[K12配套]2017_2018学年高中数学专题07平面向量的实际背景与线性运算同步单元双基双测卷A卷新人教A版必修4

专题七平面向量的实际背景与线性运算
（A 卷）
（测试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在ABC ∆中，已知M 是BC 中点，设,CB a CA b ==，则AM =（ ） A. -21 B. +21 C. 12a b - D. 12
a b + 【答案】A. 【解析】12AM AC CM b a =+=-+
，∴选A. 2.【2018届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校高三上学期新起点】设D 为线段BC 的中点，且6AB AC AE +=-，则( )
A. 2AD AE =
B. 3AD AE =
C. 2AD EA =
D. 3AD EA =
【答案】D
【解析】由D 为线段BC 的中点，且6AB AC AE +=-，得：26AD AE =-， 3AD AE =-，即3AD EA = 故选：D
3.在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ）
A ．A
B D
C =
B ． AD AB A
C +=
C ．AB A
D BD -=
D ．AD CD BD +=
【答案】C
【解析】
由向量的有关知识可知AB DC =，AD AB AC +=，AD CD BD +=正确．而AB AD BD -=错误．选
C.
4. 设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）
A.1433AD AB AC =-+
B.1433
AD AB AC =- C.4133AD AB AC =+ D.4133
AD AB AC =- 【答案】A 【解析】由题知11()33
AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A. 5.在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，12AD DB =　，23
CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A ．13- B.
1
3
C.1
D.2 【答案】
B 6. 设P 是AB
C ∆所在平面内一点，2BC BA BP +=则
A ．0PA P
B += B ．0PB P
C +=
C ．0PC PA +=
D ．0PA PB PC ++=
【答案】C 【解析】因为P 是ABC ∆所在平面内一点， 2BC BA BP +=，所以P 是AC 的中点，则0PC PA +=.
7. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则
OA OB OC OD +++等于（ ）
.
.2.3.4AOM B OM C OM D OM 【答案】D
【解析】由已知得，1111,,,,2222
OA OM CA OB OM DB OC OM AC OD OM BD =+=+=+=+ 而,,CA AC DB BD =-=-所以4OA OB OC OD OM +++=，选D .
8.给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③0a λ＝ (λ为实数)，则λ必为零．
其中错误的命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
【答案】B
9.给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若， 都是单位向量，则=． ③向量与向量相等．④若非零向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．
以上命题中，正确命题序号是（ ）
A ．① B．② C．①和③ D ．①和④
【答案】A
【解析】
根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误
解：根据零向量的定义可知①正确； 根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
与向量互为相反向量，故③错误； 方向相同或相反的向量为共线向量，由于与无公共点，故A ，B ，C ，D 四点不共线，故④错误， 故选A.
10.【2018届山东省青岛市胶南市第八中学高三上学期期中】在ABC ∆中，若2AB AC AP +=，则PB =（ ）
A. 1322AB AC -+
B. 1322AB AC -
C. 1122AB AC -
D. 1122
AB AC -+ 【答案】C 【解析】由2AB AC AP +=得， AP = 1
2AB AC +（），所以
111222
PB PA AB AB AC AB AB AC =+=-++=-（）,故选Ｃ．
11. 已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB λ=+，其中λ∈R，则点P 一定在( )
A ．△ABC 的内部
B ．A
C 边所在直线上
C ．AB 边所在直线上
D ．BC 边所在直线上
【答案】B
【解析】由CB PA PB λ=+得CB PB PA λ-=，∴CP PA λ=.则,CP PA 为共线向量，又,CP PA 有一个
公共点P C P A ∴，
、、三点共线，即点P 在直线AC 上．故选B . 12.【2018届河南省南阳市高三上学期期中】已知O 是ABC ∆所在平面内的一定点，动点P 满足
(),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝
⎭
，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A. 内心 B. 垂心 C. 外心 D. 重心
【答案】A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

）
13.+BC +CA = .
【答案】 【解析】=-=++.
