人教版数学九年级上册24.3正多边形和圆课件(36张PPT)
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24.3 正多边形和圆
人教版·九年级上册
学习目标
（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心 角等概念. （2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某 些正多边形.
新课导入
问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点?
都是各边相等，各内角相等的多边形
问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们 经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
动手操作
操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边 形？你是怎么画的？ 操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正 六边形。
解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； （2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝ ∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝ 360 ＝60°，将360°圆心角六
想一想
有没有对称轴？
正多边形都是 轴对称 图形，一个正n边形共有
n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 中心 .
边数3是条偶数的正4多条边形还是 5中条心对称图形6条，它的中 心就是对称中心.
你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什 么图形？ 如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？
思考 什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？ 正多边形与圆有哪些关系？
探索新知
图形 ……
名称 正三角形 正四角形 正五角形 正六角形
……
边的关系
角的关系
三条边相等 三个角相等（60°）
四条边相等 四个角相等（90°）
五条边相等 五个角相等（108°）
六条边相等 六个角相等（120°）
……
……
正多边形的概念：
< 针对训练 >
1.下列说法正确的是（ C ） A.各边相等的多边形是正多边形 B.各角相等的多边形是正多边形 C.各边相等的圆内接多边形是正多边形 D.各角相等的圆内接多边形是正多边形
2.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么 对这个四边形描述最准确的是（ C ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°.
∴B⌒C=B⌒E=A⌒E=A⌒D= C⌒D
∴五边形AEBCD是正五边形.
证明一个多边形是正多边形的方法： ➢ 证明多边形的各角都相等，各边都相等. ➢ 证明圆周被多边形的顶点n等分.因为相邻两个顶点
间的弧相等，所以所对的弦（多边形的边）相等， 相邻两弦所夹的角相等.
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那 么这个正多边形叫做正n边形.
【教材P106练习 第1题】
矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？
矩形不符合各边相等 菱形不符合各角相等 是正多边形
正多边形
各边相等 各角相等
缺一不可
说一说你还能找出哪些正多边形呢？
1.一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数 是（ D ）
A.3
B.6
C.8
D.12
2.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点Р在 ⊙O上（点Р不与点A，B重合），则∠APB的度数为 __3_0_°__或__1_5_0_°__.
实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六 角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆 周有关，要制造下图中的零件，也需要等分圆周.
3.如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角 ∠BAC= 36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求 证：五边形 AEBCD是正五边形.
证明：∵AB = AC，∴∠ABC= ∠ACB. 又∠BAC= 36°，∴∠ABC= ∠ACB= 1 (180°-∠BAC )= 72°.
2
又BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
半径
圆心角
O圆心
弦心距 弦
类比学习 圆内接正多边形
半径 中心角
O中心
边心距
外接圆的圆心 外接圆的半径 正多边形的每一条 边所对的圆心角
弦心距
正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角 正多边形的边心距
想一想
(n 2)180
正n边形的一个内角的度数是______n______；
360
中心角是______n_____； 正多边形的中心角与外角的大小关系是__相__等____； 正多边形的中心角与内角的大小关系是__互__补____.
BC 2
4 2
2(m)，
利用勾股定理，可得边心距
r 42 22 2 3(m).
O
亭子地基的面积
S 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
方法归纳 圆内接正多边形的辅助线
中心角一半
边心距r
半径R
添加辅助线的方法： 连半径，得中心角； 作边心距，构造直角三角形
边长一半
< 针对训练 >
6
等分，即可得到圆的 6 个等分点；
B
O
∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E.
D
C
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴ 五边形ABCDE是.⊙O的内接正五边形，⊙O是五边 形ABCDE的外接圆.
正多边形和圆的关系非常密切，只 要把一个圆分成相等的几段弧，就可以 E 作出这个圆的内接正多边形，这个圆就 是这个正多边形的外接圆.
例 有一个亭子，它的地基半径为4 m的正六边形， 求地基的周长和面积(精确到0.1 m2). 解: 如图由于ABCDEF是正六边形，
所以它的中心角等于 360 60，
6
△OBC是等边三角形，从而正六边
形的边长等于它的半径. O
因此，亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中，OC=4，PC=
【单击圆跳转几何画板】
弧相等
弦相将等一（个多圆边分形成的n等边份相，等） 圆周依角次相连等接（各多分边点形得的到角相等）
多一边个形正是n边正形多. 边形
我们以圆内接正五边形为例证明.
证明：∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A ∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
A
E
D
A B
O
C
把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点 所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
思考
各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内 接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。
【教材P106练习 第2题】
解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆 内接多边形不是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正 多边形.
人教版·九年级上册
学习目标
（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心 角等概念. （2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某 些正多边形.
