高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结
.直线部分
1 •直线的倾斜角与斜率:
（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与 点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为
倾斜角：［0,180
）「=90斜率不存在.
k = y 2 - y
i （% = x 2
）, k = tan ：
（2）直线的斜率：
x
2
-兀 .两点坐标为
Pl （Xl,yi ）
、
P2（X2,y2）
.
2. 直线方程的五种形式：
（i ）点斜式：y -力二k （x -xj （直线|过点Pi （Xi ，yi ），且斜率为k ）.
注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 X = X o .
（2） 斜截式： 八也• b （b 为直线1在y 轴上的截距）.
y - y i _ x - X i
（3） 两点式：y 2—y i X ^X i （ y ^^ y2 , Xi = X 2）.
注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；
②方程形式为：（x 2 -Xi ）（y-yi ）-（y2-yi ）（x-Xi ）=0时，方程可以表示任意直线.
（4）
截距式：a b （ a ，b 分别为x 轴y 轴上的截距，且 "OW ）.
注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点 的直线. （5）
—般式：Ax By C = 0 （ 其中A B 不同时为0）.
AC A
y = — x —
k ———
一般式化为斜截式： B B
,即，直线的斜率：
B .
注：（i ）已知直线纵截距b ，常设其方程为『二也“或x=o .
已知直线横截距x 0，常设其方程为X 二my • x °（直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数）或y = 0 . 已知直线过点
（X0
，y0），常设其方程为y 二或x=X o .
（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直
线一般不重合.
X 轴相交的直线，如果把X 轴绕着交 :
叫做直线的倾斜角
3 •直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为 0.
(1) 直线在两坐标轴上的截距相等 =直线的斜率为-1或直线过原点. (2) 直线两截距互为相反数=直线的斜率为1或直线过原点. (3) 直线两截距绝对值相等=直线的斜率为-1或直线过原点. 4. 两条直线的平行和垂直： (1) 若帚八敢也,—『土乂也,有
① 111I \ 2 — k ?,
；
② h — I 2 = k*? = — 1
① h // \2
：= A B 2
= A B 1
且A <|C 2 = A 2G ；
② h _ 12
= AA 2
■
B <|
B 2 = 0
5. 平面两点距离公式：
(1) 已知两点坐标P(X 1，y 1)、P 2(X 2，y 2)，则两点间距离RP 2 7X1 -X 2)*% -九厂. (2) X 轴上两点间距离：AB = X B - X A .
X 1 + X 2 厂"T l y 0 = % +y
2 (3)
线段pp
2的中点是M(X0，y 。

)，则I 2 .
6. 点到直线的距离公式：
Ax 。

By 。

C d = ,■ — 点p (x o , y 。

)到直线1: Ax By 0的距离： A B 2
7. 两平行直线间的距离公式:
d
两条平行直线l 1： Ax By C 1=0
, l 2： Ax
By C 2=0
的距离：
8. 直线系方程: (1) 平行直线系方程：
① 直线y 二也F 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程. ② 与直线1:Ax B y C "平行的直线可表示为Ax B y C ^ 0 .
③过点P(x 0，y 0)与直线1:Ax By V"平行的直线可表示为：Adf) B (y -y 0)= o .
(2) 垂直直线系方程:
① 与直线1 : Ax • By £ =0垂直的直线可表示为Bx — Ay • G = ° . ② 过点P (X o ，y
o )与直线
1: Ax By
V"垂直的直线可表示为：B (x-x Q )-A(
y-y Q )=Q
(2) 若 h ： Ax B 』G =0
\2
: A 2
x + B 2
y +C 2
= 0 有
G -C 2 .A 2 B 2
(3)定点直线系方程：
①经过定点Po(Xo,yo)的直线系方程为y- y°二k(x —人)(除直线x = x°),其中k是待定的系数.
②经过定点Po(xo，yo)的直线系方程为A(x-xo厂B(y-yo)=0,其中A,B是待定的系数.
(4)共点直线系方程：经过两直线1l：Ax • Ry C = 0, I2：A2x B2y C2 =0交点的直线系方程为Ax • By • C i • ■ (A2x B2y C2^0(除开l2)，其中入是待定的系数.
9•两条曲线的交点坐标：
{f(x, y) =0 曲线Ci：f(x，y) =0与C2：g(x,y)=0的交点坐标=方程组g(x,y) = 0的解.
10. 平面和空间直线参数方程：
①平面直线方程以向量形式给出：
x- a二厂b方向向量为$二n1,n2下面推导参数方程：
n1 n2
令:则有x=a n
i
t
I
n
i n
2y =b mt
②空间直线方程也以向量形式给出：
=乞弋=:乙b 方向向量为s二mnn 下面推导参数方程：n i n2 n3
x =a *n i t
令：x-a =厂b
=z-c =t则有b +n2t
n i n2 n3 、
z = c +n3t
注意：只有封闭曲线才会产生参数方程，对于无限曲线，例如二次函数一般不会有化为如上的参数方程。