14.在ABC ∆中,2BD DC =,若12AD AB AC λλ=+,则12λλ的值为_________.
【答案】34
- 【解析】由题可得,如图32AD AB BD AB BC =+=+()
32AB AC AB =+-1322AB AC =-+,则,所以1234λ
λ=-,故填34
-.
15.【2018届江西师大附属中学高三10月月考】平行四边形ABCD 中， M 为BC 的中点，若
AB AM DB λμ=+，则λμ-=__________．
【答案】13
【解析】由图可知， AB DC =， 所以12
AB AM MB AM CB =+=+ 1(2
AM DB DC =+-) 1(2AM DB AB =+-)1122
AM DB AB =+- 所以3122
AB AM DB =+， 故2133AB AM DB =+，即2133
λμ==，， 即得13
λμ-=
16. 给出下列命题： ①a b ＝的充要条件是||a b |＝|且a b //； ②若向量a 与b 同向，且||a b |>|，则a b >；
③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ④若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反；
⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
⑥任一向量与它的相反向量不相等．
其中真命题的序号是________．
【答案】⑤ 【解析】①当a 与b 是相反向量时，满足||a b |＝|且a b //，但a ≠b ，故①假；
②向量不能比较大小，故②假； ③0与任意向量平行，故③假； ④当a 与b 中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假；
⑤由相等向量定义知，⑤真；
⑥0的相反向量仍是0，故⑥假．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题10分）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，将EF 用,AB AD 表示.
【答案】1223
AB AD -
18.（本小题12分）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝
13CA ＋λCB ，求λ的值. 【答案】
23
【解析】∵CD ＝CA ＋AD ，CD ＝CB ＋BD ， ∴2CD ＝CA ＋CB ＋AD ＋BD .
又∵AD ＝2DB ，
∴2CD ＝CA ＋CB ＋
13AB ＝CA ＋CB ＋13
(CB －CA ) ＝23CA ＋43CB . ∴CD ＝
13CA ＋23CB ，即λ＝23. 19.（本小题12分）如图所示，已知1,3,0OA OB OA OB ===，点C 在线段AB 上，且30AOC ∠=︒，设(),OC mOA nOB m n R =+∈，求m n -.
【答案】12
【解析】
依题意可知OC AB ⊥,且13,22AC BC ==,故13
OC OA AC OA AB =+=+ ()
131444OA OB OA OA OB =+-=+,12m n -=. 20.（本小题12分）ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G ，若AG xAE yAF =+，求x y +. 【答案】43
21.（本小题12分）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，将AF 用,a b 表示. 【答案】
2133a b + 【解析】,AC a BD b ==，11112222
AD AO OD AC BD a b ∴=+=+=+ 因为E 是OD 的中点,||1||3
DE EB ∴=,所以，13DF AB = ()
1111133322DF AB OB OA BD AC ⎛⎫⎛⎫∴==-=⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1166AC BD -=1166a b - ， 11112266
AF AD DF a b a b =+=++-＝2133a b +.
22.（本小题12分）已知D为△AOB所在平面内一点，OD＝2DB，点C为B关于A的对称点，DC和OA 交于点E，设OA＝a，OB＝b.
（Ⅰ）用a和b表示向量OC、DC；
（Ⅱ）若OE＝λOA，求实数λ的值．
【答案】(1) OC=2a－b，DC=2a－5
3
b;(2)
4
5
.
【解析】试题分析：(1) 点C为B关于A的对称点即A是BC的中点，又OD＝2
3
OB，结合平行四边形
法则，即可用a和b表示向量OC、DC;(2)由//
EC DC可得对应系数成比例，解得实数λ的值. 试题解析:
(1)由题意，A是BC的中点，且OD＝2
3
OB，
由平行四边形法则，OB＋OC＝2OA.
∴OC＝2OA－OB＝2a－b，DC＝OC－OD＝(2a－b)－2
3
b＝2a－
5
3
b.
(2) //
EC DC
又∵EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ) a－b，DC＝2a－5
3
b，
∴2
2
λ
-
＝
1
5
3。