运筹学1至6章习题参考答案

运筹学1至6章习题参考答案
第1章 线性规划
1.1 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．
310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．
【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为
1231231
23123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400
150250260310120130,,0
Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨
≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.2 建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格
及数量如表1－24所示：
【解设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为
10
1
12342567368947910
min 2800212002600223900
0,1,2,,10
j
j j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪
+++≥⎪⎪
+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为
2345681012342567368947910
min 0.50.50.52800
212002*********
0,1,2,,10
j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪
+++≥⎪⎪
+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩
1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。

已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。

1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。

（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。

【解】设x j 、y j （j ＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
（1）
1122334
45566
1
112
11223
1122334
112233445
11223344556
max300350330340320350360
420360410300340
800
800
800
800
800
Z x y x y x y x y x y x y
x
x y x
x y x y x
x y x y x y x
x y x y x y x y x
x y x y x y x y x y x
=-+-+-+-+ -+-+
≤
-+≤
-+-+≤
-+-+-+≤
-+-+-+-+≤
-+-+-+-+-+≤
11
1122
112233
11223344
1122334455
112233445566
800
200
200
200
200
200
200
,0;1,2,,6
j j
x y
x y x y
x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y
x y j
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
-+≤
⎨
⎪-+-+≤
⎪
⎪-+-+-+≤
⎪
-+-+-+-+≤
⎪
⎪-+-+-+-+-+≤
⎪
-+-+-+-+-+-+≤
⎪
⎪≥=
⎩
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。

1.4 某投资人现有下列四种投资机会, 三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年收益率是20％，下一年可继续将本息投入获利；
方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收益率是50％，下一年可继续将本息投入获利，这种投资最多不超过2万元；
方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两年结算一次，收益率是60％，这种投资最多不超过1.5万元；
方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一次，年收益率是30％，这种投资最多不超过1万元．
投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.
数学模型为
1121311223341112112123122131341223
34max 0.20.20.20.50.60.3300001.230000
1.5 1.2300002000015000100000,1,,3;1,4
ij Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =+++++⎧+≤⎪
-++≤⎪⎪--++≤⎪⎪
≤⎨⎪≤⎪⎪≤⎪≥==⎪⎩
最优解X=(30000，0，66000，0，109200，0)；Z ＝84720
1.5 炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于94，每桶利润5元，见表1－26。

表1－27
解 设x ij 为第i （i ＝1,2,3,4）种成品油配第j (j =1,2,…,7)种半成品油的数量（桶）。

总利润：
11121321222334353637444546475() 4.2()3() 1.5()
Z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++高级汽油和一般汽油的辛烷值约束
111213212223
111213212223
801151058011510594,8494x x x x x x x x x x x x ++++≥≤≤++++
航空煤油蒸气压约束
34353637
34353637
1.50.60.051x x x x x x x x ++≤++＋＋
一般煤油比例约束
44454647:::10:4:3:1x x x x =
即
4546444546471043,,431
x x x x x x === 半成品油供应量约束
1121122213233444354536463747200010001500120010001000800
x x x x x x x x x x x x x x +≤+≤+≤+≤+≤+≤+≤ 整理后得到
111213212223343536374445464711121321222321222335363744
45
4546464max 555 4.2 4.2 4.23333 1.5 1.5 1.5 1.5142111014211104312100.50.40.9504100
3403Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++-++≥-++≤-++≥--≤-=-=-711211222
1323344435453646374702000100015001200100010008000;1,2,3,4;1,2,,7
ij x x x x x x x x x x x x x x x i j ⎧⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
=⎪⎪
+≤⎨⎪+≤⎪⎪+≤⎪
+≤⎪⎪+≤⎪
+≤⎪⎪+≤⎪≥==⎪⎩
1.6 图解下列线性规划并指出解的形式：
(1) 12
121212max 5228
35,0
Z x x x x x x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨
≤⎪⎪≥⎩
【解】最优解X ＝（3，2）；最优值Z=19
(2)
12 12
12
12
12
max4
45
32
24
,0
Z x x x x
x x
x x
x x
=+
+≤
⎧
⎪+≥
⎪
⎨
+≤
⎪
⎪≥
⎩
【解】有多重解。

最优解X（1）＝（0，5/4）；X（2）＝（3，1/2）最优值Z=5
(3)121212
1212
12min 32211410
2731
,0
Z x x x x x x x x x x x x =-++≤⎧⎪-+≤⎪⎪
-≤⎨⎪-≤⎪⎪≥⎩
【解】最优解X ＝（4，1）；最优值Z=－10，有唯一最优解
(4) 12
1212212min 4628830,0
Z x x x x x x x x x =++≥⎧⎪+≤⎪⎨
≤⎪⎪≥≥⎩
【解】最优解X ＝（2，3）；最优值Z=26，有唯一最优解
(5) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤≥≥-+=0
,6322max 2121212
1x x x x x x x x Z
【解】无界解。

(6)
12 12
12
12
min25
26
2
,0
Z x x x x
x x
x x
=-
+≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥
⎩
【解】无可行解。