.圆部分
1 •圆的方程: (1)
圆的标准方程：(x-a)2 *y-b)2 (r 0).
(2) 圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F "(D 2 • E 2 _4F .°).
(3) 圆的直径式方程：若A (x i ,y i ), B (x 2,y 2)，以线段AB 为直径的圆的方程是:
(x —xj (x —X 2) (y — yj(y — y 2)=0
(2) 一般方程的特点：
2 2 2 2
① X 和y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项；③D E -4F 0
2 2
(3) 二元二次方程Ax Bx y Cy Dx E y F =0表示圆的等价条件是: ① A=C=0 ；
② B = 0 ；
③ D 2 E - 4AF 0
2 •圆的弦长的求法:
(1)几何法：当直线和圆相交时，设弦长为1，弦心距为d ，半径为r ,
(2)代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为Agy)，B(X 2,y 2)，则
|AB|-1 k 2
|X A -X B
1 1 M -y B |
(其中|X 1 -X 2 |,|y 1 -y
2 I 的求法是将直线和圆的方程联立消去 y 或X ，利用韦达定理求解)
3. 点与圆的位置关系：
2 2 2
点P (X0，y0)与圆(x-a) ^y-b) =r 的位置关系有三种
① P 在在圆外二 d
汀二(X 。

-a)2 • (y 。

-b)2 - r2
.
2
2
2
② P 在在圆内二 d ：：：r =(Xo-a) "yo-b) ：：： r .
2 2 2
③ P 在在圆上二 d=r =(X0-a) (y^b) “ . 【P 到圆心距离d f (a — xy ©-丫异】 4. 直线与圆的位置关系：
2 2 2
直线Ax •BytF 与圆(x-a) ^y-b) =r 的位置关系有三种：
注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是
则: 2 2
“半弦长+弦心距 二半径
(2)2 d 2
"2心 Ej
Aa + Bb + C d =
~：「2一2_■
圆心到直线距离为d( A B ),由直线和圆联立方程组消去x(或y)后，所得一元二次方程的判别式为二•
d • r 二相离 u •「：：0 ；
d 二r 二相切 u ."■：=0 ；
d ::: r ：=相交 u ■■: - 0
5. 两圆位置关系：
设两圆圆心分别为°i，°2，半径分别为「1，「2 , °1。

