七年级下学期数学各章复习资料

初一数学总复习
第五章相交线与平行线
一、本章知识结构:
二、知识要点
（一）同一平面内两条直线的位置关系：（1)相交；(2）平行。

(二）两条直线相交的有关性质：
◆对顶角的定义
注意：1、对顶角都是成对出现的，单独的角不能构成对顶角；
2、两条直线相交构成两对对顶角；
3、对顶角只有公共顶点、没有公共边，它们的两边互为反向延长线。

◆邻补角的定义
注意：1、邻补角有一条公共边，另一边互为反向延长线;
2、邻补角≠补角；
3、两相交直线可以形成四对邻补角.
◆对顶角的性质：对顶角相等。

(三)垂线及其性质：
◆垂直的定义
两条直线相交,夹角为90°时，这两条直线的位置关系称为垂直，这两条线互为对方的“垂线”，它们的交点称为“垂足”；根据定义判断两直线是否垂直时,只需要判断其夹角是不是90°。

◆垂线的性质
１、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
２、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（其它的线段称为“斜线段"）.
◆ 距离
１、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，称为点到直线的距离;
２、平行线之间的距离：作平行线的垂线，两个垂足之间的线段的长度，称为平行线之间的距离。

（四）两条直线被第三条直线所截，三种位置的角：同位角；内错角;同旁内角。

（五）平行线及平行线的判定、性质：
１．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线; ２．平行公理及其推论：
◆经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ◆平行于同一条直线的两条直线互相平行。

（六)平移及其性质：
平移的条件：（1)平移的方向（2）移动的距离 平移的性质：
◆平移变换只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小； ◆平移变换中，连结各组对应点的线段平行（或共线）且相等. （七）命题、定理、证明;
◆ 命题
１．判断一件事情的句子，叫做命题。

２．每个命题都是由题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结论由已知事项推出的事项.
３．命题需写成“如果…，那么…”的形式，具有这种形式的命题，前半句话是题设,后半句是结论。

（凡是命题都可经过分析，改写成这种形式）； ◆ 真命题,假命题的区别； ◆ 定理与证明 （八）作图。

三、重点知识点及典型例题
知识点一：对顶角和邻补角
【例题】
1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有（ ）
A 。

1个 B.2个 C 。

3个 D 。

4个 2．如图1—1，直线A
B 、CD 、EF 都经过点O ，图中有几对对顶角。

12121
221
３．如图1-2，若∠AOB 与∠BOC 是一对邻补角，OD 平分∠AOB ，
OE 在∠BOC 内部，并且∠BOE =1
2
∠COE ，∠DOE =72°.
求∠COE 的度数.
知识点二：垂线
【例题】
已知:如图，在一条公路l 的两侧有A 、B 两个村庄. 〈1〉现在乡政府为民服务,沿公路开通公交汽车,并在路边修建一个公共汽车站P,同时修建车站P 到A 、B 两个村庄的道路，并要求修建的道路之和最短,请你设计出车站的位置,在图中画出点P 的位置,（保留作图的痕迹)．并在后面的横线上用一句话说明道理． . <2〉为方便机动车出行,A 村计划自己出资修建一条由本村直达公路l 的机动车专用道路,你能帮助A 村节省资金，设计出最短的道路吗？，请在图中画出你设计修建的最短道路，并在后面的横线上用一句话说明道理． 。

知识点三:同位角、内错角和同旁内角的判断
同位角、内错角和同旁内角的位置特征： 1、同位角 位于截线同旁,被截两线的同方向; 2、内错角 位于截线两侧，被截两线之间; 3、同旁内角 位于截线同旁，被截两线之间。

【例题】 1．如图3-1，按各角的位置,下列判断错误的是（ ） (A ）∠1与∠2是同旁内角 (B ）∠3与∠4是内错角
（C ）∠5与∠6是同旁内角 (D ）∠5与∠8是同位角
2.如图3—2，与∠EFB 构成内错角的是_ ___，与∠FEB 构成同旁内角的是_ ___。

D
B
E
A C
O
（图1-2）
1
2345
678图3-1
F
A C
E D
知识点四：平行线的判定和性质
【练习】 题组一：
1.如图4—1, 若∠3=∠4，则 ∥ ；
若AB ∥CD ，则∠ =∠ 。