1.7 将下列线性规划化为标准形式 (1) 123123123123123min 631557432103650,0,Z x x x x x x x x x x x x x x x =+-++≥⎧⎪-+≤⎪⎨
++≥-⎪⎪≥≥⎩无限制
【解】（1）令654'
'3'33,,,x x x x x x -=为松驰变量 ，则标准形式为
'''
1233
'''12334'''
12335'''
12336'''1233456max 63315574432103665
,,,,,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =--+-⎧++--=⎪-+-+=⎪⎨---++=⎪⎪≥⎩ (2) 123
123112123min 935|674|205880,0,0
Z x x x x x x x x x x x x =-++-≤⎧⎪≥⎪⎨
+=-⎪⎪≥≥≥⎩ 【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为
1231234123516
12
123456max 9356742067420
588
,,,,,0
Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x '=-+-+-+=⎧⎪--++=⎪⎪-=⎨⎪--=⎪⎪≥⎩ (3)121121
2max 2315
10,0
Z x x x x x x x =+≤≤⎧⎪
-+=-⎨⎪≥≥⎩
【解】方法1：
12
1314121234max 231
51,,,0
Z x x x x x x x x x x x x =+-=⎧⎪+=⎪⎨
-=⎪⎪≥⎩ 方法2：令1
11111,1,514x x x x x '''=-+≤-=有＝ 1
21
1
212
max 2(1)34(1)1,0Z x x x x x x x '=++'≤⎧⎪
'-++=-⎨⎪≥⎩
则标准型为
1
21
31
2123
max 22340,,0Z x x x x x x x x x '=++'+=⎧⎪
'-+=⎨⎪'≥⎩
(4) 12123123123123123max min(34,)
2304215965,0Z x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++≤⎧⎪
-+≥⎪⎨
++≥-⎪⎪≥⎩
无约束、
【解】令1212311134,,y x x y x x x x x x '''≤+≤++=-，线性规划模型变为
1
12112311231
12311231
123max 3()42304()2159()65,,0Z y
y x x x y x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x ='''≤-+⎧⎪'''≤-++⎪⎪'''-++≤⎪⎨
'''--+≥⎪⎪'''-++≥-⎪'''≥⎪⎩、 标准型为
1
124112351123611237112381
12345678max 33400
230442159965,,,,,,,,0Z y
y x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ='''-+-+=⎧⎪'''-+--+=⎪⎪'''-+++=⎪⎨
'''--+-=⎪⎪'''-+--+=⎪'''≥⎪⎩
1.8 设线性规划
12123124
max 522240
42600,1,,4j
Z x x x x x x x x x j =+⎧++=⎪
-+=⎨⎪≥=⎩ 取基1221204021B B ⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦、＝，分别指出B B 12和对应的基变量和非基变量，求出基本解，并说明B B 12、是不是可行基．
【解】B 1：x 1、x 3为基变量，x 2、x 4为非基变量,基本解为X=（15，0，10，0）T ，B 1是可行基。

B 2：x 2、x 4是基变量，x 1、x 3为非基变量，基本解X =（0，20，0，100）T ，B 2是可行基。

1.9分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点．
(1)12
121212
max 322
2312,0Z x x x x x x x x =+-+≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
【解】图解法
最优解4
),2,4(==Z X
(2)
12 12
12
12
12
min35
26
410
4
0,0
Z x x x x
x x
x x
x x
=--
+≤
⎧
⎪+≤
⎪
⎨
+≤
⎪
⎪≥≥
⎩
【解】图解法
该题是退化基本可行解，5个基本可行解对应4个极点。

1.10用单纯形法求解下列线性规划
(1)123
123123max 342342230,1,2,3j
Z x x x x x x x x x x j =++⎧++≤⎪
++≤⎨⎪≥=⎩
(2) 1234
123412341234max 23553730310
264200,1,,4j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+-+++-≤⎧⎪
-++≤⎪⎨
--+≤⎪⎪≥=⎩
【解】单纯形表：
因为λ7＝3>0并且a i 7<0(i =1,2,3)，故原问题具有无界解，即无最优解。

(3)1123812313123123max 32234421238410,,0
Z x x x x x x x x x x x x x x =+--++≤⎧⎪-≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥⎩
原问题具有多重解。

基本最优解(1)
(2)1273427237
(3,,0,,0)(,0,,,0);841111114
T X
X Z ===
及,最优解的通解可表
示为)2()
1()1(X a aX
X -+=即
3411227272
(
,,,,0),(01)1111811111111
T X a a a a a =---≤≤
（4）123
123123max 3254625863240,1,2,3j
Z x x x x x x x x x x j =++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩
1.11 分别用大M 法和两阶段法求解下列线性规划：
(1) 123
123123max 1055310510150,1,2,3j
Z x x x x x x x x x x j =-+⎧++=⎪
-+-≤⎨⎪≥=⎩
【解】大M 法。

数学模型为
123512351234max 1055310510150,1,2,,5j
Z x x x Mx x x x x x x x x x j =-+-⎧+++=⎪
-+-+=⎨⎪≥=
最优解X ＝(2,0,0)；Z=20 两阶段法。

第一阶段：数学模型为
5
12351234min 5310
510150,1,2,,5j
w x x x x x x x x x x j =⎧+++=⎪
-+-+=⎨⎪≥=
最优解X=(2,0,0)；Z=20
(2) 123
123123123min 567531556102050,1,2,3j Z x x x x x x x x x x x x x j =--+-≥⎧⎪
-+≤⎪⎨
++=⎪⎪≥=⎩
【解】大M 法。

