第9讲 解析几何
解析几何课程教案
解析几何课程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解解析几何的基本概念，如点、直线、圆等；（2）掌握坐标系中直线、圆的方程的求法与应用；（3）了解解析几何在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例引入解析几何的概念，培养学生的空间想象能力；（2）运用代数方法研究直线、圆的方程，提高学生解决问题的能力；（3）利用数形结合思想，分析实际问题，提升学生的应用能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发学习热情；（2）培养学生克服困难的意志，提高自主学习能力；（3）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识。
二、教学内容1. 第一课时：解析几何概述（1）点的坐标；（2）直线的方程；（3）圆的方程。
2. 第二课时：直线的方程（1）直线的一般方程；（2）直线的点斜式方程；（3）直线的截距式方程。
3. 第三课时：圆的方程（1）圆的标准方程；（2）圆的一般方程；（3）圆的方程的性质。
4. 第四课时：直线与圆的位置关系（1）直线与圆相交的条件；（2）直线与圆相切的条件；（3）直线与圆相离的条件。
5. 第五课时：解析几何在实际问题中的应用（1）线性方程组的解法；（2）最大（小）值问题；（3）几何最优化问题。
三、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、讨论，探索解析几何的基本概念和性质；2. 利用数形结合思想，引导学生将几何问题转化为代数问题，提高解决问题的能力；3. 注重实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，培养学生的应用意识。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，评估学生对知识点的掌握程度；3. 课后实践：鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，提升学生的应用能力。
五、教学资源1. 教材：人教版《高中数学》解析几何部分；2. 教辅：同步练习册、习题集等；3. 教学软件：几何画板、数学公式编辑器等；4. 网络资源：相关教学视频、课件、论文等。
高中数学解析几何总结(非常全)上课讲义
高中数学解析几何第一部分:直线一、直线的倾斜角与斜率1•倾斜角a(1) 定义：直线I 向上的方向与X 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角⑵范围：01802•斜率：直线倾斜角a 的正切值叫做这条直线的斜率k tan(1) •倾斜角为90的直线没有斜率。
(2) •每一条直线都有唯一的倾斜角， 但并不是每一条直线都存在斜率 其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到 这两种情况，否则会产生漏解。
(3)设经过A(x 1，yj 和B(X 2,y 2)两点的直线的斜率为 k ,.丄y y 2cc 。
则当x 1 x 2时，ktan — —；当x 1 x 2时， _____90;斜率不存在;二、直线的方程1•点斜式：已知直线上一点 P (x o ,y o )及直线的斜率k (倾斜角a)求直线的方程用点斜式: y_y o =k(x_x 0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x x 0 ;2•斜截式：若已知直线在 y 轴上的截距(直线与 y 轴焦点的纵坐标)为 b ，斜率为k ,则直 线方程：y kx b ;特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y kx注意：正确理解“截距”这一概念，它具有 方向性，有正负之分，与“距离”有区别 。
3•两点式：若已知直线经过 (x^yj 和(X 2, y 2)两点，且(X 1 X 2, y 1 y 2则直线的万程：y y x % ；；讨2 % X 2 X 1注意：①不能表示与 x 轴和y 轴垂直的直线； ②当两点式方程写成如下形式 (x 2 xj(y yj (y 2 yj(x xj 0时，方程可以适应在于任何一条直线。
4截距式：若已知直线在 x 轴，y 轴上的截距分别是 a , b ( a 0,b 0 )则直线方程：(直线垂直于x 轴时,斜率的存在与不存在注意：1) •______2) •横截距与纵截距相等的直线方程可设为x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为x-y=a5 —般式：任何一条直线方程均可写成一般式: 反之，任何一个二兀一次方程都表示一条直线。
2022版高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第九讲(理)第八讲(文)第2课时 最值、范围、证明问
