应用举例公开课演示文稿

C处测得A处的俯
角 5001'.已知铁
塔BC部分的高为 27.3m, 求出山高C D(精确到1m).
第二十七页，共36页。
解：在 ABC中，BCA=900 + , ABC 900 -, BAC= , BAD .
根据正弦定理，AB= BC sin(900 + ) BC cos . sin( ) sin( )
B
AC BC sin B sin A
B arcsin 5 3 14
故我舰行的方向为北偏东 （50－arcsin 5 3）. 14
第三十二页，共36页。
练习2：如下图，已知半圆的直径AB=2，点C在
AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的动点。 以PC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在 PC的两侧，求四边形OPDC的面积的最大值。
B
60
60º
C
sin A BC sin C 60 sin 600 1
AB
60 3 2
BC AB A为锐角
A 300 B 900
AC
BC sin 300
120cm
A0 A A0C AC ( AB BC) AC 60 3 60(cm)
答：活塞移动的距离为（60 3 60）cm。
第八页，共36页。
C 垂 直 距 离 B
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用:
(1)测量距离; (2)测量高度. 包含不可达到的点 (3)测量角度.
第九页，共36页。
问题一：测量距离问题 （1）：有一点可到达
第十页，共36页。
解三角形的应用----
实地测量举例
想一想：例1： 如何测定河两岸
解Rt ABD,
得BD=ABsinBAD BC cos sin . sin( )
CD=BD-BC= BC cos sin BC. sin( )
把测量数据代人，CD 15（0 m). 答：山的高度约为150米.
第二十八页，共36页。
问题三：测量角度问题
例6、如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东750的方向 航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏 东320的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向 航行,需要航行多少距离(角度精确到0.10 , 距离精 确到0.01nmile).
外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正 北方向航行吗？
解：在ASB中，SBA＝115， S 45，由正弦定理得
BS AB sin 20 16.1sin 20 7.787(n mile) sin 45 sin 45
设点S到直线AB的距离为h, 则
h BS sin 65 7.06(n mile)
，，CD a,测角仪器的高是h. 在 ACD中，AC= a sin ,
sin( )
AB=AE+h
=ACsin +h = a sin sin h.
sin( )
第二十六页，共36页。
问题二：测量高度问题
（2）：底部可以到达
例4、如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角
54040',在塔底
位置CB时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的
端点A在 A0处。设连杆AB长为 60 3cm,曲柄CB长为60cm,曲
柄自 C按B 顺时针方向旋转60º，求活塞移动的距离。
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A (A0)
图1
BC (B0)
c
A0 A
B B0 C
图2
练习3 解：在ABC中由正弦定理可得 A0
60 3
A B0
则（21x）2 102 (9x)2 2 10 9x cos1200
即36x2 9x 10 0
解得x1
2 3
,
x2
5 12
(舍去)
AB 21x 14, BC 9x 6
再由余弦定理可得
第三十一页，共36页。
cos BAC AB2 AC 2 BC 2 142 102 62
第三页，共36页。
第四页，共36页。
正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C （R为三角形的外接圆半径） B
余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 2ca cos B
c2 a2 b2 2ab cos C
cos A b2 c2 a2 2bc
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总结
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推演 理算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
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问题二：测量高度问题
（1）：底部不可以到达
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的 最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法.
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解：选择一条水平基线HG,使H ,G, B三点在同一条直线上。 由在H ,G,两点用测角仪测得A的仰角分别是
第二十九页，共36页。
例5:我海军舰艇在A处获悉某渔船发出的求救信号后,立即
测出该渔船在方位角(指由正北方向顺时针旋转到目标方向的
水平角)为 ,距离4A5为0 10海里的C处,并测得渔船正沿方位
角
的方向10以50 9海里/时速度向某岛P靠拢,我海军舰艇立
即以21海里/时的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前
cos B c2 a2 b2 2ca
cos C a2 b2 c2 2ab
A
c
b
a
C
解三角形理论 在实际问题中的应用
第五页，共36页。
实际应用问题中有关的名称、术语
1.仰角、俯角、视角。
（1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰 角。
（2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角
。
（3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般 这两条视线过被观察物的两端点）
视线
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仰角
俯角
视线
水平线
2.方向角、方位角。
（1）.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的 小于900的水平角叫方向角。
（2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所
成的角叫方位角。
B 300 北
2 AB AC
2 14 10
0.9286
BAC 21.780
450 21.780 66.780
答：舰艇应以66.780的方位角方向航行，靠近渔船需要 2 小时。 3
练习1 我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正 由：岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需 以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ C
，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利用其一
可求AB。
在
ADC中，AC
a sin( ） sin[1800 (
)]
a sin( ） sin( )
在
BDC中，BC
a sin sin[1800 (
)]
a sin sin(
)
在 ABC中，AB= AC2 BC2 2AC BC cos .
