Nevanlinna理论在差分多项式中的应用

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具有有限对数增长级亚纯函数的性质与应用

具有有限对数增长级亚纯函数的性质与应用本文研究了具有有限对数增长级亚纯函数的性质与应用,首先研究的是有限对数增长级的亚纯函数的一些函数积与和的对数增长级的性质,接下来利用有限对数增长级亚纯函数的性质和q-差分形式的Wiman-Valiron理论得到了线性q-差分方程亚纯解与系数之间的关系.本文具体安排如下:第二章介绍Nevanlinna 理论,差分Nevanlinna理论.第三章介绍q-差分方程,q-差分Nevanlinna理论.第四章介绍具有有限对数增长级亚纯函数的性质及应用.本文的主要研究结果如下:定理1:设f(z)与g(z)为复平面上的非常数亚纯函数,其对数增长级分别为ρlog(f)与ρlog(g)则:ρlog(fg)≤max{ρlog(f),ρlog(g)},ρlog(f+g)≤max{ρlog(f),ρlog(g)},即两个亚纯函数积与和的对数增长级不大于两个亚纯函数对数增长级中的较大者.定理2:设f(z)与g(z)为复平面上的非常数亚纯函数,f(z)的对数增长级为ρlog(f),g(z)的对数增长级的下级为μlog(g).如果ρlog(f)<μlog(g),则T(r,f =o(T(r,g))(r →∞).定理3:令a0(z),…,an(z)是对数增长级有限的超越整函数,且令q∈C\{0}以至于|q| ≠ 1.对于下面的方程(?)aj(z)f(qjz)=0(1)f(z)是该方程的超越整函数解,并且存在i ∈{0,…,n}使得且则。

有限增长级条件下超越整函数和亚纯函数的一阶差分方程的零点和不动点研究

有限增长级条件下超越整函数和亚纯函数的一阶差分方程的零点和不动点研究章辉梁;高宗升【摘要】对超越整函数和亚纯函数一阶差分方程的零点和不动点的研究,很多的研究结果都是基于函数的增长级σ(f)≤1,而在有限增长级1<σ(f)<∞的情况下,研究结果则相对较少。

利用Nevanlinna的基本理论和方法,探讨了在有限增长级的条件下,超越整函数和亚纯函数一阶差分方程零点和不动点的存在性。

首先,结合Hadmard因子分解定理研究了在一定的条件下超越整函数的一阶差分方程零点和不动点的存在性,证明了其有无穷多个零点和无穷多个不动点。

其次,把对超越整函数的零点和不动点的存在性研究,推广到了亚纯函数,继续探讨了亚纯函数在有限增长级条件下零点和不动点的情况,得出了相应的结论。

【期刊名称】《长江大学学报（自然版）理工卷》【年(卷),期】2016(013)004【总页数】4页(P10-13)【关键词】一阶差分;零点;不动点【作者】章辉梁;高宗升【作者单位】北京航空航天大学数学信息与行为教育部重点实验室，北京100191;北京航空航天大学数学信息与行为教育部重点实验室，北京 100191【正文语种】中文【中图分类】O174.5亚纯函数Nevanlinna理论的一些基本概念和标准记号见文献[1～3]，用T(r,f)表示复平面上亚纯函数f的特征函数，用σ(f)表示f(z)的增长级，用λ(f)表示f(z)的零点收敛指数。

差分算子Δf的具体定义[4]如下：Δf(z)=f(z+1)-f(z)Δn+1f(z)=Δnf(z+1)-Δnf(z)n=0,1,2,…在文献[5]中，Bergweiler 和Langley首先讨论了差分Δf(z)=f(z+c)-f(z)以及差商的零点情况，得到了如下的重要结果。

定理A 设f(z)是超越整函数,若存在，使f(z)的增长级σ(f)、σ满足σ(f)，则有无穷多个零点。

定理B 设f(z)是超越亚纯函数，下级u(f)<1，设c∈C/{0}使得f(z)最多只有有限多个极点zj,zk满足zj-zk=c，则h(z)=f(z+c)-f(z)有无穷多个零点。

vanlee有限差分格式

Van Lee有限差分格式1. 引言Van Lee有限差分格式是一种数值解法，用于求解偏微分方程。

它是由荷兰数学家Van Lee于20世纪50年代提出的，被广泛应用于科学和工程领域。

本文将详细介绍Van Lee有限差分格式的原理、应用和优缺点。

2. 原理Van Lee有限差分格式基于有限差分法，将偏微分方程转化为差分方程，通过有限差分近似求解。

其基本思想是将求解域划分为离散的网格点，然后通过近似替代偏微分方程中的导数项，得到差分方程。

最后，通过迭代求解差分方程，得到数值解。

在Van Lee有限差分格式中，常用的差分近似方法有中心差分、向前差分和向后差分。

其中，中心差分是最常用的方法，它使用当前节点及其相邻节点的函数值来估计导数项。

具体公式如下：其中，f(x)是待求解的函数，h是网格间距，n是当前节点。

3. 应用Van Lee有限差分格式广泛应用于各种偏微分方程的求解，特别是在热传导、流体力学和结构力学等领域。

下面以热传导方程为例，介绍Van Lee有限差分格式的应用。

热传导方程描述了物体内部温度分布随时间的变化。

假设物体的温度分布为u(x, t)，满足以下方程：其中，α是热扩散系数。

通过将空间和时间离散化，可以得到差分方程：其中，i是空间网格索引，j是时间步长索引。

利用Van Lee有限差分格式，可以将差分方程转化为线性方程组，通过求解线性方程组得到温度分布的数值解。

4. 优缺点Van Lee有限差分格式有以下优点：•简单易懂：Van Lee有限差分格式的原理简单，易于理解和实现。

•适用范围广：Van Lee有限差分格式适用于各种偏微分方程的求解，包括热传导、流体力学和结构力学等领域。

•数值稳定性好：Van Lee有限差分格式具有良好的数值稳定性，能够得到准确可靠的数值解。

然而，Van Lee有限差分格式也存在一些缺点：•误差较大：由于使用近似替代导数项，Van Lee有限差分格式的数值解与真实解之间存在误差，且误差随着网格间距的减小而增大。

非线性常微分方程边值问题的有限解析法

非线性常微分方程边值问题的有限解析法非线性常微分方程边值问题（NonlinearOrdinaryDifferentialEquationBoundaryValueProblem，简称BVP）是系统动力学，数学物理，流体动力学及控制等多个学科中的重要问题。

自20世纪60年代以来，BVP的研究得到了迅猛的发展，研究的解析方法从精确解析方法到近似解析方法，再到近似解法及混合解法，主要包括：有限元法，采用多项式进行有限差分法，多项式拟合法，幂级数法，变分法，迭代法等。

比较近些年，有限解析法受到越来越多的关注，这项研究不仅有助于深入了解BVP的数学本质，还可以指导现实问题的解决。

有限解析法是一种以数学分析的方法求解BVP边界值问题的方法，主要是利用多项式函数近似解，或是采用多项式多项式拟合法进行离散，最后得出精确的解析解。

这种方法被广泛应用于边界值问题的解决，其优势在于不需要迭代求解，即使求解过程复杂，有限解析法仍能得到快速而准确的结果。

二、原理有限解析法的原理是：将BVP边界值问题转换为一个多项式拟合的问题，首先以离散化的方式将非线性常微分方程边值问题转换为一个线性方程组，然后再用多项式函数近似求解有限结点方程组，并通过一组特定的约束条件使多项式函数唯一确定，最终得出有限的解析解。

三、实例下面以一个实例来说明有限解析法的用法。

假设给定一个BVP如下：y + 3y - 2y = x， y(0)=1， y(1)=5此非线性常微分方程边值问题的解析解可以用有限解析法来解决。

首先，以离散化的形式转换为线性方程组，把解区间[0, 1]选择为 N等分，即为xi=i/N，i=0,1,2…N-1，在节点处yi=yi(xi)。

由于边界已知，所以将节点拆分为 N+1个即yi(0)=1，yi(1)=5，那么有限元可以确定y0,y1,y2…yN-1的值，一共N组值。

现在构造N组多项式拟合，即有yi = a0 + a1xi + a2xi2 + +aN-1xiN-1,i=0,1,2…N-1，将构造出的多项式代入原问题，将原问题转移到下面N组线性方程系：(1) a0 + a1(0) + a2(0)2 + +aN-1(0)N-1 = 1；(2) a0 + a1(1/N) + a2(1/N)2 + +aN-1(1/N)N-1 = f(1/N)；(3) a0 + a1(2/N) + a2(2/N)2 + +aN-1(2/N)N-1 = f(2/N)；…………(N) a0 + a1(N-1/N) + a2(N-1/N)2 + +aN-1(N-1/N)N-1 =f(N-1/N)；最后求解上述N组线性方程组的唯一解，即可得出yi的值，从而得出有限的解析解。

关于一类复差分方程组及C~n上复偏差分方程组亚纯解的研究

关于一类复差分方程组及C~n上复偏差分方程组亚纯解的研究
在本文中,主要利用了亚纯函数的Nevanlinna值分布理论以及亚纯函数对数导数引理的差分模拟和差分多项式的值分布性质,研究了一类复差分方程组亚纯解的结构;研究了C~n上的一类偏差分方程组的亚纯解及其性质,进一步推广和改进了之前一些文献的结论.同时例子也表明本文的一些结论更优.全文共分三章:第一章,主要介绍了Nevanlinna值分布理论的基础知识,以及常用的记号和与复差分相关的一些ห้องสมุดไป่ตู้本定理.第二章,研究了一类复差分方程组的亚纯解的结构,对ine等人的结论进行了推广. 例子表明本章定理的条件以及结论是精确的.第三章,利用了 Clunie-Mohon’ko引理的差分模拟,研究了在C~n上一类复偏差分方程组的亚纯解及其性质,得到几个结果.例子也表明定理的

