一般数列的求和1

1.求数列 a,2a 2 ,3a 3 ,, nan , （a为常数）的前n项和. Sn n , 2.设数列 an 的前n项和为 Sn ，点 ( n N ) n 均在函数y=3x-2的图象上， （1）求数列 a 的通项公式； 3 （2）设 bn a a , 求数列 bn 的前n项和 Tn ；
5 10 10 50 n 5 Sn ( n) (10 1) n 9 1 10 81 9
n
例2（1）解题回顾有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列 ，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列， 然后分别求和，再将其合并即可，即②分组法求和
(2)设bn n 22n，求数列bn 的前n项和. 分析：首先将通项公式写成 bn n 4n 的形式，其中包含等比数列，联想到等 比数列的求和方法求和.
Sn 1 4 2 4 3 4 (n 1) 4
2 3 n1
解：
n4 ,
n
4Sn
1 4 2 4
2 3
2 n n 1
(n 1) 4 n 4
n
n1
3S n 4 4 4 n 4
4 n S n [1 (3n 1) 4 ] 9
an 的通项公 • [例1]（1）已知数列 ) 式 a 2n 1(n N ，其前 n项和为 S ，则数 n
n
•源自文库
Sn 列 的前 10项和为______. n
75
（2）已知数列an 是首项为a，公比为q的
等比数列，则数列
n项和为____________.
n ,q 1 a Tn q 1 (1 n ), q 1 q a1 (q 1)
2
，
1 1 S n (1 1 1) (1 ) 2 2n 1
n个
n n 2n 1
例2解题回顾
(3)小题利用④裂项相消法求和，裂项法的实质是将数列中 的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些 项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： 1 1 1 1 a [ ] a f ( n 1 ) f ( n ) （1） n （2） n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
1 1 (1 ) 2 2n 1
(1)当x 0时, s 1.
（2）x=1时，Sn=n2 （3）x≠1时 S=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1 x· S=x+3x2+5x3+…+(2n-1)x n-1+ (2n-1)x n (1-x)S=1+2(x+x2+x3+…+xn-1)-(2n-1) xn
2 x(1 xn 1) 1 (2n 1) xn 1 x
4 n (4 1) n 4 n 1 3
例2（2）解题回顾求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn } 分别是等差数列和等比数列.可用在推导等比数列的前n项和公式时 所用的方法， 即③错位相减法求和
练习
S 1 3x 5x 2 7 x 3 ... (2n 1) x n 1.
1 an
的前
例1解题回顾
本道题直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和,即①公式法求和.
5 n [例2](1)求数列 9 (10 1)的前n
项和 Sn .
分析：根据数列通项公式的特点，它 是由一个等比数列与常数数列的和构 成，我们可以分别求和，再将他们的 和进行加或减. 解：
na aq(1 qn) 1 q 1 q
反馈练习5答案
1 2 2 （1）当n≥2时， an Sn Sn 1 [(an 1) (an 1 1) ] 4
整理得 ∵ ∴
(an an 1 )(an an 1 2) 0
(an an 1 ) 0
2n 1 1 (2n) 1 解: 1 (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n 1)
2 2
1 1 1 1 ( ) 2 2n 1 2n 1
(3)已知数列 求它的前n项和.
4 16 2n , ,, , 2n 12n 1 3 15

反馈练习
4、等比数列的首项为a，公比为q，Sn为前n项和， 求S1+S2+…+Sn
1 2 ( an 1) 5、正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn= 4
（1）求{an}的通项公式
1 （2）设 bn anan 1
记{bn}的前n项和为Tn，求Tn
反馈练习4答案 (1) q=1时 S1+S2+…+Sn =a+2a+…+na=
⑥利用数列的通项求和 ，先根据数列的结构及特征进行分 析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项 揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.
例4.求S=1 11 111 1111
1 1 n 1111 999 9 (10 1) 9 n个1 9 n个1
n
n
n 1
（3）求使得
Tn
m 20
对所有 n N 都成立的最小整整数m.
3.某个体户开始养殖兔子2只，1个月以后变成4只并死去1只， 2个月以后变成6只并死去1只，3个月以后变成10只并死去1 只， ，按这种规律下去， （1）6个月后兔子的存活数是__； （2）求出n个月后兔子存活数的通项公式 an ； （3）求数列 an 的前n项和 Sn .
n个1
1 1 1 1 所以S=1 11 111 111 1 (101 1) (10 2 1) (103 1) (10 n 1) 9 9 9 9 n个1 1 1 1 (10 102 103 10n ) (1 1 1 1) 9 9 n个1 1 (10n 1 10 9n) 81
[例5]已知函数y=f (x)的定义域 f ( x) f设 (1 x) 1 为R，且
ak （2）求数列 的前n-1的和.
k ak f ( ), (n 2, 且n N ), k 1,2,3,, n 1, n
例5解题回顾 本道题利用倒项(序) 相加法求和．
(an an 1 2) 0 an 2n 1
∴
（2）当n=1时， 得 a 1
1
1 2 a1 S1 (a1 1) 4
1 1 1 1 bn ( ) (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 Tn (1 ... ) 2 3 3 5 2n 1 2n 1
1 n n 1
(n， N)
11 1 则它的前10项和 S10 =_______.
四．课堂小结
本节课我们在前面复习了累加法、累乘 法的基础之上，进一步复习了①公式法求和、 ②分组法求和、 ③错位相减法求和、 ④裂项 相消法求和、 ⑤合并法求和、 ⑥利用数列的 通项求和等求和方法.
五．布置作业
n(n 1)a 2
(2) q≠1时，S1+S2+…+Sn a 2 n [(1 q) (1 q ) ... (1 q )] 1 q a 2 n [n (q q ... q )] 1 q a q(1 qn) [n ] 1 q 1 q
n
利用⑤合并法求和 ，针对一些特殊的数列，将某些项合并 在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时， 可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
例3.在数列an 中,a1 1, a2 3, a3 2, an 2 an 1 an 求S2008
a6k 1 1, a6k 2 3, a6k 3 2, a6k 4 1, a6k 5 3, a6k 6 2
S2008 a1 a2 a3 a2008 (a1 a2 a3 a6 ) (a7 a8 a12 ) (a6 k 1 a6 k 2 a6 k 6 ) (a1999 a2000 a2004 ) a2005 a2006 a2007 a2008 a2005 a2006 a2007 a2008 a6 k 1 a6 k 2 a6 k 3 a6 k 4 =5
一般数列的求和
一．基础知识复习
1.说出等差数列 an 的前n项和公式 Sn 推导过程．这种求和的方法称 倒项(序)相加法 为_____________ ． 2.说出等比数列 an 的前n项和公式 Sn 推导过程．这种求和的方法 错位相减(消)法 称为_____________ ．
二．典型例题
三．随堂练习
１.若数列 an 中， an 2[n (1) ] 求 S10和 S. 结果分别为 110 和 9902 99
n
２.若数列 an的通项公式为
n2 2 n 2 前n项和为_________.
n an ，则它的 2n
an ３.数列 的通项公式为
an