应用举例公开课演示文稿
第一页，共36页。
应用举例公开课
第二页，共36页。
的应用
度角的《 三学理及周世解？解髀工纪解我三是三算三程国，角解经角角古建我学三形》代形筑国来角问很里的等数自形题早，方希的生学是就已法腊计产家三有有文算在角刘实测关“，度学量徽际于三后的方量在中角来平基面工计，形，面本的算件”三有问测知圆、和角广题识量内“学测之泛，的测才接量一公的记量被正。元距应载”看什六一离用，。作么世边和公，最包是纪形高初括元在三的 物三、角理正函学十数中二和边，解形有三的关角边形向长两量部时的分，计内就算容已也的经一要取门用得数到了学解某分三学些角科特形。殊的角 方的法正。弦……
4
2(1 sin 3 cos ) 5 3 2sin( ) 5 3
2
2
4
34
当
3
即
2
5
6
时，ymax
2
53 4
第三十四页，共36页。
三角形面积公式 :
S 1 ab sin C 1 ac sin B 1 bc sin A
2
2
2
例7、在ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到0.1cm2 ).
解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
BC 2 AC 2 AB2 2 AB AC cos BAC
10
202 122 212 20 ( 1)
A
784
2 BC 28
50
∴我舰的追击速度为14n mile/h
40
又在△ABC中由正弦定理得：
故sin B AC sin A 5 3 BC 14
点A在北偏东600，方位角600.
A
600
点B在北偏西300，方位角3300. 西
东
点C在南偏西450，方位角2250. C 点D在南偏东200，方位角1600.
450 200 南D
第七页，共3α
A 水平距离
坡度（坡度比） i: 垂直距离/水平距离 坡角α: tanα=垂直距离/水平距离
进?并求出靠近渔船所用时间。
第三十页，共36页。
北
10 450
A
北 C 1050
9X
21X
解： 设舰艇从A处靠近渔船所用的时间x小时，
则AB 21x, BC 9x, AC 10。
ACB 450 (1800 1050 ) 1200
由余弦定理可得
B
AB2 AC 2 BC 2 2 AC BC cos1200
解：由余弦定理，得
A
BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos A 1.952 1.402 21.951.40 cos 6620 3.751 BC 1.89(m) 答：顶杆BC约长1.89m。
C B
第二十一页，共36页。
练习3：下图是曲柄连杆机构的示意图。当曲柄CB绕C点旋转 时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动。当曲柄在
A
第十五页，共36页。
B
D
解三角形的应用---实地测量举例
例2、 为了测定河对岸两点A、B间
的距离，在岸边选定a公里长的基线 CD，并测得∠BCA=α，∠ACD=β ，∠CDB=γ，∠BDA=δ，求A、B 两点的距离.
B
C A
D
第十六页，共36页。
分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形
）．
（1）什么是最大仰角？ （2）例题中涉及一个怎样的三角 形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？
最大角度
第十九页，共36页。
抽象数学模型
C
1.40m
600
A
6020
1.95m
D
B
已知ABC的两边AB 1.95, AC 1.40, 夹角A 66020,求第三边的长.
第二十页，共36页。
练 习 2: 已 知 △ ABC 的 两 边 AB ＝ 1.95m ， AC ＝ 1.40m，夹角A＝66°20′，求BC．
h 6.5n mile此船可以继续沿正北方向航行
答：此船可以继续沿正北方向航行
第十八页，共36页。
练习2．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油 泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为 6 20， AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字
(1)已知a 14.8cm, c 23.5cm, B 148.50; (2)已知B 62.70,C 65.80,b 3.16cm; (3)已知a 41.4cm,b 27.3cm, c 38.7cm.
第三十三页，共36页。
D
解：设POB ，四边形的面积为y。
P
则在POC中，由余弦定理得
PC 2 OP2 OC 2 2 OP OC coAs O
B
C
5 4 cos
y SOPC SPCD
1 1 2 sin 1 sin (5 4 cos )
2
23
sin 3 cos 5 3
A
第十七页，共36页。
B
α δγ β
D
C
∠BCA=α，∠ACD=β， ∠BDC=γ，∠ADB=δ，
练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向正北 航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向， 30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏 东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以
β=750,求AB的长.
A
第十三页，共36页。
简解:由正弦定理可得
AB/sinα=BC/sinA
β
B
α 55
C
问题一：测量距离问题
（2）：两点都不可到达
第十四页，共36页。
解三角形的应用---
实地测量举例
例2、 如何测定河对岸两点A、B间
的距离？
如图在河这边取一点D，构造三
角形ABD，能否求出AB?为什么？ ？
两点A、B间的距离？
B A
第十一页，共36页。
解三角形的应用---实地测量举例
想一想： 如何测定河两岸两点A、 B间的距离？
在B的同一侧选定一点C
A
第十二页，共36页。
β
B
α
C
解三角形的应用----
实地测量举例
想一想： 如何测定河两岸两点A、B
间的距离？
A
α
β 55
B
C
若BC=55, ∠α=510 ,α ∠