数学模型为
123131231112321233min 56753155610205Z x x x MA MA
x x x S A x x x S x x x A =--+++--+=⎧⎪-++=⎪⎨
+++=⎪⎪所有变量非负
第一阶段：数学模型为
13
123111232
1233min 5315561020
5w A A x x x S A x x x S x x x A =++--+=⎧⎪-++=⎪⎨
+++=⎪⎪
所有变量非负
最优解：(0,
,),444
T X Z ==-
(3)12121212123max 10155395615250
Z x x x x x x x x x x x =++≤⎧⎪-+≤⎪⎨
+≥⎪⎪≥⎩、、
【解】大M 法。

数学模型为
1261231241256max 1015539
5615250,1,2,,6j Z x x Mx x x x x x x x x x x x j =+-++=⎧⎪-++=⎪⎨
+-+=⎪⎪≥=
因为两阶段法
第一阶段：数学模型为
6
123124
1256min 5395615
250,1,2,,6j Z x x x x x x x x x x x x j =++=⎧⎪-++=⎪⎨
+-+=⎪⎪≥=
X610-1/5-2/50-117/5
C(j)-Z(j)01/52/5010
因为
(4)
123
123
123
123
max425
6410
3358
220
0,1,2,3
j
Z x x x
x x x
x x x
x x x
x j
=++
-+≤
⎧
⎪--≤
⎪
⎨
++≥
⎪
⎪≥=
⎩
【解】大M法。

X7是人工变量，数学模型为
123
1234
1235
12
7
7
36
max425M
6410
3358
2220
0,1,2,,7
j
Z x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
x
x j
=++-
-++=
⎧
⎪--+=
⎪
⎨
++-+=
⎪
⎪≥=
⎩
C j 4 2 5 0 0 0 －M R.H.S. Ratio
C B X B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
0 X4 6-14110
0 X5 3-3-518
－M X7 1[2]1－112010
C(j)-Z(j) 425
* Big M M2M M－1
两阶段法。

第一阶段：
12341235
126737
min 64103358
2200,1,2,,7j Z x x x x x x x x x x x x x j x x =-++=⎧⎪--+=⎪⎨
++-+=⎪⎪≥=
1.12 在第1.9题中，对于基B =⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥2140,求所有变量的检验数
λj
j (,,)
=14 ,并判断B 是不是最优基．
【解】1
1044,112B B -⎡
⎤⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
,
11022104(5,2,0,0)(5,0)14201125595
(5,2,0,0)(5,,0,)(0,,0,)
2424
B C C B A
λ-=-⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦=--=-
9
5(0,,0,),24
λ=- B 不是最优基，可以证明B 是可行基。

1.13已知线性规划
123412341234max 5874233220
3542300,1,,4j
z x x x x x x x x x x x x x j =+++⎧+++≤⎪
+++≤⎨⎪≥=⎩ 的最优基为B =⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥2325，试用矩阵公式求（1）最优解；(2)单纯形乘子；
(3)N N 13及；(4)λλ13
和。

【解】
1
42
5
344,(,)(4,8,),
1122B B C c c -⎡⎤
-⎢⎥
===⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
则 (1)1
425
5(,)(,5)(0,5,0,),502
2
T
T
T
B X x x B b X Z -=====,最优解 (2))1,1(1
==-B C B π
(3)
1
111
335312444113122253334441141222N B P N B P --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
(4)
111333145(4,8)550
12347(4,8)770
12B B c C N c C N λλ⎡⎤
⎢⎥
=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎢⎥
=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
注：该题有多重解：
X (1)=(0，5，0，5/2)
X (2)=(0，10/3，10/3，0)
X (3)=(10，0，0，0)，x 2是基变量，X (3)是退化基本可行解 Z ＝50
1.14 已知某线性规划的单纯形表1－28, 求价值系数向量C 及目标函数值Z ．
【解】由j j i ij
i
c c a
λ=-
∑有j j i ij
i
c c a
λ=+
∑
c 2＝－1＋（3×1＋4×0＋0×（－1））＝2 c 3＝－1＋（3×2＋4×（－1）＋0×4）＝1 c 5＝1＋（3×（－3）＋4×2＋0×（－4））＝0 c 7＝-2＋（3×2＋4×(－1)＋0×2）＝0 则C ＝(4,2,1,3,0,0,0,)，Z=C B X B =12
1.15 已知线性规划
332211m ax x c x c x c Z ++=
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤++≤++0,,3
2123232221211313212111x x x b x a x a x a b x a x a x a 的最优单纯形表如表1－29所示，求原线性规划矩阵C 、A 、及b ，最优基B 及B -1
．
【解】由111
1162615(),10505B B B ---⎡⎤
⎢⎥-⎡⎤===⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，得到c 4＝c 5＝0， 由公式j j i ij i
c c a λ=-∑得
41211162(,)2/60120c c c c c ⎡⎤
=-+=-+=⇒=⎢⎥⎣⎦
5221153(12,)01115c c c ⎡⎤
=-+=⇒=⎢⎥
⎣⎦
341(12,11)143c ⎡⎤
=--+=⎢⎥-⎣⎦
由 1
A B
A -=
得 6210462
30
050130
515
A B A --⎡⎤⎡⎤
⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ 由 1
b B b -=
得 6263205210b B b -⎡⎤⎡⎤⎡
⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ 1.16思考与简答
（1）在例1.2中，如果设x j (j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化。

（2）在例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路。

（3）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化。

（4）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化。

(5)在单纯形法中，为什么说当00(1,2,,)k ik a i m λ>≤=并且时线性规划具有无界解。

(6)选择出基变量为什么要遵循最小比值规则，如果不遵循最小比值规则会是什么结果。

（7）简述大M 法计算的基本思路，说明在什么情形下线性规划无可行解。

（8）设X (1)、X (2)、X (3)是线性规划的3个最优解，试说明
(1)(2)(3)123123123(,,01)
X X X X λλλλλλλλλ=++≥++=其中并且
也是线性规划的最优解。

