概率论-2-3连续型随机变量及其概率密度

x)
1 100
e
x
100
,
x0
0,
其它
（1）求元件寿命至少为200小时的概率；
（2）将3只这种元件连接成为一个系统. 设系统 工作的方式是至少2只元件失效时系统失效，又设3 只元件工作相互独立. 求系统的寿命至少为200小时 的概率.
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为PX 200 f Nhomakorabea(x)dx
Y ~ B(3,1 e2)
2只及2只以上元件的寿命小于200小时的概率为
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2
PY 2 3(1 e2)2(e2) (1 e2)3
2 (1 e2)2(2e2 1) 0.950. 故系统的寿命至少为200小时的概率为
p 1 PY 2 1 0.950 0.050
1 ba
ab
即是说 X落在区间（a,b）内任意等长小区间 上的概率相等，在（a,b）内两个等长小区间上， f(x)之下的小长方形的面积相等，就是称为均匀分 布的原因.
均匀分布常见于下列情形
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差.
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
本节练习
习题二：８，９，１０
§2.3 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的连续型随机变量 小结
连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,
对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那 样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给出其概率 分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.
f
(
x)
1, 0,
0.5 x 0.5 其它
例4 等待时间 公共汽车每10分钟按时通过一车 站，一乘客在随机选择的时间到达车站. 以X记他的 等车时间（以分计），则X是一个随机变量，且有
X~U(0,10). X的概率密度为
且有
f
(
x)
1 10
,
0 x 10
0, 其它
PX 3
3
f ( x)dx
3 36
36
3
2
1 1 (9 0 36
x2)dx
1 (9x 18
1 (9 x2)dx 1 (9x x3 ) 3
0
)
3
x3 )
1
3
0
2
1 2
13 27
2 36
36
3 27
2
二、几种常见的连续性分布
1. 均匀分布
若随机变量X的概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
aX b
0, 其他
则称X服从参数为a, b的均匀分布，记为X~U(a,b)
x0
x
lim f ( )x f ( x)
x0 x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X 落
在区间 x, x x上的概率与区间长度 x 之比的极
限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x) 相当于线 密度.
若不计高阶无穷小，有
Px X x x f ( x)x
这表明，X落在小区间x, x x 上的概率近似
的等于f (x)x.
例2 设随机变量X具有概率密度
C(9 x2), 3 x 3
f (x) 0,
其他
（1）求常数C; (2)求概率 PX 0, P 1 X 1,
PX 2.
解 (1) 由概率密度 f (x) 的性质 f ( x)dx 1, 得
1
f ( x)dx
3C (9 x2 )dx
P{ x1 X x2 }
x2 f ( x)dx
x1
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
f (x)
oa
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，
并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X
取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度
曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.
3 1 dx 3
0
0 10 10
P3 X 6
6
f ( x)dx
6 1 dx 3
3
3 10 10
PX 4
4
f ( x)dx
4
4 1 dx 0 4 10
2 . 指数分布
若连续型r .v X具有概率密度
f
x
1 θ
ex
θ,
x
0,
0 , 其它,
其中 θ 0为常数, 则称 X 服从参数为θ 的指数分布. 又称 X 服从参数为θ 的负指数分布.
应用场合 用指数分布描述的实例有
随机服务系统中的服务时间 电话问题中的通话时间
无线电元件的寿命 动物的寿命
指数分布 常作为各种“寿命”
分布的近似
在实践中，动植物及元件的使用寿命，服务系统 的服务时间等等，都可能指数分布来描述。
例5 某种电子元件的寿命（以小时计）X 服从
指数分布，其概率密度为
f
(
下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.
一、连续型r.v.的定义
定义 设X是随机变量，如果存在定义在整个实 数轴上的函数 f ( x), 满足条件
（1） f ( x) 0
（2）
f ( x)dx 1
且对于任意两个实数 a,b(a b),a 也可为 ,b 也可为
, 有
b
P(a X b) f (x)dx a
指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的 寿命.
它满足f(x)应该具有的性质 如图
θ f(x)
x 0
且有 f ( x) 0
f (x)dx
1exdx
e
x
d
(
x
)
0
0
[e
x
]0
1
指数分布的“无记忆性”
命题 若X 服从参数为 的指数分布，则
对于任意 s,t 0, 有
P(X s t X s) P(X t) 事实上
3
2C
3
(9 x2)dx 2C(9x
0
x3 3
)
3 0
36C
即有 C 1 , 36
于是概率密度为
f ( x) 316 (9 x2), 3 x 3
0,
其他
(2)由连续型随机变量概率计算公式得
PX
P1 PX
0
X
2
1
3
0 1 (9 x2 )dx 1 (9 x x3
左 P(X s t X s)
P( X s t) ( X s) P( X s t)
P(X s)
P(X s)
1e
x
dx
st
1e
x
dx
s
x
e
st
x
e
s
e(st ) es
et
而
右 P(X t)
1e
x
dx
t
x
e
t
et
于是
P(X s t X s) P(X t)
请注意 （1）连续型r.v取任意一特定值 a 的概率为零，即
P(X a) 0 因为
a
P(X a) f (x)dx 0 a
(2) 对连续型 r.v X , 有
P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)
(3) 对连续型 r.v X , 改变被积函数f ( x) 在有限个
例3 舍入误差 由测量一物体的长度所得到的 结果常以四舍五入的原则舍入为毫米的整数倍. 以X 记舍入误差（即被舍入的值与原始值之差），X可能
取值的范围为 0.5,0.5. 常可合理地假设X在区间
0.5,0.5 具有均匀分布. X的概率密度为
f
(
x)
1, 0,
0.5 x 0.5 其它
也可写成
1
x
e 100dx
200
200 100
解（1）元件寿命至少为200小时的概率为
PX 200 f (x)dx
1
x
e 100dx
200
200 100
e x
100
200
e2（小时）
（2）以Y记3只元件中寿命小于200小时的元件只数. 由于各元件的工作相互独立，又由（1）知一元件寿 命小于200小时的概率为1 e2, 故有
小结： 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度函数的定义：三个条件
➢非负性 f ( x) 0
➢规范性 f ( x)dx 1
➢概率计算 P{ x1 X x2 }
x2 f ( x)dx
x1
表示方法：函数(分段或不分段)
连续型随机变量由它的概率密度函数唯一确定.
目的
样本空间
则称X为连续型r.v.，并称f(x)为X的概率密度函
数，简称概率密度或密度。
二、概率密度的性质
(1) f ( x) 0
(2) f (x)dx 1
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
随机事件
随机事件的规律
全集S
子集A
随机变量
随机变量的
定义域
值或范围
数值化
随机变量的 分布律、概 率密度函数
随机事件的概率
常见连续型随机变量及其概率密度(熟记)
f
(
x)
b
1
a
,
aX b
0, 其他
f
x
1 ex θ
θ,
x
0,
0 , 其它,
要求
给定带未知参数的概率密度函数，求参数值 给定概率密度函数，会计算要求的概率 对具体问题，根据问题特点判断随机变量类型
b
点的函数值不影响积分 f (x)dx 的值，即不影响概率 a
Pa X b, 因此对于概率密度 f ( x) 来说，改变它
在有限个点上的值，是被允许的.
（4）对 f(x)的进一步理解
若 x 是 f(x) 的连续点，则
x x
lim P x X x x lim x f ( x)dx
x0
x