2.已知两个角的两边分别平行，其中一个角为52°， 则另一个角为____ ___.
3．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中， 角平分线互相平行的两个角是( ）
A.同位角
B.同旁内角 C 。

内错角 D. 同位角或内错角 4．如图4-2，要说明 AB ∥CD ，需要什么条件？
试把所有可能的情况写出来，并说明理由.
题组二:
出现转折角，巧添平行线
5．如图4—3，EF ⊥GF,垂足为F ，∠AEF=150°,∠DGF=60°.试判断AB 和CD 的位置关系，并说明理由。

【变式训练】
6．如图4-4，AB ∥DE ，∠ABC =70°，∠CDE =147°,求∠C 的度数． 7．如图4—5，CD ∥BE ，则∠2+∠3−∠１的度数等于多少? 8．如图4-6：AB ∥CD ，∠ABE =∠DCF ,求证：BE ∥CF ．
⌒
⌒
⌒
⌒
A B C D 14
32 （1）
图4-1
图4-3 图
4-6 F E D
C
B
A （图4-2） 图4-4 图4-5
题组三:发散与探究
9．如图（1），MA 1∥NA 2，则∠A 1＋∠A 2＝____________度.
如图（2),MA 1∥NA 3，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＝________________度。

如图(3)，MA 1∥NA 4，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋∠A 4＝____________ 度.
如图(4）,MA 1∥NA 5，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋∠A 4＋∠A 5＝________________度。

从上述结论中你发现了什么规律？ 如图（5），MA 1∥NA n ，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋……＋∠A n ＝____________度。

知识点五：平行线的实际应用
【练习】
1． 如图5-1，一条公路修到湖边时，需要绕湖而过，如果第一次拐的角∠Ａ是120°，第二次拐的
角∠B 是150°，第三次拐的角是∠C ,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行, 则∠C 是多少度？
２.某人从A 点出发向北偏东60°方向走了10米,到达B 点，再从B 点方向向南偏西15°方向走了10米,到达C 点,则∠ABC 等于（ ） A 。

45° B.75° C.105° D 。

135°
３．一位学员练习驾驶汽车,发现两次拐弯后,行驶方向与原来的方向相同，这两次的拐弯角度可能是( ）
A 第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
A 1 A 2
A 2A 1
A 3
A 2 图（1）
图（2） M
M
M
N
N
A 3
A 1
A 4
图（3）
N
A 3
A 1
A 2
A 4
A 5 图（4）
M
N A 1
A 3
A 4
A 5 A 2
A 6
A n
图（5）
M
N
C B E A F
D C B
E A
F 图5-1
D
B第一次向左拐50°，第二次向右拐50°
C 第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
D第一次向右拐50°，第二次向右拐50°
４．如图5—2,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED ′等于
5．如图5—3，潜望镜中的两个镜子AB、CD是互相平行放置的,光线经过镜子反射时,由物理知识可知：∠1=∠2，∠3=∠4.请你想一想，为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？
说说你的理由。

知识点六：平移的性质及应用
【例题】
(1）点的移动(等积变形）
根据“平行线之间的距离处处相等”和“同底等高的两个三角形面积相等",将图中的一个三角形的一个顶点看作一个“动点”沿直线移动，将原来复杂的图形变为简单明了的图形。

例1．计算(图6—1）中的阴影部分面积.（单位：厘米）
图6-1
例2．如（图6-2）所示，已知大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为7厘米，
求阴影部分面积。

(结果保留 )
图6-2
（2）面的移动(平移法）
将所给图形中的某个图形沿直线上下左右移动，把复杂的图形简单化。

例3．求(图6—3）中阴影部分的面积（单位：厘米）
知识点七：命题
练习训练：
1。

下列命题中，真命题的个数为（ )个
① 一个角的补角可能是锐角；
② 两条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离是这两条平行线间的距离； ③ 平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④ 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行; A.1 B.2 C.3 D 。

4
知识点八：逻辑推理 1．已知:如图8-1，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠1=∠2。