（9）什么是基本解、可行解、基本可行解、基本最优解，这四个解之间有何关系。

（10）简述线性规划问题检验数的定义及其经济含义。

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第2章 线性规划的对偶理论
2.1某人根据医嘱，每天需补充A 、B 、C 三种营养，A 不少于80单位，B 不少于150单位，C 不少于180单位．此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分．已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-22所示．（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A ，B ，C 三种营养成分．试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型．
表2-22
【解】（1）设x j 为每天第j 种食物的用量，数学模型为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥++++≥+++++≥++++++++++=0
1801034217181501512253092480118401425132.03.09.08.04.05.0min 65432154321654321654321654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 、、、、、
（2）设y i 为第i 种单位营养的价格，则数学模型为
1231231231231231
23
12123max 801501801324180.525970.4
1430210.84025340.9812100.3
11150.2,,0
w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≤⎧⎪++≤⎪
⎪++≤⎪
++≤⎨⎪++≤⎪⎪++≤⎪
≥⎩
2.2写出下列线性规划的对偶问题
（1）123
123
123123
min 32351024
,,0
x x x x x x x x x x x x =++++≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩ 【解】12
12121212max 10421
33
52,0
w y y y y y y y y y y =++≤⎧⎪+≤⎪⎨-≤⎪⎪≥⎩
（2）123
12312312
3max 22415310
,0,Z x x x x x x x x x x x x =+++-=⎧⎪--+≤⎨⎪≥⎩无约束
【解】12
12121212min 15102
231410
w y y y y y y y y y y =+-≥⎧⎪-≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩无约束；
（3）1234
1234
1234123412
34max 24310414762520486,0,0Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--≥⎧⎪+--≤⎪⎨-++⎪
⎪≥≤⎩－＝9无约束， 【解】123
123123123
123
123min 1420910742
6812644530,w y y y y y y y y y y y y y y y y y y =++++≥⎧⎪+-≥⎪⎪--+=-⎨⎪--+≤⎪≤≥⎪⎩0,无约束
（4）1234
1234134
1234
1
1234max 26732612656222820
0,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+-+-≤⎧⎪+-≥⎪⎪
-+-+≤-⎨⎪≤≤⎪
≥⎪⎩，无约束
【解】1234
12341
341234111234max 26732612
656
2228200,,Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+-+-+-≤⎧⎪+-≥⎪⎪-+-+≤-⎪⎨≥⎪⎪≤⎪≥⎪⎩，无约束
对偶问题为： 12345
1234513
123
123
12345min 1262+820362
221
56627
0,000
w y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y =+-++-++≥⎧⎪-+=⎪⎪
+-=-⎨⎪--+=⎪≥≤≥≤≥⎪⎩0,，，， 2.3考虑线性规划
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥+≥+≥++=0
,732254
42012min 2121212121x x x x x x x x x x Z
(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；
(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解；
(3)利用公式C B B －
1求原问题的最优解； (4)利用互补松弛条件求原问题的最优解． 【解】(1)原问题的对偶问题为
123123123max 427212453200,1,2,3j
w y y y y y y y y y y j =++⎧++≤⎪
++≤⎨⎪≥=⎩
容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X ＝(2，1)、Y ＝(1，0，1)，由定理2.4知都有最优解。

(2)
对偶问题的最优解Y ＝(4/5,0,28/5)，由定理2.6，原问题的最优解为X=(16/5，1/5)，Z ＝42.4
（3）C B =(7,4),1
4155
3255B -⎡⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦, 4
155
(7,4)(16/5,1/5)3
255X ⎡⎤
-⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
(4)由y 1、y 3不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式
1212
44237x x x x +=⎧⎨
+=⎩ 得到原问题的最优解为X=(16/5，1/5)。

2.4证明下列线性规划问题无最优解
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+-=-+--=无约束
32
13
21321321,0,2323
2222min x x x x x x x x x x x x Z 证明：首先看到该问题存在可行解，例如x=(2,1,1)，而上述问题的对偶问题为
121212
1221max 3221
22
2320,w y y y y y y y y y y =++≤⎧⎪-≤-⎪⎨
-+=-⎪⎪≥⎩无约束
由约束条件①②知y 1≤0，由约束条件③当y 2≥0知y 1≥1，对偶问题无可行解，因此原问题
也无最优解(无界解)。

2.5已知线性规划
123123123123123max 152055556631070,0,Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥≥⎩无约束
的最优解1
19(,0,
)44
T
X =，求对偶问题的最优解． 【解】其对偶问题是：
123123123123123min 56753155610205,,0
w y y y y y y y y y y y y y y y =++++≥⎧⎪++≥⎪⎨
++=⎪⎪≥⎩ 由原问题的最优解知，原问题约束③的松弛变量不等于零(30s x ≠)，x 1、x 3不等于零，则对偶问题的约束①、约束③为等式，又由于3
0s x ≠知y 3＝0；解方程
1212
515
5y y y y +=⎧⎨
+=⎩ 得到对偶问题的最优解Y=(5/2,5/2,0)；w ＝55/2＝27.5
2.6用对偶单纯形法求解下列线性规划
123123123123
1
min 3462310
2212,,0Z x x x x x x x x x x x x =++++≥⎧⎪
++≥⎨⎪≥⎩（）
【解】将模型化为
12312341235min 3462310
22120,1,2,3,4,5j
Z x x x x x x x x x x x x j =++⎧---+=-⎪
---+=-⎨⎪≥=⎩ 对偶单纯形表：
b 列全为非负，最优解为x ＝(2，4，0)；Z ＝22
1212121
22min 546220,0
Z x x x x x x x x =++≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥≥⎩（）
【解】将模型化为
12123124
min 546220,1,2,3,4j Z x x x x x x x x x j =+⎧--+=-⎪
++=⎨⎪≥=
出基行系数全部非负，最小比值失效，原问题无可行解。

