《角的比较与运算》导学案

《角的比较与运算》导学案
一、学习目标
1.会用一副三角板拼角；
2.会计算几何图形或三角板中的角度；
3.解决角n等分线的综合计算问题；
二、知识回顾
1. 三角板的认识
一副三角板的各个角分别是多少度？
30°、60°、90°；45°、45°、90°
2. 角的平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成大小相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．类似地，还有角的三等分线等．如下图中的OB、OC是∠AOD的三等分线．
三、新知讲解
三角板中的计算问题
如图，一副三角板共有6个角，且有30°，45°，60°，90°四种角度，如果只用一副三角板，你能作出哪些不同大小的角？看起来这个问题似乎很简单，但是，若仔细地思考一番，想要找到问题的答案，也并非容易.
尝试1：只用一个三角板画
用1个三角板可以画出30°，45°，60°，90°,180°这几个特殊角.
尝试2：利用两个三角板中的特殊角的和画
用2个三角板的两个角，并将角叠加，就可以得到75°，105°，120°，150°等特殊角.如图2,将30°角与45°角拼在一起可以画出75°的角，即∠AOB.如图3,将60°角与45°角拼在一起,可以画出105°的角,即∠AOB．
图2 图3
尝试3：利用两个三角板中的特殊角的差画
应用三角板先画一些特殊角，再减去一些特殊角，就可以得到15°，120°，135°，150°等特殊角．如图4,利用45°和30°的角．就可以画出15°的角,即∠BOC.如图5,利用180°和30°的角,可以画出150°的角.
图4 图5
通过尝试发现：只要是15°的倍数的角,都可以用一副三角板画出来．但应注意同一个角度有多种不同的画法,如120°的角既可以用30°与90°的和画出来,也可以用180°与60°的差画出来．
四、典例探究
扫一扫，有惊喜哦！
1．三角板中的计算问题
【例1】如果不考虑用90°和60°角，你能用一副三角板拼画出285°的角吗？
总结：只要是15°的倍数的角，都可以用一副三角板画出来.具体画法不唯一.
练1把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（）A．70° B．90° C．105° D．120°
2.几何图形中的角度计算
【例2】如图所示，OB，OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD等于（）A．2α﹣β B．α﹣β C．α+β D．2α+β
总结：如下图，已知 OM平分∠AOB，ON平分∠COD，则∠BOC,∠MON,∠AOD之间存在着一个等量关系，即：∠BOC+∠AOD =2∠MON.
练2如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF=_____．
3．角n等分线的综合计算
【例3】已知∠AOB=45°，OC是∠AOB的一条三等分线，则∠AOC 的度数是（）
A．15° B．30° C．15°或30° D．不能确定
总结：注意一个角的三等分线有两条，当题中没有明确是哪一条，也没有给出图形的话，需要分类讨论.
练3如图，OE⊥OA，OB、OC是∠AOD的三等分线，∠BOE=75°，则∠DOE=________．
五、课后小测
一、选择题
1．如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）
A．50° B．60° C．65° D．70°
2．（20XX秋•晋江市期末）将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（）
A．∠BAE＞∠DAC B．∠BAE﹣∠DAC=45°
C．∠BAE+∠DAC=180° D．∠BAD≠∠EAC
3．（20XX秋•汉阳区期末）如图，小明将自己用的一副三角板摆成如图形状，如果∠AOB=155°，那么∠COD等于（）A．15° B．25° C．35° D．45°
4．（20XX秋•贵阳校级期末）用一副三角板不可以拼出的角是（）
A．105° B．75° C．85° D．15°
5．（20XX秋•和平区期末）已知射线OC是∠AOB的一条三等分线，若∠AOB=60°，则∠AOC为（）
A．20° B．40° C．20°或40° D．15°或20°
二、填空题
6．（20XX秋•昆明校级期末）将一副三角板如图摆放，若∠BAE=135°17′，则∠CAD的度数是____．
7．（20XX秋•吴江市期末）如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么∠1的度数为______．