2 =d
d • * • r2：=外离二4条公切线；
d £山-r2二内含二无公切线；
d = r1r^ 外切二3条公切线；
d =片-r2|=内切二1条公切线；
A -r2 cd c* +r2二相交二2条公切线
内含内『I 相交外弹相离
9 ------------------- # ------------------- 9 ---------------------
0 —d—|r2-r1|-^cl ——d―►d
2 2 2 2
6. 圆系方程：x y Dx Ey F =0(D E -4F 0)
2 2
(1)过直线l: Ax・By(=o与圆C: x y Dx E y F = 0的交点的圆系方程：
2 2
x y Dx Ey F • (Ax By C) = 0,入是待定的系数.
2 2 2 2
⑵过圆C1: x y D1x E1y F^0与圆C2:x y D2x E2y F2 =0的交点的圆系方程：
x2y2 D1x E1y F1 (x2y2D2X E2y F2)=0,入是待定的系数.
2 2 2 2
特别地，当“ T 时，x +y +D1X + E』+&+》(x +y +D2x+E2y + F2) = 0就是
(0 _D 2)x •(巳_E 2)y • (R —F 2)=0表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的 直线.
7 •圆的切线方程：
2 2 2 2
(1) 过圆x y 訂上的点P(Xo ，yo)的切线方程为：X o X ・y o y =r .
2
(2) 过圆 °虫)2 ・(y -b)2 - J 上的点 p (Xo ，yo )的切线方程为：(x-a)(X o - a) - (y -b)(y ° -b) = r (3) 当点P(Xo,yo)在圆外时，可设切方程为y -yo =k(x-X 。

)，利用圆心到直线距离等于半径, 即d 二
r
，求出k ；或利用'=0，求出k •若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线
x =X o
8.圆的参数方程：
圆方程参数方程源于： sin v 'cos 71 -1
2 2
那么(x-a) (y-b) R 2 R 2
(
x-a) . r
设：』R
_sin 得：厂a+Rsi*
(y —b) _ 卫 y=b+Rcos 日
有
=
co
田
2 2 2 2
9•把两圆 x y D 1x E 1y F 1=0与x y
D 2x
E 2y
F ^0方程相减
即得相交弦所在直线方程:(D ^D 2)x (E 1 - E
2)y • (F 1 - F 2) = 0 . 10.对称问题： (1) 中心对称：
① 点关于点对称：点Ag%)关于M (Xo ,yo )的对称点A (2Xo -心纵-yj . ② 直线关于点对称：
法1:在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直 线方程.
法2:求出一个对称点，在利用l 1//l 2由点斜式得出直线方程. (2) 轴对称：
① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点 在直线上.
② 直线关于直线对称：(设a ,b 关于1对称) 法1:若a,b 相交，求出交点坐标，并在直线a 上任取一点，求该点关于直线1的对称点. 若a//l ，则b//l ，且a,b 与|的距离相等.
法2:求出a 上两个点A ，B 关于1的对称点，在由两点式求出直线的方程. (3) 其他对称：
点(a,b)关于x 轴对称：(a,-b); 关于y 轴对称：(-a,b); 关于原点对称：(-a,-b);
点(a,b)关于直线y=x 对称：(b,a); 关于 y=-x 对称：(-b,-a);
关于 y =x+m 对称：(b-m 、a+m)； 关于 y=-x+m 对称：(-b+m 、-a+m).
乂 + X 2 + X 3 % + y 2 + y 3 ]
J
11. 若 A(x i ,y i )，B (x2,y 2)，C (X 3,y 3)，则△ ABQ 的重心 G 的坐标是 I 3 3
丿
12. 各种角的范围： 直线的倾斜角0乞〉叮80 两条相交直线的夹角 0
"•岂90 两条异面线所成的角
：：：「乞90
三. 椭圆部分
1.椭圆定义：
① 到两定点距离之和为一常数的平面几何曲线：即I MO1 I + I MO2 I =2a
② 或定义：任意一条线段，在线段中任取两点(不包括两端点)，将线段两端点置于这两点处, 用一个钉子将线段绷直旋转一周得到的平面几何曲线即为椭圆
点A 、A 关于直线1
对称 'AA 」l
AA 冲点在上 k
AA
AA •，k | 二-1
■中点坐标满足|方程
飞
2
2
2
O i
C =O 2
c|=a 泪 a =b +c 得: ；
OC
=b c = a 2 b OC =c
⑤椭圆离心率，来源于圆的定义：
圆实际上是一种特殊的椭圆，而圆不过是两个焦点与坐标圆点重合罢了
椭圆离心率为
③ 从椭圆定义出发得到一个基本结论：椭圆上任意一点引出的两个焦半径之和为常数 2.椭圆性质：
2a 。