学习资料2022版高考数学一轮复习第八章解析几何第九讲（理）第八讲（文）第2课时最值、范围、证明问题学案（含解析）新人教版班级：科目：第二课时 最值、范围、证明问题考点突破·互动探究考点一 圆锥曲线中的最值问题——自主练透例1 （2021·广东调研)已知圆x 2＋y 2＋2错误!x －26＝0的圆心为F 1,直线l 过点F 2（错误!，0）且与x 轴不重合，l 交圆F 1于C ，D 两点，过F 2作F 1C 的平行线，交F 1D 于点E ．设点E 的轨迹为Ω．(1)求Ω的方程；（2)直线l 1与Ω相切于点M ,l 1与两坐标轴的交点为A 与B ，直线l 2经过点M 且与l 1垂直，l 2与Ω的另一个交点为N ．当｜AB |取得最小值时，求△ABN 的面积．［解析] (1）因为F 1C ∥EF 2，所以∠F 1CD ＝∠EF 2D ．又F 1C ＝F 1D ,所以∠F 1CD ＝∠F 1DC ，则∠EDF 2＝∠EF 2D ，所以|ED |＝｜EF 2｜，从而|EF 2|＋｜EF 1|＝｜ED |＋｜EF 1|＝｜DF 1｜．x 2＋y 2＋2错误!x －26＝0可化为(x ＋错误!）2＋y 2＝32，所以｜EF 2|＋|EF 1|＝错误!＝4错误!＞2错误!．从而E 的轨迹为以F 1(－6,0),F 2(错误!,0)为焦点，长轴长为4错误!的椭圆(剔除左、右顶点)．所以Ω的方程为x 28＋错误!＝1（y ≠0)． （2)易知l 1的斜率存在，所以可设l 1的方程为y ＝kx ＋m （k ≠0)联立错误!消去y ,得（1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0．因为直线l 与Ω相切，所以Δ＝（8km ）2－4(1＋4k 2）(4m 2－8)＝0．即m 2＝8k 2＋2．l 1在x 轴、y 轴上的截距分别为－错误!，m ,则|AB ｜＝错误!＝错误!＝错误! ＝8k 2＋2k2＋10≥错误!＝3错误!， 当且仅当8k 2＝错误!,即k ＝±错误!时取等号．所以当k2＝错误!时,｜AB｜取得最小值，此时m2＝6，根据对称性，不妨取k＝错误!，m＝错误!，此时2x M＝－错误!＝－错误!，即x M＝－错误!，从而y M＝－错误!×错误!＋错误!＝错误!，联立错误!消去y,得9x2＋16错误!x＋16＝0,则x M＋x N＝－错误!＋x N＝－错误!，解得x N＝－错误!，所以｜MN｜＝错误!｜x M－x N｜＝错误!，故△ABN的面积为错误!×错误!×3错误!＝4错误!．例2(2021·四川省联合诊断）已知抛物线x2＝8y，过点M（0，4）的直线与抛物线交于A，B两点，又过A,B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于P点．（1)证明：直线P A，PB的斜率之积为定值；(2)求△P AB面积的最小值．[解析]（1)证明：由题意设l的方程为y＝kx＋4，联立错误!，得x2－8kx－32＝0，因为Δ＝（－8k）2－4×(－32)＞0,所以设A(x1，y1），B(x2,y2),则x1x2＝－32，设直线P A，PB的斜率分别为k1，k2，对y＝错误!，求导得y′＝错误!，所以k1＝错误!,k2＝错误!，所以，k1k2＝错误!·错误!＝错误!＝错误!＝－2(定值）．（2)由(1）可得直线P A的方程为y－错误!＝错误!(x－x1）①直线PB的方程为y－错误!＝错误!(x－x2）②联立①②，得点P的坐标为错误!，由(1)得x1＋x2＝8k，x1x2＝－32，所以P(4k,－4)．于是|AB｜＝8错误!错误!,点P到直线AB的距离d＝错误!，所以S△P AB＝16错误!(k2＋2)，当k2＝0，即k＝0时，△P AB的面积取得最小值32错误!．名师点拨处理圆锥曲线最值问题的求解方法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法．(2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．〔变式训练1〕（2021·广东省佛山市质检)已知F为椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的左焦点，过原点O的动直线l与C交于A，B两点．当A的坐标为错误!时，|OB|＝｜BF|．（1）求椭圆C的标准方程；（2）延长BF交椭圆C于Q,求△QAB的面积的最大值．[解析］(1）由A错误!，得B错误!,而｜OB｜＝｜BF|．∴F（－2，0），即c＝2．由错误!，解得a2＝5，b2＝1．∴椭圆C的标准方程为错误!＋y2＝1．(2）当直线BF斜率不存在时，BF：x＝－2，此时B错误!，|BQ|＝错误!，A错误!，S△QAB＝错误!×错误!×4＝错误!；当BF所在直线斜率存在时,设BF：y＝k（x＋2)(k≠0)，联立错误!，得（1＋5k2)x2＋20k2x＋20k2－5＝0，设B(x1，y1)，Q(x2，y2），则x1＋x2＝错误!,x1x2＝错误!．则｜BQ｜＝错误!＝1＋k2·错误!＝错误!·错误!．又O到BQ的距离d＝错误!，则A到BQ的距离为错误!，∴S△QAB＝错误!．令1＋5k2＝t(t＞1），则S△QAB＝45错误!＝错误!错误!．∴当错误!＝错误!时，(S△QAB)max＝错误!．综上,△QAB的面积的最大值为错误!．考点二圆锥曲线中的范围问题—-师生共研例3(2021·西安模拟)已知椭圆C：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的右焦点为F(1，0)，且点P错误!在椭圆C上，O为坐标原点．（1)求椭圆C的标准方程；(2)设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．[解析](1)由题意,得c＝1，所以a2＝b2＋1．因为点P错误!