北师大版初中九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系课件

1.(2022湖南益阳中考)若x=-1是关于x的方程x2+x+m=0的一
个根,则此方程的另一个根是 ( B )
A.-1
B.0
C.1
D.2
解析 解法一:设x2+x+m=0的另一个根是α,根据根与系数的
关系得-1+α=-1,∴α=0.故选B.
解法二:∵x=-1是方程x2+x+m=0的一个根,
∴(-1)2-1+m=0,∴m=0,∴原方程为x2+x=0,
12m2-4m=16m2-8m+1
=(4m-1)2≥0,∴方程总有实数根.
(2)由题意知,x1+x2=2m-1,x1x2=-3m2+m,
∵ x2 +x1 =x12 x=22 (x-12=-x2 )2 ,
5
x1 x2 x1x2
x1x2
2
∴ (23mm-22=1-)m2
,整理5 得5m2-7m+2=0,
8.(2024河南洛阳偃师实验中学月考,15,★★☆)解关于x的一 元二次方程x2+px+q=0时,小红看错了常数项q,得到方程的两 个根是-3,1,小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根是5, -4,则原来的方程是 x2+2x-20=0 . 解析 设此方程的两个根是α、β,根据题意得α+β=-p=-2,αβ =q=-20,∴p=2,q=-20,则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x-
2
解得m=1或m=2 .
5
能力提升全练
7.(2023四川乐山中考,7,★★☆)若关于x的一元二次方程x2-8x
+m=0的两根为x1、x2,且x1=3x2,则m的值为 ( C )
A.4
B.8
C.12
D.16
解析 ∵一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,∴x1+x2=8, 又∵x1=3x2,∴x1=6,x2=2,∴m=x1x2=6×2=12.故选C.
5
为 ,2,3(答案不唯一).
,2,3能构成“和谐三数组”,故答
(2)证明:∵x1,bx2是关于c x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c均不为0)的两
a
a
根,∴x1+x2=- ,x1x2= ,
∴ 1 + 1 =x1 =x2
x1 x2 x1x2
b
ca=-
b,
c
a
∵x3是关于x的方程bx+c=0(b,c均不为0)的解,
∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2
=- b =5- ,x1xc2= 2 = .
a3
a3
(3)∵a=1,b= 2,c=-3,
∴Δ=b2-4ac=( 2)2-4×1×(-3)=2+12=14>0,
∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2
=- b =- 2,x1x2= c =-3.
1
= 7 =-7,故选A.
1
2.(2023西藏中考)已知一元二次方程x2-3x+2=0的两个根为x1、
1
x2,则 x1
1
+x2
的值为 ( D
)
A.-3
B.- 2
3
C.1
D3.
2
解析 由一元二次方程根与系数的关系得,x1+x2=3,x1x2=2,
∴ 1 1 + x2= x+1 x=1 x2= 3 ,故选D.
x1 x2 x1x2 x1x2 x1x2 2
3.(2023云南玉溪期中)已知α、β是一元二次方程x2-5x-2=0的
两个不相等的实数根,则α+β+αβ的值为 ( C )
A.-1
B.5
C.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D.-2
解析 根据根与系数的关系得α+β=5,αβ=-2,所以α+β+αβ=5-
2=3.故选C.
4.(2023湖南怀化中考)已知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0 的一个根为-1,则m的值为 -1 ,另一个根为 2 .
解析 将x=-1代入原方程可得1-m-2=0,解得m=-1,∵方程的 两根之积为 c =-2,∴方程的另一个根为-2÷(-1)=2.
a
故答案为-1;2.
5.(新课标例67变式)不解方程,求下列方程的两根之和与两 根之积: (1)x2-3x-5=0. (2)3x2+5x+2=0. (3)x2+ 2x-3=0.
∴x3=-
c b
,∴1
x3
=b-
c
,1∴ 1 + 1 =
x1 x2 x3
,
∴x1,x2,x3可以构成“和谐三数组”.
微专题 已知一元二次方程的一根求另一根及字母系数
方法指引 方法1(利用根与系数的关系):(1)若字母系数在一 次项中,可先用两根积的关系求出另一根,再用两根和的关系 求字母系数的值;(2)若字母系数在常数项中,可先用两根和 的关系求出另一根,再用两根积的关系求字母系数的值. 方法2(利用根的定义):先把已知根代入一元二次方程中,求 出字母系数的值,再解一元二次方程,求出另一根.
12.(推理能力)(新考向·代数推理)阅读理解:
材料一:若三个非零实数x,y,z满足:只要其中一个数的倒数等
于另外两个数的倒数的和,就称这三个实数x,y,z构成“和谐
三数组”.
材料二:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分
别为x1,x2,则有x1+x2=- b ,x1x2=c .
ab,∴2(a+b)2+ab=20,∴2(2m+1)2+m2+m=20,整理得m2+m-2=0,
解得m1=-2,m2=1,∴m的值为-2或1.
