关于1^2+2^2+3^2+…+n^2的多种推导证明方法

关于前n 个自然数的平方和公式的证明方法
在《数列》教学过程中，大家都能熟练掌握前n 个自然数的平方和公式：2222211234(1)(21)6
n S n n n n =+++++=++L ，但多数学生不知道如何去证明与推导，为了能让学生了解书本知识，并能有所拓展，特总结如下几种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面能使学生举一反三，有所创新。

在和学生探讨证明方法时，许多学生想到了用数学归纳法。

方法一：数学归纳法
当1n =时，左边=211=，右边=11(11)(211)16
⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴1n =时，原式成立.
当2n =时，左边=221+25=，右边=12(21)(221)56
⨯⨯+⨯⨯+= 左边=右边 ∴2n =时，原式成立.
假设n k =时，22221123(1)(21)6
k k k k ++++=++L 成立， 则1n k =+时，
22222
222123(1)1
(1)(21)(1)6
17
(1)(1)
36
1
(1)(276)61
(1)(2)(23)61
(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++=
++++=+++=+++=+++=+++++L 左边 左边=右边 ∴1n k =+时，原式成立.
∴对任意n N +∈，2222211234(1)(21)6
n S n n n n =+++++=++L 都成立。

数学归纳法步骤简单、计算方便。

但是，归纳法只适用于知道了这个公式“长什么样”后进行理论证明.当初第一个推导出这个公式的人,肯定不是用归纳法,而是通过等式左边的222221234n +++++L ,一步步把右边的
1
(1)(21)6
n n n ++“从无到有”地推算出来的. 方法二：观察规律法
记22222212()12345,()12345S n n S n n =++++++=++++++L L
发现规律 21()()3326
S n S n ∴=
=⋅=
方法三：代数推导法
由公式33223()33a b a a b ab b +=+++，得
33322333322332333223323332233233321(01)030130111
2(11)131131111313113(21)232132112323214(31)33313311333331(11)(1)3(1)13(1)1n n n n n =+=+⨯⨯+⨯⨯+==+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=+=+⨯⨯+⨯⨯+=+⨯+⨯+=-+=-+⨯-⨯+⨯-⨯L
23323321(1)3(1)3(1)1(1)331
n n n n n n n +=-+⨯-+⨯-++=+++将以上n +1个等式累加，得：
32222(1)3(123)3(123)1n n n n +=⨯+++++++++++L L
22223(1)(1)(21)
3(123)(1)3122
n n n n n n n n +++∴⨯++++=+-⋅
++=L
22221
123=(1)(21)6
n n n n ∴+
+++++L
方法四：巧用“1”法
11
(1)1(1)[(2)(1)](1)[(1)(2)(1)(1)]33n n n n n n n n n n n n n n +=⨯+=+--⨯+=++--+Q
122334(1)
n A n n ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+L 111
[123012][234123][345234]333=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+1
[(1)(2)(1)(1)]
3n n n n n n +++--+L 1
[1230122341233452343
=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯+(1)(2)(1)(1)]n n n n n n +++--+L 11
[(1)(2)012](1)(2)33n n n n n n =++-⨯⨯=++
2222123122334(1)(123)n n n n ∴++++=⨯+⨯+⨯+⨯+-++++L L L
1(1)1
(1)(2)(1)(21)326
n n n n n n n n +=++-=++ 方法五：构造法（利用组合公式11m m m n n n C C C -++=）
222
22
22322234
2
2
245
222
1
1124133936416610n n C C C C C C C n C C +====+=+==+=+==+=+=+L
把上述n 个等式累加得：
222222222232
234111(1)(21)
12342()26
n n n n n n n n C C C C C C C ++++++++++=+++++=+=
L L 方法六：平面几何法
图中有n 个正方形（边长每次加1）(我只画出5个)，都置于图中最大
的矩形中。

方法七：三角阵法
此三角阵中各项和为：222221234n +++++L
再逆时针旋转60°：
此三角阵中各项和为：222221234n +++++L
再逆时针旋转60°：
此三角阵中各项和为：222221234n +++++L
将这3个三角阵相加：
21n +
21n + 21n +
21n + 21n + 21n +
21n + 21n + 21n + 21n +
．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． 21n + ．
．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．．21n + 这个三角阵有
(1)2n n +项，则这三个三角阵的和为：(1)(21)
2
n n n ++. 又因为前三个三角阵中各项的和相等，则每个三角阵中各项和为：
(1)(21)
6n n n ++ 即22222(1)(21)12346
n n n n +++++++=L。