求证：∠CDG=∠B 。

2. 已知:如图8-2，A B ∥CD,∠1=∠2,∠E=65°20′，求:∠F 的度数。

E 2
1
G
F
D
C
B A
3
图8-1
图6-3
B
E F C
D 1 2
图2
3。

已知：如图8-3， AE ⊥BC , FG ⊥BC ， ∠1=∠2, ∠D =∠3+60︒， ∠CBD =70︒ . （1）求证：AB ∥CD ; （2）求∠C 的度数.
4．如图8—4，在长方形ABCD 中,∠ADB ＝20°，现将这一长方形纸片沿AF 折叠，若使 AB ’ ∥BD ，则折痕AF 与AB 的夹角∠BAF 应为多少度?
5。

如图8—5， B 点在A 点的北偏西30︒方向, 距A 点100米, C 点在B 点的北偏东60︒， ∠ACB = 40︒
（1） 求A 点到直线BC 的距离；
（2） 问：A 点在C 点的南偏西多少度 ？(写出计算和推理过程）
知识点九:作图
1．如图,在1010⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，
将ABC △向下平移4个单位，得到A B C '''△，请你画出A B C '''
△
1 3 2
D B C A
E F
G 图8-3 A
B C
B '
D
F
C
B
A
图8-4
A
图8-5
（不要求写画法）．
2．利用等积变换作图
根据等积关系，可以使某些作图题较快地得到解答。

基本图形：
例题：
1．如图△ ABC ，过A 点的中线能把三角形分成面积相同的两部分.你能过AB 边上一点E 作一条直线EF ，使它也将这个三角形分成两个面积相等的部分吗？
A B
C
E
2．有一块形状如图的耕地，兄弟二人要把它分成两等份，请你设计一种方案把它分成所需要的份数．如果只允许引一条直线，你能办到吗？
3．如图,欲将一块四方形的耕地中间的一条折路MPN 改直，但不能改变折路两边的耕地面积的大小,应如何画线？
4．已知：如图,五边形
ABCDE ，用三角尺和直尺作一个三角形，使该三角形的面积与所给的五边形ABCDE
的面积相等.
D
N B A P M
D 第3题
第六章平面直角坐标系
一、本章知识结构：
二、知识要点:
1、建立平面直角坐标系(语言描述）
2、平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。

3、各象限内点的坐标符号.
4、特殊点的坐标（特征和表示）
(1）坐标轴上的点的坐标特征。

(2)平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征:
（3)关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征：
关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数.
(4）象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数.
5、距离:
（1)坐标平面内点P（x,y)到x轴的距离为y,到y轴的距离为x。

x-；
(2）x轴上两点A（1x,0）、B（2x,0）的距离为AB=2
1x
y-。

y轴上两点C(0，1y）、D（0，2y)的距离为CD= 2
1y
x-；
(3)平行于x轴的直线上两点A（1x，y）、B（2x,y）的距离为AB=2
1x
y-.
平行于y轴的直线上两点C（x，1y）、D（x，2y）的距离为CD=2
1y
6、求几何图形的面积
7. 坐标方法的简单应用:
用坐标表示地理位置:
8.用坐标表示平移
用坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中的应用. 这部分内容是由点的平移与点坐标的变化关系引出了图形的平移与图形上对应点的坐标的变化关系。

（1) 点的平移 (2) 图形的平移※(3)坐标系的平移
三、巩固练习
(一）填空：
1．已知点P(3a-8，a —1）.
(1) 点P 在x 轴上，则P 点坐标为 ；
（2) 点P 在第二象限,并且a 为整数，则P 点坐标为 ；
(3) Q 点坐标为(3，—6）,并且直线PQ ∥x 轴，则P 点坐标为 。

2．如图的棋盘中，若“帅”位于点（1，－2）上，
“相”位于点（3，－2）上，则“炮”位于点__ 上.
3．点)1,2(A 关于x 轴的对称点'A 的坐标是 ；点)3,2(B 关于y 轴的对称点'B 的坐标是 ；点)2,1(-C 关于坐标原点的对称点'C 的坐标是 。