三、解答题
8．如图，∠1=∠2=∠3=∠4，根据图形回答：
（1）图中哪些角是∠2的2倍？
（2）图中哪些角是∠3的3倍？
（3）图中哪些角是∠AOD的？
（4）射线OC是哪个角的三等分线？
9．（20XX秋•阜宁县期末）如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）若∠AOC=50°，求出∠BOD的度数；
（2）试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
10．（20XX秋•定州市期末）如图所示，点A、O、B在同一直线上，OC平分∠AOB，若∠COD=30°．
（1）求∠BOD的度数；
（2）如果∠AOE=150°，请你通过计算判断：OE是∠BOD的平分线吗？
11．（20XX秋•宁化县校级期中）如图，已知∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，OE是∠BOD的三等分线，求∠COE的度数．12．（20XX•郸城县校级模拟）已知，OM、ON分别是∠AOC，∠BOC的角平分线．
（1）如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，则∠MON=_______．（2）如图1，若∠AOB=120°，∠BOC=β°，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值，若不能，试说明理由；
（3）如图2，若∠AOB=α°，∠BOC=β°，是否仍然能求出∠MON的度数，若能，求∠MON的度数（用含α或β的式子表示），并从你的求解过程中总结出你发现的规律．
13．（20XX春•江阴市期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为秒（直接写出结果）；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC 的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．典例探究答案：
【例1】【解析】因为285°角是15°的19倍，所以能用一副三角板画出285°的角.具体画法不唯一，如：先连续画7次45°，得到315°角，再减去30°，可得所要求作的285°角，即7×45°-30°=285°．
练1 【解析】∠ABC等于30度角与直角的和，据此即可计算得到．
解：∠ABC=30°+90°=120°．
故选D．
【例2】【解析】此题要根据题意列出代数式．可先根据∠MON 与∠BOC的关系求出∠CON与∠BOM，再根据角平分线的知识求出∠AOD．
解：∵∠MON=α，∠BOC=β
∴∠MON﹣∠BOC=∠CON+∠BOM=α﹣β
又∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD
∴∠CON=∠DON，∠AOM=∠BOM
由题意得∠AOD=∠MON+∠DON+∠AOM=∠MON+∠CON+∠BOM=α+（α﹣β）=2α﹣β．
故选A．
练2 【解析】根据四边形ABCD是矩形，得出∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，再根据∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，得出∠EBD+∠DBF=45°，从而求出答案．
解：∵四边形ABCD是矩形，
根据折叠可得∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠DBF=∠FBC=∠DBC，
∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°，
∴∠EBD+∠DBF=45°，
即∠EBF=45°，
故答案为：45°．
点评：此题考查了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的，再进行计算，是一道基础题．【例3】【解析】分类讨论：当∠AOC=∠AOB或∠AOC=∠AOB，然
后把∠AOB=45°代入计算即可．
解：当∠AOC=∠AOB时，则∠AOC=×45°=15°，
当∠AOC=∠AOB时，则∠AOC=×45°=30°，
则∠AOC的度数是15°或30°；
故选C．
点评：本题考查了角的计算：要根据射线OC的位置不同，分类讨论，分别求出∠AOC的度数．
练3 【解析】∵OE⊥OA，∴∠AOB+∠BOE=90°，
∵∠BOE=75°，∴∠AOB=15°.
∵OB、OC是∠AOD的三等分线，
∴∠AOD=3∠AOB=45°，
∴∠DOE=90°﹣∠AOD=45°.