素养探究全练
11.(运算能力)(新独家原创)在□处填写一个整数,使得方程
x2+□x+1=0有两个不相等的正实数根,则□可以
为 -3(答案不唯一) .
解析 设填写的一个整数为b, 则由一元二次方程根与系数的关系得, x1x2=-b,x1+x2=1. 当x1x2>0,x1+x2>0,Δ>0时,方程有两个不相等的正实数根, 此时-b>0,即b<0, Δ=b2-4ac=b2-4×1×1>0,解得b>2或b<-2, ∴b<-2,∴b可以为-3(答案不唯一).
3.(2022四川乐山中考)关于x的一元二次方程3x2-2x+m=0有两
根,其中一根为x=1,则这两根之积为 ( D )
A. 1
B2.
3
3
C.1
D1.-
3
解析 ∵方程的一个根是1,∴3-2+m=0,解得m=-1,
∴两根之积为- 1 ,故选D.
3
4.(2022贵州黔东南州中考)已知关于x的一元二次方程x2-2x-
m 2
,
∵ x12+
x22=
3 ,∴(x1+x2)2-2x1x2=
16
3,
16
∴4m2-m= 3 ,∴m1=-1 ,m23= ,
16
88
当m=-1 时,Δ=16m2-8m=5
8
4
当m=3 时,Δ=16m2-8m=3-
>0,满足题意; <0,不符合题意.
8
4
所以m=-1 .
8
10.(2023湖北天门中考,20,★★☆)已知关于x的一元二次方 程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (1)求证:无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根. (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+b)·(a+2b)=20,求m的 值.
a
a
问题解决:
(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数:
.
(2)若x1,x2是关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c均不为0)的两根,x3 是关于x的方程bx+c=0(b,c均不为0)的解.求证:x1,x2,x3可以构 成“和谐三数组”.
解析 (1)∵ 1 +1 5= 6,∴
236 5
案6
20=0.
9.(易错题)(2022山东日照中考,15,★★☆)关于x的一元二次
方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1,x2,且 x12+
x22=
3 ,则m
16
=
.
易错警示 本题容易忽略根与系数的关系应用的前提是方
程有解,从而因忽略m的取值范围而出错.
解析
根据题意得x1+x2=-2m,x1x2=
解析 (1)证明:∵Δ=[-(2m+1)]2-4(m2+m)=4m2+4m+1-4m2-4m=
1>0,
∴无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根.
(2)∵该方程的两个实数根为a,b,∴a+b=- (2=m2m1+)1,ab=
1
m2 =mm2+m,
1
∵(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2=2(a2+2ab+b2)+ab=2(a+b)2+
a=0的两根分别记为x1,x2,若x1=-1,则a- x12- x22的值为 ( B )
A.7
B.-7
C.6
D.-6
解析 ∵关于x的一元二次方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,
x2,∴x1+x2=2,x1x2=-a,
∵x1=-1,∴x2=3,∴x1x2=-3=-a,∴a=3,
∴原式=3-(-1)2-32=3-1-9=-7.故选B.
a
a
6.(2023四川南充中考)已知关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x3m2+m=0. (1)求证:无论m为何值,方程总有实数根. (2)若x1,x2是方程的两个实数根,且 x2 +x1 =-5 ,求m的值.
x1 x2 2
解析 (1)证明:∵Δ=[-(2m-1)]2-4×1×(-3m2+m)=4m2-4m+1+
∴x(x+1)=0,∴x1=0,x2=-1.故选B.
2.(2022青海中考改编)已知关于x的方程x2+mx+3=0的一个根
为x=1,则实数m与另一根的值分别为 ( B )
A.4,3
B.-4,3
C.3,3
D.-3,3
解析 解法一:因为关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1, 所以1+m+3=0,解得m=-4.所以原方程为x2-4x+3=0,所以(x-1)(x -3)=0,所以x1=1,x2=3,即方程的另一根为3.故选B. 解法二:设x2+mx+3=0的另一个根是α, 根据根与系数的关系得1×α=3,所以α=3, 根据根与系数的关系得1+3=-m, 所以m=-4,故选B.
解析 (1)∵a=1,b=-3,c=-5,
∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-5)=9+20=29>0,
∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2
=- b =3,x1x2=c =-5.
a
a
(2)∵a=3,b=5,c=2,
∴Δ=b2-4ac=52-4×3×2=25-24=1>0,
第二章 一元二次方程
*5 一元二次方程的根与系数的关系
基础过关全练
知识点 一元二次方程的根与系数的关系
1.(2023天津中考)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则 ( A )
A.x1+x2=6
B.x1+x2=-6
7
C.x1x2= 6
D.x1x2=7
解析 ∵x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,∴x1+x2=- (6=)6,x1x2