应集合B，“q是p的充分不必要条件”即B⫋A，求出a的范围
解：（1）由题意可得原命题的命题的否定为：“∀x∈R，不等式x2﹣2x﹣m≥0成立”是真命题．
∴m≤x2﹣2x在x∈R恒成立，即m≤（x2﹣2x）min，x∈R；
因为x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，即m≤﹣1，
所以实数m的取值范围是A＝（﹣∞，﹣1]；
（2）设p对应集合A＝{m|m≤﹣1}，
由q得，设B＝{m|a﹣4＜m＜a+4}，因为q：﹣4＜m﹣a＜4是p的充分不必要条件；
所以q⇒p，但p推不出q，
∴B⫋A；
所以a+1≤﹣1，即a≤﹣2，
所以实数a的取值范围是a≤﹣2．
22．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y万元与年产量x吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨．
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低平均成本；
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求最大利润．
【分析】（1）由题意可知，平均成本等于总成本除以产量，列出代数式即可解出；
（2）设利润为L（x），则列出利润的表达式，即可解出．
解：（1）由题意可得，x∈[60，110]，
＝，
当且仅当是，即x＝100，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元．
（2）设利润为L（x），则，又∵60≤x≤110，∴当x＝100时，L（x）max＝860．
答，年产量为110吨时，最大利润为860万元．。