故答案为：45°
点评：本题考查了垂直、等分角的定义．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】先根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出结论．
解：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．
故选：D．
2．【解析】利用直角三角板的知识和角的和差关系计算．
解：因为是直角三角板，所以∠BAC=∠DAE=90°，
所以∠BAD+∠DAC+∠CAE+∠DAC=180°，
即∠BAE+∠DAC=180°．
故选C．
点评：本题是有公共部分的直角计算问题，关键是不要漏掉公共部分．
3．【解析】利用直角和角的组成即角的和差关系计算．
解：∵三角板的两个直角都等于90°，所以∠BOD+∠AOC=180°，∵∠BOD+∠AOC=∠AOB+∠COD，
∵∠AOB=155°，
∴∠COD等于25°．
故选B．
4．【解析】一副三角板各角的度数是30度，60度，45度，90度，因而把他们相加减就可以拼出的度数，据此得出选项．解：已知一副三角板各角的度数是30度，60度，45度，90度，可以拼出的度数就是用30度，60度，45度，90度相加减，
45°+60°=105°，
30°+45°=75°，
45°﹣30°=15°，
显然得不到85°．
故选：C．
5．【解析】分类讨论：当∠AOC=∠AOB或∠AOC=∠AOB，然后把∠AOB=60°代入计算即可．
解：当∠AOC=∠AOB，则∠AOC=×60°=20°；
当∠AOC=∠AOB，则∠AOC=×60°=40°．
故选C．
二、填空题
6．【解析】利用三角形的各角度数和图中角与角的关系计算．解：∠BAE=∠BAD+∠CAE﹣∠CAD
则∠CAD=∠BAD+∠CAE﹣∠BAE=90+90﹣∠BAE=44°43′．
故填44°43′．
点评：对∠BAE=∠BAD+∠CAE﹣∠CAD这一关系的认识是解题的关键．
7．【解析】根据∠1=∠BOD+EOC﹣∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解．
解：∵∠BOD=90°﹣∠AOB=90°﹣30°=60°
∠EOC=90°﹣∠EOF=90°﹣40°=50°
又∵∠1=∠BOD+EOC﹣∠BOE
∴∠1=60°+50°﹣90°=20°
故答案是：20°．
点评：本题主要考查了角度的计算，正确理解∠1=∠BOD+EOC﹣
∠BOE这一关系是解决本题的关键．
三、解答题
8．【解析】（1）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出是∠2的2倍的角可以解题；
（2）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出是∠3的3倍的角可以解题；
（3）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出图中哪些角是∠AOD的即可解题；
（3）根据∠1=∠2=∠3=∠4，找出射线OC是哪个角的三等分线即可解题．
解：（1）∵∠ACD=∠1+∠2，∠CDE=∠2+∠3，∠BOD=∠3+∠4，∠1=∠2=∠3=∠4
∴∠ACD，∠CDE，∠BOD是∠2的2倍；
（2）∠BOC=∠3+∠4+∠2，∠AOE=∠1+∠2+∠3，∠1=∠2=∠3=∠4
∴∠BOC，∠AOE是∠3的3倍；
（3）∵∠AOD=∠1+∠2，∠1=∠2
∴∠AOD=∠1，
∴∠1、∠2、∠3、∠4均为∠AOD的．
（4）∵∠1=∠2=∠3，
∴OC是∠AOE的三等分线．
9．【解析】（1）根据∠BOD=∠DOC+∠BOC，首先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得∠DOC和∠BOC即可；
（2）根据∠COE=∠DOE﹣∠DOC和∠BOE=∠BOD﹣∠DOE分别求得∠COE与∠BOE的度数即可说明．
解：（1）因为∠AOC=50°，OD平分∠AOC，
所以∠DOC=∠AOC=25°，∠BOC=180°﹣∠AOC=130°，
所以∠BOD=∠DOC+∠BOC=155°；
（2）OE平分∠BOC．理由如下：
因为∠DOE=90°，∠DOC=25°，
所以∠COE=∠DOE﹣∠DOC=90°﹣25°=65°．
又因为∠BOE=∠BOD﹣∠DOE=155°﹣90°=65°，
所以∠COE=∠BOE，
所以OE平分∠BOC．
点评：本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键．
10．【解析】（1）根据角平分线分角相等，可得∠BOC=∠AOC=90°，再根据角的和差，可得答案；
（2）根据射线所分的角相等，可得射线是角平分线．
解：（1）因为A、O、B在同一直线上
所以∠AOB=180°
因为OC平分∠AOB
所以∠AOC=∠BOC=90°
因为∠COD=30°
所以∠BOD=∠BOC﹣∠COD
=90°﹣30°=60°；
（2）因为∠AOE=150°，∠AOB=180°
所以∠BOE=180°﹣150°=30°
因为∠BOD=60°
所以∠DOE=∠BOD﹣∠BOE=60°﹣30°=30°
所以∠BOE=∠DOE
所以OE∠BOD的平分线．
点评：本题考查了角平分线，角平分线所分角相等，分角相等的射线是角平分线．
11．【解析】先根据∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB求出∠AOC=∠BOC=45°，故可得出∠BOD=45°，再由OE是∠BOD的三等分线得出∠BOE的度数，根据∠COE=∠BOC+∠BOE即可得出结论．解：∵∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，
∠AOC=∠BOC=45°，
