2023-2024学年福建省厦门市八年级(下)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年福建省厦门市八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列二次根式是最简二次根式的是( )
B. 7
C. 8
D. 4
A. 1
2
2.已知y是x的函数，其图象经过点(0,1)，则该函数的解析式可以是( )
A. y=x
B. y=x+1
C. y=−x
D. y=x−1
3.下列计算正确的是( )
A. 43−3=4
B. 43÷3=4
C. 3+2=5
D. 3×2=6
4.依据所标数据，下列图形一定为平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
5.某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数(单位：次).将所得数据统计如表所示(每组只含最低值，不含最高值).该样本的中位数落在( )
第一组第二组第三组第四组第五组
组别
70～9090～110110～130130～150150～170
人数41417105
A. 第二组
B. 第三组
C. 第四组
D. 第五组
6.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本
八尺而索尽.问索长几何？”大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长3尺，BC长为8
尺，求绳索AC长为多少？设绳索AC长为x尺，根据题意，可列方程为( )
A. x2+82=(x+3)2
B. (x+3)2+82=x2
C. x2+82=(x−3)2
D. (x−3)2+82=x2
7.某篮球队5名场上队员的身高(单位：cm)是：168，184，187，188，197.现用一名身高为178cm的队员换下场上身高为197cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A. 平均数变小，方差变小
B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小
D. 平均数变大，方差变大
8.如图，在矩形ABCO中，点B的坐标是(1,3)，则AC的长为( )
A. 3
B. 5
C. 3
D. 10
9.在A、B两地之间有汽车站C(A、B、C三地在同一直线上)，甲车由A地驶往C站，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶.甲、乙两车离C站的路程y1，y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示.
下列说法错误的是( )
A. 两车经过4.5小时后相遇
B. 甲车的速度是60千米/小时
C. 乙车11小时后到达终点
D. 乙车到达C站后，还要行驶360千米到达终点
10.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(b2+1,y3)，若(x1−x2)(y1−y2)<0，则下列一定正确的是( )
A. y1>y2
B. y1<y2
C. y3>b
D. y3<b
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.式子x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
12.学校举办“演说中国”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占40%，现场演讲分占60%，小明参加了比赛，并在综合荣誉和现场演讲中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为______分.
13.如图，在平行四边形ABCD中，BC=10，DE=4，∠ABC的平分线BE交
AD于点E，则AB的长为______．
14.如图，菱形ABCD中，对角线相交于点O，点E是CD中点，若AB=10，则
OE=______．
15.已知直线l：y=kx+b(k≠0)，将直线l向上平移5个单位后经过点(3,7)将直线l向下平移5个单位后经过点(7,7)，那么直线l向______(填“左”或“右”)平移______个单位后过点(1,7)．
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(3,0)，点B是函数y=−1
x+2(0<x<4)的图象上的
2
x+4的图象于点C，点D在x轴上(点D在点A的左侧)，且一个动点，过点B作垂直于y轴的直线交函数y=4
5
AD=BC，连接AB，CD.有如下四个结论：
①四边形ABCD是平行四边形；
②四边形ABCD不可能是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)
；
计算：(1)27−2×6+31
3
(2)(5+2)(5−2)+(3−1)2．
18.(本小题8分)
在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−a
a +2)÷a 2
−2a a 2−4，其中a =
2．
20.(本小题8分)
一次函数y =kx +b(k ≠0)的图象经过点A(1,6)和点B(0,4)，O 为坐标原点．(1)求该一次函数的表达式，并画出图象；
