2018年秋高考数学一轮总复习课件：第七章 立体几何 7-4 精品

为H,连接CH,DH.因为AB⊥平面PCD,所以AB⊥CH,AB⊥DH,
所以∠CHD是二面角α-AB-β的平面角.又PC=PD=1,CD=
,所以CD2=PC2+PD2=2,即∠CPD=90°.在平面四边 形 2PCHD中,∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°,所以∠CHD=90°.
故平面α⊥平面β.
3.如图,已知平面α ,β ,且α ∩β =AB,PC⊥α ,PD⊥β ,
C,D是垂足.那么直线AB与平面PCD的位置关系为_____,
若PC=PD=1,CD= ,则平面α 与平面β 的位置关系为
________.
2
【解析】因为PC⊥α,AB
α,所以PC⊥AB.同理PD⊥
AB.又PC∩PD=P,故AB⊥平面PCD.设AB与平面PCD的交点
在直线垂直于平面β
D.如果平面α ⊥平面γ ,平面β ⊥平面γ ,α ∩β =l,那
么 l⊥ γ
【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l
还可能平行于平面β ,也可能在平面β 内.
2.如图,在三棱锥V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,
则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为
有了两个直角,这与三角形的内角和为180度相矛盾.
【教材母题巧变式】
题号 源自
1 P56·T7
2 P38·例1
3 P42·T6
1.下列命题中不正确的是
(
)
A.如果平面α ⊥平面β ,且直线l∥平面α ,则直线l⊥平
面β
B.如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内一定存在直线平
行于平面β
C.如果平面α 不垂直于平面β ,那么平面α 内一定不存
线垂直的直线,则这两条直线都垂于第三个平面,那么
这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知,这
两个相交平面的交线与这两条垂线平行,所以该交线垂
直于第三个平面.
3.垂直于同一条直线的两个平面平行吗?
提示:平行.假设这两个平面不平行,那么它们相交,可
以从交线上取一点,分别与两垂足连线,那么就构成了

一个三角形.根据线面垂直性质,那么这个三角形中就
α ∥β 或α 与β 相交,故排除A,B,对于C,D而言,若
m∥n,n⊥β ,则可推出m⊥β ,又因为m∥α ,故可推出
α ⊥β ,故选C,排除D.
第四节
垂直关系
【教材知识精梳理】 1.直线与平面垂直 (1)定义:直线l与平面α 内的_____一条直线都垂直,就 任意 说直线l与平面α 互相垂直.
(2)判定定理与性质定理: 文字语言 判 定 定 理 若一条直线与 一个平面内的 两条_____直 相交 线都垂直,则 该直线与此 平面垂直 图形语言 符号语言 a,b α _______ a∩b=O _______ l⊥a _____ l⊥b _____ ⇒l⊥α
在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直 ,根据异
面直线所成的角,可以得出两平行直线中的另一条也与
平面内的那两条直线成90度的角,即垂直于平面内的这
两条相交直线,所以垂直于这个平面.
2.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也
垂直于第三个平面吗?
提示:垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交
质定理进行简单说明.
【基础保分题组】
1.若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α ,则“l⊥m”
是“l∥α ”的 ( )
A.充分不必要条件
C.充分必要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由“m⊥α 且l⊥m”推出“l
α 或 l∥
α ”,但由“m⊥α 且l∥α ”可推出“l⊥m”,所以
文字语言 性 质 定 理 垂直于同一 个平面的两 条直线_____ 平行
图形语言
符号语言
a⊥α _____ b⊥α _____ ⇒ a∥b
2.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念:
①二面角:从一条直线出发的___________所组成的图 两个半平面 形叫做二面角;
②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点为端点, 在两个半平面内分别作_________的两条射线,这两条 垂直于棱 射线所构成的角叫做二面角的平面角. ③二面角的范围:[0,π ].
________.
【解析】VA AB
VA AC VA 平面ABC AB AC A BC 平面ABC VA BC AB BC BC 平面VAB BC VB， VA AB A 所以有4个直角三角形. VB 平面VAB 答案:4
答案:AB⊥平面PCD
平面α⊥平面β
考向一
与线面、面面垂直有关的基础性问题
▲夯基练透
【技法点拨】
与线面垂直关系有关命题真假的判断方法 (1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准, 甚至无需作图在头脑中形成印象来判断.
(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.
(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性
(2)平面和平面垂直的定义:
两个平面相交,如果所成的二面角是_________,就说这 直二面角 两个平面互相垂直.
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理: 文字语言 判 定 定 理 如果一个平面经过另 一个平面的一条_____, 垂线 那么这两个平面互相 垂直 图形语言 符号语言
l⊥ α _____ l β _____ ⇒α ⊥β
“l⊥m”是“l∥α ”的必要不充分条件.
2.设m,n是不同的直线,α ,β 是不同的平面,下列命题
中正确的是
(
)
A.若m∥α ,n⊥β ,m⊥n,则α ⊥β
B.若m∥α ,n⊥β ,m⊥n,则α ∥β
C.若m∥α ,n⊥β ,m∥n,则α ⊥β D.若m∥α ,n⊥β ,m∥n,则α ∥β
【解析】选C.对于A,B所给出的条件得到的结论为
文字语言
图形语言
符号语言
性 质 定 理
两个平面垂直,则一 个平面内垂直于_____ 交线 的直线与另一个平面 垂直
α ⊥β
l β ⇒l⊥α l⊥a
α ∩β =a

【教材拓展微思考】
1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂
直于这个平面吗?
提示:垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面,那么