在椭圆C上，所以错误!＋错误!＝1，所以a2＝4，b2＝3．则椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝1．（2）设直线l的方程为y＝kx＋2，点A(x1，y1),B(x2，y2）,由错误!得（4k 2＋3）x 2＋16kx ＋4＝0．因为Δ＝48（4k 2－1)＞0,所以k 2＞错误!，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝错误!．因为∠AOB 为锐角，所以OA →·错误!＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0．所以x 1x 2＋（kx 1＋2）(kx 2＋2）＞0，即（1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＞0,所以(1＋k 2）·错误!＋2k ·错误!＋4＞0，即错误!＞0,所以k 2＜错误!． 综上可知14＜k 2＜错误!， 解得－错误!＜k ＜－错误!或错误!＜k ＜错误!．所以直线l 的斜率k 的取值范围为错误!∪错误!．［引申]本例中①，若错误!·错误!＝0,则k ＝__±错误!__，②若O 在以AB 为直径的圆内,则k 的取值范围是__错误!∪错误!__．名师点拨求解范围问题的常见求法(1)利用判别式来构造不等式关系，从而确定参数的取值范围．（2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围．（4)利用基本不等式求出参数的取值范围．（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．〔变式训练2〕（2021·广东省质检)已知椭圆C 的两个焦点分别是(－1，0)，（1,0)，并且经过点错误!．（1）求椭圆C 的标准方程;(2）已知点Q （0，2）,若C 上总存在两个点A 、B 关于直线y ＝x ＋m 对称，且QA ，→·QB ，→＜4，求实数m 的取值范围．［解析］ (1）因为椭圆C 的焦点在x 轴上,所以设它的标准方程为错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0）．由椭圆的定义得2a ＝错误!＋错误!＝2错误!,所以a ＝错误!．因为c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝1．因此，椭圆C 的标准方程为错误!＋y 2＝1．(2)根据题意可设直线AB 的方程为y ＝－x ＋n ，联立错误!，整理得3x 2－4nx ＋2n 2－2＝0，由Δ＝（－4n ）2－4×3(2n 2－2）＞0，得n 2＜3．设A (x 1，－x 1＋n )，B (x 2，－x 2＋n ),则x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝错误!．又设AB 的中点为M （x 0，－x 0＋n ），则x 0＝错误!＝错误!，－x 0＋n ＝错误!．由于点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以错误!＝错误!＋m ，得n ＝－3m ,代入n 2＜3，得9m 2＜3，所以－错误!＜m ＜错误!．①因为错误!＝(x 1，－x 1＋n －2），错误!＝（x 2,－x 2＋n －2），所以错误!·错误!＝2x 1x 2－（n －2)(x 1＋x 2)＋（n －2）2＝错误!－错误!＋错误!＝错误!．由错误!·错误!＜4，得3n 2－4n ＋8＜12,3n 2－4n －4＜0得－错误!＜n ＜2，得－错误!＜－3m ＜2，所以－错误!＜m ＜错误!②由①②得－错误!＜m＜错误!，故实数m的取值范围为错误!．考点三,圆锥曲线中的证明问题-—师生共研例4（2018·课标Ⅰ卷）设椭圆C：错误!＋y2＝1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．（1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2)设O为坐标原点，证明:∠OMA＝∠OMB．［解析］（1)由已知得F（1，0），l的方程为x＝1，由已知可得，点A的坐标为错误!或错误!．所以AM的方程为y＝－错误!x＋错误!或y＝错误!x－错误!．(2)当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°．当l与x轴垂直时，直线OM为AB的垂直平分线．所以∠OMA＝∠OMB．当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0），A(x1，y1），B（x2，y2），则x1＜错误!，x2＜错误!,直线MA,MB的斜率之和为k MA＋k MB＝错误!＋错误!，将由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得k MA＋k MB＝错误!，将y＝k（x－1）代入错误!＋y2＝1得（2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，所以，x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!．则2kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k＝错误!