差分和q-差分多项式的Clunie定理

J.London Math.Soc.(2)76(2007)556–566Ce2007London Mathematical Societydoi:10.1112/jlms/jdm073 CLUNIE THEOREMS FOR DIFFERENCE ANDq-DIFFERENCE POLYNOMIALSILPO LAINE and CHUNG-CHUN YANGAbstractThe main purpose of this paper is to prove diﬀerence and q-diﬀerence counterparts of the Clunie and Mohon’ko lemmas from the Nevanlinna theory of diﬀerential polynomials.We also give applications to the value distribution theory of meromorphic solutions of some complex diﬀerence equations.1.IntroductionMeromorphic solutions of complex diﬀerence equations have become a subject of great interest recently,due to the apparent role of the existence of such solutions ofﬁnite order for the integrability of discrete diﬀerence equations.These types of considerations were initiated by Ablowitz,Halburd and Herbst[1]a few years ago,although the idea of relating growth of solutions with the integrability goes back to Veselov[17]at least.See also Ramani et al.[16]. Recently,Halburd and Korhonen[9]were able to show that whenever a complex diﬀerence equation of typew(z+1)+w(z−1)=R(z,w),(1.1) where R is rational in both of its arguments,has a meromorphic solution ofﬁnite order,either w satisﬁes a diﬀerence Riccati equation or(1.1)may be transformed into a diﬀerence Painlev´e or a linear diﬀerence equation.For a precise statement of this result,see[9,Theorem1.1].A natural tool for such considerations is the Nevanlinna theory of meromorphic functions and, more precisely,the counterparts of its basic notions and results in the framework of diﬀerence expressions.In this paper,we assume that the reader is familiar with the standard notation and basic results of Nevanlinna theory;see,for example,[10].With respect to Nevanlinna theory and diﬀerence expressions,there are two recent papers [4,8]containing very similar results.However,their presentations are slightly diﬀerent in detail.A typical example of these presentations is the diﬀerence analogue of the logarithmic derivative lemma.In the presentation of[8],this key lemma reads as follows.Lemma1.1.Let f be a non-constant meromorphic function,c∈C,δ<1andε>0.Thenmr,f(z+c)f(z)=oT(r+|c|,f)1+εrδ(1.2)for all r outside of a possible exceptional set E withﬁnite logarithmic measure.On the other hand,the same result will be formulated in[4]in the following form.Received9June2006;revised19December2006;published online24October2007.2000Mathematics Subject Classiﬁcation30D35(primary),39B32(secondary).The authors were supported by the RGC Grant of Hong Kong605205.Theﬁrst author has also been supported by the Academy of Finland grant210245.DIFFERENCE AND q -DIFFERENCE POLYNOMIALS 557Lemma 1.2.Given two distinct complex numbers η1,η2,let f be a meromorphic function of ﬁnite order ρ.Then for each ε>0,m r,f (z +η1)f (z +η2)=O(r ρ−1+ε).(1.3)In what follows,we mostly refer to [4]while considering the Nevanlinna theory of diﬀerence expressions.Note that in such considerations,the estimates derived are valid outside of a possible exceptional set of ﬁnite logarithmic (or,respectively,linear)measure at most.As we are only considering ﬁnitely many of such exceptional sets,we may remove the union of such sets from our consideration.In [8],Halburd and Korhonen proved diﬀerence counterparts (see [8,Theorem 3.1and Theorem 3.2],for the well-known Clunie and Mohon’ko lemmas in Nevanlinna theory);see[5,15]for the original versions of these results,as well as [13,Lemma 2.4.2,Proposition 9.2.3].A slightly more general version of the Clunie lemma can be found in [11,pp.218–220];see also[13,Lemma 2.4.5.].Recently,the additional assumptions in the He–Xiao variant of the Clunie lemma have been removed by Yang and Ye in [21,Theorem 1].Closely related to diﬀerence expressions are q -diﬀerence expressions,where the usual shift f (z +c )of a meromorphic function will be replaced by the q -shift f (qz ),q ∈C \{0}.The Nevanlinna theory of q -diﬀerence expressions and its applications to q -diﬀerence equations have recently been considered by Barnett et al.;see [3].Similarly,as the ﬁnite order solutions play a key role in complex diﬀerence equations,solutions of order zero are in focus for complex q -diﬀerence equations;see the introduction in [3].Moreover,typical results in the q -diﬀerence Nevanlinna theory are valid on sets of logarithmic density 1.This means that we may have to consider the intersection of several such sets to ensure that a ﬁnite number of related observations remain valid simultaneously.This will not be mentioned explicitly in what follows.The main purpose of this paper is to prove diﬀerence and q -diﬀerence counterparts (Theorem 2.3and Theorem 2.5below)to the Yang–Ye theorem.We also state the diﬀerence counterpart (Theorem 2.4)of the Mohon’ko lemma in the Chiang–Feng setting.Finally,we add some applications of these diﬀerence counterparts to obtain observations on the value distribution of meromorphic solutions of some complex diﬀerence equations.2.Main resultsIn what follows,we shall consider diﬀerence products and diﬀerence polynomials.By a diﬀerence product ,we mean a diﬀerence monomial,that is,an expression of typesj =1f (z +γj )νj ,(2.1)where γ1,...,γs are complex numbers and ν1,...,νs are natural numbers.A diﬀerence polynomial is a ﬁnite sum of diﬀerence products,that is,an expression of the form U (z,f )= {J }αJ (z )⎛⎝ j ∈Jf (z +c j )⎞⎠,(2.2)where c j ,j ∈J ,is a set of distinct complex numbers.In what follows,we assume that the coeﬃcients of diﬀerence polynomials are,unless otherwise stated,small functions as understood in the usual Nevanlinna theory;that is,their characteristic is of type S (r,f ).Combining[14,Lemma 2.1](based on an observation by Ramani et al.in [16])with [4,Theorem 2.1],we obtain the following lemma.558ILPO LAINE AND CHUNG-CHUN YANG Lemma 2.1.The characteristic function of a diﬀerence polynomial U (z,f )in (2.2)satisﬁesT (r,U (z,f )) nT (r,f )+O(r ρ−1+ε)+S (r,f ),(2.3)provided that f is a meromorphic function of ﬁnite order ρ,and the index set J consists of n elements.We ﬁrst state a slight generalization of the diﬀerence version of the Clunie lemma (see[8,Theorem 3.1]),expressed in the terminology of [4].However,we omit the proof,as this version is just a special case of the next theorem.Theorem 2.2.Let f be a transcendental meromorphic solution of ﬁnite order ρof a diﬀerence equation of the formH (z,f )P (z,f )=Q (z,f ),(2.4)where H (z,f )is a diﬀerence product of total degree n in f (z )and its shifts,and where P (z,f ),Q (z,f )are diﬀerence polynomials such that the total degree of Q (z,f )is at most n .Then for each ε>0,m (r,P (z,f ))=O(r ρ−1+ε)+S (r,f ),(2.5)possibly outside of an exceptional set of ﬁnite logarithmic measure.Remark.For a transcendental meromorphic solution of inﬁnite order of (2.4),the proximity function m (r,P (z,f ))is not necessarily small with respect to T (r,f )as in the Nevanlinna theory.To give an example,see [12,pp.101–102].The entire function f (z )=e A cos(πz/3+α)with parameters A,α∈C satisﬁes the diﬀerence equation f (z )f (z +2)=f (z +1).Another example (see [6,pp.102–103])follows fromf (z )2f (z +2)=f (z +1)2,which has the two-parameter family f (z )=exp e (1/2)z log 2 c 1cos πz 4 +c 2sin πz 4of solutions.Finally,the assumption that f should be transcendental is needed as well.In fact,if f is rational,then the coeﬃcients in (2.4)should be constants.Suppose then f ∼z −k ,k 1,close to inﬁnity.Also assume that Q (z,f )in (2.4)is a diﬀerence product,in addition to H (z,f ).Then H (z,f )∼z −kn ,whereas Q (z,f )∼z −kp for some p n .If now p <n ,then m (r,P (z,f ))∼k (n −p )log r .On the other hand,T (r,f )∼s log r for some ﬁnite s ∈N .Hence,m (r,P (z,f ))is not small with respect to f .We next prove a more general version of the preceding theorem by making use of the reasoning applied by Yang and Ye in [21].Theorem 2.3.Let f be a transcendental meromorphic solution of ﬁnite order ρof a diﬀerence equation of the formU (z,f )P (z,f )=Q (z,f ),(2.6)where U (z,f ),P (z,f )and Q (z,f )are diﬀerence polynomials such that the total degree deg U (z,f )=n in f (z )and its shifts,and deg Q (z,f ) n .Moreover,we assume that U (z,f )contains just one term of maximal total degree in f (z )and its shifts.Then for each ε>0,m (r,P (z,f ))=O(r ρ−1+ε)+S (r,f ),(2.7)possibly outside of an exceptional set of ﬁnite logarithmic measure.DIFFERENCE AND q -DIFFERENCE POLYNOMIALS 559Remark.It remains open whether the assumption of just one term of maximal total degree could be removed.For an example,see the