4．已知点P 在第四象限，且到x 轴距离为5
2
,到y 轴距离为2，则点P 的坐标为 。

5．已知点P 到x 轴距离为
5
2
，到y 轴距离为2,则点P 的坐标 为 。

6． 已知),(111y x P ，),(122y x P ，21x x ≠，则⊥21P P 轴，21P P ∥ 轴；
7．把点),(b a P 向右平移两个单位,得到点),2('b a P +,再把点'P 向上平移三个单位，得到点''P ，则''P 的坐标是 ; 8．在矩形ABCD 中，A （-4，1），B （0，1）,C(0，3），则D 点的坐标为 ； 9．线段AB 的长度为3且平行与x 轴,已知点A 的坐标为（2,-5）,
则点B 的坐标为___ __。

(二）选择题：
10．线段AB 的两个端点坐标为A (1，3D （3，0），则线段AB 与线段CD A 。

平行且相等 B 。

平行但不相等（三）解答题：
1．已知：如图，)3,1(-A ，)0,2(-B ，
2．已知：)0,4(A ，),3(y B ,点C 在x ⑴ 求点C 的坐标；
⑵ 若10=∆ABC S ，求点B 的坐标.
3．已知：四边形ABCD 各顶点坐标为A （-4,-2),B(4，-2），C(3，1)，D(0，3）。

(1）在平面直角坐标系中画出四边形ABCD ； （2)求四边形ABCD 的面积。

（3）如果把原来的四边形ABCD 各个顶点横坐标减2,纵坐标加3，所得图形的面积是多少?
4． 已知：)1,0(A ，)0,2(B ，)3,4(C .
⑴ 求△ABC 的面积；
⑵ 设点P 在坐标轴上,且△ABP 与△ABC 的面积相等，求点P 的坐标。

5。

如图,是某野生动物园的平面示意图. 建立适当的直角
坐标系，写出各地点的坐标，并求金鱼馆与熊猫馆的实际距离.
6。

如图，平移坐标系中的△ABC,使AB 平移到11B A 的位 置，再将111C B A ∆向右平移3个单位，得到222C B A ∆, 画出222C B A ∆，并求出△ABC 到222C B A ∆的坐标变化.
第5题图
第七章 三角形
一、知识结构
二、知识要点： 1.三角形的分类:
(1）按边分类:⎪⎩⎪
⎨⎧⎩⎨⎧.形腰和底相等的等边三角形；腰和底不等的等腰三角
等腰三角形不等边三角形三角形 (2）按角分类：⎪
⎩
⎪
⎨⎧⎩⎨⎧.钝角三角形锐角三角形，
斜三角形直角三角形三角形 2。

三角形的边的关系：
（1）三角形任意两边的和大于第三边;三角形任意两边的差小于第三边. （2）特殊三角形边角关系
3.三角形的三种重要线段：三角形的高线、中线、角平分线
4.作图.
5.三角形的内、外角性质：
6.三角形的稳定性.
7.多边形及其内角和：
（1)n 边形的内角和：
180)2(⋅-n （2）多边形的外角和等于360°. （3）多边形的对角线:①从n 边形的一个顶点作对角线有：(n-3）条；
②n 边形共有：
2
)
3(-n n 条对角线. (4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

8.平面镶嵌:
三、巩固练习：
1。

如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形
C 。

钝角三角形
D 。

锐角三角形或钝角三角形 2.如图是一副三角尺拼成图案，则∠AEB ＝__ ____°.
3。

在△ABC 中，若a=3，b=5，则c 边的取值范围_ _______.
4。

如果三条线段的比是：
（1）5：20：30 (2)5:10:15 (3）3：4：5
(4）3：3：5 (5）5:5:10 (6）7：7：2 那么其中可构成三角形的比有( ）种.
A 。

2 B.3 C.4 D 。

5
5。

三角形的三边分别为3,8，1-2x ，则x 的取值范围是（ ）
A 。

0＜x ＜2
B 。

-5＜x ＜-2
C 。

-2＜x ＜5 D.x ＜—5或x ＞2
6.如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的外部,那么这个三角形是___ ___三角形.
7. 如图1，已知△ABC ，求作：（1)△ABC 的中线AD;（2）△ABC 的角平分线AE;
8。

