2019届高考理科数学一轮复习学案：第29讲 等差数列及其前n项和

第29讲等差数列及其前n 项和
课前双击巩固
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列{a n }的首项为a 1,公差是d ,前n 项和为S n ,则
等差数列定
义式(n ≥2,d 为常数)
等差中项A=(A 是a 与b 的等差中项)
通项公式或
前n 项和公
式S n ==
2.等差数列的性质
已知{a n }是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和.(1)若m+n=p+q=2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *
),则有a m +a n ==.
(2)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…成数列.
3.等差数列与函数的关系
(1)等差数列{a n }的通项公式可写成a n =,当d ≠0时,它是关于n 的,它的图
像是直线y=dx+(a 1-d )上横坐标为正整数的均匀分布的一群的点.注:当d>0时,{a n }是
数列;当d<0时,{a n }是
数列;当d=0时,{a n }是
.
(2)前n 项和公式可变形为S n =,当d ≠0时,它是关于n 的常数项为0
的,它的图像是抛物线y=x 2
+
x 上横坐标为正整数的均匀分布的一群
的点.
注:若a 1>0,d<0,则S n 存在最值;若a 1<0,d>0,则S n 存在最值.
常用结论等差数列的性质
1.已知{a n },{b n }是公差分别为d 1,d 2的等差数列,S n 是{a n }的前n 项和,则有以下结论:(1){a 2n }是等差数列,公差为2d 1.
(2){pa n +qb n }是等差数列(p ,q 都是常数),且公差为pd 1+qd 2.(3)a k ,a k+m ,a k+2m ,…(k ,m ∈N *
)是公差为md 1的等差数列.
(4)成等差数列,其首项与{a n }的首项相同,公差是{a n }的公差的.
(5)数列{pa n },{a n +p }都是等差数列(p ,q 都是常数),且公差分别为pd 1,d 1.2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质
(1)若项数为2n ,则S 偶-S 奇=nd ,=.
(2)若项数为2n-1,则S 偶=(n-1)a n ,S 奇=na n ,S 奇-S 偶=a n ,=.
3.两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,它们之间的关系为=.
题组一常识题
1.[教材改编]在等差数列中,a 5=9,且2a 3=a 2+6,则a 1=
.
2.[教材改编]在等差数列中,a 2=-1,a 6=-5,则S 7=.
3.[教材改编]在等差数列中,S 4=4,S 8=12,则S 12=.
4.[教材改编]已知等差数列的公差为d (d ≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8,则
m=
.
题组二
常错题
◆索引:忽视等差数列中项为0的情况,考虑不全而忽视相邻项的符号,等差数列各项的符号判断不正确
5.在等差数列{a n }中,a 1=-28,公差d=4,则前n 项和S n 取得最小值时n 的值为.
6.首项为-20的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 的取值范围是.
7.已知等差数列
的通项公式为a n =11-n ,则|a 1|+|a 2|+…+|a 20|=
.
课堂考点探究
探究点一
等差数列的基本运算
1(1)[2017·蚌埠质检]已知等差数列的前n 项和为S n ,且S 6=24,S 9=63,则a 4=
()
A .4
B .5
C .6
D .7
(2)公差不为0的等差数列的前n 项和为S n ,若a 6=3a 4,且S 10=λa 4,则λ的值为()
A .15
B .21
C .23
D .25[总结反思](1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,n ,d ,a n ,S n ,知道其中三个就能求出另外两个.
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a 1和公差d.式题(1)[2017·鹰潭二模]等差数列的前n 项和是S n ,且a 3=1,a 5=4,则S 13=(
)
A .39
B .91
C .48
D .51
(2)已知等差数列
的前n 项和为S n ,且3a 3=a 6+4,若S 5<10,则a 2的取值范围是
(
)
A .
B .
C .
D .
探究点二
等差数列的性质及应用
2(1)[2017·沈阳东北育才学校模拟]在等差数列中,a 5+a 6=4,则
log 2(·
·…·
)=(
)
A .10
B .20
C .40
D .2+log 25
(2)在等差数列中,a 1=-2017,其前n 项的和为S n ,若-=2,则S 2017=.
(3)设S n 是等差数列的前n 项和,若S 672=2,S 1344=12,则S 2016=()
A .22
B .26
C .30
D .34
[总结反思]利用等差数列的性质“若m+n=p+q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有a m +a n =a p +a q ”,或者“常用结论”中的有关公式可以有效地简化计算.
式题(1)在等差数列中,若a 3+a 5+a 7+a 9+a 11=45,S 3=-3,那么a 5=
(
)
A .4
B .5
C .9
D .18
(2)两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,且=,则=.
(3)一个正项等差数列前n 项的和为3,前3n 项的和为21,则前2n 项的和为(
)
A .18
B .12
C .10
D .6
探究点三
等差数列的判定与证明
3已知数列满足a 1=-,a n+1=(n ∈N *).
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求的通项公式.
[总结反思]判断数列{a n }是否为等差数列,通常有两种方法:①定义法,证明a n -a n-1=d (n ≥2,d 为常数),用定义法证明等差数列时,常选用两个式子a n+1-a n =d 或a n -a n-1=d ,但它们的意义不同,后者必须加上“n ≥2”;②等差中项法,证明2a n =a n-1+a n+1(n ≥2).
式题[2018·齐齐哈尔八中月考]已知数列{a n }是等差数列,且a 1,a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2-6x+5=0的两个根.(1)求数列{a n }的前n 项和S n ;
(2)在(1)中,设b n =,求证:当c=-时,数列{b n }是等差数列.
探究点四等差数列前n 项和的最值问题
4(1)[2017·福州期末]设等差数列的前n 项和为S n ,若公差d=-2,S 3=21,则当S n 取得
最大值时,n 的值为(
)
A .10
B .9
C .6
D .5
(2)在等差数列中,a 1<0,S 18=S 36,则当S n 取得最小值时,n 的值为()
A .18
B .27
C .36
D .54
[总结反思]求等差数列前n 项和最值的常用方法:
(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值,但要注意n ∈N *
.(2)图像法:利用二次函数图像的对称性来确定n 的值,使S n 取得最值.
(3)项的符号法:当a 1>0,d<0时,满足的项数n ,使S n 取最大值;当a 1<0,d>0时,满足
的项数n ,使S n 取最小值.即正项变负项处最大,负项变正项处最小.若有零项,则使
S n 取最值的n 有两个.
式题(1)[2017·大庆实验中学月考]设等差数列的前n 项和为S n ,a 1<0且=,则当
S n 取最小值时,n 的值为
()
A .11
B .10
C .9
D .8
(2)[2018·湖北长阳一中月考]已知数列{a n }为等差数列,若<-1,且它们的前n 项和S n 有
最大值,则使得S n >0的n 的最大值为()
A .11
B .19
C .20
D .21。