remark after the proof of this theorem.The reasoning applied by Yang and Ye in [21](see the proof of Theorem 2)may also be used to obtain a diﬀerence counterpart of the Mohon’ko lemma in the Chiang–Feng setting.See [8,Theorem 3.2]for a previous diﬀerence variant of this lemma.We omit the proof,as this is just an easy modiﬁcation of the corresponding proof in [8].Theorem 2.4.Let f be a transcendental meromorphic solution of ﬁnite order ρof the diﬀerence equationP (z,f )=0,where P (z,f )is a diﬀerence polynomial in f (z )and its shifts.If P (z,a )≡0for a slowly moving target function a ,that is,T (r,a )=S (r,f ),then m r,1f −a=O(r ρ−1+ε)+S (r,f )outside of a possible exceptional set of ﬁnite logarithmic measure.Replacing diﬀerence polynomials by q -diﬀerence polynomials,we ﬁnd an analogue of Theorem 2.3,by generalizing the basic q -diﬀerence Clunie lemma,recently proved by Barnett et al.;see [3,Theorem 2.1].Here a q -diﬀerence polynomial of f for q ∈C \{0,1}is a polynomial in f (z )and ﬁnitely many of its q -shifts f (qz ),...,f (q n z )with meromorphic coeﬃcients in the sense that their Nevanlinna characteristic functions are o(T (r,f ))on a set of logarithmic density 1.Theorem 2.5.Let f be a transcendental meromorphic solution of order zero of a q -diﬀerence equation of the formU q (z,f )P q (z,f )=Q q (z,f ),(2.8)where U q (z,f ),P q (z,f )and Q q (z,f )are q -diﬀerence polynomials such that the total degree deg U q (z,f )=n in f (z )and its q -shifts,whereas deg Q q (z,f ) n .Moreover,we assume that U q (z,f )contains just one term of maximal total degree in f (z )and its q -shifts.Thenm (r,P q (z,f ))=o(T (r,f ))(2.9)on a set of logarithmic density 1.3.Proof of Theorem 2.3We ﬁrst ﬁx some notation for the proof as follows:P (z,f )=λ∈I a λ(z )σλ j =1f (z +αλ,j )l λ,j ,(3.1)Q (z,f )=μ∈J b μ(z )τμ j =1f (z +βμ,j )m μ,j ,(3.2)U (z,f )= ν∈K c ν(z )U ν(z,f )=ν∈K c ν(z )υν j =1f (z +γν,j )n ν,j .(3.3)560ILPO LAINE AND CHUNG-CHUN YANGBy an assumption concerning the total degree of U(z,f)and Q(z,f),we havemax μ∈Jτμj=1mμ,j n=maxν∈Kυνj=1nν,j.(3.4)Moreover,we use the notation gλ,j(z):=f(z+αλ,j)/f(z),lλ:= σλj=1lλ,j and hμ,j(z):=f(z+βμ,j)/f(z).We next rearrange the expression for the diﬀerence polynomial U(z,f)by collecting together all terms having the same total degree and then writing U(z,f)in the formU(z,f)=nj=0c j(z)f(z)j.(3.5)Now each of the coeﬃcients c j is aﬁnite sum of products of functions of the form f(z+δ)/f(z),δ∈C,each such product being multiplied by one of the original coeﬃcients cν(z),ν∈K. However, c n(z)contains just one product of the described form,multiplied by one of the original coeﬃcients.By[4,Corollary8.3],we have,for all j=0,...,n and for allε>0small enough,the estimate| c j(z)|ν∈K|cν(z)|exp(rρ−1+ε)outside of a possible exceptional set ofﬁnite logarithmic measure.Taking logarithms and integrating,we getm(r, c j)=O(rρ−1+ε)+S(r,f),(3.6)for all j=0,...,n,as well asm(r,1/ c n)=O(rρ−1+ε)+S(r,f);(3.7)here(3.7)follows from the assumption that we have just one term of maximal total degree in U(z,f).Making use of the reasoning in[21],weﬁrst deﬁnec(z):=max1 j n1,2c n−jc n1/j.(3.8)Although c(z)is not meromorphic,we may however compute its proximity function to obtainm(r,c)nj=0m(r, c j)+m(r,1/ c n)+O(1)=O(rρ−1+ε)+S(r,f).(3.9)We next divide the circle|z|=r into two parts:F1:={θ∈[0,2π):|f(re iθ)| c(re iθ)},F2:=[0,2π)\F1.(3.10)It is routine to see that whenever0<α<1and x k 0,we have(x k)αxαk.Applyingnow the notation introduced at the beginning of the proof,we may drop,for brevity,the argument‘z’in what follows.We may alsoﬁxαto satisfy0<α<1.DIFFERENCE AND q-DIFFERENCE POLYNOMIALS561 For z=re iθwithθ∈F1,we now get|P(z,f)|αλ∈I|aλ||f|lλσλj=1|gλ,j|lλ,jα=λ∈I|aλf lλ|ασλj=1|gλ,j|αlλ,jλ∈I|aλf lλ|2α1/2λ∈Iσλj=1|gλ,j|2αlλ,j1/2λ∈I|aλc lλ|2α1/2λ∈Iσλj=1|gλ,j|2αlλ,j1/2.(3.11)In the second case to be considered,θ∈F2,we have|f(z)|>c(z) 2c n−jc n1/j,and hencec n−jc n|f(z)|j2jfor all j=1,...,n.This means that we have|U(z,f)| | c n||f|n1−nj=1| c n−j|| c n||f|j| c n||f|n2n.Moreover,recall that we also have|f(z)|>c(z) 1in the present case.Similarly,as in the preceding case ofθ∈F1,and recalling the assumption on the total degrees of Q(z,f)and U(z,f),we may now estimate|P(z,f)|α=Q(z,f)α2n| c n||f|μ∈J|bμ(z)|τμj=1|f(z+βμ,j)|mμ,jα2n| c n|αμ∈J|bμ|τμj=1|hμ,j|mμ,jα2n| c n|αμ∈J|bμ|2α1/2μ∈Jτμj=1|hμ,j|2αmμ,j1/2.(3.12)Estimating nowm(r,P(z,f))=12πα2πlog+|P(z,f)|αdθby the preceding inequality(3.12)and the corresponding inequality(3.11)from the caseθ∈F1, we immediately see that the last factor on the right-hand side of both of these inequalities yields,after taking logarithms and integrating,O(rρ−1+ε)+O(1).The factors formed by the coeﬃcients aλand bμin(3.11)and(3.12),respectively,are of type S(r,f),by assumption. Finally,the factor(2n/| c n|)αin the caseθ∈F2results in O(rρ−1+ε)+S(r,f)by(3.7).Adding all the components,we get the required estimate for m(r,P(z,f)).562ILPO LAINE AND CHUNG-CHUN YANGRemark.Theorem 2.3fails if U (z,f )contains more than one term of maximal total degree.Indeed,the diﬀerence equation f (z )2+f z +π22 f (z )=−f (z +π)is solved by f (z )=sin z .Looking at the proof above,we would get U (z,f )= c 2(z )f (z )2= 1+ f (z +π2)f (z )2 f (z )2.But then we getm (r,1/ c 2)=m (r,sin 2(z ))=O(r ),contradicting what we need in (3.7).4.Proof of Theorem 2.5As this is completely parallel to the proof of Theorem 2.3in the preceding section,a few remarks are suﬃcient.First,we again rearrange U q (z,f )in the formU q (z,f )=nj =0 γj (z )f (z )j ,(4.1)where each of the coeﬃcients γj is a ﬁnite sum of products of functions of the form f (q k z )/f (z ),each such product being multiplied by one of the original coeﬃcients of U q (z,f ).Again, γn (z )consists of just one such product.Making use of [3,Theorem 1.1]instead of [4,Corollary 8.5],we infer thatm (r, γj )=o(T (r,f ))for j =0,...,n andm (r,1/ γn )=o(T (r,f )),both these estimates being valid on a set of logarithmic density 1.Deﬁning now,as before,γ(z ):=max 1 j n 1,2 γn −j γn1/j ,we ﬁnd thatm (r,γ)=o(T (r,f )),again on a set of logarithmic density 1.To compute now m (r,P q (z,f )),we divide the circle |z |=r into two:F 1:={0∈[0,2π):|f (re iθ)| γ(re iθ)},F 2:=[0,2π)\F 1as before.We may now repeat the corresponding reasoning of the proof of Theorem 2.3to complete the proof.5.Applications to complex diﬀerence equationsAn immediate consequence of Theorem 2.2is the following proposition.Proposition 5.1.Given three non-zero complex numbers α,β,γ,not all equal,let f be a meromorphic solution of ﬁnite order ρof a Riccati diﬀerence equationf (z +α)f (z +β)+a (z )f (z +γ)+b (z )f (z )+c (z )=0(5.1)DIFFERENCE AND q-DIFFERENCE POLYNOMIALS563 with small coeﬃcients in the Nevanlinna theory sense.Thenm(r,f)=O(rρ−1+ε)+S(r,f)(5.2) outside of a possible exceptional set ofﬁnite logarithmic measure.Moreover,for any meromorphic functionω(z)small with respect to f,we obtainm(r,1/(f−ω))=O(rρ−1+ε)+S(r,f),(5.3) provided thatω2+(a(z)+b(z))ω+c(z)≡0.Proof.Theﬁrst assertion is an immediate consequence of Theorem2.2and[4,Corollary 2.6],whereas the second follows from Theorem2.4.Remark.We remark that in this case of Riccati diﬀerence equations,ﬁnite-order mero-morphic solutions may well exist,as shown by the concrete examples given below.See also[2], pp.122–123and[18],Theorem1.Example[6,pp.99–100].The Pielou logistic equation(which is a special case of a Riccati diﬀerence equation)f(z+1)=αf(z)1+βf(z),β=0,has the following non-constant solutions(ofﬁnite order),where c=β/(α−1)is a complex parameter:f(z)=1c+βz,in the case ofα=1,andf(z)=(α−1)e z logα−β+c(α−1)+βe,ifα=1.Looking at the last case only and writing the equation in the formf(z)f(z+1)+1βf(z+1)−αβf(z)=0,we immediately conclude that m(r,f)=O(rε)+S(r,f)by Theorem 2.2,and that m(r,1/(f−ω))=O(rε)+S(r,f),provided thatω=(α−1)/β.The complex constant(α−1)/βis in fact a Picard value for f(z),as can be immediately veriﬁed.Example[12,pp.103–106].The following diﬀerence equationf(z+1)=αf(z)(1−f(z)),α=0,comes out of a well-known discrete logistic model in biology.Although it looks somewhat similar to the previous example,the behaviour of its solutions is completely diﬀerent.Indeed, apart from the constant solutions f(z)≡0,f(z)≡(α−1)/α,all other meromorphic solutions are of inﬁnite order of growth.For a possible entire solution,an immediate contradiction follows by the Clunie theorem above(Theorem2.2).If f(z)is meromorphic non-entire,then we may start at an arbitrary pole to construct an arithmetic progression of poles so that their multiplicities grow exponentially.This readily implies a growth of inﬁnite order;see the proof of Proposition5.4.Examples of one-parameter families of entire solutions of inﬁnite order aref(z)=12(1−exp(Ae z log2)),A∈C\{0}forα=2andf(z)=sin2(Be z log2),B∈C\{0} forα=4.564ILPO LAINE AND CHUNG-CHUN YANGExample[19,p.124].Similarly,the diﬀerence equationf(z+1)=f(z)p,p∈N,admits an entire solutionf(z)=exp(e z log p)of inﬁnite order.Again,as in the previous example,we may show that the only meromorphic solutions ofﬁnite order are constants,provided that p 2.Concerning linear diﬀerence equations,weﬁrst complete[4,Theorem9.2].Theorem 5.2.Let A0,...,A n be entire functions ofﬁnite order such that among those having the maximal orderρ:=max0 k nρ(A k),exactly one has its type strictly greater than the others.Then for any meromorphic solution ofA n(z)f(z+ωn)+...