如图2,已知△ABC ，求作：△ABC 的高线AD 、CE 。

9。

在△ABC 中，两条角平分线BD 、CE 相交于点O,∠BOC=116°，那么∠A 的度数是___ ___. 10。

已知BD 、CE 是△ABC 的高，若直线BD 、CE 相交所成的角中有一个为50°，则∠BAC 等于_ 。

11。

在△ABC 中，∠B －∠A=15°,∠C －∠B=60°，则△ABC 的形状为____ _____. 12。

若一个多边形的内角和等于720,则这个多边形的边数是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
13。

一个多边形的每一个内角为144°，则它的边数是__ ____，它的对角线的条数是__ __. 14.把一个五边形切去一角，则它的内角和为( )度。

A 。

360 B.540 C.720 D.以上答案都可能。

15。

一个多边形，除了一个内角外，其余的内角和为2750°,求这
个多边形的边数。

16。

下列正多边形不能镶嵌成一个平面图案的是( ) A.正三角形 B 。

正方形 C.正五边形 D.正六边形
17、画图题
某节目摄制组拍摄节目时,摄影机只能在轨道0A 上移动，演员在0B 方向上的某处P 表演．当摄
A
B C 图1 A B
C 图2 B C A
D E
第２题图
第17题图
影机到达点C 处时，离演员最近，拍摄效果最好．请在图中确定这时演员的位置P ．(保留画图痕迹，不写画法)
18、问题：有四个工艺品厂,位置如图,准备建一个公共展厅
展销四个厂的产品,展厅建在何处，才能使四个工艺品厂的展厅的距离之和最小。

19。

如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，
则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，
你发现的规律是（ ）
A 。

∠A=∠1+∠2 B. 2∠A=∠1+∠2 C.3∠A=2∠1+∠2 D 。

3∠A=2（∠1+∠2)
20。

从下列图中选择四个拼图板，可拼成一个矩形，正确的选择方案为 ． (只填写拼图板的代码）
21.某零件如图所示，图纸要求∠A=90°，∠B=32°,∠C=21°，
当检验员量得∠BDC=145°，就断定这个零件不合格, 你能说出其中的道理吗？
22.(1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上,恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ
分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝ 度，∠XBC ＋∠XCB ＝ 度;
(2)如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过
点B 、C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化?若变化，请举例说明；若不变化,请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．
A B
C D
第21图 X X
Y
A B C C
B A
Y Z Z
图1
图2 D 1 A
B C E
2 第19图
图1
23.（1）如图,△ABC,D 在BC 的延长线上，E 在CA 的延长线上，F 在AB 上.求证:∠2>∠1.
(2)如图，△ABC ，CD 是它的外角∠ACE 的平分线，求证：∠2〉∠1。

24.（1）已知：如图1，△ABC 中，D 是AB 上除顶点外的一点。

， 求证：AB+AC>DB+DC ； （2）已知：如图2,△ABC 中，D 为AB 边上一点，求证：AB+AC ≥DB+DC ； （3）如图3，点P 为△ABC 内任一点,求证：PA+PB+PC>
2
1
(AB+BC+AC); （4）如图4，D 、E 是△ABC 内的两点，求证：AB+AC 〉BD+DE+EC.
25。

如图a,五角星ABCDE.
(1)请你猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 为多少度？
（2）若有一个顶点B 在运动，五角星变为b 图、c 图(1）的结论还正确吗？请说明理由.
C 1 E F
A D
B 2
C A B D
E 2 1 D C B A
图2 P C B A
图3 E D C B
A
图4 D A B C E
a 图 D A
B C E b 图 A C D
E
B c 图
26.（1）如图1，在△ABC 中，∠C=80°， ∠B=40°，AD 垂直BC 于D,AE 平分∠BAC ，
求∠EAD 的度数?
（2）若将“∠C=80°, ∠B=40°”改为“∠C ＞∠B"而其它条件不变，你能求出
∠EAD 与∠B,∠C 之间的数量关系吗?
（3）如图2，在△ABC 中,AE 平分∠BAC,点F 在AE 上，FD 垂直BC 于D ， ∠EFD 与∠B ，∠
C 之间有何关系?请说出理由。