1212121212(3)
min 242324210318,0
Z x x x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≥⎪⎨
+≥⎪⎪≥⎩
【解】将模型化为
12123124
125min 242324210
3180,1,2,3,4,5j Z x x x x x x x x x x x x j =+++=⎧⎪--+=-⎪⎨
--+=-⎪⎪≥=⎩
最优解X=(0，6)；Z ＝24
1234123412344min 23562322330,1,,4j
Z x x x x x x x x x x x x x j =+++⎧+++≥⎪
-+-+≤-⎨⎪≥=⎩（）
【解】将模型化为
12341234512346min 2356232
2330,1,,6j
Z x x x x x x x x x x x x x x x j =+++⎧----+=-⎪
-+-++=-⎨⎪≥=
原问题有多重解：X ＝(7/5，0，1/5，)；最优解X ＝(8/5，1/5，0)；Z ＝19/5 如果第一张表X
出基，则有
2．7某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A 、B 、C ，有关资料见表2-23．
表2-23
（1）怎样安排生产，使利润最大．
（2）若增加1kg 原材料甲，总利润增加多少．
（3）设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg ，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少，为什么？
（4）单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变．
（5）原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产A 和C 两种产品．
（6）由于市场的变化，产品B 、C 的单件利润变为3元和2元，这时应如何调整生产计划． （7）工厂计划生产新产品D ，每件产品D 消耗原材料甲、乙、丙分别为2kg ，2kg 及1kg ，每件产品D 应获利多少时才有利于投产． 【解】（1）设 x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的月生产量，数学模型为
123123123123123max 4321200
2350026000,0,0
Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥≥≥⎩ 最优单纯形表：
最优解X=（20，0，160），Z=560。

工厂应生产产品A20件，产品C160种，总利润为560元。

（2）由最优表可知，影子价格为12392
,,055
y y y =
==,故增加利润1.8元。

（3）因为y 2=0.4，所以叫价应不少于1.6元。

（4）依据最优表计算得
1231238
32,,19
5
13
[1,6],(,],[2,12]
5
c c c c c c -≤∆≤∆≤-≤∆≤∈∈-∞∈
（5）依据最优表计算得
123123100
400,400100,4003500[,600],[100,600],[200,).
3b b b b b b -
≤∆≤-≤∆≤-≤∆∈∈∈+∞ （6）变化后的检验数为λ2=1,λ4=-2,λ5=0。

故x 2进基x 1出基,得到最最优解X=(0,200,0)，即只
(7)设产品D 的产量为x 7, 单件产品利润为c 7，只有当1
7770B c C B P λ-=->时才有利于投
产。

177729222
,,02555
1B c C B P YP -⎛⎫
⎛⎫ ⎪>=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
则当单位产品D 的利润超过4.4元时才有利于投产。

2．8对下列线性规划作参数分析
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+≤≤-++=0
,182364)5()23(max 2121212
1x x x x x x x x Z μμ
X1出基；μ
>5时X4进基X2出基，用单纯形法计算。

参数变化与目标值变化的关系如下
（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥-≤+≤+≤+=0
,218236453max 2121212
1x x x x x x x x Z μμ
4160182b b b μ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥'''=+=+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
111()41
001300.50003112413005b B b b B b B b μμ
μμ---''''''=+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
(μ＝0,Z=27)
(μ＝5,Z=52)
(μ＝-1.5,Z=19.5)
2.9 有三个决策单元的输入输出矩阵
9510628364535439⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥⎣⎦
X Y ＝，＝
（1）建立C 2R 模型并求解，判断各决策单元的DEA 有效性。

(2) 建立BC 2模型并求解，判断各决策单元的DEA 有效性。

（3）指出哪些决策单元是技术有效又规模有效、是技术有效非规模有效、既不是技术有效又非规模有效。

(4) 分别求三个决策单元的整体效率、技术效率、规模效率及规模报酬
【解】（1）123123,3,2(,,),(,)T T
m n s ωωωμμ=====ωμ；
对第一决策单元有
11(934),(6,5)T T ==X Y ，，
112
123121231212312123
12312max 65934650563230
10498509341
,,,,0
P Z μμωωωμμωωωμμωωωμμωωωωωωμμ=+---++≤⎧⎪---++≤⎪⎪---++≤⎨⎪++=⎪⎪≥⎩ 最优解(0.0894,0,0.0488),(0.1667,0)T T
==ωμ，Z 1P =1 对偶问题的最优解：123()(1,0,0,1)λλλθ=，，，，Z 1D =1。

