Nevanlinna理论在差分多项式中的应用

Nevanlinna理论在差分多项式中的应用

在1922年至1925年,芬兰数学家R.Nevanlinna在做了一些简短的注记之后,发表了他关于亚纯函数理论的文章,也就是后来的重要的数学理论Nevanlinna

理论,即复平面C上的亚纯函数值分布理论,10余年后L.Ahlfors建立了此理论

的几何形式.Nevanlinna理论,与后来的一些推广是函数论的重要组成部分,是

研究亚纯函数性质方面最重要的理论。该理论不断自我完善和发展,同时广泛的应用到其他的复分析领域,如势理论,复微分及差分方程理论,多复变量理论,极

小曲面理论等。

复差分方程的基础建立于20世纪的早期,Batchelder[2],N（?）rlund[52]和Whittaker[57]在这个方面做了重要的贡献。后来,Shimomura[55]和Yanagihara[59,60,61]利用Nevanlinna理论来研究了非线性的复差分方程的解。

由于亚纯函数有穷级解的存在性是考察差分方程可解性的一个好的性质,所以最近在这个方面的领域得到了广范的研究兴趣。从这个角度出发,Nevanlinna 理论在处理复差分方程方面是一个很有用的工具。

复差分方面的Nevanlinna理论是最近才确立的。其中,最关键的结果是差分对数导数引理,Halburd-Korhonen[20]和Chiang-Feng[8]给出了这个引理的两

种表达形式。

Halburd和Korhonen[21]在差分算子的基础上建立了Nevanlinna理论。Ishizaki和Yanagihara[33]研究了差分方程慢增长的解的性质,并且给出了在

微分方程中著名的Wiman-Valiron理论的差分定理.Bergweiler和Langley[4,38]研究了慢增长的亚纯函数的差分算子的值分布论。

本论文利用Nevanlinna理论去研究差分多项式的值分布。论文的结构安排

如下:第一章,我们简单介绍Nevanlinna唯一性理论和一些经常用的符号,还介绍了唯一性理论的一些经典的结果。

第二章,我们简单的回忆差分的对数导数引理,差分Clunie引理,还有差分的第二基本定理及其应用的结果。另外差分方程解的存在性及增长性的一些重要结果也包含在本章节中。

第三章,我们介绍了差分乘积的值分布论,我们得到一些重要结果,可以看作关于Hayman经典微分多项式结果的差分推广,也就是关于微分多项式

fⁿf’的推广.实际上我们得到了下面的结果。定理0.1.假设f（z）是超越的有穷级的整函数,令c是非零常数,并且n≥2是整数,则f（z）

ⁿf（z+c）-p（z）和f（z）ⁿ△_cf-p（z）都有无穷多个零点,其中p（z）（?）0是z的多项式。

对于更一般的差分乘积,也就是f是超越的亚纯函数,我们考察具有下面形式的差分乘积的值分布论Π_j=1ⁿf（z+c_j）^v_j,其中c_j∈C是一些不同的复常数。我们不仅改进了定理0.1,而且我们得到了一个量化的估计:定理0.2.假设f为超越的有穷级的亚纯函数,级为ρ（f）,S（z）=R（z）e^Q（z）,其中R（z）是非零的有理函数,Q（z）是多项式满足degQ（z）＜ρ（f）和λ（?）＜ρ（f）.如果（?）≥3,至少一个v_j≥2,则Π_j=1ⁿf （z+c_j）^v_j-S（z）有无穷多个零点。

如果有其中一个指数满足则另外我们研究了具有某种特定形式的亚纯函数的差分算子的值分布论,我们的目的是去寻找某些和微分算子类似的性质.也就是,我们证明了f^kΔ_cf-a（z）的零点情况,k∈N∪{0}。

这个结果可以看作是f^kf’-a（z）的差分的版本,可参见Hayman[27]。

我们的结果可以表述成:定理0.3.假设f有穷级的亚纯函数,1≤ρ（f）＜∞,且令a,c∈C\{0}满足△_cf（?）0,f有无穷个零点并且λ（f）＜1.如果f有无穷多个极点,则△_cf-a有无穷多个零点。定理0.4.假设f超越的有穷级的亚纯函数,ρ（f）＜1,c是一个非零的常

数,B={b_j}包含所有的f的极点,满足b_j+kc（?）B

（k=1,…,m）至多有限个例外值,则f（z）ⁿ△_cf-a有无穷多个零点。

在这一部分,也包含很多的例子说明我们的结果中的限制条件是必不可少的。第四章,我们介绍亚纯函数的差分多项式的值分布论的结果。

我们首先回忆Hay-man[25,Theorem 8&9]经典的结果,我们的结果可以表述成:定理0.5.设f超越的有穷级的亚纯函数,并且ρ（f）=ρ,不是以c为周期的函数,λ（?）＜ρ（f）,s是有理的和a是非零的常数。如果n≥3或者s=0,n

≥2,则差分多项式f（z）ⁿ+aΔ_cf-s（z）在复平面有

无穷多个零点。

定理0.6.设f超越的有穷级的亚纯函数,ρ（f）=ρ,不是以c为周期的函数,a是非零的常数,如果n≥8,则差分多项式f（z）ⁿ+aΔ

_cf-s（z）有无穷多个零点。在最后的第五章,我们得到了整函数f （z）与其平移f（z+c）或者差分算子△_cf分担公共集合的唯一性的结果。

我们的结果可以看作是函数及其导数分担公共值[39]的差分版本。其中一个重要的结果:定理0.7.假设f（z）为超越的有穷级的整函数,c∈C\{0},令a（z）