（4）如图3，在△ABC 中，AE 平分∠BAC,点F 在AE 的延长线上，FD 垂直BC 于D,
∠EFD 与∠B ，∠C 之间有何关系？请说出理由.
27．如图，△ABC 的BC 边上的高与△ 的 边上的高相同。

28．如图，点D E F ，，分别是ABC △三边上的中点．若ABC △的面积为12，则DEF △的面积
为 ．
29、已知：ABC △。

填空： （1）在图1中,若D 1、E 1分别为AB 、BC 的中点，则阴影部分与ABC △的面积比等于___ ________； （2）在图2中,若D 1、D 2分别为AB 的三等分点,E 1、E 2分别为BC 的三等分点，则阴影部分与ABC
△的面积比等于____ _______；
（3）在图3中,若D 1、D 2、D 3分别为AB 的四等分点，E 1、E 2、E 3分别为BC 的四等分点，则阴
影部分与ABC △的面积比等于___ _________；
（3）在图8中，若D 1、D 2、D 3、……D 8分别为AB 的九等分点，E 1、E 2、E 3、……E 8分别为BC
的九等分点,则阴影部分与ABC △的面积比等于_________；
……
图1 图2 图3 图8
D C B A
E 图1 A D C B E 图２ 图３ D C B E
A F F C A E 1D 1
B E 2D 2
C A E 1
D 1B
E 3D 3E 2D 2C A E 1D 1
B ...E 8E 4D 8
D 4
E 3D 3E 2D 2C A
E 1
D 1B A B C F
E D （第28题）
第八章 二元一次方程组
一、知识结构
二、知识要点:
1。

二元一次方程及其解； 2.二元一次方程组及其解；
3.二元一次方程组及其解法:（1）代入消元法；（2）加减消元法。

（1) 会判断用哪种方法解方程组,及过程中每一步的方法和依据. (2) 会解标准型二元一次方程组
(3） 会解先化简再求解型二元一次方程组
(4） 运用数学思想，求解二元一次方程组，主要以整体思想为主 5。

会利用解二元一次方程组的思想方法解三元一次方程组—--———— 6。

实际问题应用题.
(1) 列二元一次方程解实际应用问题.
(2） 列二元一次方程组解实际应用问题。

（3) 二元一次方程组与不等式结合的问题 7. 构造二元一次方程组，解决问题. 8．综合应用.
＊重视估算能力的培养
估算是一种具有实际应用价值的运算能力。

例如，第8章“二元一次方程组”使用计算器求解方程组中的复杂运算以及用二元一次方程组的图象估计方程组的解的问题；
三、巩固练习：
1、下列方程中是二元一次方程的有（ ）个。

①
1225=-n m ② 161147=-y x ③ 253
2-=-z x ④
311
=-+b
a ⑤ 6=+y x A 。

2 B 。

3 C.4 D.5
2、若方程03)2()32()4(2
2
=+-+-+-k y k x k x k 为二元一次方程,则k 的值为（ ) A. 2 B. —2 C 。

2或—2 D.以上均不对. 3、如果⎩⎨
⎧-==1
3y x 是二元一次方程3x-2y=11的一个解，那么当31
-=x 时,y=___ _____。

4、方程 2x+y=5的非负整数解为_________________.
5、在方程2（x+y ）-3（y —x ）=3中用含x 的代数式表示y ，则是（ ） A 。

y=5x —3 B 。

y=—x-3 C 。

y=—5x —3 D.y=—5x+3
6、已知⎩⎨
⎧-==2
3
y x 是一个二元一次方程组的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组
_______________ __. 7、 用代入消元法解下列方程组：
（1）⎩⎨⎧=-=+56345y x y x (2）⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-7
3443
231n m n m （3)⎪⎩⎪⎨⎧=---=+43)1(3)43(202
3y x y x
8、用加减消元法解下列方程组:
（1）⎩⎨⎧=-=+2463247y x y x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-1
312
2
1231
y x y x
9.若方程组⎩⎨
⎧=-=+m
y x m
y x 28的解满足152-=-y x ，则m=________。