① 由于椭圆上任意一点到两点距离之和为常数，所以从
I AO 1 1 + 1 A02 I = I A02 1 + 1 O 2B I =2a
这是因为I A01 I = I 02B I （由图形比较看出） ② 椭圆的标准方程：
£負
a b
.
③ 椭圆参数方程： 从圆方程知：x 2
y\R 2
圆方程参数方程源于:
cos V -1
2
所以按上面逻辑将椭圆方程卷• E =1视为
a b
x
— • A
R —sin 日
y
=cos
日
得: x =Rsi
y
nRcosr
同理椭圆参数方程为:
x
— • a
得:
行cos
日
严=asin 日 』=b
④由于两个焦半径和为 2a 所以 O i
C O 2
C =2a
O i
cl be
得:
四.双曲线部分
1.双曲线定义：到两定点的距离之差的绝对值为常数的平面几何图形，即:
①双曲线的标准方程:
2
2
x__y
2 2
a b
=i
MO 2
- MO 」 二 2a
-
② 由于双曲线上任意一点两个焦点之差的 绝对值为常数2a.
二 AQ ?
- AQ 」=AB | =2a
守
AQ 2
- AQ 」=AB | +| BQ ?
- AQ 」=AB | =2a
③双曲线的渐近线：
2
由标准方程知：y
= b ?
2 x - a = y = b X - a" a
文 、，-b
2
2
b 2 乂 y x 一 a x
a
a
.y -b x 为渐近线，另一条为
a =b
a
以上为渐近线的推导过程。

2
若标准方程为 乂-电=1
，那么这时
a 2
2
二 a y F b
y =-x
a
注意y 下面对应b ，x 下面对应 a.
④ 取x=a 及x=-a 两条直线，它们与渐近线的两个焦点的连线和
y 轴的交点称为虚焦点,
该轴称为虚轴。

⑤推导a 、b 、c 之间的关系：
设双曲线上任意一点坐标 M （x ，y ）
X 6 - & --
y
・ 2 2
MO 2 =\；(x-c) +y
； 2 2
MO i p(x+c) +y
I 2 2 1 2 2
MO 2 -MO i r(x-c) +y -\；(x+c) +y =2a
2 2
经化简得：x 2 2y 2=
1
a c -a 设: 2
c 2 a 2 = b 2=双曲线标准方程为：込 y
2=i
a b
222 从而得到：c =a +b
五. 抛物线部分
1.定义：到定点与定直线距离相等的平面曲线称为抛物线。

为了推导抛物线标准式，设：定直线为 x=-p ，定点为01 （尽管这是一种特殊情况，但同样具有一般性） ①设：抛物线上任意一点坐标为M （x ，y ） x+ p =\：(x_ p) +y
— 2 2 _
=x p 2px =x p -2 px y 2
y =4px ② 很显然与以前学习的二次函数是一致的， 只不过这里自变量变成y ,函数变成x ；而二次 函数自变量是x ,函数是y ,因而二次函数也是抛物线，同样具有抛物线的性质。

X i X 2
x^x^c a M 点到定直线x=-p 的距离为 x + p M 点到定点O （p,0）的距离为、、（x - 如下：y 2
二 a x bx c (a = 0)
韦达定理: ⑴.
（P,
顶点坐标（一丄,4ac -b ），推导采用配方法:
2a 4a
从而零点坐标为x ，0、X 2
，0 。

③ 平移
2 2
例如：a 、（y 1） =2p X 如何平移呢？那就要看（y * 1）怎么样才可等于零，不 难看出 只有在y 1 =Q 时，y = T ,即向下移动一个单位。

2
b 、 y =2p （X 1）同样看
（X 1）如何为零，不难看出X = ，即图像向左移动一个 单位
2 2 c 、 （y —1） =2p （x —1）同样看 （yT ） （x-1） 如何为零，不难看出y =1及x — 1 ， 即图像想上移动一个单 位，向右移动一个单位。

y =a j x +b x b a
2a 2a 丿 2 :
十 4ac -b 4a
求根公式: 加 bjbfc
2a
注意，平移部分需要自己琢磨，根据上面三个例子。