+A1(z)f(z+ω1)+A0(z)f(z)=0,(5.4) we haveρ(f) ρ+1.Proof.First recall that for an entire function of orderρand of typeτ<∞,we have M(r,f)=O(exp((τ+ε)rρ)).For simplicity of notation,we rewrite equation(5.4)in the form a0(z)f(z+α0)+...+a k(z)f(z+αk)+b0(z)f(z+β0)+...+b l(z)f(z+βl)=0,(5.5) where k+l=n,ρ(a0)=...=ρ(a k)=ρand max0 j lρ(b j)=:μ<ρ.Moreover,we may assume thatτ=max1 j kτ(a j)<τ(a0).Suppose now that f is a meromorphic solution of (5.4),and hence of(5.5)as well,of orderρ(f)<ρ+1.Now takeε>0small enough to satisfy μ+ε<ρandρ(f)+2ε<ρ+1.Fix alsoσso thatτ<σ<σ+3ε<τ(a0).Dividing now(5.5) by f(z+α0)and recalling[4,Corollary8.3],we obtain,outside of a possible exceptional set ofﬁnite logarithmic measure,M(r,a0) e rρ(f)−1+ε(O(e(τ+ε)rρ)+O(e rμ+ε))=O(e(σ+2ε)rρ).By[7,Lemma5],the exceptional set may be removed by slightly increasingε,if needed.Hence ) σ+2ε,a contradiction.τ(aRemark.It is natural to ask whether all meromorphic solutions f of equation(5.4)satisfy ρ(f) 1+max0 j nρ(A j),even if there is no dominating coeﬃcient.We next apply the previous considerations to complex diﬀerence equations loosely related to discrete Painlev´e equations.However,as our interest is purely mathematical,we permit more general coeﬃcients than is customary in questions directly dealing with Painlev´e equations. On the other hand,the search for what could be called the‘discrete Painlev´e property’has prompted us to determine whether a given complex diﬀerence equation permits meromorphic solutions ofﬁnite order;see[1,16]for a detailed argument.As for the next proposition from this point of view;see[16,p.1007].The existence of meromorphic solutions has been proved in the case of constant coeﬃcients andα=1,β=2;see[20].Yanagihara also proved that meromorphic solutions of(5.6)below are of inﬁnite order in the case of constant coeﬃcients. Before proceeding,we recall some notation and a lemma from[9].Where f has more than S(r,f)poles of a certain type,we mean that the integrated counting function of these poles is not of type S(r,f).We next use∞k to denote a pole of f of multiplicity k.Similarly,we may denote0k and a+0k for zeros and a-points of f,respectively.Moreover,we may use notation such as f(z0)=a+0k as short-hand notation for the corresponding expansions of f around z0.We now recall the following lemma from[9,Lemma3.1].DIFFERENCE AND q-DIFFERENCE POLYNOMIALS565 Lemma5.3.Let w be a meromorphic function having more than S(r,w)poles,and let a s, s=1,...,n,be small meromorphic functions with respect to f.Denote by m j the maximum order of zeros and poles of the functions a s at z j.Then for anyε>0,there are at most S(r,w) points z j such thatw(z j)=∞k j,where m j εk j.Proposition 5.4.Given two distinct non-zero complex numbersα,β,let f be a transcendental meromorphic solution off(z+α)+f(z+β)=a(z)f(z)2+b(z)f(z)+c(z)(5.6) with meromorphic coeﬃcients satisfying T(r,a)=S(r,f),T(r,b)=S(r,f)and T(r,c)= S(r,f).Then f is of inﬁnite order of growth.Proof.Let us assume that f is a meromorphic solution of(5.6)ofﬁnite orderρ.For simplicity,letF L(z):=f(z+α)+f(z+β)andF R(z):=a(z)f(z)2+b(z)f(z)+c(z).By Theorem2.1,we readily conclude thatm(r,f)=O(rρ−1+ε)+S(r,f).Therefore,f has more than S(r,f)poles,counting multiplicity.Denoting points in the pole-sequence by z j,we may invoke the notation introduced above to denote f(z j)=∞k j.By Lemma5.3,f has more than S(r,f)poles so that we have m j<εk j at z j.Here m j refers to the coeﬃcients a,b,c of(5.6).Denote the sequence of such poles by z1,j,and take this sequence as our starting point.Supposing,as we may,thatε<1/2,we see thatF R(z1,j)=∞k 2,j,k 2,j (2−ε)k1,j.Comparing this with F L,we conclude that at least one of the points z1,j+α,z1,j+βis a pole of f of multiplicity k2,j k 2,j.Weﬁrst apply Lemma5.3to obtain more than S(r,f)such points z2,j with f(z2,j)=∞k 2,j and m2,j<εk2,j.We then pick only one of these points,denoting it by z2,j.Continuing to the next phase,we observe that F R(z2,j)=∞k 3,j,and weﬁx,for each permitted z2,j,a pole z3,j of the next phase so that f(z3,j)=∞k3,j,wherek3,j k 3,j (2−ε)k2,j (2−ε)2k1,j.Continuing inductively,we mayﬁnally choose a sequence z n of poles of f which satisfy the conditions f(z n)=∞k n and k n (2−ε)n−1k1 (2−ε)n−1.To estimate now the counting function N(r,f),let M:=max(|α|,|β|).Then it is geometri-cally obvious thatz n∈B(z1,(n−1)M)⊂B(0,|z1|+(n−1)M)=B(0,r n).For n large enough,we have r n 2(n−1)M,which means thatn(r n,f) (2−ε)n−1>(3/2)n−1.Hence,N(2r n,f) (log2)32n−1(log2)32rn/3M.This obviously contradicts our hypothesis that f is ofﬁnite order,proving theassertion.566DIFFERENCE AND q-DIFFERENCE POLYNOMIALS Acknowledgement.We thank the referees for pointing out several inaccuracies in the original version of this paper.References1.M.J.Ablowitz,R.Halburd and B.Herbst,‘On the extension of the Painlev´e property to diﬀerenceequations’,Nonlinearity13(2000)889–905.2.R.P.Agarwal,Diﬀerence equations and inequalities.Theory,methods and applications,5th edn(MarcelDekker,Inc.,New York,2000).3. D.C.Barnett,R.G.Halburd,R.J.Korhonen and W.Morgan,‘Nevanlinna theory for the q-diﬀerenceoperator and meromorphic solutions of q-diﬀerence equations’,Proc.Roy.Soc.Edinburgh Sect.A.137 (2007)457–474.4.Y.M.Chiang and S.Feng,‘On the Nevanlinna characteristic of f(z+η)and diﬀerence equations in thecomplex plane’,Ramanujan J.,to appear,arXiv:math.CV/0609324.5.J.Clunie,‘On integral and meromorphic functions’,J.London Math.Soc.37(1962)17–27.6.S.Elaydi,An introduction to diﬀerence equations,3rd edn(Springer,New York,2005).7.G.Gundersen,‘Finite order solutions of second order linear diﬀerential equations’,Trans.Amer.Math.Soc.305(1988)415–429.8.R.G.Halburd and R.J.Korhonen,‘Diﬀerence analogue of the lemma on the logarithmic derivativewith applications to diﬀerence equations’,J.Math.Anal.Appl.314(2006)477–487.9.R.G.Halburd and R.J.Korhonen,‘Finite order solutions and the discrete Painlev´e equations’,Proc.London Math.Soc.94(2007)443–474.10.W.K.Hayman,Meromorphic functions(Clarendon Press,Oxford,1964).11.Y.He and X.Xiao,Algebroid functions and ordinary diﬀerential equations(Science Press,Beijing,1988)(Chinese).12.W.Kelley,and A.Peterson,Diﬀerence equations.An introduction with applications(Academic Press,Inc.,Boston,1991).ine,Nevanlinna theory and complex diﬀerential equations(Walter de Gruyter,Berlin,1993).ine,J.Rieppo and H.Silvennoinen,‘Remarks on complex diﬀerence equations’,Comput.MethodsFunct.Theory5(2005)77–88.15. A.Z.Mohon’ko and V.D.Mohon’ko,‘Estimates of the Nevanlinna characteristics of certain classesof meromorphic function,and their applications to diﬀerential equations’,Sibirsk.Mat.Zh.15(1974) 1305–1322(Russian).16. A.Ramani,B.Grammaticos,T.Tamizhmani and K.M.Tamizhmani,‘The road to the discrete analogueof the Painlev´e property:Nevanlinna meets singularity conﬁnement’,Comput.Math.Appl.45(2003) 1001–1012.17. A.P.Veselov,‘Growth and integrability in the dynamics of mappings’,Comm.Math.Phys.145(1992)181–193.18.N.Yanagihara,‘Meromorphic solutions of some diﬀerence equations’,Funkcial.Ekvac.23(1980)309–326.19.N.Yanagihara,‘Meromorphic solutions of some diﬀerence equations.II’,Funkcial.Ekvac.24(1981)113–124.20.N.Yanagihara,‘Meromorphic solutions of some diﬀerence equations of n th order’,Arch.Ration.Mech.Math.91(1985)169–192.21. C.-C.Yang and Z.Ye,‘Estimates of the proximate function of diﬀerential polynomials’,Proc.JapanAcad.Ser.A.Math.Sci.83(2007)50–55.Ilpo LaineUniversity of Joensuu Department of Mathematics P.O.Box111FI-80101JoensuuFinlandilpo·laine@joensuu·ﬁChung-Chun YangHong Kong University of Science and TechnologyDepartment of Mathematics Clear WaterKowloonHong Kongmayang@ust·hk。