10、解下列方程组：
（1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+-202132323z y x z y x z y x （2）⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=+101216m t t n n m
11、若方程组⎩
⎨⎧=++-=+4)1()1(1
32y k x k y x 的解x 与y 相等，则k=_________.
13、 在等式b kx y +=，当 x=1时,y=1;x=2时，y=4，则k 、b 的值为（ )
A ⎩⎨
⎧-==23b k B ⎩⎨⎧=-=32b k C ⎩⎨⎧=-=23b k D ⎩⎨⎧-=-=2
3b k
14、已知
b a a
b y x y x 4223532
1-+-和是同类项,那么a,b 的值是( ) A 。

⎩⎨⎧-==11b a B.⎩⎨⎧==01b a C 。

⎪⎩
⎪⎨⎧-==53
b a D 。

⎩⎨⎧-==12b a 15、若b a b a b a 32,0)222(532
2
-=--+++则的值为（ ） A 。

8 B.2 C.—2 D 。

—4
（四）方程组综合应用：
1。

已知x 2y 1=⎧⎨=⎩是关于x ，y 的二元一次方程组()2x+m-1y 2
nx+y 1
⎧=⎪⎨=⎪⎩的解，试求（m+n ）2004的值。

2．已知方程组⎩⎨⎧=+=+1732by ax y x 与⎩⎨⎧=-=-7
328
3by ax y x 同解，求b a 、的值．
3。

方程组⎩⎨
⎧-=-=+2242062y mx by ax 的解应为⎩⎨⎧==108y x ，但是由于看错了数m ，而得到的解为⎩⎨⎧==6
11
y x ，
求a 、b 、m 的值。

4. 已知代数式ax 2
+bx+c 中，当x 取1 时，它的值是2；当x 取3 时，它的值是0；当x 取-2 时，它的值是20；求这个代数式。

5。

对方程组的解的情况的探究 （1）m 、n 为何值时,方程组2x 3y 1
4x my = n
-=⎧⎨
-⎩ 有解？无解?有无数组解？
（2）已知讨论下列方程组的解的情况：
①⎩⎨⎧=+=-423y x ky x ②⎩⎨⎧=+=-2
4
2ky x y x
6. 设“○”“□”“△”表示三种不同的物体，用天平称了两次，情况如图所示，那么“○”“□”“△”
这三种物体按质量从大到小的排列顺序为（ ）
A 。

□ ○ △
B 。

△ ○ □
C.□ △ ○ D 。

△ □ ○
7．如图,8
块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是
↑↓
60cm
8。

一项工程,甲队独做要12天完成,乙队独做要15天完成，丙队独做要20天完成.按原定计划，这项要求在7天内完成，现在甲乙两队先合作若干天，以后为加快速度,丙队也同时加入了这项工作，这样比原定时间提前一天完成任务.问甲乙两队合作了多少天？丙队加入后又做了多少天?
9.王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件,甲种商品的进价是每件35元，利润率是20％， 乙种商品的进价是每件20元,利润率是15％,共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗？
10。

(江西07）2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．
（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2)若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？
第九章 不等式与不等式组
一元一次不等式知识网络图;
一元一次不等式组知识网络图:
例题选讲： 一、概念和性质
1、 当k_____时，不等式1
(2)50k k x
--+<是一元一次不等式；
22223,10,2110,210x x x x x x >-+≤-+>-+>、不等式中，解集是一切实数的是______，无
解的是__________
3、语句①若22 ,a b;a b, a c ac bc b c >><<则②若则 0,;,1a a b a b a b b
<->>>③若则④若则
正确的是______ 4、语句“ ”显然是不正确的,试分别按照下列要求，将它改为正确的语句： ①增加条件，使结论不变：__________________________________________ ②条件不变,改变结论：__________________________________________ 5、已知a>b,c 〉d ，解答下列问题： 6、已知a 〈b ，ab ≠0，试比较11a b
与的大小。

①证明a+c>b+d
②不等式ac>bd 是否成立？是说明理由
二、不等式与不等式组的解法与解集 1、解下列不等式，并在数轴上表示解集: (1） 11(42)3634x x x ⎡⎤
--+≤+⎢⎥⎣⎦
(2) 12225m m m -+-≥- (3）1111326y y y +---≥+ (4）11212123
x x -+<- （5)0.10.10.010.01
30.30.02
x x ++-<
22,y x y x <<则
若
2、解下列不等式,并在数轴上表示解集：315x x -≤+
3、不等式10+4x>0的负整数解是_____________
4、已知关于x 的不等式ax ≥2的解集在数轴上的表示如图所示，则a 的取值为_________
5、试讨论关于x 的不等式a(x —1)〉x —2的解的情况。