(2)点(−1, 5)在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明理由．
21.(本小题7分)
李明为了解某品牌新能源乘用车的需求情况，从该品牌乘用车某4S 店收集到以下信息：材料一：
材料二：
该品牌某4s 店2024年6月各级别新能源乘用车的平均销售单价统计表：
乘用车级别微型小型紧凑型中型大型超大型
平均单价/万元81015203058
(1)该品牌某4s店2024年6月所有销售的新能源乘用车平均单价是多少万元？
(2)该品牌汽车想通过调整投产计划以满足市场需求，请你运用所学的统计学知识向该品牌车企提出后续投产规划的合理建议？
22.(本小题9分)
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．
(1)作出线段BC的中点F(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)中作图，连接DF，CD.若AB=10，BC=13，CD=12，求证：四边形DECF是菱形．
23.(本小题11分)
某早餐店售有鸡排三明治、猪排三明治和饮料，其中饮料单价为5元/杯.为回馈广大消费者，商家决定推出套餐：任意一款三明治和一杯饮料，只需10元．
(1)请根据信息分别求出鸡排三明治和猪排三明治的单价；
(2)小孟计划购买50个三明治和30杯饮料，其中鸡排三明治的数量不少于猪排三明治的数量且不多于猪排三明治数量的两倍.到店后，店员告知小孟为了促进三明治单品的销售量，现早餐店推出新活动：单独购买
猪排三明治，单价降价a元(2<a<4).且店内套餐照旧.请你帮小孟设计一种购买方案，使总花费最低，并说明理由．
24.(本小题12分)
定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线.例如：如图1，在凸四边形ABCD中，若S△ABC=S△ADC，则四边形ABCD 为对等四边形，AC为四边形ABCD的对等对角线．
(1)[概念理解]下列图形中，属于对等四边形的是______．
A.有一对邻边相等的四边形
B.对角线互相垂直的四边形
C.有一对邻角相等的四边形
D.平行四边形
(2)[探究升级]请你通过探究，写出对等四边形的一条性质，并利用定义证明；
(3)[综合应用]如图2，在平面直角坐标系xOy中A(4,0)，B(0,−4)，若平面内存在一动点C，使得四边形OBAC为对等四边形，求点C的运动轨迹构成的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
25.(本小题13分)
在正方形ABCD中，E为AB边上异于点A，B的一个动点，连接CE，点B关于CE的对称点为点F，BF与CE交于点M，延长CF，BF分别交直线AD于点G，H．
(1)如图1，当点G在边AD上时，将点A关于EG对称，其对称点恰好与点F重合，AF交EG于点N．
①求证：四边形EMFN为矩形；
②连接AF并延长交CD于点K，若S△BEF=3，S△CKF=5，求正方形ABCD的面积；
(2)如图2，若正方形ABCD的边长为9，随着BE长度的变化，探究点G的位置．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.C
5.B
6.D
7.A
8.D
9.A
10.D
11.x≥2
12.84
13.6
14.5
15.左4
16.①②③
17.解：(1)原式=33−23+3
=23．
(2)原式=5−2+3−23+1
=7−23．
18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C．
∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠DEA=∠BFC
在△DEA和△BFC中
{
∠A =∠C
∠DEA =∠CFB AD =BC
，∴△DEA ≌△BFC ∴AE =CF
19.解：(1−a
a +2)÷a 2
−2a
a 2−4
=a +2−a a +2÷a(a−2)
(a +2)(a−2) =2a +2⋅a +2
a =2
a ；
当a =
2时，
原式=2
2=
2．
20.解：(1)将点A(1,6)和点B(0,4)代入y =kx +b ，
{6=k +b
4=b
，解得：{k =2
b =4，
所以该一次函数的表达式为y =2x +4．
(2)点(−1, 5)在该函数图象的上方，理由如下：当x =−1时，y =−2+4=2< 5，所以点(−1, 5)在该函数图象的上方．
21.解：(1)−
x =
8×4+10×8+15×24+20×20+30×3+58×1
4+8+24+20+3+1
=17(万元)，答：该品牌某4s 店2024年6月所有销售的新能源乘用车平均单价是17万元；
(2)从材料一数据可知，2024年6月销售数据中，销售量最大的车型为紧凑型车；从材料一来看增长率最高的是紧凑型车，所以建议多生产紧凑型车．
22.(1)解：图形如图所示；
(2)证明：∵D 是AB 的中点，∴AD =DB =12
AB =5，∵BC =13，CD =12，∴BC 2=BD 2+CD 2，∴∠BDC =90°，∴CD 垂直平分线段AB ，∴CA =CB ，
∵AE =EC ，BF =CF ，AD =DB ，∴DE =1
2
BC ，DF =12
AC ，∴DE =DF =CF =CE ，∴四边形DECF 是菱形．
23.解：(1)设猪排三明治的单价为x元，鸡排三明治的单价为y元，