新课导入
问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点?
都是各边相等，各内角相等的多边形
问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们 经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
动手操作
操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边 形？你是怎么画的？ 操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正 六边形。
解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； （2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝ ∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝ 360 ＝60°，将360°圆心角六
想一想
有没有对称轴？
正多边形都是 轴对称 图形，一个正n边形共有
n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 中心 .
边数3是条偶数的正4多条边形还是 5中条心对称图形6条，它的中 心就是对称中心.
你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什 么图形？ 如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？
思考 什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？ 正多边形与圆有哪些关系？
探索新知
图形 ……
名称 正三角形 正四角形 正五角形 正六角形
……
边的关系
角的关系
三条边相等 三个角相等（60°）
四条边相等 四个角相等（90°）
五条边相等 五个角相等（108°）
六条边相等 六个角相等（120°）
……
……
正多边形的概念：
< 针对训练 >
1.下列说法正确的是（ C ） A.各边相等的多边形是正多边形 B.各角相等的多边形是正多边形 C.各边相等的圆内接多边形是正多边形 D.各角相等的圆内接多边形是正多边形
2.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么 对这个四边形描述最准确的是（ C ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°.
∴B⌒C=B⌒E=A⌒E=A⌒D= C⌒D
∴五边形AEBCD是正五边形.
证明一个多边形是正多边形的方法： ➢ 证明多边形的各角都相等，各边都相等. ➢ 证明圆周被多边形的顶点n等分.因为相邻两个顶点
间的弧相等，所以所对的弦（多边形的边）相等， 相邻两弦所夹的角相等.
各边相等，各角也相等的多边形是正多边形. 正n边形：如果一个正多边形有n条边， 那 么这个正多边形叫做正n边形.
【教材P106练习 第1题】
矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？
矩形不符合各边相等 菱形不符合各角相等 是正多边形
正多边形
各边相等 各角相等
缺一不可
说一说你还能找出哪些正多边形呢？
1.一个正多边形的中心角为30°，这个正多边形的边数 是（ D ）
A.3
B.6
C.8
D.12
2.如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点Р在 ⊙O上（点Р不与点A，B重合），则∠APB的度数为 __3_0_°__或__1_5_0_°__.
实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六 角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆 周有关，要制造下图中的零件，也需要等分圆周.
3.如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角 ∠BAC= 36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB.求 证：五边形 AEBCD是正五边形.
证明：∵AB = AC，∴∠ABC= ∠ACB. 又∠BAC= 36°，∴∠ABC= ∠ACB= 1 (180°-∠BAC )= 72°.
2
又BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
半径
圆心角
O圆心
弦心距 弦
类比学习 圆内接正多边形
半径 中心角
O中心
边心距
外接圆的圆心 外接圆的半径 正多边形的每一条 边所对的圆心角
弦心距
正多边形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角 正多边形的边心距
想一想
(n 2)180
正n边形的一个内角的度数是______n______；
360
中心角是______n_____； 正多边形的中心角与外角的大小关系是__相__等____； 正多边形的中心角与内角的大小关系是__互__补____.
BC 2
4 2
2(m)，
利用勾股定理，可得边心距
r 42 22 2 3(m).
O
亭子地基的面积
S 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
方法归纳 圆内接正多边形的辅助线
中心角一半
边心距r
半径R
添加辅助线的方法： 连半径，得中心角； 作边心距，构造直角三角形
边长一半
< 针对训练 >
6
等分，即可得到圆的 6 个等分点；
B
O
∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E.
D
C
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴ 五边形ABCDE是.⊙O的内接正五边形，⊙O是五边 形ABCDE的外接圆.
正多边形和圆的关系非常密切，只 要把一个圆分成相等的几段弧，就可以 E 作出这个圆的内接正多边形，这个圆就 是这个正多边形的外接圆.
例 有一个亭子，它的地基半径为4 m的正六边形， 求地基的周长和面积(精确到0.1 m2). 解: 如图由于ABCDEF是正六边形，
所以它的中心角等于 360 60，
6
△OBC是等边三角形，从而正六边
形的边长等于它的半径. O
因此，亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中，OC=4，PC=
【单击圆跳转几何画板】
弧相等
弦相将等一（个多圆边分形成的n等边份相，等） 圆周依角次相连等接（各多分边点形得的到角相等）
多一边个形正是n边正形多. 边形
我们以圆内接正五边形为例证明.
证明：∵A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A ∴ AB=BC=CD=DE=EA,
∴B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
A
E
D
A B
O
C
把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点 所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
思考
各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内 接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。
【教材P106练习 第2题】
解：各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆 内接多边形不是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正 多边形.