2016-2017学年江苏省南京二十九中九年级(上)期末数学模拟试卷(3)

2016-2017学年江苏省南京二十九中九年级（上）期末数学模拟
试卷（3）
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号写在答题卡相应位置上
1．（2分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA=30°，则OB的长为（）
A．B．4 C．D．2
2．（2分）如图，⊙O中，AB、AC是弦，O在∠BAC的内部，∠ABO=α，∠ACO=β，∠BOC=θ，则下列关系式中，正确的是（）
A．θ=α+βB．θ=2α+2βC．θ+α+β=180°D．θ+α+β=360°
3．（2分）如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
4．（2分）如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）
A．=B．=C．=D．=
5．（2分）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷铅球的高y（m）与水平距离x
（m）之间的函数关系为y=﹣x2+x+，则该运动员的成绩是（）
A．6 m B．12 m C．8 m D．10 m
6．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，下列结论正确的是（）
A．sinA=B．tanA=C．cosB=D．tanB=
7．（2分）一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（）A．R B．C．D．
8．（2分）已知抛物线y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，且OA+OB=2OA•OB﹣3，则k的值为（）
A．1 B．2 C．﹣2 D．1或﹣2
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
9．（3分）一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．
10．（3分）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是．11．（3分）如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，tan∠CAB=，则∠ADC=．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为．
14．（3分）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似（相似比不为1），则点C的坐标是．
三、解答题：（本大题共10小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（6分）计算：2sin30°﹣cos45°﹣tan230°．
16．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA 为半径的圆与AB交于点D．求AD的长．
17．（8分）如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD．∠ABD=∠C，
AB=6，AD=4．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）求线段CD的长．
18．（8分）如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．
（1）求证：NQ⊥PQ；
（2）若⊙O的半径R=2，NP=，求NQ的长．
19．（8分）甲、乙、丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次．
（1）若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回到甲手中的概率是多少？（2）若乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在谁手中？请说明理由．
20．（10分）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为4米，落在广告牌上的影子CD的长为3米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．
21．（12分）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．己知AC=6，cosA=．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠DBE的值．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P以2mm/s 的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问：
（1）经过几秒后，△PBQ与△ABC相似．
（2）经过几秒后，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．
23．（12分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．
24．（14分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2．
（1）求这条抛物线对应的函数关系式；
（2）连接BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；
（3）连接BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
2016-2017学年江苏省南京二十九中九年级（上）期末数
学模拟试卷（3）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号写在答题卡相应位置上
1．（2分）如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA=30°，则OB的长为（）
A．B．4 C．D．2
【分析】由于直线AB与⊙O相切于点A，则∠OAB=90°，而OA=2，∠OBA=30°，根据三角函数定义即可求出OB．
【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，
则∠OAB=90°．
∵OA=2，
∴OB===4．
故选B．
【点评】本题主要利用了切线的性质和锐角三角函数的概念解直角三角形问题．
2．（2分）如图，⊙O中，AB、AC是弦，O在∠BAC的内部，∠ABO=α，∠ACO=β，∠BOC=θ，则下列关系式中，正确的是（）
A．θ=α+βB．θ=2α+2βC．θ+α+β=180°D．θ+α+β=360°
【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出θ=2α+2β．