＝0,从而k MA＋k MB＝0,故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA＝∠OMB．综上，∠OMA＝∠OMB．名师点拨圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的,如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的,如存在定值、恒成立等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．解决证明问题的答题模板错误!—错误!｜错误!-错误!｜错误!-错误!〔变式训练3〕（2021·河北张家口模拟）已知椭圆E：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0)的焦距为4．且过点错误!．(1)求椭圆E的方程；(2)设A（0，b）,B(0，－b），C(a，b），过B点且斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆E于另一点M，交x轴于点Q,直线AM与直线x＝a相交于点P．证明：PQ∥OC（O为坐标原点）．［解析］(1)由题可知,2c＝4,c＝2，∴椭圆的左，右焦点分别为（－2,0)，（2,0)．由椭圆的定义知2a＝错误!＋错误!＝4错误!,∴a＝2错误!,b2＝a2－c2＝4，∴椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1．错误!．（2）证明：易得A(0,2），B(0，－2），C（2错误!，2），直线l：y＝kx－2与椭圆x2＋2y2＝8联立，得(2k2＋1）x2－8kx＝0，∴x M＝错误!，从而M错误!，Q错误!．∴直线AM的斜率为错误!＝－错误!,直线AM的方程为y＝－错误!x＋2．令x＝2错误!得P错误!，∴直线PQ的斜率k PQ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．∵直线OC的斜率k OC＝错误!＝错误!，∴k PQ＝k OC,从而PQ∥OC．名师讲坛·素养提升圆锥曲线中的对称问题例5 试确定m的取值范围,使得椭圆错误!＋错误!＝1上有不同两点关于直线y＝4x＋m对称．［解析]解法一：设椭圆上两点A(x0－u，y0－v)，B(x0＋u，y0＋v），AB的中点为C(x0，y0）．∵A,B关于y＝4x＋m对称，∴k AB＝错误!＝－错误!．又错误!两式相减，得错误!＝－错误!，∴y0＝3x0．而点C在直线y＝4x＋m上，∴错误!∵点C在椭圆错误!＋错误!＝1内，∴(－m)24＋(－3m)23＜1．∴m∈错误!．解法二：设椭圆上两点A(x1,y1），B(x2，y2）关于直线y＝4x＋m对称．设AB的中点为P(x0，y0)，则错误!又由错误!得错误!＋错误!＝0．∴错误!＋错误!·错误!＝0．∴y1＋y2＝3(x1＋x2)，得y0＝3x0．代入y0＝4x0＋m，得x0＝－m，∴y0＝－3m．以下同解法一．[引申］（1）在例题中将椭圆错误!＋错误!＝1换成抛物线y2＝2x，则相应m的范围为__（－∞，－36)__．(2）在例题中将直线改为y＝mx＋错误!，则相应的m的范围为__错误!∪(2，＋∞）__．名师点拨圆锥曲线上两点的对称问题是圆锥曲线的常见题型，处理方法是：1．设对称两点所在的直线方程与圆锥曲线方程联立，由Δ＞0建立不等关系，再由对称两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等关系消参,由不等关系确定范围．2．用参数表示中点坐标,利用中点在圆锥曲线内部建立关于参数的不等式,解不等式得参数范围．〔变式训练4〕若抛物线y＝ax2－1上恒有关于直线x＋y＝0对称的相异两点A，B，则a的取值范围是__a＞错误!__．[解析］设抛物线上的两点为A(x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝x＋b，代入抛物线方程y＝ax2－1，得ax2－x－(b＋1）＝0,设直线AB的中点为M（x0，y0),则x0＝错误!，y0＝x0＋b＝错误!＋b．由于M（x0，y0)在直线x＋y＝0上，故x0＋y0＝0，由此解得b ＝－错误!,此时ax2－x－（b＋1)＝0可变形为ax2－x－错误!＝0，由Δ＝1＋4a错误!＞0，解得a＞错误!．。
09第九讲 平面解析几何
第九章 教师备课平台
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
二、分类讨论思想在解析几何中的应用 分类讨论是中学数学中最常用的数学思想之一，也是高考 中重点考查的数学思想，解决分类讨论问题的关键是恰当地划 分标准，分类的原则是做到不重不漏． 分类讨论思想在本单元中主要体现在判断两直线的位置 关系以及直线与圆锥曲线的位置关系上，需对其斜率存在的情 况进行分类讨论，对含参数的问题往往对参数进行分类讨论．
第九章 教师备课平台
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
(2)当直线 l 的斜率 k＝0 时，直线 l 的方程为 y＝t， 则满足题意的 t 的取值范围为－2<t<2. 当直线 l 的斜率 k≠0 时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋t.