∴∠BOD=45°．
∵OE是∠BOD的三等分线，
∴∠BOE=∠BOD=×45°=30°，
∴∠COE=∠BOC+∠BOE=45°+30°=75°．
点评：本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．
12．【解析】（1）根据∠AOB=120°，∠BOC=30°，可得∠AOC=
∠AOB+∠BOC=120°+30°=150°，再利用OM是∠AOC的平分线，ON 是∠BOC的平分线，即可求得答案；
（2）根据∠MON=∠MOC﹣∠NOC，又利用∠AOB=120°，∠BOC=β°，由（1）可得出答案；
（3）利用（1）（2）的计算方法得出规律即可．
解：（1）∵∠AOB=120°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°+30°=150°，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=75°﹣15°=60°，
（2）当∠AOB=120°，∠BOC=β°时，
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（120+β）°﹣=60°；
（3）由（1）（2）可知：
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+β）°﹣=．
∠MON的度数始终等于∠AOB角度的一半．
点评：此题主要考查角的计算和角平分线的定义等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
13．【解析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；
（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．
解：（1）已知∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°，
又OM平分∠BOC，
∠COM=∠BOC=60°，
∴∠CON=∠COM+90°=150°；
（2）延长NO，
∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=30°，
即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC，
由题意得，10t=300°
∴t=30，
当NO平分∠AOC，
∴∠NOR=30°，
即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，
∴10t=120°，
∴t=12，
∴t=12或30；
（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°，
所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC=30°．点评：此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
一、学习目标
1.理解度分秒之间的换算进制，能进行角度的单位换算；
2.会比较两个角的度数大小；
3.体验解决钟面上的夹角问题．
二、知识回顾
1. 我们用量角器测量角的大小．角的度量单位是度、分、秒．
2. 1周角= 2 平角= 4 直角= 360°，1平角= 180°，1直角= 90° .
三、新知讲解
1.角的度量
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位．把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″．
1周角= 360 °， 1平角= 180 °；
1°= 60 ′， 1′= 60 ″；
如∠ａ的度数是48度56分37秒，记作∠ａ= 48°56′37″．
度、分、秒是常用的角的度量单位，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.
注意：角的度、分、秒与时间的时、分、秒一样，都是60进制.
2. 钟面上角度大小的计算问题
（1）时钟的表面被均分成 12 大格、 60 小格，若把钟表表面看错以表心为顶点的周角，则每一大格对应的角度是 30° .，每一小格对应的角度是是 6° .
（2）时钟上有时针和分钟，其中时针每小时转
，每分钟转
；分针每分钟转
．用时针与分针所走的时间分别乘它们的速度，即它们各自转过的角度．
四、典例探究
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1．角的换算
【例1】（1）把26.29°转化为度分秒表示的形式；
（2）37°14′24″转化为度的形式.
总结：
角度是60进制,1°=60′， 1′=60″.将度用度、分、秒表示时，按60进制，用乘法：整数部分保留,将度的小数部分转化为分，将分的
小数部分化为秒. 注意化成度、分、秒时，数字全是整数.将度、分、秒用度表示时，按60进制，用除法：先将秒化为分，再将分化为度.
练 1 18°27′＝_________°，51.6°＝_________°__________′．
2.角的度数的比较
【例2】若∠A=20°18′，∠B=20°15′30〞，∠C=20.25°，则（）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠C
C．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B
总结：
比较角的大小时，若角的单位不统一，则不要盲目比较，一定要注意统一单位后再比较．若统一成以度为单位，则按照数的大小比较即可；若统一成以度分秒为单位，则依次比较度、分、秒的大小.