有限元中, 是怎样处理分布载荷的。并用圣维南定理解释

有限元中, 是怎样处理分布载荷的。

并用圣维南定理解释有限元中是怎样处理分布载荷的有限元分析是一种工程数值分析方法，它用于评估结构在受力情况下的行为和性能。

在实际工程中，结构通常会受到分布载荷的作用，如风荷载、自重、地震力等。

因此，有限元分析需要能够准确地处理这些分布载荷，以便对结构的行为进行精确评估。

在本文中，我们将详细介绍有限元中处理分布载荷的方法，并且通过圣维南定理来解释这些方法的原理。

1. 划分载荷为有限元模型所能处理的载荷有限元模型通常是用离散的有限元单元来描述结构，在分析中需要将分布载荷离散化为有限元模型所能处理的载荷。

这通常可以通过将分布载荷按照一定的规则分布到有限元节点上来实现。

例如，将分布载荷按照线性或者二次分布规则离散化到有限元节点上。

然后，在节点上建立载荷的插值函数，将其传递给单元，从而得到整个有限元模型受力情况的离散表述。

2. 在有限元模型中引入等效节点载荷在有限元模型中，有时会将分布载荷的作用效果近似为等效节点载荷。

这通常可以通过对分布载荷进行积分得到等效节点载荷，并将其施加到有限元模型的节点上。

这样一来，整个有限元模型就可以通过节点载荷的叠加来模拟分布载荷的作用效果。

3. 使用圣维南定理来解释处理分布载荷的原理为了更加深入地理解有限元处理分布载荷的方法，我们可以借助圣维南定理来解释其原理。

圣维南定理是结构力学中的一个基本定理，它描述了受力结构的力平衡条件。

在有限元分析中，我们可以将分布载荷在有限元模型中抽象成为等效节点载荷，然后利用圣维南定理来解释这些等效节点载荷如何在有限元模型中引起结构的应力和变形。

圣维南定理可以描述为：对于一个受到外载荷作用的结构，在平衡状态下，结构内部的每个点，都能受到平衡的力和力矩。

在有限元模型中，由于分布载荷的作用，结构内部会受到一定的内力和内力矩。

因此，通过引入等效节点载荷，并且利用有限元模型的离散单元表述，我们可以用圣维南定理来解释结构内部的力平衡条件，从而理解分布载荷如何在有限元模型中引起结构的响应。

关于亚纯函数分担值及一些微分差分方程的值分布

关于亚纯函数分担值及一些微分差分方程的值分布上世纪二十年代,芬兰数学家R. Ncvanlinna引入了亚纯函数的特征函数,并建立了两个基本定理,从而创立了Nevanlinna值分布理论.他所创立的这一理论被认为是二十世纪最重大的数学成就之一,不仅奠定了亚纯函数理论研究的基础,而且对数学其它分支的发展产生了重大而深远的影响.尽管现在亚纯函数值分布理论已经趋于完善,但是对于其中一些经典问题的研究仍在继续,并且随着Ncvanlinna理论自身的不断发展,这一理论也广泛地应用到了其它数学领域,如位势理论,正规族,多复变量理论,复微分方程以及复差分方程等.我们知道,多项式除了一个常数因子外,由其零点而定.但对于超越整函数及亚纯函数来说,仅仅考虑零点是不够的,因此如何确定一个亚纯函数的讨论就显得复杂而有趣了.亚纯函数唯一性理论就是探讨在什么情况下只存在一个函数满足给定的条件,以及满足给定条件的函数之间有什么样的关系R. Ncvanlinna给出了唯一性理论上的经典的结果,即五值定理和四值定理.许多国内外著名的学者在这一方面做了大量的工作,取得了一系列引人注目的成果.这一理论也出现了越来越多的分支,比如亚纯函数与其导数的唯一性问题,这方面的研究成果可见[1].对应于亚纯函数与其导数的唯一性问题,Hcittokangas [2]等人最近开始考虑亚纯函数与其平移的分担值问题,这方面的研究基于复差分的Ncvanlinna理论,其中最关键的结果就是差分上的对数导数引理Halburd和Korhoncn [3,4], Chiang和Feng [5]分别独立给出了这个引理的两种表达形式.本文主要讨论了亚纯函数分担两个值的唯一性问题,以及一些微分差分方程的值分布问题.论文的结构安排如下.第一章,作为背景知识,我们首先简单介绍了Ncvanlinna理论的一些经典结果,其次介绍了差分中的对数导数引理,该引理是差分中Nevanlinna理论的奠基石,最后介绍了本文中用到的一个重要定理:Wiman-Valiron定理.第二章,我们研究了关于两个亚纯函数的非线性微分多项式分担值的唯一性问题,得到了几个唯一性的定理.它们改进了Fang和Hua[6],Yang和Hua[7]以及Fang和Qiu[8]的结果.实际上,我们证明了以下定理.定理0.1.设f和g是两个超越亚纯函数,它们零点的重级至少是k,其中k是正整数.令n>max{2k-1,k+4/k+4}是一个正整数.如果fnf(k)和gng(k)分担z CM,f和g分担∞IM,那么f和9满足下列情形之一?(i)fnf(k)=gng(k).(ii)f(z)=c1ecz2,g(z)=c2e-cz2,其中c1,c2和c是常数,且满足4(c1c2)n+1c2=-1.定理0.2.设f和g是两个非常数亚纯函数,它们零点的重级至少是k,其中k是正整数.令n>max{2k一1,k+4/k+4}是一个正整数.如果fnf(k)和gng(k)分担1CM,f和g分担∞IM那么f和9满足下列情形之一.(i)fnf(k)=gng(k).(ii)f(z)=c3edz,g(z)=c4e-dz,其中c3,c4和d是常数,且满足(-1)k(c3c4)n+1d2k=1.第三章,我们首先讨论了一类非线性差分方程和多项式的解的存在和增长性问题,得到以下一些结果.同时我们给出几个例子,证明我们结果中的有些条件是必须的.定理0.3.设p(z), r(z)和s(z)是非零多项式,c是非零复数.如果n>m+1(或m>n+1)是两个正整数,那么非线性差分方程f(z)n+p(z)f(z+c)m=r(z)es(z),没有有穷级超越整函数解.定理0.4.考虑差分方程f(z)n+p(z)f(z+c)m=g(z),其中p和q是非零有穷级整函数,m和n是正整数,c是非零复数.如果整函数f满足A(f)<(σ(f)=∞且σ2(f)<∞,那么f 不是该方程的解.定理0.5.假定方程f(z)n+p(z)f(z+c)m=q(z)具有有穷级整函数解f,其中q是有穷级非零整函数,p是f的小函数,m≠n是正整数,c是非零复数.那么σ(f)=σ(q).对应于fnf’值分布问题的研究,我们也探讨了整函数差分乘积f(z)n(f(z)-1)f(z+c)的值分布情况,解决了Zhang[9]和Qi[10]没有解决的n=1时的情形,得到以下主要结果.定理0.6.设f是有穷级超越整函数,且有Borel例外值a.c是一个非零复数.则有λ(f(f-1)f(z+c)-b)=σ(f),其中b≠a3-a.定理0.7.设f是有穷级超越整函数,c是一个非零复数.如果f(z)或f(z)-1有无穷多个重级零点,那么f(z)(f(z)-1)f(z+c)取每一个a∈C无穷多次.第四章,我们研究了与Bruck猜想有关的一些微分差分方程的值分布问题,改进了Chen,Shon[11],Wang[12]和Liu,Chen[13]的结果,得到以下主要定理.定理0.8.设f是非常数整函数,σ2(f)<∞且不是正整数.令L1(f)=ak(z)f(k)+ak-1(z)f(k-1)+…+a2(z)f(k+1)+f,(k≥2)其中aj(z)(2≤j≤k)是级小于1的整函数,且ak(z)≠0.如果f和L1(f)分担z IM,并且那么L1(f)-z=h(z)(f-z),其中b是级不大于s的亚纯函数.定理0.9.设f是非常数整函数,级σ(f)<1/2,a是f的一个非零小函数.令A(f)=ak(z)△kf+…+a1(z)△f+a0(z)f,其中aj(z)(j=0,1,…,k)是多项式且ak(z)≠0.如果f-a(z)=0→A(f)-a(z)=0,那么其中B(z)是一个非零多项式.。