6、已知关于x 的不等式(2a —b ）x+3a>0的解集是 2
3
>x ，求不等式ax>b 的解集
7、对不等式组x a
x b
>⎧⎨
<⎩（a 、b 是常数），下列说法正确的是（ )
A 、当a 〈b 时无解
B 、当a ≥b 时无解
C 、当a ≥b 时有解
D 、当a=b 时有解
8、解不等式组，并在数轴上表示解集：
①
-1 {
)1(32)1(21)3(2)1(5-<--++≥-x x x x
②3027210
x x x +>⎧⎪<⎨⎪+>⎩
③()257103x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭
9、求关于x 的不等式组 的解集。

10、试确定c 的范围，使关于x 的不等式组573(25)5111.5(1)()0.5(21)
22
x x x c x c x x -⎧->-+⎪⎪⎨⎪-+>-+-⎪⎩
三、不等式（组）的实际问题应用
1、某工厂明年计划生产一种产品,各部门提供的信息如下： 市场部：预计明年该新产品的销售量为5000~12000台;
技术部:生产一台该产品平均要用12工时，每台新产品税需要安装某种主要部件5个； 供应部:今年年终这种主要部件还有2000件库存，明年可采购25000件；
人事部：预计明年生产该新产品的工人不超过48人，每人每年不超过2000工时。

试根据此信息决定明年该产品可能的产量。

⎪⎩
⎪⎨⎧<++<-②①
3221
-x 0x x a x
2、黄海生化食品研究所准备将甲、乙、丙三种食物混合制成100千克新品种食品，并规定研制成的
混合食品中至少含有44000单位的维生素A和48000单位的维生素B，三种食品的维生素含量及成本如下表所示：
设所取食物甲、乙、丙的质量分别为x千克、y千克、z千克,解答下列问题：
①根据题意列出等式或不等式，并证明：y≥20且2x-y≥40
②若规定混合食物中含有甲种食物的质量为40千克，试求此时制成的混合食物的成本w的取值范围，并确定当w取最小值时，取乙、丙两种食物的质量。

3、某纺织厂有纺织工人200名，为拓展生产渠道，增产创收，增设了制衣车间，准备从纺织工人抽
调x名工人到制衣车间工作。

已知每人每天平均能织布30米或制衣4件（制衣1件用布1。

5米)。

将布直接出售，每米获利2元,成衣出售，每件获利25元,若一名工人只能从事一项工作，且不浪费工时，试解答下列问题：
①写出x的取值范围
②写出一天所获总利润w（元)用x表示的表达式
③当x取何值时，该厂一天的获利最大？
第十章数据的收集、整理与描述
知识结构图：
一、选择题
1.要调查下面几个问题,你认为应作为抽样调查的是( )
①调查一个村庄所有家庭的收入；②调查某电视剧的收视率；
③调查一批炮弹的杀伤力; ④调查一片森林树的棵数有多少?
（A）①②③④； (B）②③④; (C）②③; （D）①②③、
2.要了解某种产品的质量，从中抽取出300个产品进行检验，在这个问题中，300个产品的质量叫
做( ）
A．总体 B．个体 C．样本 D．样本容量
3．一次数学考试,考生4万名，为了解4万名考生的数学成绩，从中抽取400名考生的数学成绩进行统计分析，这个问题中总体是指（)
A．4万名考生 B．4万名考生的数学成绩
C．400 D．400名考生的数学成绩
4。

要了解某地农户的用电情况, 调查了部分农户在某一个月中用电情况：用电15度的有3户，用电20度的有5户,用电30度的有7户,那么该月平均每户用电约( )
(A）23.7度 (B）21。

6度（C）20度（D）22.6度
5。

如图所示的是某晚报“百姓热线"一周内接到热线电话的统计图 ,其中有关环境保护问题的电话最多,共70个,那么本周“百姓热线”共接到热线电话的个数是( )。