【解答】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D；
△OAB中，OA=OB，则∠BOD=∠OBA+∠OAB=2α；
同理可得：∠COD=∠OCA+∠OAC=2β；
∵∠BOC=∠BOD+∠COD，
∴θ=2α+2β；
故选B．
【点评】此题主要考查的是等腰三角形的性质及三角形的外角性质．
3．（2分）如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，
∴△EDC∽△CBP，
故有3对相似三角形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相
似三角形的判定方法是解题关键．
4．（2分）如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）
A．=B．=C．=D．=
【分析】已知AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴A选项正确，
故选A．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．5．（2分）运动会上，某运动员掷铅球时，所掷铅球的高y（m）与水平距离x
（m）之间的函数关系为y=﹣x2+x+，则该运动员的成绩是（）A．6 m B．12 m C．8 m D．10 m
【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令y=0，求x的正数值．
【解答】解：把y=0代入y=﹣x2+x+得：﹣x2+x+=0，
解之得：x1=10，x2=﹣2．
又x＞0，
∴x=10，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是
解题的关键．
6．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，下列结论正确的是（）
A．sinA=B．tanA=C．cosB=D．tanB=
【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据三角函数定义进行计算即可选出答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，
∴AC==4，
∴sinA==，tanA==，cosB==，tanB==，
故选：C．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
7．（2分）一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（）A．R B．C．D．
【分析】根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得底面周长，进而即可求得底面的半径长，然后表示出圆锥的高即可．
【解答】解：圆锥的底面周长是：πR；
设圆锥的底面半径是r，则2πr=πR．
解得：r=R．
由勾股定理得到圆锥的高为=，
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8．（2分）已知抛物线y=x2﹣（2k﹣3）x+k2+1与x轴交于A、B两点，且
OA+OB=2OA•OB﹣3，则k的值为（）
A．1 B．2 C．﹣2 D．1或﹣2
【分析】先根据△＞0求出k的范围，设抛物线与x轴交点的横坐标分别为a、b，所以ab=k2+1＞0，所以抛物线与x轴交点同在原点的一侧，最后根据根与系数的关系和OA+OB=2OA•OB﹣3解出k的值即可．
【解答】解：△=（2k﹣3）2﹣4（k2+1）=5﹣12k＞0，
∴k＜，
设抛物线与x轴交点的横坐标分别为a、b，
∴a+b=2k﹣3＜﹣，ab=k2+1＞0，
∴抛物线与x轴的交点同在原点的一侧，且在原点的左侧，
∴OA+OB=﹣a﹣b=﹣（a+b）=3﹣2k，
∵OA+OB=2OA•OB﹣3
∴3﹣2k=2（k2+1）﹣3
∴k=1或k=﹣2，
∵k＜，
k=﹣2，
故选（C）
【点评】本题考查二次函数的综合问题，涉及抛物线与x轴交点个数，一元二次方程的解法，根与系数的关系等知识，综合程度较高．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
9．（3分）一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为y=﹣2（x+1）2+3．
【分析】由题意可知：该抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣h）2+k，然后将顶点坐标代入即可求出解析式．
【解答】解：由题意可知：该抛物线的解析式为y=﹣2（x﹣h）2+k，
又∵顶点坐标（﹣1，3），
∴y=﹣2（x+1）2+3，
故答案为：y=﹣2（x+1）2+3，
【点评】本题考查待定系数法求解析式，若两抛物线形状与开后方向相同，则他们二次项系数必定相同．
10．（3分）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是．
【分析】根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，再根据等边三角形的边长，求出等边三角形的高，再根据面积公式即可得出答案．
【解答】解：连接OA、OB，作OG⊥AB于G，
∵等边三角形的边长是2，
∴OG==，
∴等边三角形的面积是×2×=，
∴正六边形的面积是：6×=6；
故答案为：6．
【点评】本题考查的是正多边形和圆的知识，解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
11．（3分）如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，tan∠CAB=，则∠ADC= 30°．
【分析】连接BC，如图，先利用特殊角的三角函数值得到∠CAB=60°，然后根据圆周角定理得到∠ACB=90°，利用互余得到∠B=30°，然后根据圆周角定理得到∠ADC=∠B=30°．
【解答】解：连接BC，如图，
∵tan∠CAB=，
∴∠CAB=60°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°﹣∠CAB=30°，
∴∠ADC=∠B=30°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，
则sinB的值是．
【分析】首先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB的长度，然后根据锐角三角函数的定义求出sinB即可．
【解答】解：∵Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD=2，
∴AB=2CD=4，
则sinB==．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线定理和锐角三角函数的定义．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为（﹣1，0），则点B′的坐标为（，4）．