关于差分多项式值分布和微分差分方程解的研究

关于差分多项式值分布和微分差分方程解的研究上世纪二十年代,芬兰数学家R.Nevanlinna建立了复平面C上的亚纯函数值分布理论。

此理论为该世纪最为重要的数学理论之一,以两个基本定理为核心内容,即Nevanlinna第一及第二基本定理。

该理论自确立后不断自我完善和发展,同时广泛应用到其他的复分析领域,如亚纯函数唯一性理论,正规族理论,复微分及差分方程理论,多复变理论等.微分方程的复振荡理论用复分析的理论和方法来研究微分方程,是边缘领域的交叉学科。

自从上世纪八十年代S. Bank和I. Laine得到了一些原始结论后,该理论非常流行。

许多数学家进行了深入的研究,并且长期关注它。

复差分方面的Nevanlinna 理论是最近才确立的。

其中,最关键的结果是差分对数导数引理,Halburd-Korhonen [22,23]和Chiang-Feng [17]分别独立的给出了这个引理的两种表达形式。

在此基础上,许多学者研究了涉及差分形式的值分布,差分方程,和微分-差分方程解的问题.本文主要包括作者在导师杨连中教授的指导下得到的一些新结果。

论文的结构安排如下：第一章,做为背景知识,我们简单介绍了Nevanlinna 理论,涉及差分形式的Nevan-nalin理论,他们是研究亚纯函数值分布论和复微分,差分方程的重要工具。

第二章,我们研究了形如P(f)f(z+c)-α(z)和f(z)nL(f)的亚纯函数差分多项式的值分布问题,并得到了几个相关结果,可看作关于Hayman [25]经典微分多项式fnf’值分布结果的差分推广。

第三章,我们利用Nevanlinna理论的差分模拟,研究了一类线性差分方程的亚纯解的复振荡问题,并得到了此类方程亚纯解的零点,极点收敛指数和增长级关系的一些结果。

另外,我们还研究了一类特定类型非线性微分-差分方程解的存在性问题,部分回答了Yang-Laine [44]在2010年提出的一个猜想。

第四章,我们研究了微分方程亚纯解的复振荡理论。

Nevanlinna四值定理及其相关唯一性问题的研究的开题报告

Nevanlinna四值定理及其相关唯一性问题的研究的开题报
告
Nevanlinna四值定理是以芬兰数学家Rolf Nevanlinna命名的，它是复分析领域
一个非常重要的定理，也是函数论中最重要的定理之一。

该定理中涉及到了整函数的
增长性，并对整函数实分析方面的研究造成了非常深远的影响。

因此本次开题报告将
围绕Nevanlinna四值定理及其相关唯一性问题展开。

首先，我们将探讨Nevanlinna四值定理的精髓所在。

该定理述说了一个重要的
原理，即一个非常简单的函数（与数学上的“简单”不同）可以被一个非常复杂的函
数近似。

这个定理的核心思想在于，如果一个函数在无限处增长不过快，那么这个函
数也不可能在复平面内“波动”太多。

其次，在Nevanlinna四值定理的研究中，我们也会面临一些挑战和问题。

其中
最大的问题是函数的唯一性问题，即找到一组函数满足Nevanlinna四值定理的条件，同时这些函数也是唯一的。

这个问题涉及到复分析领域中的重要理论，例如Wiman-Valiron理论、局部共形不变性等。

最后，我们将介绍一些现有的研究成果和进展，以及Nevanlinna四值定理在实
际应用中的重要性和应用情况。

例如，Nevanlinna四值定理被广泛用于双曲几何、拓
扑学、分形分析等领域，因此该定理的研究具有重要的学术和实践意义。

综上所述，我们将针对Nevanlinna四值定理及其相关唯一性问题进行深入研究，并希望能够有所发现和创新。

关于差分多项式以及微分多项式值分布和分担值问题的研究

关于差分多项式以及微分多项式值分布和分担值问题的研究经过Nevanlinna [47]卓越的工作之后,值分布理论基本上建立起来。

经过长足发展之后,值分布理论成为了复分析领域重要的研究方向之一。

尽管值分布理论已经相当完善,但对于一些经典问题的研究仍在继续,而且研究的范围日趋广泛。

该理论不断发展,广泛应用到其他的数学领域,如多复变量理论,复微分方程,以及复差分方程等等。

亚纯函数唯一性理论主要研究亚纯函数在满足何种条件下,函数唯一的理论。

Nevanlinna给出了唯一性理论上的经典的结果,即五值定理以及四值定理。

经过上世纪后期几十年的发展,唯一性理论出现了越来越多的分支,比如对亚纯函数和其导数唯一性问题的研究,见[60]对应着亚纯函数与其导数唯一性的问题,Heittokangas [26,27]等人最近开始考虑亚纯函数与其平移的分担值问题。

而这方面的研究是基于复差分Nevanlinna理论的确立。

其中,最关键的结果是差分上的对数导数引理,Halburd-Korhonen [20,21]和Chiang-Feng [5]分别独立了给出了这个引理的两种表达形式。

本文中,我们主要研究亚纯函数与其差分算子分担值的问题,这个问题的研究也是Nevanlinna值分布理论的一个应用。

本文的结构如下：在第一章中,做为背景知识,我们回忆了值分布理论中的一些经典结果,以及常用的符号。

为了更好的理解第三章到第六章的证明思想,在第二章里,我们介绍了之前相关的结果。

在第三章里,我们考虑了一类非线性差分方程超越整函数解存在性的问题。

事实上,我们研究的方程与[33,61]中的方程相关。

与[33,61]不同的是,我们研究的方程中,微分差分多项式的次数与f的次数相等。

我们得到以下结果：定理0.1.假设a,c,λ为非零常数,n和m为整数,且满足n≥m>0,P(z),Q(z)为多项式。

若n≥2,则下列差分方程f(z)n+m+λf(z)nf(z+c)m=P(z)eQ(z)+a (0.0.1)不存在有穷级超越整函数解。

差分算子零点与不动点的研究

差分算子零点与不动点的研究上世纪二十年代,Rolf Nevanlinna推广了早期Picard,Borel等人在整函数方面的工作进而建立了亚纯函数的值分布理论,从而引起了数学界广泛深入的研究和推广。

Nevanlinna所发展的亚纯函数值分布理论的影响是极其深远的。

因此现如今,值分布理论又被称之为Nevanlinna理论,其核心就是如今的Nevanlinna第一基本定理和第二基本定理。

其后Ahlfors又给出了该理论的几何解释,从而更加坚实了该理论的理论基础。

Nevanlinna理论是简洁而又深刻的,因为除了其本身的重要性外,该理论也被广泛地应用于其它数学方向的研究中。

其中一个尤为重要的方面就是应用Nevanlinna理论研究复域上微分方程的解的存在性和其它性质。

该理论现在已经非常成熟,同时又在不断的更新中。

近年来,有一些学者将Nevanlinna理论应用到复域上差分算子和差分方程的研究中,比如,给出了差分形式的对数导数引理,研究了差分算子的零点与不动点的存在性,以及复域上差分方程解的一些性质。

同时,Nevanlinna理论在复解析动力系统以及半群上的动力系统中也有广泛的应用,我们在此不做叙述。

论文的第一章中,我们主要给出Nevanlinna理论的一些基本知识,包括一些基本的定义以及论文中将会用到的一些符号。

我们假设f为定义在整个复平面上的亚纯函数。

Bergweiler与Langley首次于2007年研究了差分算子△f:= f(z + c)-f(z)以及差商△f/f的零点的存在性问题。

他们的结果后来被一些学者进行了深化与推广。

在本论文的第二章中,我们将继续这一方面的研究,主要给出了在亚纯函数的增长级为1时差分算子与差商的零点与不动点存在性的条件。

同时,我们也给出了一些简单具体的例子来说明我们条件的精确性。

在第三章中,我们不再局限于常规的差分算子与差商。

我们考虑了差分平移以及差商的线性组合的零点与不动点问题。

Nevanlinna理论简介

Nevanlinna 理论简介报告人：David Drasin时间：2011-3-18，15:00-16:30地点：理科楼A304Nevanlinna 的理论是研究函数的全局性质的。

所谓局部性质，就比如说f 在一点0z 处解析，则在0z 处可以展开成Taylor 级数。

而所谓整体性质，就像是关于整函数的Picard 定理。

Picard 定理：f 是复平面上的解析函数，并且始终不取值0,1，那么f 一定是一个常数。

证明：f 可以看成是从复平面到{0,1,}S -∞的解析映射，这里S 是单位黎曼球面。

{0,1,}S -∞的万有覆叠空间是单位开圆盘∆，记覆叠映射为:{0,1,}S π∆→-∞。

我们可以提升f ，即存在全纯映射:g →∆使得g f π=。

由于g 是复平面上有界的全纯函数，由刘维尔定理，它必定是常值函数，从而f 也是常值函数。

以上证明很简单，但是不具有灵活性。

比如对于这种情形：()0f z =当且仅当0z =，以上方法便失效了，对于f 的取值不能有任何结论。

但是Nevanlinna 理论对于复平面上的全纯函数和亚纯函数的取值有很深刻的刻画。

Jensen 公式：假设f 是复平面上的亚纯函数，并且(0)f 不为0,∞，j a 为(0,){:}r z z r ∆=<中的零点，k b 为(0,)r ∆中的极点，那么201l o g ()l o g l o g l o g (0)2i j k j k r r f red f a b πθθπ=-+∑∑⎰。

定义：对于0x >，log max(log ,0)x x +=； 201(,)l o g ()2i m r f f r e d πθθπ+=⎰； (,)l o g k kr N r f b =∑； (,)(,)(,T r f m r f N r f =+。

Nevanlinna 第一基本定理（Jensen 公式的另一种表达）：假设f 是复平面上的亚纯函数，并且(0)f 不为0,∞，那么1(,)(,)log (0)T r f T r f f=+。

一类具指数函数系数的非线性复差分方程

一类具指数函数系数的非线性复差分方程∗周艳萍;郑秀敏【摘要】众所周知，在复微分方程和复差分方程领域中，Malmquist型方程是比Painlev´e方程和Riccati方程形式更一般的非线性方程。