练2已知∠α=12°12′，∠β=12.12°，∠γ=12.2°，则下列结论正确的是（）
A．∠α=∠β B．∠α＜∠β C．∠α=∠γ D．∠β＞∠γ
3．某时刻时针与分针夹角度数
【例3】同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）3点整时时针与分针所夹的角是_______度．
（2）7点25分时针与分针所夹的角是_______度．
总结：
整点时刻求两针夹角.因为分针始终指向12，时针指向对应整点时刻，所以只要数出时针与分针之间所夹几个大格，再乘30°即可求出两针夹角.注意：夹角是指小于180度的角. 任意时刻求两针夹角.
（1）看时针和分针之间相隔几个大格，再乘30°即可求出两针夹角.
（2）首先弄清楚时针每小时、每分钟转过的角度，分针每分钟转过的角度，然后以12时为起点，求出分针和时针从12时起转过的角度差，即为两针夹角.分针转过的角度为：分钟数×6°，时针转过的度数为：小时数×30°+分钟数×0.5°.
练3 时钟在3点半时，分针与时针所夹的角的度数是（）
A．67.5° B．75° C．82.5° D．90°
练4钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是（）
A．77.5° B．77°5′
C．75° D．以上答案都不对
4. 钟面上时针与分钟重合问题
【例4】你知道时钟的分针与时针一昼夜重合几次吗？
总结：
分针和时针从上一次重合到下一次重合，相当于分针比时针多转了360°. 这是一个钟面上的追及问题，可以套用环形跑道追及问题解决，用方程的思想来解.设重合一次的时间为x分钟，等量关系是分针转过的角度-时针转过的角度=360°，然后用一昼夜的时间除以重
合一次的时间（注意单位统一，可以均以分为单位），即可得到一昼夜重合的次数.
练5钟面上的角的问题．
（1）8点15分，时针与分针的夹角是多少？
（2）从12点整始，至少再过多少时间，分针与时针再一次重合？
五、课后小测
一、选择题
1．（20XX秋•蚌埠期末）若∠P=25°12′，∠Q=25.12°，∠R=25.2°，则下列结论中正确的是（）
A．∠P=∠Q B．∠Q=∠R C．∠P=∠R D．∠P=∠Q=∠R
2．（20XX秋•故城县期末）下面等式成立的是（）
A．83.5°=83°50′ B．37°12′36″=37.48°
C．24°24′24″=24.44° D．41.25°=41°15′
3．（20XX秋•大城县期末）用度、分、秒表示91.34°为（）A．91°20′24″ B．91°34′ C．91°20′4″ D．91°3′4″4．（20XX秋•海盐县校级期末）若∠P=65°12′，∠Q=65.12°，∠R=65.2°，则下列结论中正确的是（）
A．∠P=∠Q=∠R B．∠Q=∠R C．∠P=∠Q D．∠P=∠R
（20XX秋•安溪县校级月考）已知：∠1=35°18′，∠2=35.18°，5．
∠3=35.2°，则下列说法正确的是（）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3
C．∠1=∠3 D．∠1、∠2、∠3互不相等
6．下列算式正确的是（）
①33.33°=33°3′3″②33.33°=33°19′48″③50°40′33″=50.43°④50°40′33″=50.675°
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
7．（20XX秋•南海区校级月考）甲、乙、丙、丁四个学生判断时钟的分针与时针互相垂直时，他们每个人都说了两个时间，说对的是（）
A．甲说3点时和3点30分 B．乙说6点15分和6点45分
C．丙说9时整和12时15分 D．丁说3时整和9时整
8．（20XX•龙岩模拟）现在是一点整，从现在开始到三点，时针与分针成90°角的次数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（20XX秋•河西区期末）将8.35°用度、分、秒表示正确的是（）
A．8°20′ B．8°21′ C．8°3′5″ D．8°30′5″
10．（20XX秋•金牛区校级月考）已知∠1=28°24′，∠2=28.24°，∠3=28.4°，下列说法正确的是（）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1＜∠2 D．∠2＞∠3
二、填空题
11．（20XX秋•温州期末）22.5°=____度______分；12°24′=______度．
12．（20XX秋•三水区校级期末）用度、分、秒表示26.34°=____
度____分____秒．
13．（20XX秋•三水区校级期末）25.14°=°′″；下午1点24分，时针与分针所组成_______度．
14．（20XX秋•郯城县校级期末）用“＞”、“＜”或“=”号填空
（1）38°15′______38.15°；
（2）38°9′_______38.15°；
（3）19°4′30″×2=_________（用度表示）.
