2.5 随机变量函数的分布

当 y < 0时 0时
∫
x2<y
fX ( x) d x
F (y) =0 当 y ≥ 1 时 F (y) =1 Y Y
y
1 当 0 ≤ y < 1 时 F = ∫ dx = y Y 2 − y 1 0< y <1 fY ( y) = F '( y) = 2 y Y 0 其 它
− y
y
∴
Y 0 1 4 9 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 k
注：1、设
k
价 {Y = g( x )} 等 于{ X = x }
k
g( xk ) k =1 ⋯ 互不相等时，则事件 ,2, 互不相等时，
由
X P k
Y P k
x 1 p 1
p 1
x2 ⋯ xk ⋯ p2 ⋯ pk ⋯
p2 ⋯ pk ⋯
例3
具有概率密度 概率密度： 设随机变量 X 具有概率密度： x , 0< x < 4, fX (x) = 8 0, 其 . 它 试求 Y =2X +8 的概率密度 fY ( y) .
解：(1) 先求 Y =2X +8 的分布函数 FY(y)：
F (y) = P Y ≤ y} { Y
定理
X 设 ~ N µ，σ ， Y = 则
2
(
)
X −µ
证 F ( y) = P{Y ≤ y} = P { Y
X −µ
σ
~ N( 0,1)
σ
≤ y}
e
( t−µ) 2 −
2σ2
= P{X ≤ µ +σ y}=
求导得到: 求导得到:
1 2 πσ
µ+σ y
−∞
∫
dt
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例10
设随机变量X 的概率密度为 2x 0< x <π 2 f ( x) = π 求Y = sinX 的概率密度. 的概率密度. 0 其 它
y −8 = P 2X +8≤ y}= P X ≤ { { } 2
F (y) = ∫ Y
y−8 2 −∞
fX (x)dx.
F ( y) = ∫ Y
y−8 2 −∞
fX (x)dx.
x , 0< x < 4, fX (X) = 8 0, 其 . 它
(2) 利 F′( y) = fY ( y) 可 求 ： 用Y 以 得
, 1 0< x <1 fX (x) = 它 其 0,
代入
d(e−y/2) , 0< e−y/2 <1 fX (e−y/2) fY ( y) = dy 0, 其 它
得
1 −y/2 e , y >0 fY ( y) = 2 0, 其 它
fY (y) 的表达式中
服从参数为1/2的指数分布. 1/2的指数分布 即Y服从参数为1/2的指数分布.
例 9
设 机 量X ~ N µ σ 2 ， = eX， 求 机 量 随 变 ， Y 试 随 变 Y的 度 数fY ( y)． 密 函
0< x <1 0ther
x取值在(0,1) 时，y 的取值也在(0,1), 取值在(0,1) 的取值也在(0,1),
y ≤0 ⇒ F ( y) =0 Y y ≥1 ⇒ F ( y) =1 Y

fY ( y) =0
1 2 1 1 −3 0< y <1 6y3 1− y3 ⋅ y ∴ fX ( y) = 3 0ther 0 1 −3 0< y <1 2 y −1 ∴ fX ( y) = 0ther 0
{
}
y
− y
fX ( x) d x
例2
1,1),求 的分布函数与概率密度。 设X ∼U(-1,1),求Y =X 2的分布函数与概率密度。
1 −1< x <1 fX ( x) = 2 0 其 它 y = g(x) = x2
解 ∵
∴ F ( y) = p(Y ≤ y) = p(X2 ≤ y) = Y
§2.5
随机变量的函数
问题： 圆盘半径用 表示， 半径用X (0,1)之内等 问题： 圆盘半径用X表示，x在(0,1)之内等 可能取值，是一个随机数，因此圆盘的面积Y 可能取值，是一个随机数，因此圆盘的面积Y 也是一个随机变量
问题： 问题：
面积Y小于 面积 小于 等价于半径X<1/2 等价于半径
0 1
解题思路总结
． 求 ⑴ 先 Y = g( X) 的 布 数 分 函
F ( y) = P{Y ≤ y} = P{ g( X) ≤ y} = Y
g( x)≤y
∫
fX (x)dx
⑵ 利 Y = g( X) 的 布 数 密 函 之 的 系 ． 用 分 函 与 度 数 间 关
Y 求 = g( X) 的 度 数 fY ( y) = F′ ( y) 密 函 Y
足 满 { g(X) ≤ y}的 的 值 围 X 取 范
的分布， 求出X 相应范围. 这样就可以利用已知的X 的分布， 求出X在相应范围. 内的概率。 内的概率。 利用随机变量的函数的分布求其密度函数是常用 的一种方法. 的一种方法.称为分布函数法
思考题
2,1),求 的分布函数与概率密度。 设X ∼U(-2,1),求Y =X 2的分布函数与概率密度。 y 思路: 思路: 1) Y的取值范围? Y的取值范围? 的取值范围 -2 -1 1 x
随机变量。 随机变量
们 求 是 我 要 的 Y = g( X) 的 度 数fY ( y)． 密 函
知识回顾
例1
设随机变量 X 具有概率密度 f X ( x ) 具有概率密度 的概率密度. 求 Y = X 2 的概率密度.