在本文中，我们运用Nevanlinna理论的差分模拟结果和微分域理论对一类具指数函数系数的Malmquist型复差分方程进行了研究。

当上述Malmquist型复差分方程的有限级超越亚纯解具有较少的零点和极点时，我们得到其增长性和指数函数ez的增长性一致。

该结果是对复微分Malmquist定理和复差分Malmquist定理的推广和补充。

%It is well known that the non-linear equations of Malmquist type are more gen-eral than the Painlev´e equations and the Riccati equations in the field of complex differential equations and complex difference equations. In this paper, by using the difference analogues of Nevanlinna theory and the differential field theory, we investigate one type of complex difference equation of Malmquist type with exponential coeffcients. We prove that for any transcendental meromorphic solution to the above complex difference equation of Malmquist type, if it is of finite order and has few zeros and poles, its growth should be of the same rate as that of the exponential function ez . The obtained result generalizes and complements the complex differ-ential Malmquist Theorem and the complex difference Malmquist Theorem.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2017(034)001【总页数】7页(P31-37)【关键词】非线性复差分方程;指数函数系数;增长性;微分域理论【作者】周艳萍;郑秀敏【作者单位】江西师范大学数学与信息科学学院，南昌 330022;江西师范大学数学与信息科学学院，南昌 330022【正文语种】中文1 引言在本文中，我们使用Nevanlinna理论的标准记号(见文献[1–4])．设f(z)是复平面上的亚纯函数，我们分别用记号表示f(z)的特征函数、均值函数、极点计数函数和零点计数函数．我们还将用到来自微分域理论(见文献[2,5,6])中的常规记号．设K是一个域，我们分别记K[y]为单个变量y在域K上的所有多项式之集，记K[y1,y2,···,yn]为多个变量y1,y2,···,yn在域K上的所有多项式之集．又设域L(⊃ K)是一个比K大的域，即域L是域K的扩张域，α∈L，若存在非平凡多项式P∈K[y]使得P(α)=0，则称α在域K上代数；反之，则称α在域K上超越．由通常域理论可知，对域L上的任一代数元α，都存在唯一的最小多项式Mα∈K[y]，使得Mα(α)=0，即Mα是y 在域K上满足性质Mα(α)=0的具最小次数的多项式，且其首项系数是单位元1∈K．此外，若域L中在域K上代数的任意元α均满足α∈K，则称域K在域L 中代数闭．设集合A ⊂ L，若对每一有限集{x1,x2,···,xn}⊂ A，单项式族在K中线性无关，则称A在K中代数无关；反之，则称A在K中代数相关．设集合A⊂L，记即，将A中所有元素加入K而得到的K的扩张域．若域K包含其所有元的导数，则称域K是一个微分域．上述记号及定义亦可适用于微分域．例如，我们用C(z)记有理函数构成的微分域，用M(G)记域G(⊂C)上的亚纯函数构成的微分域．此外，设f(z)是复平面上非常数亚纯函数，记函数集合其中S(r,f)表示任一实函数且具增长性o(T(r,f)),r→∞，至多可能除去一个r的有限对数测度例外集．在集合Lf上定义点乘、加法和求导运算后，集合Lf构成微分域．下面，简要介绍与本文主要结果相关的背景知识．复差分方程理论的研究可追溯至二十世纪初期，但在随后的几十年里，由于缺乏行之有效的工具，该理论发展缓慢．二十世纪七八十年代，由于Nevanlinna理论的引入，复差分方程理论有了新的发展．近二十年，随着Nevanlinna理论的差分模拟结果的深入研究，关于复差分方程亚纯解的性质的研究又重新成为了新的热点．有趣的是，关于复差分方程的许多结果可视为复微分方程相应结果的差分模拟．众所周知，Malmquist型微分方程是一类重要的非线性微分方程，关于其解的存在性有Malmquist定理．另一方面，Yanagihara[7]从Nevanlinna理论的角度出发研究了Malmquist型差分方程，得到了关于方程亚纯解的存在性的结果(见定理A)，该结果可视为Malmquist定理的差分模拟．定理A[7] 若一阶差分方程w(z+1)=R(z,w)，其中R(z,w)是两个变量的有理函数，存在有限级超越亚纯解，则degwR=1．注意到，在定理A中，方程的系数都具有增长性S(r,w)．下面，我们考虑指数函数系数，得到此时方程亚纯解的增长性和指数函数ez的增长性一致，结果如下．定理1 设f(z)为有限级超越亚纯函数且满足差分方程其中P(y1,y2),Q(y1,y2)∈C[y1,y2]\{0},max{degy1P,degy1Q}>0，同时(1)不会退化成差分Riccati方程(即有max{degy2P,degy2Q}≥2)．若f(z)还满足则f(z)=q(z)epz，其中q(z)∈Lez\{0}且p∈Q\{0}．例1 函数f(z)=e满足差分方程此例满足定理1，且说明定理1中的p∈Q\{0}可以是非整数．例2 函数f(z)=z满足差分方程此例说明具指数函数系数的差分方程(1)可能存在有理解．2 证明定理1所需的引理引理1[8] 设f(z)为亚纯函数，则对任给的ε>0和所有的，Nevanlinna特征函数T 满足其中K为某常数．注1 由引理1立得：若f(z)为非常数亚纯函数，则对任给的ε>0和所有的r>r0，有成立，其中r0为某正常数．引理2[9] 设T:(0,+∞)→(0,+∞)为非减连续函数，s>0,α<1，且F⊂R+为满足T(r)≤αT(r+s)的所有r之集．若F具无限对数测度，即，则注2 由引理2立得：若f(z)为有限级亚纯函数，且s>0，则对所有r成立，至多可能除去一有限对数测度例外集．引理3[10] 微分域Lf在复平面上的亚纯函数域M(C)中代数闭，即任意满足域Lf上的代数方程的亚纯函数必在域Lf内．引理4(Valiron-Mokhon’ko)[2] 设f(z)为亚纯函数，且是f(z)的不可约有理函数，其中系数ai(z),i=0,1,···,m,bj(z),j=0,1,···,n为亚纯函数，则R(z,f(z))的特征函数满足其中d=max{m,n}，且Ψ(r)=mi,ajx{T(r,ai),T(r,bj)}．引理5[11] 设f(z)为非常数亚纯函数，c∈C,δ<1，则对任给的ε>0，有对所有r成立，至多可能除去一有限对数测度例外集．注3 由引理5和注2立得：若f(z)为有限级非常数亚纯函数，则引理6[4] 设n ≥ 2,fj(z),j=1,2,···,n为亚纯函数，gj(z),j=1,2,···,n为整函数，且满足下列各条件：其中E⊂(1,+∞)具有限线测度或有限对数测度；则fj(z)≡0,j=1,2,···,n．引理7[6] 设a1,a2,···,an ∈ L,n ∈ N，又设函数A1,A2,···,An ∈ M(G)在域L中代数无关且为微分方程组w′=aiw,i=1,2,···,n的一组解．若非平凡函数f∈M(G)满足，且f在域K=L(A1,A2,···,An)上代数，则f在域K上的最小多项式具有形式，其中N ∈N,p∈L，且ik∈Z,k=1,2,···,n．3 定理1的证明我们用类似于文献[6]中的方法进行证明．记再将P(y1,y2)和Q(y1,y2)分别记为此时，可将方程(1)改写成我们断言f̸∈Lez，下面用反证法进行证明．反设f∈Lez，因f(z)具有限级且满足f∈Lez，故由注1和注2可知即说明f(z+1)∈Lez．又因f(z)是方程(2)的解，故由引理4可知再结合(3)式可得T(r,ez)=S(r,ez)，矛盾．因此，断言成立，即f̸∈Lez．记，并将f(z+1)=F(z)f(z)代入方程(2)得到我们断言f在域C(F,ez)上代数，下面用反证法进行证明．反设f在域C(F,ez)上超越．我们将(4)式视为系数在域C(F,ez)上的关于f的代数方程，从而系数全恒为零．因此，由(4)式可知其中q−1,j=pl+1,j=0,j=0,1,···,L．同理可得．因此，由方程(2)和(5)式可得另一方面，由方程(6)可得恒等式否则，我们考虑方程将其视为系数在域C(ez)上的关于f的代数方程，即说明f在域C(ez)(⊂C(F,ez))上代数，这与假设f在域C(F,ez)上超越矛盾．因此，恒等式(7)成立，这说明方程(2)退化成差分Riccati方程，与定理1的已知矛盾．因此，断言成立，即f在域C(F,ez)上代数．在方程(2)的两边应用引理4，再结合注1和注2得到即对所有r成立，至多可能除去一个有限对数测度例外集．进一步地，由注2和注3，已知条件和(8)式可得即说明F∈Lez．因此，我们得到f在域C(F,ez)⊂Lez(ez)上代数．同时，我们还得到即说明．下面，我们分别将Lez,ez和Lez(ez)视为引理7中的L,A1和K(=L(A1))．显然，A1(=ez)在域L(=Lez)上代数无关，且满足再结合和f在域K(=L(A1)=Lez(ez))上代数这两个事实可知引理7的条件均成立．因此，由引理7得到f(z)N=r(z)ekz，其中N ∈N,k∈Z\{0}，且r∈Lez\{0}．由上式可得f(z)=q(z)epz，其中，且q(z)为方程wN−r(z)=0的解．因此，q(z)=f(z)e−pz为亚纯函数且在域Lez上代数．从而，由引理3可知q(z)∈Lez．定理1证毕．参考文献：[1]Hayman W K.Meromorphic Functions[M].Oxford:Clarendon Press,1964[2]Laine I.Nevanlinna Theory and Complex DifferentialEquations[M].Berlin:Walter de Gruyter,1993[3]Yang L.Value Distribution Theory[M].Berlin:Springer-Verlag,1993[4]Yang C C,Yi H X.Uniqueness Theory of MeromorphicFunctions[M].Holland:Klumer Academic Publishers Group,2003[5]Kolchin E R.Differential Algebra and Algebraic Groups[M].New York:Academic Press,1973[6]Rieppo J.Differential fields and complex differentialequations[D].Suomalainen:Suomalainen Tiedeakatemia,1998[7]Yanagihara N.Meromorphic solutions of some differenceequations[J].Funkcialaj Ekvacioj,1980,23(3):309-326[8]Ablowitz M J,Halburd R G,Herbst B.On the extension of the Painlev´e property to difference equations[J].Nonlinearity,2000,13(3):889-905 [9]Halburd R G,Korhonen R J.Finite-order meromorphic solutions and the discrete Painlev´e equations[J].Proceedings of the London Mathematical Society,2007,94(2):443-474[10]Gundersen G G,Heittokangas J,Laine I,et al.Meromorphic solutions of generalized Schröder equations[J].Aequationes Mathematicae,2002,63(1-2):110-135[11]Halburd R G,Korhonen R J.Difference analogue of the lemma on the logarithmic derivative with applications to difference equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2006,314(2):477-487。