15．（20XX秋•双柏县期末）1800″等于______分，等于______度．
16．（20XX秋•蚌埠期末）65°25′12″用度表示为________．17．（20XX秋•江夏区校级期末）已知α=38°15′，β=38.25°，则α_____β（填“＞”，“＜”或“=”）
18．（20XX•阜阳校级自主招生）聪明一休在9点到10点之间开始解一道数学题，当时的钟面时针与分针正好成一直线，当他解完这道题时，时针与分针又恰好重合，一休解这道题用了________分钟．19．（1） 23°30′=______°；（2）0.5°=_____′=______″．
三、解答题
20．（20XX秋•高新区校级月考）计算：
（1）将24.29度化为度、分、秒．
（2）将36度40分30秒化为度．
21．（20XX秋•兴化市校级期末）同学们，日常生活中，我们
几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识．
（1）如图1，上午8：00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于________°；
（2）请在图2中大致画出8：20这一时刻时针和分针的位置，思考并回答：从上午8：00到8：20，时钟的分针转过的度数是______，时钟的时针转过的度数是________；
（3）“元旦”这一天，城区某中学七年级部分学生上午八点多集中在学校门口准备去步行街进行公益服务，临出发时，组长一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他们回到学校，进校门时，组长看见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多少时间吗？通过计算加以说明．22．（20XX秋•乐清市校级期中）钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分？
23．（20XX秋•綦江县校级期末）观察常用时钟，回答下列问题：
（1）早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？
（2）时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？
（3）从7：00到7：40，分针转动了多少度？
24．（20XX春•福建期末）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：（1）分针每分钟转了几度？
（2）中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°？
（3）在（2）中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？
25．小华是个数学迷，最近他在研究钟面角（时针与分针组成的角）问题，他想和大家一起来讨论相关问题．
（1）分针每分钟转，时针每分钟转°；
（2）12：00整，时针和分针在同一直线上，至少经过多长时间会再次出现时针和分针在同一直线上的现象？此时，时针和分针各转动了多少度？
典例探究答案：
【例1】【解析】（1）26.29°= 26°+ 0.29°= 26°+0.29×60′=26°+17.4′=26°+17′+0.4×60″=26°17′24″．（2）37°14′24″=37°+14′+24″=37°+14′+（24÷60）′=37°+14′+0.4′=37°+14.4′=37°+（14.4÷60）′=37°+0.24°=37.24°.
练1 【解析】27′=（）°=0.45°，所以18°27′＝18.45°，
0.6°=0.6×60′=36′，51.6°＝51°36′．
【例2】【解析】∠A、∠B已经是度、分、秒的形式，只要将∠C化为度、分、秒的形式，即可比较大小．
解：∵∠A=20°18′，∠B=20°15′30〞，∠C=20.25°=20°15′，
∴∠A＞∠B＞∠C．故选A．
练2 【解析】求出∠α=12°12′=12.2′，再比较即可．
解：∠α=12°12′=12.2′，
∵∠β=12.12°，∠γ=12.2°，
∴∠α=∠γ，∠α＞∠β，
故选C．
【例3】【解析】（1）看时针和分针之间相隔几个大格，一个大格表示30°；
（2）求分针和时针从12时起转过的角度差，即为两针夹角；
解：（1）3×30°=90°；
（2）2×30°=72.5°；
练3【解析】根据钟面平均分成12份，可得每份是30°，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
解：时针与分针相距的份数是2.5份，
30°×2.5=75°，
故选；B．
练4 【解析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．
解：我们把时针指向2，分针指向12作为起始位置，
当分针指向25时，他转了25×6°=150°，
此时时针转动了150°×=12.5°，
则时针和3之间还有30°﹣12.5°=17.5°，
故时针和分针之间夹角为30°×2+17.5°=77.5°．
故选A．
【例4】【解析】你可能直觉认为，分针每小时转一圈就要与时针重合一次，一昼夜有24小时，分针和时针岂不是要重合24次吗？到底是不是这样呢？让我计算一下吧！
设分针与时针从上一次重合到下一次重合用时x分钟，易知期间分针比时针多转了360°，于是有：6x-0.5x=360，解得x=.