2
解：(1) 先求 Y = X
0 2
的分布函数 FY(y)：
1 由 Y = X ≥ 0, 故 y ≤ 0时F ( y) = 0. 于 当 Y
f [h(y)]h′( y) , α < y < β fY (y) = , 其 它 0 其中， 其中，
此定理的证明与前面的解题思路类似. 此定理的证明与前面的解题思路类似.
例2
设 X 的密度为
求 Y = X3的概率密度 fY ( y). 解 ∵ Y = X3 X =Y 当
1 3
1 6x( −x) f (x) = 0
Y的 值 先 不 确 ，也 一 随 变 ． 取 事 也 能 定Y 是 个 机 量
本 的 务 是 节 任 就 ：
知 机 量 已 随 变 X的 布 并 已 Y = g( X) ， 分 ， 且 知 求 机 量 分 ． 要 随 变 Y的 布 (分布律或分布密度）。 分布律或分布密度）。
一、 离散型随机变量函数的概率分布 离散型随机变量函数的概率分布
当X为离散型随机变量时， Y = g( X) 也是离散型 为离散型随机变量时， 随机变量。 随机变量。 的分布列已知的情况下， 并且在 X 的分布列已知的情况下， Y的 求 分布列是容易的。 分布列是容易的。 例1
X −1 0 1 2 3 已知X 已知X的分布列为 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 k
对应的{X<x} 2) {Y<y} 对应的{X<x} 3)求 3)求F(y)
定理
设X 具有概率密度
f X ( x)
（－∞ ，＋∞ ）
的连续型随机变量，又设 Y = g( X) 处处可导，且 的连续型随机变量， 处处可导， 对于任意 x 恒有 g′(x) >0 或恒有 g′(x) <0 则 是一个连续型随机变量， 连续型随机变量 Y = g( X) 是一个连续型随机变量， 其反函数为 X =h(Y). Y 的概率密度为
FY ( y ) = P (Y ≤ y )
= P (π X 2 ≤ y )
= P( X ≤
2
1
π 1 = P( X ≤ π
y)
y)
=
1
π
1
y
（0 < y ≤ 1)
f ( y) =
2 πy
随机变量的函数
取值不能事先确定 X 值 ， 值 当 取 x时 Y取 y = g( x) X取值不能事先确定
设X是 随 变 ， 是X的 数 Y = g( X) , 一 机 量 Y 函 ，
⇒
2 、当
g(x ) g(x2) ⋯ g(xk ) ⋯ 1
g( xi ) = g( xj ) i ≠ j
则把那些相等的值合并起来。 则把那些相等的值合并起来。
二、 连续型随机变量函数的分布
设 再 Y = g( X) 是X的 数 我 假 Y也 连 型 函 ， 们 定 是 续
设X是 连 型 机 量 其 度 数 fX ( x) ， 一 续 随 变 ， 密 函 为
于是 y 在区间(0,1)上单调下降， 有反函数 在区间(0,1)上单调下降， (0,1)上单调下降 由前述定理得 注意取 绝对值
d(e−y/2) fX (e−y/2) , 0< e−y/2 <1 fY ( y) = dy 0, 其 它
(0,1)上服从均匀分布 上服从均匀分布， （续）已知 X 在(0,1)上服从均匀分布，
y −8 y −8 fY ( y) = fX ( )×( )′ 2 2 y −8 1 y −8 1 )× , 0< < 4, ( 2 2 8 2 0, 其 . 它 的概率密度为： 整理得 Y =2X +8 的概率密度为
y −8 , 8< y <16, fY ( y) = 32 0, 其 . 它
1 1 即事件｛面积Y ≤ π｝等价于事件｛半径X ≤ ｝ 4 2