【分析】根据位似图形的性质画出图形，利用对应边之间的关系得出B′点坐标即可．
【解答】解：过点B作BE⊥OA与点E，过点B′作B′E′⊥OA于点E′，
∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，
∴△OAB∽△AB′O′，
∴==，
解得：B′E′=4，
由题意可得：△OBE∽△O′B′E′，
则=，
故=，
解得：O′E′=，
∴OE′=，
∴点B′的坐标为：（，4）．
故答案为：（，4）．
【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及相似三角形的性质，根据已知得出对应边之间的关系是解题关键．
14．（3分）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图5×5的方格中，作格点△ABC和△OAB相似（相似比不为1），则点C的坐标是（4，0）或（3，2）．
【分析】△ABC和△OAB相似，并且AB=，OA=2，OB=1，△ABC和△OAB相似应分两种情况讨论，当△BCA∽△OAB时和当△ABC∽△OBA时，根据相似三角形的性质求得AC，BC的值后，分别以A，B为圆心，AC，BC为半径作圆，两圆的交点即为C，易得到点C的坐标．
【解答】解：△ABC和△OAB相似，并且AB=，OA=2，OB=1，△ABC和△OAB 相似应分两种情况讨论，
当△BCA∽△OAB时，==，
即==，
解得AC=5，BC=2，
分别以A，B为圆心，5，2为半径作圆，两圆的交点C的坐标是（3，2）；
同理当△ABC∽△OBA时，圆心坐标是（4，0）．
故本题答案为：（4，0）或（3，2）．
【点评】分两种情况进行讨论，理解圆心是圆的弦的垂直平分线的交点是解决本题的关键．
三、解答题：（本大题共10小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（6分）计算：2sin30°﹣cos45°﹣tan230°．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=2×﹣﹣（）2
=1﹣1﹣
=﹣．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
16．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA 为半径的圆与AB交于点D．求AD的长．
【分析】首先过点C作CE⊥AD于点E，由∠ACB=90°，AC=3，BC=4，可求得AB 的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得CE的长，由勾股定理求得AE的长，然后由垂径定理求得AD的长．
【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，
则AE=DE，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5，
=AC•BC=AB•CE，
∵S
△ABC
∴CE===，
∴AE==，
∴AD=2AE=．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
17．（8分）如图，已知点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD．∠ABD=∠C，AB=6，AD=4．
（1）求证：△ABD∽△ACB；
（2）求线段CD的长．
【分析】（1）根据∠ABD=∠C，∠A=∠A，即可证得△ABD∽△ACB；
（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，根据相似三角形的性质得到=，代入数据即可得到结果．
【解答】解：（1）∵∠ABD=∠C，∠A=∠A（公共角），
∴△ABD∽△ACB；
（2）由（1）知：△ABD∽△ACB，
即=，
∴CD=5．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18．（8分）如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．
（1）求证：NQ⊥PQ；
（2）若⊙O的半径R=2，NP=，求NQ的长．
【分析】（1）连结OP，根据切线的性质由直线PQ与⊙O相切得OP⊥PQ，再由OP=ON得到∠ONP=∠OPN，由NP平分∠MNQ得到∠ONP=∠QNP，利用等量代换得∠OPN=∠QNP，根据平行线的判定得OP∥NQ，所以NQ⊥PQ；
（2）连结PM，根据圆周角定理由MN是⊙O的直径得到∠MPN=90°，易证得Rt△NMP∽Rt△NPQ，然后利用相似比可计算出NQ的长．
【解答】（1）证明：连结OP，如图，
∴直线PQ与⊙O相切，
∴OP⊥PQ，
∵OP=ON，
∴∠ONP=∠OPN，
∵NP平分∠MNQ，
∴∠ONP=∠QNP，
∴∠OPN=∠QNP，
∴NQ⊥PQ；
（2）解：连结PM，如图，
∵MN是⊙O的直径，
∴∠MPN=90°，
∵NQ⊥PQ，
∴∠PQN=90°，
而∠MNP=∠QNP，
∴Rt△NMP∽Rt△NPQ，
∴=，即=，
∴NQ=3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
19．（8分）甲、乙、丙三人之间相互传球，球从一个人手中随机传到另外一个人手中，共传球三次．
（1）若开始时球在甲手中，求经过三次传球后，球传回到甲手中的概率是多少？（2）若乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在谁手中？请说明理由．
【分析】（1）画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解；
（2）根据（1）中的概率解答．
【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：
一共有8种情况，最后球传回到甲手中的情况有2种，
==；
所以，P
（球传回到甲手中）
（2）根据（1）最后球在丙、乙手中的概率都是，
所以，乙想使球经过三次传递后，球落在自己手中的概率最大，乙会让球开始时在甲或丙的手中．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（10分）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为4米，落在广告牌上的影子CD的长为3米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．
【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，分别求出DF、BF的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度；然后根据矩形BFCE的性质得到：CF=BE=CD﹣DF=1，然后通过解Rt△ACE求得AE=CE，结合图形来求得AB的长度．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，过点B作BF⊥CD 于F，