{x+y+6=10×2
10+y=16，
解得：{x=8
y=6，
答：猪排三明治的单价为8元，鸡排三明治的单价为6元；
(2)设购买猪排三明治m个，则购买鸡排三明治(50−m)个，
∴{50−m≥m
50−m≤2m，
≤m≤25．
解得：162
3
设总花费为w元，
∵单独购买猪排三明治，单价降价a元(2<a<4)，
∴单独购买猪排三明治，单价为(8−a)元，
∵2<a<4
∴8−a<6，
∴要使花费最少，则必须要单独购买猪排三明治，
≤n≤20．
设单独购买猪排三明治n个，则单独购买鸡排三明治(20−n)个，且162
3
∴w=30×10+(8−a)n+6×(20−n)=(2−a)n+420，
∵2−a<0，
∴当n=20时，w有最小值，
∴方案为：买30个套餐(套餐中25个鸡排，5个猪排)和单独购买猪排三明治20个．
24.(1)D；
(2)在对等四边形中，对等对角线平分另一条对角线；已知四边形ABCD是对等四边形，对等对角线为AC，S△ABC=S△ADC；求证：BO=DO；
证明：如图1，过D作DF⊥AC于F，过B作BE⊥AC于E，
∴∠DFO =∠BEO =90°，
∵S △ABC =S △ADC ，
∴12AC ⋅DF =12
AC ⋅BE ，
∴DF =BE ，
∵∠DOF =∠BOE ，
∴△DOF ≌△BOE(AAS)，
∴OD =OB ；
(3)如图2，当对角线OA 为对等对角线时，
∵A(4,0)，B(0,−4)，S △AOB =S △AOC ，
∴C 在直线y =4上，
设直线AB 为y =kx−4，
∴4k−4=0，
解得：k =1，
∴直线AB 为：y =x−4，
当y =4时，x−4=4，
解得：x =8，
∴此时C 的横坐标范围为0<x <8；
如图3，当AC 为对等对角线时，由(2)可得，BC 平分OA ，
∴BC过AO的中点M(2,0)，
同理可得：直线BC解析式为：y=2x−4，
∴C的轨迹是射线y=2x−4(x>2)，
综上，C的轨迹是线段y=4(0<x<8)或射线y=2x−4(x>2)．
25.(1)①证明：如图，
∵点B关于CE的对称点为点F，
∴CE是线段BF的垂直平分线，
∵将点A关于EG对称，其对称点恰好与点F重合，
∴EG是线段AF的垂直平分线，
∴EN⊥AF，∠AEG=∠FEG，EM⊥BF，∠BEC=∠FEC，
∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠AEG+∠FEG+∠BEC+∠FEC=180°，
∴∠GEC=∠FEG+∠FEC=90°，
∵∠GEC=∠ENF=∠EMF=90°，
∴四边形EMFN是矩形；
②解：如图，过点F作PQ//AD，分别交正方形ABCD的边AB、CD于P、Q，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB//CD ，AD//BC ，∠BAD =∠CDA =90°，
∴PQ ⊥AB ，PQ ⊥CD ，
由对称的性质可知：EA =EF ，EB =EF ，
∴EA =EB ，
∵△EAF 和△EBF 等高，
∴S △BEF =S △AEF =3，
由①知：四边形EMFN 是矩形，
∴AK//CE ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB//CD ，
∴四边形AECK 是平行四边形，
∴AE =CK ，
∴S △AEF +S △CKF =12AE ⋅FP +12CK ⋅FQ =12
AE ⋅PQ =8，
∴正方形ABCD 的面积=AB ⋅PQ =2AE ⋅PQ =32；
(2)解：当点G 和点A 重合时，如图，
由对称得：BE =EF ，∠AFE =180°−∠EFC =90°，∠EAF =∠AEF =45°，
∴EF=AF=BE，
∴AE=2EF=2BE，
∵AE+BE=9，
∴2BE+BE=9，
∴BE=9(2−1)；
当9(2−1)<BE<9时，如图，连接EG，
设BE=x，AG=a，则DG=9−a，
由对称得：BE=EF=x，∠EFC=∠EBC=90°，CF=CB=9，
在Rt△CDG中，CG=CD2+DG2=92+(9−a)2，
∴GF=CG−CF=92+(9−a)2−9，
在Rt△EFG中，EG2=EF2+GF2=x2+[92+(9−a)2−9]2，
在Rt△EAG中，EG2=AE2+AG2=(9−x)2+a2，
∴x2+[92+(9−a)2−9]2=(9−x)2+a2，
，
整理得：a=x2+18x−81
2x
(92−9<BE<9)；
∴AG=BE2+18BE−81
2BE
当0<BE<9(2−1)时，如图，连接EG，设BE=x，AG=a，则DG=9+a，
由对称的性质可知BE=EF=x，∠EFC=∠EBC=90°，CF=CB=9，
在Rt △CDG 中，CG = CD 2+DG 2= 92+(9+a )2，∴GF =CG−CF = 92+(9+a )2−9，
在Rt △EFG 中，EG 2=EF 2+GF 2=x 2+[ 92+(9+a )2−9]2，在Rt △EAG 中，EG 2=AE 2+AG 2=(9−x )2+a 2，∴x 2+[ 92+(9+a )2−9]2=(9−x )2+a 2，
整理得：a =−x 2−18x +812x
，∴AG =−BE 2−18BE +812BE
(0<BE <9 2−9)；综上所述，AG ={−BE 2−18BE +812BE (0<BE <9 2−9)
0(BE =9 2−9)BE 2+18BE−812BE (9 2−9<BE <9)．。