DEA 有效
对第二决策单元有
212
123121231212312123
12312max 23934650563230
10498505631
,,,,0
P Z μμωωωμμωωωμμωωωμμωωωωωωμμ=+---++≤⎧⎪---++≤⎪⎪
---++≤⎨⎪++=⎪⎪≥⎩ 最优解(0.0820,0,0.1475),(0,0.2656)T T
==ωμ，Z 2P =0.7967
对偶问题的最优解：123()(0.4426,0,0.1574,0.7967)λλλθ=，，，，Z 2D =0.7967
非DEA 有效
对第三决策单元有
312
123121231212312123
12312max 85934650563230
104949010491
,,,,0P Z μμωωωμμωωωμμωωωμμωωωωωωμμ=+---++≤⎧⎪---++≤⎪⎪
---++≤⎨⎪++=⎪⎪≥⎩ 最优解(0.0253,0,0.0829),(0.0933,0)T T
==ωμ，Z 3P =0.7465
对偶问题的最优解：123(,)(0.8295,0,0.3779,0.7465)λλλθ=，，，Z 3D =0.7465。

非DEA 有效
（2）第一决策单元BC 2模型
max 0,1,2,10,0
T kP k k
T T j j k T k
W c c j n
=-⎧-+≥=⎪⎪=⎨⎪≥≥⎪⎩
μY ωX μY ωX ωμ9510628364535439⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦X Y ＝，＝
1121123121123121123121123
12312max 65934650563230
10498509341
,,,,0
P W c c c c μμωωωμμωωωμμωωωμμωωωωωωμμ=+----++-≤⎧⎪---++-≤⎪⎪
---++-≤⎨⎪++=⎪⎪≥⎩ 最优解1(0.0894,0,0.0488),(0.1667,0)0T T
c ===ωμ，W 1P =1
对偶问题的最优解：123()(1,0,0,1)λλλθ=，，，，W 1D =1。

技术有效
第二决策单元BC 2模型
2122
123122123122123122123
123121max 2393465056323010498505631
,,,,0,P W c c c c c μμωωωμμωωωμμωωωμμωωωωωωμμ=+----++-≤⎧⎪
---++-≤⎪⎪
---++-≤⎨⎪++=⎪⎪≥⎩无限制
最优解2(0.0962,0,0.1731),(00.3115)0T
T c ===ωμ，
，W 2P =0.9346 对偶问题的最优解：123(,)(0.5192,0,0.0808,0.9346)λλλθ=，，，W 2D =0.9346 非技术有效
第三决策单元BC 2模型
3123
123123123123123123123
123123max 85934650
563230104985010491
,,,,0,P W c c c c c μμωωωμμωωωμμωωωμμωωωωωωμμ=+----++-≤⎧⎪
---++-≤⎪⎪
---++-≤⎨⎪++=⎪⎪≥⎩无限制 最优解3(0,0,0.1111),(0.27780) 1.2222T
T c ===ωμ，
，W 3P =1 对偶问题的最优解：123(,)(0,0,1,1)λλλθ=，，，W 3D =1
技术有效
（3）第一决策单元DEA 有效，从而既技术有效又规模有效；
第二决策单元非DEA 有效，由BC 2模型知既不是技术有效又非规模有效； 第三决策单元非DEA 有效，由BC 2模型知是技术有效非规模有效； （4）由定义及式（2－12）、（2－13）得到下表结果。

决策单元k Z kp W kp c k 整体效率 技术效率 规模效率 规模报酬
DMU1 1 1 0 1 1 1 1 DMU2 0.7967 0.9346 0 0.7967 0.9346 0.8524 1 DMU3 0.7465 1 1.2222 0.7465 1 0.7465 0.45
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第3章整数规划
3.1某公司今后三年内有五项工程可以考虑投资。

每项工程的期望收入和年度费用(万元)如表3-8所示。

表3-8
【解】设
1
j
j
x
j
⎧
=⎨
⎩
投资项目
不投资项目
，模型为
12345
12345
12345
12345
max3040201530
5457830
795625
8262930
01,1,,5
j
Z x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x j
=++++
++++≤
⎧
⎪++++≤
⎪
⎨++++≤
⎪
⎪=
⎩＝或
最优解X＝(1,1,1,0,1)，Z=120万元，即选择项目1、2、3、5时总收入最大。

3.2选址问题。

以汉江、长江为界将武汉市划分为
汉口、汉阳和武昌三镇。

某商业银行计划投资9000
万元在武汉市备选的12个点考虑设立支行，如图
3-8所示。

每个点的投资额与一年的收益见表3－
9。

计划汉口投资2～3个支行，汉阳投资1～2个
支行，武昌投资3～4个支行。

如何投资使总收益最大，建立该问题的数学
模型，说明是什么模型，可以用什么方法求解。

表3-9
j j
图3-8
12312
12311124
47712121
15588max 40050045040090012001000850100090002,3,1,2,3
,4101,,12j j j j j j j j j j j j j
Z x x x x x x x x x x x x x x x x j =======++++⎧+++++≤⎪⎪
≥≤≥≤≥≤⎨⎪⎪==⎩∑∑∑∑∑∑或， 最优解：x1＝x5=x12=0，其余xj=1,总收益Z=3870万元，实际完成投资额8920万元。

3.3 一辆货车的有效载重量是20吨，载货有效空间是8m ×2m ×1.5m 。

现有六件货物可供选择运输，每件货物的重量、体积及收入如表表3-10。

另外，在货物4和5中优先运货物5，货物1和2不能混装，货物3和货物6要么都不装要么同时装。

怎样安排货物运输使收入最大，建立数学模型。

表3-10
【解j j j j 件货物，有
1234561234561
23456451236max 3725836534722037456224
01001,1,2,,6
j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++++++≤⎧⎪+++++≤⎪⎪-≤⎪⎨
+≤⎪⎪-=⎪==⎪⎩或
3.4 女子体操团体赛规定：（1）每个代表队由5名运动员组成，比赛项目是高低杠、平衡
木、鞍马及自由体操。

