四种命题

四种命题（二）——真假关系
例1 以下命题为原命题，写出它们的逆命题、 否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假：
（1）若a=0，则ab=0. （真）
（2）当c>0时，若a>b，则ac>bc. （真） 解（1）逆命题：若ab=0 ，则a=0. （假） 否命题:若a≠0 ，则ab≠0. （假） 逆否命题：若ab≠0 ，则a≠0 . （真） （2）逆命题:当c>0时，若ac>bc，则a>b （真） 否命题:当c>0时，若a≤b，则ac≤bc. （真）
（4）两直线不平行，同位角不相等。
在命题（1）与命题（4）中，一个命题的条件和
结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，
这样的两个命题叫做互为逆否命题。把其中一个命题
叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题。
互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是 说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命 题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否
若两个角是对顶角,则这两个角不相等.
否命题：若两个角不是对顶角, 若¬ q 则这两个角不相等.。 p则¬ 区别：命题的否定——对命题的结论否定 否命题——对命题的条件、结论都否定
常用词语及其否定词语对照表
等于
原词语 否定词 语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是
大于
小于
是
都是
原词语 至多有 至多有 任意（ 任意两 能 一个 n个 所有） 个 否定词 至少有 至少有 存在某 某两个 不能 语 两个 n+1个 一个
小结：
四种命题的真假判断
1．原命题为真，它的逆命题不一定为真。
2．原命题为真，它的否命题不一定为真。 3．原命题为真，它的逆否命题一定为真。 4. 原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价 命题，它们同真或同假。 (真命题个数是0或2或4）
反证法
原理：互为逆否关系的两个命题同真假 适用题型： （1）：直接证明较为困难的命题 （2）：关与唯一性，存在性的命题 （3）：结论是否定形式的命题
观察下面四个命题的关系
命题（1）同位角相等，两直线平行;
命题（2） 两直线平行，同位角相等;
命题（3）同位角不相等，两直线不平行; 命题（4）两直线不平行，同位角不相等.
命题（1）同位角相等，两直线平行; 命题（2） 两直线平行，同位角相等;
在两个命题中，如果第一个命题的条件
（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命 题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命 题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原 命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。
否命题:已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d,
小结： 四种命题： 原命题 若p则q ； 若q则p；
逆命题
否命题 逆否命题
若¬ p则¬ q；
若¬ q则¬ . p
四种命题之间的相互关系 :
原命题 若p则q
互逆
逆命题
若q则p
互 否
否命题
互为 逆否
互 否
互逆
逆否命题
若¬ q则¬ p
若¬ p则¬ q
p且q ¬ p或 ¬ q
p或q ¬ p且 ¬ q
逆命题
否命题
若¬ p则¬ q；
若¬ q则¬ p。
逆否命题
注意:否命题在形式上，不一定有“不”字. 例如“不是有理数”，为“是有理数”.
例1 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出
它们的逆命题、否命题与逆否命题：
（1）负数的平。
分析：关键是找出原命题的条件p与结论q。若p则q 解：（1）原命题可以写成：若一个数是负数，则它的 平方是正数。 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数。
例2 以下命题为原命题，写出它们的逆命题、 否命题与逆否命题： （1）若 x2 + y2 = 0，则x、y全为0. （2）已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d， 则a+c=b+d . 解:（1）逆命题:若x、y全为0，则x2 + y2 = 0. 否命题:若x2 + y2 ≠ 0，则x、y不全为0. 逆否命题：若x、y不全为0，则x2 + y2 ≠ 0 .
再看下面的两个命题： 命题（1）同位角相等，两直线平行;
（3）同位角不相等，两直线不平行；
这里，在命题（1）与命题（3）中，一个命题的 条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的 否定，这样的两个命题叫做互否命题。把其中一个命 题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题。
命题（1）同位角相等，两直线平行;
（4）：出现“至多”“ 至少” “不超过”等的 步骤： （1）假设原命题的结论不成立，即反面成立
（2）推理矛盾（与定理，公理，条件或前后矛盾） （3）由矛盾说明假设不成立，即原命题成立
常用词语及其否定词语对照表
等于
原词语 否定词 语 不等于 不大于 不小于 不是 不都是
大于
小于
是
都是
原词语 至多有 至多有 任意（ 任意两 能 一个 n个 所有） 个 否定词 至少有 至少有 存在某 某两个 不能 语 两个 n+1个 一个
（2）当abc 0时，a 0或b 0或c 0.
