2014届高三数学一轮复习 基础知识课时作业(三十三)

吉林省延吉市金牌教育中心2014届高三数学一轮复习 基础知

识课时作业(三十三)

一、选择题

1．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2

n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( C )

A ．－1或2

B ．0或2

C ．2

D ．1

解析：等差数列{a n }中a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)，所以a n ＝2，等比数列{b n }中，b n ＋1·b n －1

＝b 2

n (n ≥2)，所以b n ＝2，所以a 2＋b 2＝4，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2，选C.

2．“λ<1”是“数列a n ＝n 2

－2λn 为递增数列”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2

－2λ(n ＋1)－(n 2

－2λn )＝2(n －λ)＋1，若λ<1，则2(n －

λ)＋1>0恒成立，数列{a n }为递增数列，若2(n －λ)＋1>0，则λ<

2n ＋12即λ<3

2

，∴选A. 3．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－2a n ＝0，b n ＝log 2a n ，那么数列{b n }的前10项和等于( C )

A ．130

B ．120

C ．55

D ．50

解析：由a n ＋1－2a n ＝0知数列{a n }为等比数列，公比为2，∴a n ＝2n

，则b n ＝log 2a n ＝n ，数列{b n }的前10项和等于1＋2＋3＋…＋10＝55，选C.

4．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n ·a n ＋1(n ∈N *

)的个位数字，则a 2 013的值为( C )

A ．8

B ．6

C ．4

D ．2

解析：依题意知a 1＝2，a 2＝7，a 3＝4，a 4＝8，a 5＝2，a 6＝6，a 7＝2，a 8＝2，a 9＝4，a 10

＝8，…，可知此数列具有周期性，故a 2 013＝a 3＝4.

5．已知等比数列{a n }公比为q ，其前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则q 3

等于( A )

A ．－12

B ．1

C ．－12或1

D ．－1或1

2

解析：∵S 3，S 9，S 6成等差数列，∴2S 9＝S 3＋S 6，若q ＝1，则S 9＝S 3＋S 6，∴q ≠1，

根据等比数列前n 项和公式，2×a 11－q 91－q ＝a 11－q 31－q ＋a 11－q 6

1－q

.

化简2(1－q 3)(1＋q 3＋q 6)＝(1－q 3)＋(1－q 3)(1＋q 3)，∴q 3＝－2q 6，∴q 3

＝－12

，故选

A.

6．已知数列{a n }中，a 1＝1，

a n a n －1

＝2n －7(n ∈N *

，n >1)，则当a n 取得最小值时n 的值是( B ) A ．7或8 B ．6或7 C ．5或6 D ．4或5 解析：由递推公式知：a n ＝2

n －7

·a n －1，n ∈[2,6]时，n 越大，a n 越小，n ∈[7，＋∞)时，

a n 随着n 的增大而增大．n ＝7时，a 7＝a 6，∴n ＝6或7时，a n 取得最小值．

二、填空题

7．已知函数f (x )＝x ＋tan x ，项数为17的等差数列{a n }满足a n ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π

2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 17)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.

解析：数列{a n }的公差d ≠0，∴a 1，a 2，…，a 17均不相等，又∵f (x )＝x ＋tan x 在⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2，π

2上是单调增函数，且为奇函数．

∴f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 17)＝0，

有f (a 1)＋f (a 17)＝0，f (a 2)＋f (a 16)＝0…… ∴f (a 9)＝0，∴k ＝9. 答案：9

8．对于一切实数x 、令[x ]为不大于x 的最大整数，则函数f (x )＝[x ]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

n 3，n ∈N *

，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n 的值为________．

解析：a 1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，a 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，a 3＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫33＝1，a 4＝a 5＝1，a 6＝a 7＝a 8＝2，∴S 3n ＝3[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ＝32n 2－1

2

n .

答案：32n 2－1

2

n

9．将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，如第11个数字是0，则从左至右的第2 013个数字是________．

解析：全体一位数共占据9个数位，全体两位数共占据2×90＝180个数位，接下来是顺次排列的三位数，由于2 013－9－180＝1 824，而

1 824

3

＝608，因此第608个三位数是608＋99＝707，所以第2 013个数字是三位数707的末位数字，即为7.

答案：7 三、解答题

10．各项均为正数的数列{a n }前n 项和为S n ，且4S n ＝a 2

n ＋2a n ＋1，n ∈N *

. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)已知公比为q (q ∈N *

)的等比数列{b n }满足b 1＝a 1，且存在m ∈N *

满足b m ＝a m ，b m ＋1＝a m