涉及非线性微分多项式的亚纯函数的周期性

涉及非线性微分多项式的亚纯函数的周期性
付春雪;李效敏
【期刊名称】《中国海洋大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(54)5
【摘要】本文利用Nevanlinna理论,研究了涉及一类非线性微分多项式的超越亚纯函数的周期性问题,并举例说明本文得到的主要定理的有关条件是最佳的。

所得结果改进并推广了2018年王琼和扈培础的有关结果。

【总页数】7页(P154-160)
【作者】付春雪;李效敏
【作者单位】中国海洋大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O174.52
【相关文献】
1.涉及亚纯函数微分多项式和分担值的正规函数
2.亚纯函数的非线性微分多项式分担多项式的唯一性
3.涉及微分多项式和差分多项式的亚纯函数的唯一性
4.涉及微分多项式和多项式的亚纯函数正规族
5.涉及L-函数和非线性微分多项式的亚纯函数的唯一性问题
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几类超越亚纯函数的微分多项式的零点

点
本文主要研究f(z)的几类微分多项式的零点问题,并且利用精简计数函数的方法给出了φ f 2(f’)2-1,φ f2(f’)n1,af2(f(k)n-1,n≥2的定量估计不等式。这里f为超越亚纯函数,φ ((?)0)是关于f的小函数。
并推广了已有文献的部分结果。本文共五章,内容如下:第一章重点介绍该问题的研究背景,国内以及国外现今的研究状况、发展动态;第二章简单介绍本文所使用的Nevanlinna理论的符号, 值分布的相关理论;第三章利用精简计数函数证明了一个关于 φ f2(f’)-1的定量估计不等式,推广了已有文献中的部分结果; 第四章考虑当n≥(2),φ f2(f’)n-1的零点情况,用精简计数函数给出相关的不等式估计,利用Yamanoi’s inequality改进已有的相关结果;第五章研究微分多项式af2(f(k)n-1,n≥2的零点的不等式估计,n,k为正整数,其中a(z)(?)0为f(z)的小函数满足 T(r,a)=S(r,f)。

浅谈指数分布的性质及其应用

浅谈指数分布的性质及其应用1、相关定义1.1、预备知识及相关定义1.2.1 复平面内的Nevanlinna 特征1.2.1 复平面内的Nevanlinna 特征首先,我们介绍复平面内的Nevanlinna 值分布理论的标准记号(见[1,2,3, 4]).设f ( z ) 为定义在开平面上的亚纯函数,a 为任一有穷复数.用n( r , f ) 表示z≤ r 上f ( z ) 极点的个数,重级极点按其重数计算;n ( r , f= a ) 表示z≤ r 上f ( z )? a 的零点个数,重级零点按其重数计算,否则记为n ( r , f= a) ;n (0, f= a ) 则表示f( z )? a 在原点的零点重级数.相关记号定义如下: 2 0 ( , )1 log ( ) m r f=2π ∫π + f rei ζ dζ ; 2 0 ( , )1 log 1 , m r f= a =2π∫π +f ( rei ζ )? a d ζ a ≠ ∞ ; 0 N( r , f )r n( t , f ) n (0, f ) dt n(0, f )log r t =∫? + ; 0 N( r , f a )r n (t , f a ) n (0, f a )dt n(0, f a)log r t = =∫= ? = + = ,a ≠ ∞ , m( r , f ) 有时也记为m ( r , f = ∞ ) 或m (r , ∞ ) ,表示f ( z ) 的正对数在z= r 上的平均值; m( r , f= a ) 也记为m ( r, 1 ) f? a 或m ( r , a ) ,表示f( z )1? a 的正对数在z= r 上的平均值. N( r, f ) 有时记为N ( r , f = ∞ )或N ( r , ∞ ) ,表示f ( z ) 极点的密指量;N ( r , f= a) 有时 2 记为N (r , 1 ) f? a 或N ( r , a ) ,表示f ( z ) 的 a 值点的密指量. 定义1. 1[ 2] 设f ( z) 为在开平面上的亚纯函数,定义T( r , f )= m ( r , f ) + N ( r, f ) . 为f ( z ) 在复平面内的Nevanlinna 特征函数.1.2模型是带有一个默认的均值方程,形式如下yt = E(yt\ 0, >0(i = I,- - ,q), /?. > 0(j = 1:... ,p),且都为常数,误差项Tk?队1),对所有的t都有:r/t与是相互独立的,即称随机过程{et}为GARCH(p,q)模型。

复微分-差分多项式的零点

复微分-差分多项式的零点高林奎;刘凯【摘要】主要研究了几个不同类型的微分差微分分多项式的零点情况,利用文献[10]中公共零点、公共极点的思想,改善了原来定理的条件,得到了关于亚纯函数差分多项式的一些最新结果.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2018(042)006【总页数】4页(P511-514)【关键词】微分差分多项式;亚纯函数;公共零点;公共极点【作者】高林奎;刘凯【作者单位】南昌大学数学系,江西南昌 330031;南昌大学数学系,江西南昌330031【正文语种】中文【中图分类】O0174.521 引言与主要结果在本文中，我们定义亚纯函数是指在整个复平面上的亚纯函数。

假定读者已经熟知Nevanlinna[1-3]理论中的N(r,f)，m(r,f)，T(r,f)等基本概念和Nevanlinna第一基本定理，Nevanlinna第二基本定理等一些基本的结果。

我们定义S(r,f)是指任意满足S(r,f)=o{T(r,f)}(r→∞)的函数，其中r∉E,E是一个对数测度有穷的集合。

给定一个亚纯函数f，如果函数a(z)满足T(r,a)=S(r,f)(r→∞)，则称a(z)是f的一个小函数。

关于复微分多项式的零点个数研究是亚纯函数值分布理论中的一个经典问题，Hayman[4]证明了下面的定理：定理A 如果f是一个超越亚纯函数并且n≥3，那么f(z)nf′(z)可以取任意非零值无穷多次。

基于Hayman的研究结果，Mues[5]证明了当n=2时定理A是成立的，Bergweiler和Eremenko[6]证明了当n=1时定理A同样也是成立的。

随着差分对数导数引理在差分理论中的广泛应用，一些学者开始研究差分多项式的零点分布问题。

Laine和Yang[7]首先考虑了f(z)nf(z+c)-a(a是非零复数)的零点分布问题，这个问题可以被看作是关于差分的Hayman猜想。

最近，也有很多学者致力于研究不同形式的差分多项式的零点分布问题。

neyman函数

neyman函数Neyman函数是概率论和数理统计中的重要概念，它是JoséNeumann和John von Neumann在1930年代发明的。

Neyman函数提供了一种描述集合之间联系的函数，并用于识别和分析事件之间的相互关系，其中集合和事件分别用另一个集合表示。

这种关系可以用来确定统计意义上的联系，以及可能的原因，同时可以用来计算统计概率。

Neyman函数的定义是：一个Neyman函数是从给定的集合A中挑选出一个元素，然后将它映射到另一个集合B中。

Neyman函数可以使用符号F表示，其中F：A→B。

Neyman函数可以用来表述给定A集合中的元素如何被映射到B集合中。

Neyman函数可以被用于概率统计学中系统建模，解决概率问题，建立预测模型，以及其他领域。

Neyman函数可以用来定量地描述从一组观测数据中推算出的统计概率。

它也可以用来描述不同观测值的期望分布。

它还可以用来计算概率变量的期望值和方差。

Neyman函数也可以用来建立预测模型，它可以根据历史观测数据计算出预期的未来发生的事件的概率。

基于Neyman函数的预测模型可以更准确地预测未来的各种事件，如股市等。

Neyman函数也可以用来建立系统建模，它可以用来模拟和研究不同系统间的相互作用以及其引起的影响。

Neyman函数可以用来模拟系统中发生的概率事件，模拟系统中复杂的联系和相互作用，以及评估系统中各种不同状态之间的可能性。

Neyman函数可以用来解决统计问题，其中可以用Neyman函数对实验数据进行建模，从而推算出实验的结论。

研究人员也可以借助Neyman函数来计算抽样概率分布，以及不同抽样概率分布之间的差异。

Neyman函数还可以用来推断某个事件发生的原因，以及其本质特征。

它可以用来研究事件之间的联系及其影响，以及这种关系如何影响结果。

此外，Neyman函数还可以被用来诊断和预防现存的统计问题，以及系统的变化。

总之，Neyman函数是概率论及数理统计学中的重要概念，它可以被用于概率统计学的建模，解决概率问题，建立预测模型，建立系统建模，解决统计问题，推断某一事件发生的原因，以及其他领域。