甘肃省兰州市兰炼三中九年级数学上学期第一次月考试题(含解析) 新人教版

甘肃省兰州市兰炼三中2015-2016学年九年级数学上学期第一次月
考试题
一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+a+1）
x2﹣a=0；（5）=x﹣1，一元二次方程的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列说法正确的是（）
A．对应边都成比例的多边形相似
B．对应角都相等的多边形相似
C．边数相同的正多边形相似
D．矩形都相似
3．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）
A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438 C．389（1+2x）2=438 D．438（1+2x）2=389
4．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，﹣2），则四边形ABCD是（）
A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形
5．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）
A．20 B．15 C．10 D．5
7．掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为（）
A．B．C．D．
8．已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则的值为（）
A． B．2 C．D．﹣2
9．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）
A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2
10．如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=（）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
11．若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
12．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）
A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④
13．事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是（）
A．P（C）＜P（A）=P（B）B．P（C）＜P（A）＜P（B）C．P（C）＜P（B）＜P（A）D．P（A）＜P（B）＜P（C）
14．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（）
A．28个B．30个C．36个D．42个
15．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（）
A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC
C．S△BCD=S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
16．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= ．
17．已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积是．
18．一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖（如图），突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是．
19．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则m2+4m+n= ．
20．已知（a+b+c≠0），那么函数y=kx+k的图象一定不经过第象限．
三、解答题（共70分）
21．（16分）（2015秋•兰州校级月考）选择适当方法解下列方程：
（1）x2﹣4x+1=0（用配方法）；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；
（3）x2﹣x﹣6=0；
（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．
22．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
23．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
24．关于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根；
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
25．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
26．如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）证明：四边形AECF是矩形；
（2）若AB=8，求菱形的面积．
27．分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．
（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．
28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE 上，且AF=CE=AE．
（1）说明四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
2015-2016学年甘肃省兰州市兰炼三中九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④（a2+a+1）
x2﹣a=0；（5）=x﹣1，一元二次方程的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【解答】解：
①ax2+bx+c=0的二次项系数可能为0；
②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1是一元二次方程；
③x+3=不是整式方程；
④（a2+a+1）x2﹣a=0整理得[（a+）2+]x2﹣a=0，由于[（a+）2+]＞0，故（a2+a+1）
x2﹣a=0是一元二次方程；
⑤=x﹣1不是整式方程．
故选B．
【点评】一元二次方程必须满足三个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程．
2．下列说法正确的是（）
A．对应边都成比例的多边形相似
B．对应角都相等的多边形相似
C．边数相同的正多边形相似
D．矩形都相似
【考点】相似图形．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、对应边都成比例的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
B、对应角都相等的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
C、边数相同的正多边形，形状相同，但大小不一定相同，故正确；
D、矩形属于形状不唯一确定的图形，故错误．
故选C．
【点评】本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形．
3．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）
A．438（1+x）2=389 B．389（1+x）2=438 C．389（1+2x）2=438 D．438（1+2x）2=389 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】先用含x的代数式表示去年下半年发放给每个经济困难学生的钱数，再表示出今年上半年发放的钱数，令其等于438即可列出方程．
【解答】解：设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）2元，
由题意，得：389（1+x）2=438．
故选B．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
4．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，﹣2），则四边形ABCD是（）
A．矩形 B．菱形 C．正方形D．平行四边形
【考点】菱形的判定；坐标与图形性质．
【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形ABCD是菱形．
【解答】解：如图所示：
∵A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），
∴OA=0C，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD为菱形，
故选：B
【点评】本题考查了菱形的判定，坐标与图形性质，掌握菱形的判定方法利用数形结合是解题的关键．
5．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若AB=2，AD=4，则图中阴影部分的面积为（）
A．3 B．4 C．6 D．8
【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．
【分析】阴影部分的面积等于矩形面积减去四个直角三角形的面积．
【解答】解：矩形的面积=2×4=8；
S△AEF=×1×2=1；
∴阴影部分的面积=8﹣1×4=4．故选B．
【点评】本题另外的解法是：利用菱形的面积公式计算．
6．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）
A．20 B．15 C．10 D．5
【考点】菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB．
【解答】解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°
