九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题(含答案) (97)

九年级数学第二十七章相似综合复习测试习题（含答案）

如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，且BD 平分∠ABC ．过点D 作BC 的垂线，与BC 的延长线相交于点E ，与BA 的延长线相交于点F ．

（1）求证：EF 与O 相切：

（2）若AB =3，BD =CE 的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）1

3

CE =． 【分析】

（1）连接OD ，由角平分线和等边对等角，得到EBD BDO ∠=∠，则BC OD ∥，即可得到结论成立；

（2）连接AD ，CD ，CO ，由勾股定理求出AD ，然后证明EDB DAB △∽△，求出DE 的长度，然后即可求出CE 的长度.

【详解】

（1）证明，如图，连接OD ．

BD 平分ABC ∠，

EBD ABD ∴∠=∠．

∵OB OD =，

BDO ABD ∴∠=∠． EBD BDO ∴∠=∠． BC OD ∴∥． FDO E ∴∠=∠．

∵EF BE ⊥,

90E ∴∠=︒．

90FDO ∴∠=︒．

即EF OD ⊥．

EF ∴与O 相切．

（2）如图，连接AD ，CD ，CO ．

AB 是O 的直径，

90ADB E ∴∠=︒=∠．

在Rt ABD △中，1AD ===． ∵ADB E ∠=∠，EBD ABD ∠=∠，

EDB DAB ∴△∽△． DE DB

AD AB ∴

=，

即

13

DE =．

DE ∴=

∵12EBD COD ∠=∠，1

2

ABD AOD ∠=∠，EBD ABD ∠=∠，

COD AOD ∴∠=∠． 1CD AD ∴==．

在Rt CDE △中，13CE ===． 【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，两小题题型都很好，都具有一定的代表性．

82．如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接DE ，过顶点B 作BF ∠DE ，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交CD 于G.

（1）求证：BG=DE ； （2）若点G 为CD 的中点，求HG

BG

的值； （3）在（2）的条件下，求

HG

GF

的值.

【答案】（1）（略）；（2）13； （3）5

3

.

【解析】

试题分析：（1）由于BF ∵DE ，所以∵GFD =90°，从而可知∵CBG =∵CDE ，根据全等三角形的判定即可证明∵BCG ∵∵DCE ，从而可知BG =DE ；

（2）由正方形的性质得到AB =DC ，AB ∵DC ，进而得到AB =2GC ，由AB ∵DC 得到∵ABH ∵∵CGH ，再由相似三角形的性质即可得到结论；

（3）设CG =1，从而知CG =CE =1，由勾股定理可知：DE =BG

易证∵ABH ∵∵CGH ，所以

BH HG

=2，从而可求出HG 的长度，进而求出HG

GF 的值．

（1）

∵BF ∵DE ，∵∵GFD =90°，∵∵BCG =90°，∵BGC =∵DGF ，∵∵CBG =∵CDE ，在∵BCG 与∵DCE 中，∵∵CBG =∵CDE ，BC =CD ，∵BCG =∵DCE ，∵∵BCG ∵∵DCE （ASA ），∵BG =DE ；

（2）∵ABCD 是正方形，∵AB =DC ，AB ∵DC ，∵点G 为CD 的中点，∵DC =AB =2CG ，∵AB ∵DC ，∵∵ABH ∵∵CGH ，∵AB ：CG =BH ：HG =2：1，

∵13

HG BG =； （3）设CG =1，∵G 为CD 的中点，∵GD =CG =1，由（1）可知：∵BCG ∵∵DCE （ASA ），∵CG =CE =1，∵由勾股定理可知：DE =BG ∵sin ∵CDE =CE GF

DE GD

=，

∵GF ，∵AB ∵CG ，∵∵ABH ∵∵CGH ，∵21AB BH CG HG ==，∵BH ，GH ∵

HG

GF =53

． 点睛：本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高，属于中等题型．

83．（探究）如图1，在等边∠ABC 中，AB ＝4，点D 、E 分别为边BC 、AB 上的点，连结AD 、DE ，若∠ADE ＝60°，BD ＝3，求BE 的长．

（拓展）如图2，在∠ABD 中，AB ＝4，点E 为边AB 上的点，连结DE ，

若∠ADE ＝∠ABD ＝45°，若DB ＝

3，

ADE BDE

S

S

＝ ．

【答案】【探究】BE ＝3

4

；【拓展】5=3

ADE BDE

S S

【分析】

探究：过点A 作AF ∵BC 于F ，由等边三角形的性质得出BF=CF=

1

2

BC=2，

由勾股定理求出

DF=BD-BF=1，由勾股定理求出

∵ABD ∵∵ADE ，得出AB AD AD AE =，解得AE=13

4

，即可得出结果；

拓展：过点A 作AF ∵BC 于F ，易证∵ABF 是等腰直角三角形，

则AF=BF=

2

，DF=DB-BF=

，由勾股定理求出

，证得

∵ADE ∵∵ABD ，得出=AD AE

AB AD ，求出AE=52

，BD=AB-AE=32，则

ADE BDE

S AE

S BE

=

即可得出结果．

【详解】

探究：∵∵ABC 是等边三角形， ∵∵B=∵C=60°，AB=BC=4，

过点A 作AF ∵BC 于F ，如图①所示：

则BF=CF=1

2

BC=2，

=