一昼夜分针与时针重合的次数为：24×60÷=22（次）.
练5 【解析】（1）8点时，分针与时针的夹角为240°，15分钟时针转了15×0.5°，分针转了15×6°，则时针与分针的夹角=8×30°﹣15×6°+15×0.5°；
（2）设至少再过x分钟分针与时针再一次重合，则分针比时针至少多转一圈，则x•0.5°+360°=x•6°，然后解方程即可．解：（1）8点15分，时针与分针的夹角=8×30°﹣15×6°+15×0.5°=157.5°；
（2）设至少再过x分钟分针与时针再一次重合，
根据题意得x•0.5°+360°=x•6°，
解得x=（分），
所以从12点整始，至少再过分钟，分针与时针再一次重合．
课后小测答案：
一.选择题（共10小题）
1．【解析】本题是度分秒的换算，根据换算结果直接得到答案．解：25°12′=25.2°，∴∠P=∠R．故选C．
制．
解：A、83.5°=83°50′，错误；
B、37°12′=37.48°，错误；
C、24°24′24″=24.44°，错误；
D、41.25°=41°15′，正确．
故选D．
3．【解析】根据度分秒的进率，可得答案．
解：91.34°=91°+0.34×60′
=91°20′+0.4×60″
=91°20′24″，
故选A．
4．【解析】根据1度=60分，即1°=60′，1将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．换算即可解答．
解：∠P=65°12′，12′÷60=0.2°，即∠P=65°12′=65.2°，故选D．
5．【解析】先换算单位，再比较大小即可．
解：∵∠1=35°18′=35.3°，∠2=35.18°，∠3=35.2°，
∴∠1、∠2、∠3互不相等．
故选D．
点评：考查了度分秒的换算，解题的关键是将单位换算一致．
解：①33.33°=33°19′48″，故错误；
②33.33°=33°19′48″，故正确；
③50°40′33″=50.675°，故错误；
④50°40′33″=50.675°，故正确．
故选D．
点评：此类题是进行度、分、秒的转化运算，相对比较简单，注意以60为进制．
7．【解析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
解：A、3点30分不到90°，故A错误；
B、6点15分比90°多，故B错误；
C、12时15分不到90°，故C错误；
D、3时整和9时整钟面角都是90°，故D正确；
故选：D．
点评：本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数．
8．【解析】分别根据分针与时针转动速度得出时针与分针转动的角度差值，进而得出时针与分针成90°角的次数．
解：时针走一圈（360度）要12小时，即速度为360度/12小时=360度/（12×60）分钟=0.5度/分钟，
分针走一圈（360度）要1小时，即速度为360度/1小时=360
度/60分钟=6度/分钟，
钟面（360度）被平均分成了12等份，所以每份（相邻两个数字之间）是30度，
所以X分钟后，时针走过的角度为0.5X度，分针走过的角度为6X度，
（1）显然1点整的时刻，时针与分针正好成30度角；
（2）设1点X分的时刻，时针与分针成90度角，则应该是分针在前，有
6X﹣（30+0.5X）=90，
所以5.5X=120，
所以X=240/11，
所以1点240/11分的时刻，时针与分针成90度角；
（3）当设1点X分的时刻，时针与分针成270度角，则应该是分针在前，有
6X﹣（30+0.5X）=270，
所以5.5X=300，
所以X=600/11，
所以1点600/11分的时刻，时针与分针成90度角；
（4）设2点X分的时刻，时针与分针成90度角（时针可以在前），有
6X﹣（60+0.5X）=90，
所以5.5X=150，
所以X=300/11，
所以2点300/11分的时刻，时针与分针成90度角；
（5）当设2点X分的时刻，时针与分针成270度角，则应该是分针在前，有
6X﹣（60+0.5X）=270，
所以5.5X=330，
所以X=60，
所以3点时刻，时针与分针成90度角；
综合以上，在1点整到3点的时间内，有4次时针与分针成90度角，时刻分别是1点240/11分，1点600/11分，2点300/11分，3点整．