∴∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AC=AB=5
故选D．
【点评】本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定．
7．掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的情况与所得点数之和为11的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵共有36种等可能的结果，所得点数之和为11的有2种情况，
∴所得点数之和为11的概率为：=．
故选A．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
8．已知x1、x2是方程x2=2x+1的两个根，则的值为（）
A． B．2 C．D．﹣2
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】先把方程化为一般式得x2﹣2x﹣1=0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣2，x1•x2=
﹣1，再把原式通分得，然后利用整体思想进行计算．
【解答】解：方程化为一般式得x2﹣2x﹣1=0，
根据题意得x1+x2=﹣2，x1•x2=﹣1，
∴原式===﹣2．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
9．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）
A．10cm2B．20cm2C．40cm2D．80cm2
【考点】三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的性质．
【分析】矩形对折两次后，再沿两邻边中点的连线剪下，所得菱形的两条对角线的长分别原来矩形长和宽的一半，即5cm，4cm，所以菱形的面积可求．
【解答】解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，
所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，
所以S菱形=×5×4=10 cm2．
故选A．
【点评】本题考查了三角形中位线的性质、矩形、菱形的面积的计算等知识点．易错易混点：学生在求菱形面积时，易把对角线乘积当成菱形的面积，或是错误判断对角线的长而误选．
10．如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=（）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】由题意知，四边形CEFD是正方形，利用正方形的性质可求得CE=EF=CD=10﹣6=4cm．【解答】解：∵四边形CEFD是正方形，AD=BC=10，BE=6
∴CE=EF=CD=10﹣6=4cm．
故选A．
【点评】本题利用了矩形的对边相等和正方形四边相等的性质求解．
11．若关于x的方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】根据△的意义得到k≠0且△=4﹣4k×（﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵x的方程kx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△=4﹣4k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1，
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
12．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）
A．①和②B．②和③C．①和③D．②和④
【考点】相似三角形的判定．
【专题】网格型．
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，有两个对应角相等的三角形相似，即可完成题目．
【解答】解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴=
，
=，
即==，
∴两三角形的三边对应边成比例，
∴①③相似．
故选C．
【点评】此题主要考查三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．
13．事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．3个事件的概率分别记为P（A）、P（B）、P（C），则P（A）、P（B）、P（C）的大小关系正确的是（）
A．P（C）＜P（A）=P（B）B．P（C）＜P（A）＜P（B）C．P（C）＜P（B）＜P（A）D．P（A）＜P（B）＜P（C）
【考点】概率的意义；随机事件．
【专题】压轴题．
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件分别求出P（A）、P（B）、P（C），然后排序即可得解．
【解答】解：事件A：打开电视，它正在播广告是随机事件，0＜P（A）＜1；
事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7是必然事件，P（B）=1；
事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化是不可能事件，P（C）=0，
所以，P（C）＜P（A）＜P（B）．
故选：B．
【点评】本题考查了概率的意义，必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1．不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率＞0并且＜1．
14．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（）
A．28个B．30个C．36个D．42个
【考点】利用频率估计概率．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】共摸球400次，其中88次摸到黑球，那么有312次摸到白球；由此可知：摸到黑球与摸到白球的次数之比为88：312；已知有8个黑球，那么按照比例，白球数量即可求出．
【解答】解：由题意得：白球有×8≈28个．
故选A．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．关键是根据白球和黑球的比得到相应的关系式．
15．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（）
A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC
C．S△BCD=S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割．
【分析】求出∠C的度数即可判断A；求出∠ABC和∠ABD的度数，求出∠DBC的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判断C；求出△DBC∽△CAB，得出BC2=BC•AC，求出AD=BC，即可判断D．
【解答】解：A、∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠C=2∠A，正确，
B、∵DO是AB垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，正确，
C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，
D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，
∴△DBC∽△CAB，
∴=，
∴BC2=CD•AC，
∵∠C=72°，∠DBC=36°，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴BC=BD，
∵AD=BD，
∴AD=BC，
∴AD2=CD•AC，
即点D是AC的黄金分割点，正确，
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
16．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= 2015 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0得：a+b﹣2015=0，
即a+b=2015．
故答案是：2015．
【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
17．已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积是96 ．
【考点】菱形的性质；勾股定理．
【专题】计算题．
【分析】画出草图分析．因为周长是40，所以边长是10．根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．
【解答】解：因为周长是40，所以边长是10．
如图所示：AB=10，AC=12．
根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=6，
∴BO=8，BD=16．
∴面积S=AC×BD=12×16×=96．
故答案为96．
【点评】本题考查了菱形的性质及其面积计算，主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决，要掌握菱形的面积有两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=12×两条对角线的乘积，具体用哪种方法要看已知条件来填空．
18．一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖（如图），突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是．
【考点】概率公式．
【专题】压轴题．
【分析】列举出所有情况，看花色完全搭配正确的情况占所有情况的多少即为所求的概率．【解答】解：因为三个茶杯只有花色不同，两个盖杯随机地搭配在一起，共3×2=6种结果，
所以其概率是．
法二：解：总共有6种搭配结果，依次是：第一种：杯1 盖1；杯2 盖2；杯3；第二种：杯1 盖1；杯2；杯3盖2；第三种：杯1 盖2；杯2 盖1；杯3；第四种：杯1 盖2；杯2；杯3盖1；第五种：杯1；杯2 盖1；杯3盖2；第六种：第五种：杯1；杯2 盖2；杯3盖1；共6种搭配方式，只有第一种符合完全满足颜色正确搭配，