（2）每个运动员最多只能参加3个项目并且每个项目只能参赛一次；（3）每个项目至少要有人参赛一次，并且总的参赛人次数等于10；（4）每个项目采用10分制记分，将10次比赛的得分求和，按其得分高低排名，分数越高成绩越好。

已知代表队5名运动员各单项的预赛成绩如表3-11所示。

表3-11
怎样安排运动员的参赛项目使团体总分最高，建立该问题的数学模型。

高低杠 平衡木 鞍马
自由体操
甲 8.6 9.7 8.9 9.4 乙 9.2 8.3 8.5 8.1 丙 8.8 8.7 9.3 9.6 丁 8.5 7.8 9.5 7.9 戊
8.0
9.4
8.2
7.7
【解】设x ij （i =1，2，…，5；j ＝1，2，3，4）为第i 人参赛j 项目的状态，即
⎩⎨
⎧=项目
人不参赛第项目
人参赛第j i j i x ij 0
1
记第i 人参赛j 项目的成绩为C ij ,，目标函数
∑∑===5
14
1
max i j ij ij x C Z
每个运动员最多只能参加3个项目并且每个项目只能参赛一次,约束条件：
5,,2,134321 =≤+++i x x x x i i i i 每个项目至少要有人参赛一次，并且总的参赛人次数等于10，约束条件：
4,3,2,1154321=≥++++j x x x x x j j j j j
10514
1
=∑∑==i j ij
x
数学模型为
54
11
1234123455411max 31,2,,511,2,3,41010,1,2,,5;1,2,3,4
ij ij
i j i i i i j j j j j ij i j ij Z C x x x x x i x x x x x j x x i j =====+++≤=⎧⎪++++≥=⎪⎪⎨
=⎪⎪⎪===⎩∑∑∑∑或 3.5某电子系统由3种元件组成，为了使系统正常运转，每个元件都必须工作良好，如一个
或多个元件安装几个备用件将提高系统的可靠性，已知系统运转可靠性为各元件可靠性的乘积，而每一元件的可靠性是备用件数量的函数，具体如表3－12所示。

3种元件的价格分别为30、40和50元/件，重量分别为2、4和6kg/件。

而全部备用件的费用预算限制为220元，重量限制为20kg ，问每种元件各安装多少个备用件，使系统可靠性最大。

试建立该问题的整数（非线性）规划数学模型。

【解】设123x x x 、、分别为元件1、2、3的备件数，由可靠性知2332x x ≤≤、
设12345y y y y y 、、、、为元件1备件数的状态变量，1i y =（备件数为j 件，j ＝0，1…，
4）或0i y =（备件数为0件，i ＝1，2， (5)
设6789y y y y 、、、为元件2备件数0、1、2、3件时的状态变量，10i y =或（i ＝6、7、8、9）
设101112y y y 、、为元件3备件数0、1、2件时的状态变量，10i y =或（i ＝10、11、12） 数学模型为：
123456789101112max (0.50.60.750.9)(0.60.80.9)(0.70.9)
z y y y y y y y y y y y y =++++⨯
+++⨯++
1231
23123456789101112
1
2345278931112
123304050220
24620
1112342320101,2,,12
i x x x x x x y y y y y y y y y y y y x y y y y x y y y x y y x x x y i ++≤⎧⎪++≤⎪⎪++++=⎪
+++=⎪⎪++=⎪⎨
=+++⎪⎪=++⎪
=+⎪⎪≥⎪⎪==⎩、、并且为整数或， 注意：如果去掉第6、7、8个约束，因目标函数中没有x ，则x 与y 之间就没有逻辑关系。

3.6利用0－1变量对下列各题分别表示成一般线性约束条件
（1）x 1+2x 2≤8、4x 1+x 2≥10及2x 1+6x 2≤18 三个约束中至少两个满足 （2）若x 1≥5，则x 2≥10，否则x 2≤8 （3）x 1取值2，4，6，8中的一个
【解】12112212312228410(1)26181011,2,3
j x x y M
x x y M x x y M y y y y j ⎧+≤+⎪
+≥-⎪⎪+≤+⎨⎪++≤⎪⎪==⎩或， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+≤-≥-+<-≥10)1(810)1(55)2(22
11或y M y x yM x M y x yM x ⎪⎩⎪⎨⎧===++++++=4,3,2,11018642)3(432143211j y y y y y y y y y x j ，或 3.7考虑下列数学模型
)()(m in 21x g x f Z +=
其中
⎩⎨
⎧=>+=⎩⎨⎧=>+=0,
00
,1015)(,0,00,610)(22221111x x x x g x x x x f 若若若若 满足约束条件
（1）x 1≥8或x 2≥6 （2）|x 1－x 2|=0，4或8
（3）x 1+2x 2≥20、2x 1+x 2≥20及x 1+x 2≥20 三个约束中至少一个满足 （4）x 1≥0，x 2≥0
将此问题归结为混合整数规划的数学模型。

