第二讲 间接效用函数与支出函数

• 假设消费者的偏好是良好性状的。
• A点为最初的选择，B点为征从量税的最优选 择，C点为征所得税的最优选择。可见，在政 府向消费者征收相同数量的税收条件下，消费 者在政府课征所得税时的境况要好些。
X2
征从量税的预算线
初始预算线
X2*
B• •C •A
征所得税的预算线
O
X1*
X1
思考：
➢ 在政府征收从量税和等额所得税的情况下，消费 者的境况有没有可能一样好？如果有，是在什么 情况下？ 有，折拗性偏好，例如：完全互补
y p1
p2
请求消费者的马歇尔需求函数。
求解
v(p1,p2,y ) p1
y(p1
p
2
)
2
,
v(
p1,p p 2
2
,y
)
y(p1
p 2 )2
v(p1,p2,y ) y
(p1
p 2 )1
利用罗尔恒等式
v(p ,y )
pi v(p ,y )
xi*
xi(p ,y )
y 0
v(p1,p2,y )
我们有x1(p1,p2,y )
p1 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
v(p1,p2,y )
x 2(p1,p2,y )
p 2 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
（三）间接效用函数的应用
• 可以分析价格和收入变动对消费者福利的影 响。
p ， *
u(x* )
i xi
0(偏好满足单调性），pi
0,
因此，* 0,因此，v(py,y ) 0。
（4）假设xi 0,用与（3）相同的办法可以证明
- x v(p,y ) y
L(x* ,* ) y
** i
由于*
0，xi
0，所以
v(p,y ) y
0.
v(p,y )
(5)结合（3）和（4），可得
由于x*(p,y)是通过构建拉格朗日目标函数
L(x,) u(x) (y - px)推导出来的极大值。因此，目标函数
在x*处的取值L(x*,* ) u(x* ) *(y - px* )对y的偏导数
等于v(p,y) 对y的偏导数，即 v(p,y ) y
L(x* ,* ) y
*
由于 u(x* ) xi
• 假设消费者的效用函数为
U(x1, x2 ) x1x2
• P1=0.25，P2 =1，y=2。假如政府计划对消费 者征收0.5元的所得税或相同数额的商品税， 请问哪种税收制度下消费者处境会更好？
图解
➢ 从量税：根据商品的消费量课征的税 • 征税后消费者的预算线为：
(t+P1)X1+P2X2=y • 假如征税后的最优选择是(X1*,X2*)，则该消费
第二讲 间接效用函数与支出函 数
一、间接效用函数
• （一）间接效用函数的定义
• U（X）被称为直接效用函数，即给定价格向量和收 入，消费者可以解出最优消费量U（X*）。
• 在二维空间里，其中X1*=f(P1,P2,Y)， X2*=f(P1,P2,Y)。
• 因此，当价格和收入发生变化时 ，最优消费量也将发 生变化。为了更直接地反应价格和收入对消费者效用 的 影响，经济学家引入间接效用函数V(p,y)。
➢ 消费者的境况有没有可能在政府征收从量税的情 况下会更好一些？如果有，是在什么情况下？ 有，厌恶商品或中性商品，例如：烟、工作
❖ 请大家课后自己做图
用间接效用函数计算
•
根据前面的计算，我们有
v(p1,p2,y )
y
2
11
p p 2 2 12
• 没有征税之前，消费者得到的效用为2；
• 征所得税后，消费者得到的效用为1.5；
• （3）对于y严格递增；
• （4）对于p严格递减 ；
• （5）满足罗尔恒等式
如果v(p, y)
在点(
p0
,
y0
)是可导且
v y
(
p0
,
y0
)
0,
则有
v( p0 , y0 )
xi (
p0 ,
y0 )
pi v( p0 ,
y0 )
y0
证明：
(1)从略 （2）由于v(tp,ty) 是满足于max u(x), s.t. tpx ty条件 的最大值函数，v(p,y) 是满足于max u(x), s.t. px y条件 的最大值函数。而
pi v(p,y )
xi*
xi(p,y )
y 0
练习
• 1、假设消费者效用函数为
U(x1, x2 ) x1x2
请推导消费者间接效用函数，并验证性质（5）
求解
消费者的效用最大化问题为：
max u x1x2
s.t.p1x1 p2x2 y
拉格朗日表达式为L x1x2 [p1x1 p2x2 y ]
L x1
1 2
x x 0.5 0.5
1
2
p1
L x 2
1 2
x x 0.5 0.5 12
x2
y
可求得：x
* 1
y 2p1
;
x
* 2
y 2p2
间接效用函数v(p,y ) u
( y )0.5( y 2p1 2p2
)0.5
y
2
1
p1p2
• 2、已知间接效用函数为，
v(p1,p2,y )
max u(x), s.t. tpx ty max u(x), s.t. px y。 (3)根据包络定理，当x 取最优值时，目标函数与最大值函数 相等，相应的，目标函数曲线与最大值函数曲线恰好相切，即 它们对参数的一阶导数相等。由于v(p,y) max u(x), s.t. px y，假设x*(p,y)是极大化效用了的消费束, 因此，对v(p,y)求关于y的偏导，只要对极大化了的max u(x) 求关于y的偏导。
v(p,y ) max u(x )
x
R
n
s.t.p.x y
（二）间接效用函数的性质
• 如果直接效用函数u(x)在Rn+上是连续且严格递增 的那么间接效用函数V(p,y)具有以下特点：
• （1）在预算集内是连续的，即价格和收入有微量 变化，极大化了的效用也会有微量变化；
• （2）关于（p,y）是零阶齐次的；
• 征从量税后，消费者得到的效用为1.41。
• 可见，开征商品税对于消费者的负面作用大于开征所 得税带来的负面作用。这是因为所得税只改变了购买
束应该满足预算约束： (t+P1)X1*+P2X2*=y • 同时，政府的税收收入为：R* =tX1* ➢ 如果政府增加相同数量收入的所得税，则征税
后消费者的预算线为： P1X1+P2X2=y-R* 或者： P1X1+P2X2=y-tX1*
该预算线的斜率与征税前保持一致，并且 (X1*,X2*)仍在预算线上，即该点在政府征所得 税后仍消费得起。