故概率为．
【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
19．设m、n是一元二次方程x2+3x﹣7=0的两个根，则m2+4m+n= 4 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m﹣7=0，则m2=﹣3m+7，代入m2+4m+n得到m+n+7，然后根据根与系数的关系得到m+n=﹣3，再利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣7=0的根，
∴m2+3m﹣7=0，即m2=﹣3m+7，
∴m2+4m+n=﹣3m+7+4m+n
=m+n+7，
∵m、n为方程x2+3x﹣7=0的两个根，
∴m+n=﹣3，
∴m2+4m+n=﹣3+7=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的解．
20．已知（a+b+c≠0），那么函数y=kx+k的图象一定不经过第四象
限．
【考点】一次函数图象与系数的关系；比例的性质．
【分析】利用比例的等比性质正确求得k的值，然后根据直线解析式中的k，b的值正确判断直线经过的象限．
【解答】解：当a+b+c≠0时，根据比例的等比性质，得k==2，
则直线解析式是y=2x+2，
则图象一定经过一、二、三象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时，函数的图象在一、二、三象限是解答此题的关键．
三、解答题（共70分）
21．（16分）（2015秋•兰州校级月考）选择适当方法解下列方程：
（1）x2﹣4x+1=0（用配方法）；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；
（3）x2﹣x﹣6=0；
（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】（1）方程整理后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解；
（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（3）方程利用因式分解法求出解即可；
（4）方程利用两数的平方相等，两数相等或互为相反数转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x=﹣1，
配方得：x2﹣4x+4=3，即（x﹣2）2=3，
开方得：x﹣2=±，
解得：x1=2+，x2=2﹣；
（2）方程移项得：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，
分解因式得：（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，
解得：x1=2，x2=3；
（3）分解因式得：（x﹣3）（x+2）=0，
解得：x1=3，x2=﹣2；
（4）开方得：y+2=3y﹣1或y+2=1﹣3y，
解得：y1=1.5，y2=﹣0.25．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
22．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E点位置，AE=60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）利用“两角法”证得这两个三角形相似；
（2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．
【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，
∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．
∴=，即=，
解得：CF=169．
即：CF的长度是169cm．
【点评】本题考查了相似三角形的应用．此题利用了“相似三角形的对应边成比例”推知所求线段CF与已知线段间的数量关系的．
23．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．（1）求证：△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．【专题】压轴题．
【分析】（1）根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC；
（2）四边形MPNQ是菱形，连接AN，有（1）可得到BM=DN，再有中点得到PM=NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形MQNP是菱形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，
∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，
∴AM=AD，CN=BC，
∴AM=CN，
在△MA B和△NDC中，
∵，
∴△MBA≌△NDC（SAS）；
（2）四边形MPNQ是菱形．
理由如下：连接AP，MN，
则四边形ABNM是矩形，
∵AN和BM互相平分，
则A，P，N在同一条直线上，
易证：△ABN≌△BAM，
∴AN=BM，
∵△MAB≌△NDC，
∴BM=DN，
∵P、Q分别是BM、DN的中点，
∴PM=NQ，
∵，
∴△MQD≌△NPB（SAS）．
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵M是AD中点，Q是DN中点，
∴MQ=BM，
∵MP=BM，
∴MP=MQ，
∴平行四边形MQNP是菱形．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法，属于基础题目．
24．关于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根；
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）由于x的方程kx2+（k+2）x+=0有两个不相等的实数根，由此可以得到判别式是正数，这样就可以得到关于k的不等式，解不等式即可求解；
（2）不存在符合条件的实数k．设方程kx2+（k+2）x+=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2=﹣，x1•x2=，又+=，然后把前面的等式代入其中即可求
k，然后利用（1）即可判定结果
【解答】解：（1）由△=[（k+2）]2﹣4×k•＞0，
∴k＞﹣1
又∵k≠0，
∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；
（2）不存在符合条件的实数k
理由：设方程kx2+（k+2）x+=0的两根分别为x1、x2，
由根与系数关系有：x1+x2=﹣，x1•x2=，
又∵+==0，
解得k=﹣2，
由（1）知，k=﹣2时，△＜0，原方程无实解，
∴不存在符合条件的k的值．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式和根与系数的关系，解题时将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
25．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】动点型．
【分析】首先设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，由题意可得AP=2xcm，BQ=4xcm，BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，又由∠B是公共角，分别从与分析，即可求得答案．
【解答】解：设经x秒钟△PBQ与△ABC相似，
则AP=2xcm，BQ=4xcm，
∵AB=8cm，BC=16cm，
∴BP=AB﹣AP=（8﹣2x）cm，
∵∠B是公共角，
∵①当，即时，△PBQ∽△ABC，
解得：x=2；
②当，即时，△QBP∽△A BC，
解得：x=0.8，
∴经2或0.8秒钟△PBQ与△ABC相似．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
26．如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）证明：四边形AECF是矩形；
（2）若AB=8，求菱形的面积．
【考点】矩形的判定；勾股定理；菱形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=BC，然后判断出△ABC是等边三角形，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，∠AEC=90°，再根据菱形的对边平行且相等以及中点的定义求出AF与EC平行且相等，从而判定出四边形AECF是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得证；
（2）根据勾股定理求出AE的长度，然后利用菱形的面积等于底乘以高计算即可得解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠1=90°，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF=AD，EC=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD=BC，
∴AF∥EC且AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵∠1=90°，
∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）解：在Rt△ABE中，AE==4，
所以，S菱形ABCD=8×4=32．
【点评】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，证明得到四边形AECF是平行四边形是解题的关键，也是突破口．
27．分别把带有指针的圆形转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字（如图所示）．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．
（1）试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．。