故选：D．
点评：此题主要考查了钟面角问题，主要是一个分针与分针的追及问题，因此可据追及问题的关系式进行解答是解题关键．9．【解析】进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．
解：根据角的换算可得8.35°=8°+0.35×60′
=8°+21′
=8°21′．
故选B．
点评：此题主要考查度、分、秒的转化运算，属于基础题，相对比较简单，注意以60为进制，要一步一步运算，不要急于求成．10．【解析】将∠1=28°24′化为度的形式，继而可得出答案．
解：∠1=28°24′=28.4°．
故∠1=∠3．
故选B．
点评：本题考查了度分秒之间的换算，属于基础题，注意两者之间的进位关系．
二．填空题（共9小题）
11．【解析】进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．解：22.5°=22°+（0.5×60）′=22°30′；
12°24′=12°+（24÷60）°=12.4°．
故答案为22、30、12.4．
12．【解析】进行度、分、秒转化运算，注意以60为进制．
解：26.34°=26°+（0.34×60）′=26°+20′+（0.4×60）″=26°20′24″．
∴用度、分、秒表示26.34°=26度20分24秒．
点评：此类题是进行度、分、秒转化运算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
13．【解析】把0.14°化成分，再把0.4′化成秒即可．求出一个大格和一个小格的度数，再根据钟表上的角（下午1点24分时针与分针所组成的角）求出即可．
解：∵0.14°=0.14×60′=8.4′，
0.4′=0.4×60″=24″，
∴25.14°=25°8′24″，
∵=30°，=6°，×24=12°，
∴下午1点24分，时针与分针所组成的角的度数是：30°+30°+（30°﹣12°）+（30°﹣6°）=102°，
故答案为：25，8，24，102．
点评：本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，注意：1°=60′，1′=60″．
14．【解析】（1）（2）先把38.15°转化成度、分的形式，再进行比较，
（3）先得出结果，再化成度的形式，注意以60为进制．
解：（1）∵1°=60′，
∴38.15°=38°+（0.15×60）′=38°9′，
∴38°15′＞38.15度；
（2）∵1°=60′，
∴38.15°=38°+（0.15×60）′=38°9′，
∴38°9′=38.15°；
（3）19°4′30″×2=38°8′60″=38°9′=38.15°，
故答案为：＞，=，38.15°．
点评：此类题实际上是进行度、分、秒的转化运算，然后再进行比较，相对比较简单，注意以60为进制即可．
15．【解析】根据60″=1′，60′=1°，直接换算即可．
解：1800÷60=30′；
30÷60=0.5°；
所以1800″等于30分，等于0.5度．
故答案为：30；0.5．
点评：此类题是进行度、分、秒的加法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．
16．【解析】根据度分秒的换算，小单位化大单位除以进率，可得答案．
解：65°25′12″=65.42°，
故答案为：65.42°．
点评：本题考查了度分秒的换算，小单位化大单位除以进率．
17．【解析】先进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制．再进行比较即可．
解：根据1°=60′，1′=60″，
∵0.25×60=15′，
∴38.25°=38°15′．
故答案为：=．
点评：本题考查了度分秒的换算和大小比较．由度化分应乘以60，由分化度应除以60，注意度、分、秒都是60进制的．18．【解析】两次时针与分针成一直线时，分针和时针的夹角度数为180°；可设一休用的时间为x，然后根据上面的等量关系列方程求解．
解：时针每小时转动360÷12=30°，每分钟转动30÷60=0.5°；
分针每分钟转动360÷60=6°；。