在Rt△BFD中，
∵∠DBF=30°，sin∠DBF==，cos∠DBF==，
∵BD=4，
∴DF=2，BF=2，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，
∴四边形BFCE为矩形，
∴BF=CE=2（米）
∵四边形BFCE为矩形，BF=CE=2．则CF=BE=CD﹣DF=1，
在Rt△ACE中，∠ACE=45°，
∴AE=CE=2米，
∴AB=2+1．
即：铁塔AB的高为（2+1）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
21．（12分）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．己知AC=6，cosA=．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠DBE的值．
【分析】（1）在Rt△ABC中，先根据三角函数求出AB、AC的长，再根据根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长；
（2）过C点作CF⊥AB于F，求出DF的长，再根据余弦的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴cosA==，
设AC=3k，则AB=5k，
∴BC==4k，
∵AC=6，
∴3k=6，k=2，
∴AB=10，
∵D是边AB的中点，
∴CD=AB=5；
（2）过C点作CF⊥AB于F．
CF=AC•BC÷AB=4.8，
cos∠DCF=．
∵∠DCF=∠DBE，
∴cos∠DBE=．
【点评】本题考查了解直角三角形，涉及的知识点有：三角函数，直角三角形的性质，本题难度适中．
22．（12分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P以2mm/s 的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，试问：
（1）经过几秒后，△PBQ与△ABC相似．
（2）经过几秒后，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．
【分析】（1）设x秒后△PBQ与原三角形相似，则可用x表示出AP=2x，PB=12﹣2x，BQ=4x，由于△PBQ和△ABC有公共角∠B，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分两种情况；
（2）根据等量关系“四边形APQC的面积=△ABC的面积﹣△PBQ的面积”列出函数关系求最小值即可．
【解答】解：（1）设x秒后△PBQ与△ABC相似，则AP=x，PB=12﹣2x，BQ=4x，∵∠PBQ=∠ABC
∴当时，△BPQ∽△BAC，
即，
解得x=3（s）；
当时，△PBQ∽△CBA，
即，
解得x=（s）．
即经过3秒或秒后，△PBQ与△ABC相似．
（2）设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Smm2，
则有：S=S
△ABC ﹣S
△PBQ
=×12×24﹣×4t×（12﹣2t）
=4t2﹣24t+144
=4（t﹣3）2+108．
∵4＞0
∴当t=3s时，S取得最小值，最小值为108mm2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定、三角形面积的计算以及最小值问题．也考查了动点问题的解决方法．
23．（12分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．
【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；
（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．
【解答】（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，
即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC，
∴，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴CE2=EH•EA；
（3）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，
∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，
∴EA===8，
∵，
∴BE=CE=6，
∵CE2=EH•EA，
∴EH==，
在Rt△BEH中，BH===．
【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．
24．（14分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2．
（1）求这条抛物线对应的函数关系式；
（2）连接BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；
（3）连接BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据△ABE与△ABC的面积之比为3：2，可得出E点纵坐标与OC 的比为3：2，因此C点的坐标为（0，4）．D点坐标为（0，2）．然后可求出直线AD的解析式，进而可求出A点坐标．根据A，C，E三点坐标即可求出抛物线的解析式；
（2）应该是垂直关系．可根据（1）中得出的抛物线的解析式求出B点的坐标，然后通过证△ABD和△ADO相似即可得出∠ADB=90°，也可利用勾股定理来求证，答案不唯一；
（3）由于以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似，且M、N不重合，而这两个三角形又有一个公共角，因此只有一种情况，即△ANB∽△ABM，可得出AN：AB=AB：AM，由此可求出AN的长，即可求出N点的坐标．
（也可通过证△AEB∽△ABM，得出E，N重合，由此可求出N点的坐标）．
【解答】解：（1）根据△ABE与△ABC的面积之比为3：2及E（2，6），可得C （0，4）．
∴D（0，2）．
由D（0，2）、E（2，6）可得直线AD所对应的函数关系式为y=2x+2．
当y=0时，2x+2=0，
解得x=﹣1．
∴A（﹣1，0）．
由A（﹣1，0）、C（0，4）、E（2，6）求得抛物线对应的函数关系式为y=﹣x2+3x+4．
（2）BD⊥AD．
求得B（4，0），通过相似或勾股定理逆定理证得∠BDA=90°，
即BD⊥AD．
（3）法1：求得M（，），AM=．
由△ANB∽△ABM，得=，即AB2=AM•AN，
∴52=•AN，
解得AN=3．
从而求得N（2，6）．
法2：由OB=OC=4及∠BOC=90°得∠ABC=45°．
由BD⊥AD及BD=DE=2得∠AEB=45°．
∴△AEB∽△ABM，即点E符合条件，
∴N（2，6）．
【点评】考查二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．。