高中数学 第一章 统计 1.4.1 平均数、中位数、众数、

4．1 平均数、中位数、众数、极差、方差

4．2 标准差

整体设计

教学分析

在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题．在这个基础上，高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，达到在具体的问题中能根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征．

三维目标

1．能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力．

2．通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力．

重点难点

教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用．

教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路

员的平均身高，谁的平均身高数值大，谁的身材就更高大，教师点出课题：数据的数字特征．思路 2.小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成．工作人员由五个领工和十个工人组成．工厂经营得很顺利，需要增加一个新工人，小亮需要一份工作，应聘而来与小明交谈．小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元．你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了．”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小明说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一

推进新课

新知探究 提出问题

1．什么叫平均数？有什么意义？

2．什么叫中位数？有什么意义？

3．什么叫众数？有什么意义？

4．什么叫极差？有什么意义？

5．什么叫标准差？有什么意义？

6．什么叫方差？有什么意义？

讨论结果：

1．一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数．数据x 1，x 2，…，x n

的平均数为x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n

.平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化，这是众数和中位数都不具有的性质．

2．一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．

3．一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有，反映了该组数据的集中趋势．

4．一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况．

5．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示，通常用公式

s ＝1n

x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2]来计算． 可以用计算器或计算机计算标准差．标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差大，数据的离散程度大；标准差小，数据的离散程度小．标准差的取值范围是[0，＋∞)．

样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差的计算步骤：

(1)计算样本数据的平均数，用x 来表示；

(2)计算每个样本数据与样本数据平均数的差：x i －x (i ＝1,2，…，n )；

(3)计算x i －x (i ＝1,2，…，n )的平方；

(4)计算这n 个x i －x (i ＝1,2，…，n )的平方的平均数，即方差；

(5)计算方差的算术平方根，即为样本标准差．

6．方差等于标准差的平方，即s 2＝1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，与标准差的作用相同，描述一组数据围绕平均数波动的程度的大小．方差的取值范围是[0，＋∞)．

应用示例

思路1

(2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢？工会领导呢？

解：(1)经过简单计算可以得出：该公司员工的月工资平均数为1 373元，中位数为800元，众数为700元．

(2)公司经理为了显示本公司员工的收入高，采用平均数1 373元作为月工资的代表；而税务官希望取中位数800元，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数700元作为代表，因为每月拿700元的员工数最多．

点评：平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量，它是反映数据平均水平最常用的统计量；中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大，对于非对称的数据集，中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时，众数往往经常被使用.

变式训练

(1)用含x ，y 的代数式表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f ；

(2)若该班这次竞赛的平均分为2.5分，求x ，y 的值．

解：(1)f ＝3x ＋5y ＋5940

； (2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋5y ＝41，x ＋y ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7，y ＝4.

2.某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人

是怎样计算的？

(2)游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？

(3)你认为风景区和游客哪一方的说法较能反映整体实际？

解：(1)风景区是这样计算的：

调整前的平均价格：

10＋10＋15＋20＋255

＝16(元)， 调整后的平均价格：

5＋5＋15＋25＋305

＝16(元)， 因为调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，

所以平均日总收入不变．

(2)游客是这样计算的：

原平均日总收入：

10×1＋10×1＋15×2＋20×3＋25×2＝160(千元)，

现平均日总收入：

5×1＋5×1＋15×2＋25×3＋30×2＝175(千元)，

所以平均日总收入增加了175－160160

≈9.4%. (3)游客的说法较能反映整体实际.

例2 甲、乙两台机床同时生产直径是40 mm 的零件．为了检验产品质量，从两台机床