【解】）
条件（）
条件（）条件（）条件（，
，或432111,2,110;0,02
202022021
88440)1(68;1015610min 2111
109
11211021921876548
7654213231
22112
211⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎨
⎧==≥≥≤++-≥+-≥+-≥+=+++++-+-=---≥-≥≤≤+++= j y x x y y y M y x x M y x x M y x x y y y y y y y y y y x x M y x M
y x M y x M y x x y x y Z j
3.8用分枝定界法求解下列IP 问题
（1）12121212max 4329248,0Z x x x x x x x x =++≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且为整数 （2）12
121212
min 2310
5630,0Z x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩且为整数
【解】(1)X=(4，0),Z=4 （双击打开PPT ）
(2) X(1)=(2,4)，X(2)＝(0，5)；Z=10 （双击打开PPT）
3.9用割平面法求解下列IP问题
（1）
12
12
12
12
max2
4214
210
,0
Z x x
x x
x x
x x
=+
+≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥
⎩且为整数
（2）
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≥
+
≥
+
+
=
且为整数
,
10
2
9
2
3
2
min
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
Z
【解】(1) 加入松弛变量x3、x4，单纯形表如下：
X1行为来源行，割平面方程为：，插入到最优表得到
以X1行为来源行，割平面方程为：，插入到最优表得到
3.10用隐枚举法求解下列BIP问题
（1）
123
123
123
max43
526
4238
011,2,3
j
Z x x x
x x x
x x x
x j
=+
⎧++≥
⎪
++≤
⎨
⎪==
⎩
＋4
或，
（2）
1234
1234
1234
1234
min4253
425
3224
329
011,2,3,4
j
Z x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x j
=+++
-+++≤
⎧
⎪-+-≥
⎪
⎨+++≤
⎪
⎪==
⎩或，
【解】(1)X=(1,0，1),Z=8 (2)X=(1,0,1,0),Z=9
3.11思考与简答题
（1）“整数规划的最优解是求其松弛问题最优解后取整得到”为什么不对。

（2）解释“分支”与“定界”的含义。

（3）简述分支定界法的基本步骤。

（4）高莫雷方程是怎样得到的，在割平面法中起到什么作用。

（5）割平面法计算过程中，什么时候可以去掉单纯形表中一行和一列。

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第4章 目标规划
4.1 已知某实际问题的线性规划模型为
2150100m ax x x z +=
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≥+≤+0,)2(25311)1(20016102
12121x x x x x x 资源资源
假定重新确定这个问题的目标为： Ｐ1：ｚ的值应不低于1900 Ｐ2：资源１必须全部利用
将此问题转换为目标规划问题，列出数学模型。

【解】数学模型为
112221*********min ()
100501900101620011325
,,0,1,2j j j Z p d p d d x x d d x x d d x x x d d j --+
-+-+
-+=++⎧++-=⎪++-=⎪⎪
+≥⎨⎪≥=⎪⎪⎩
4.2 工厂生产甲、乙两种产品，由Ａ、Ｂ二组人员来生产。

Ａ组人员熟练工人比较多，工作效率高，成本也高；Ｂ组人员新手较多工作效率比较低，成本也较低。

例如，A 组只生产甲产品时每小时生产10件，成本是50元有关资料如表4.21所示。

班生产的产品每件增加成本5元。

工厂根据市场需求、利润及生产能力确定了下列目标顺序： P 1：每周供应市场甲产品400件，乙产品300件 P 2：每周利润指标不低于500元
P 3：两组都尽可能少加班，如必须加班由Ａ组优先加班 建立此生产计划的数学模型。

【解】 解法一：设x 1, x 2分别为A 组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量，x 3, x 4分别为A 组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量；x 5, x 6分别为B 组一周内正常时间生产产品甲、乙的产量，x 7, x 8分别为B 组一周内加班时间生产产品甲、乙的产量。

总利润为
135713572468246812345678
80()(50554550)75()(45504045)3030252535353030x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++++++-+++=+++++++
生产时间为
A 组：12340.10.1250.10.125x x x x +++
B 组：56780.1250.20.1250.2x x x x +++ 数学模型为：
112233454671357112468221
234567833124456553min ()()(2)
400300
3030252535353030500
0.10.12540
0.1250.2400.10.Z p d d p d p d d p d d x x x x d d x x x x d d x x x x x x x x d d x x d d x x d d x ---++++
+-+-+
=++++++++++-=++++-=++++++++-=++-=++-=+－－
－－－466
787712510
0.1250.2100,,0,1,2,,7;1,2,,8j i i x d d x x d d x d d i j -+-+-+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+-=⎪
⎪++-=⎪≥≥==⎪⎩
解法二：设x 1, x 2分别为A 组一周内生产产品甲、乙的正常时间，x 3, x 4分别为A 组一周内
生产产品甲、乙的加班时间；x 5, x 6分别为B 组一周内生产产品甲、乙的正常时间，x 7, x 8分别为B 组一周内生产产品甲、乙的加班时间。

总利润为
()()1234567812345678
1080508(7545)1080558(7550)8(8045)5(7540)8(8050)5(7545)300240250200280175240150x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+-+-=+++++++
数学模型为
1122334546713571124682212345678331244565534
min ()()(2)
1010884008855300
300240250200280175240150500
40
40z p d d p d p d d p d d x x x x d d x x x x d d x x x x x x x x d d x x d d x x d d x x -----++-+-+-+-+-+
=++++++++++-=++++-=++++++++-=++-=++-=++66
787710
100,,0,1,2,,7;1,2,,8j
i i d d x x d d x d d i j -+-+-+⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎪++-=⎪≥≥==⎪⎩
4.3【解】设x ij 为A i 到B j 的运量，数学模型为。