原命题： abc 0, 则a 0或b 0或c 0. 它是真命题； 若
若 逆命题： a 0或b 0或c 0, 则abc 0.它是真命题； 若 否命题： abc 0, 则a 0且b 0且c 0.它是真命题；
例2 以下命题为原命题，写出它们的逆命题、 否命题与逆否命题： （1）若 x2 + y2 = 0，则x、y全为0. （2）已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d， 则a+c=b+d . （2）否命题: 已知a、b、c、d是实数，若a≠b，c≠d, 则a+c≠b+d？
（2）已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d， 则a+c=b+d . 逆命题:已知a、b、c、d是实数，若a+c=b+d , 则a=b，c=d . 则a+c≠b+d . 逆否命题：已知a、b、c、d是实数， 若a+c≠b+d ,则a≠b或c≠d .
逆否命题:当c>0时,若ac≤bc，则a≤b. （真）
一般地，一个命题的真假与其它三个
命题的真假有如下三条关系：
1．原命题为真，它的逆命题不一定为真。
2．原命题为真，它的否命题不一定为真。
3．原命题为真，它的逆否命题一定为真。
说明：原命题与逆否命题是等价命题，它们同真或同假
逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假。
（3）对顶角相等 原命题：若两个角是对顶角， 则这两个角相等。 逆命题：若两个角相等, 则这两个角是对顶角. 否命题：若两个角不是对顶角, 则这两个角不相等。 逆否命题：若两个角不相等， 则这两个角不是对顶角。
命题的否定“非p”与否命题的区别： 原命题：对顶角相等 若p则q 若p则¬ q
命题的否定: 对顶角不相等
命题与逆否命题。
设命题（1）“同位角相等，两直线平行”为原命题，
那么：
命题（2）“两直线平行，同位角相等”为逆命题，
命题（3）“同位角不相等，两直线不平行”为否命题，
命题（4）“两直线不平行，同位角不相等”为逆否命
题.
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和 结论，用¬ p和¬ q分别表示p和q的否定. 四种命题的形式是： 原命题 若p则q； 若q则p；
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数。
逆否命题：若一个数的平方不是正数,则它不是负数。
（2）正方形的四条边相等； 原命题可以写成：若一个四边形是正方形,， 则它的四条边相等。 逆命题:若一个四边形的四条边相等，则它 是正方形。 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的 四条边不相等。 逆否命题：若一个四边形的四条边不相等， 则它不是正方形。
四种命题只可能 同真，或同假，或两真两假
例2.分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题， 并分别判断它们的真假.
（ ）m 1 时，mx 2 x 1 0无实根； 1 4 （2）当abc 0时，a 0或b 0或c 0.
解 （1）原命题：
若m 1 ，则mx 2 x 1 0无实根. 它是真命题； 4 逆命题： mx 2 x 1 0无实根，则m 1 .它是真命题； 若 4 否命题： m 1 ，则mx 2 x 1 0有实根.它是真命题； 若 4 逆否命题： mx 2 x 1 0有实根, 则m 1 .它是真命题. 若 4
它是真命题. 若 逆否命题： a 0且b 0且c 0, 则abc 0.
写出下列命题的否定及其否命题，并判断它们的真假. （1）若x、y都是奇数，则x+y是偶数； （2）若 xy=0，则x=0，或y=0. 解（1）命题的否定：若x、y都是奇数,则x+y不是偶数. 它是假命题。 否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数. 它是假命题。 （2）命题的否定: 若xy=0，则x≠0且y≠0.它是假命题. 否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0.它是真命题. 说明:原命题是“若p则q”,则原命题的否定是“若p则非q” （蕴含式复合命题中不成立）,而原命题的否命题是 “若非p则非q”. 而且原命题的否定与原命题的否命题的真假无必然关系。
p且q ¬ p或 ¬ q
p或q ¬ p且 ¬ q
例2 以下命题为原命题，写出它们的逆命题、 否命题与逆否命题： （1）若 x2 + y2 = 0，则x、y全为0. （2）已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d， 则a+c=b+d . （1）否命题: 若x2 + y2 ≠ 0，则x、y全不为0? 若x2 + y2 ≠ 0，则x、y不全为0?