第九章 教师备课平台
(1)求椭圆 M 的方程； (2)过点(0，t)的直线 l(斜率存在时)与椭圆 M 交于两点 P、 Q，设 D 为椭圆 M 与 y 轴负半轴的交点，且|D→P|＝|D→Q|，求实 数 t 的取值范围．
第九章 教师备课平台
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
[分析] (1)求出 C 点坐标，代入椭圆方程即可求出 b2. (2)关键是求关于 t 的表达式，注意直线斜率的范围．
走向高考·数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
第九章 平面解析几何
第九章 平面解析几何
走向高考 ·高考一轮总复习 ·北师大版 ·数学
向量与空间解析几何讲解学习
向量与空间解析几何第九章空间解析几何一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1．理解空间直角坐标系的概念,掌握两点间的距离公式.2．理解向量的概念、向量的模、单位向量、零向量与向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念.4．理解基本单位向量，熟练掌握向量的坐标表示，熟练掌握用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算.5．理解平面的点法式方程和空间直线的点向式方程（标准方程）、参数方程，了解平面和空间直线的一般式方程.6．理解曲面及其方程的关系，知道球面、柱面和旋转曲面的概念，掌握球面、以坐标轴为旋转轴、准线在坐标面上的旋转曲面及以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面的方程及其图形.7．了解空间曲线及其方程，会求空间曲线在坐标面内的投影.8．了解椭球面、椭圆抛物面等二次曲面的标准方程及其图形.重点向量的概念，向量的加法、数乘、数量积与向量积的概念，用向量的坐标表示进行向量的加法、数乘、数量积与向量积的运算，平面的点法式方程，空间直线的标准式方程和参数方程，球面、以坐标轴为轴的圆柱面和圆锥面方程及其图形，空间曲线在坐标面内的投影.难点 向量的概念，向量的数量积与向量积的概念与计算，利用向量的数量积与向量积去建立平面方程与空间直线方程的方法，利用曲面的方程画出空间图形.（二）内容提要1. 空间直角坐标系在空间,使三条数轴相互垂直且相交于一点O ，这三条数轴分别称为x 轴、y 轴和z 轴，一般是把轴轴和y x 放置在水平面上，z 轴垂直于水平面.z 轴的正向按下述法则规定如下：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向旋转900指向y 轴的正向，这时大拇指所指的方向就是z 轴的正向(该法则称为右手法则).这样就组成了右手空间直角坐标系Oxyz .在此空间直角坐标系中，x 轴称为横轴，y 轴称为纵轴，z 轴称为竖轴，O 称为坐标原点;每两轴所确定的平面称为坐标平面，简称坐标面.x 轴与y 轴所确定的坐标面称为xOy 坐标面，类似地有yOz 坐标面，zOx 坐标面。
第9讲 解析几何中的极点极线问题(老师版)
第9讲解析几何中的极点极线问题一．选择题（共4小题）1．（2021•柯桥区模拟）过点(1,1)M 的两条直线1l ，2l 分别与双曲线2222:1(1,1)x y C a b a b -=>>相交于点A ，C 和点B ，D ，满足AM MC λ=，(0BM MD λλ=>且1)λ≠．若直线AB 的斜率2k =，则双曲线C 的离心率是( ) AB1C ．2D【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，则11(1,1)AM x y =--，33(1,1)MC x y =--，22(1,1)BM x y =--，44(1,1)MD x y =--，AM MC λ=，(0BM MD λλ=>且1)λ≠，//AB CD ∴，则2AB CD k k ==．∴131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()2(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，12341234()()x x x x y y y y λλ∴+++=+++，2211221x y a b -=，2222221x y a b-=， ∴2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+，即2122122x x b a y y +=⋅+， ∴2212122()()0a y y b x x +-+=，则2121222()a y y x xb ++=， 同理可得：2234342()()0a y y b x x +-+=，则2343422()a y y x xb ++=，∴2234121234222()2()()a y y a y y y y y y b b λλ+++⋅=+++，0λ>且1λ≠，∴2221a b=，即222a b =，∴双曲线的离心率c e a === 故选：D ．2．（2021•武汉模拟）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>内有一点(2,1)M ，过M 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆E 交于A ，C 和B ，D 两点，且满足,AM MC BM MD λλ==（其中0λ>，且1)λ≠，若λ变化时，AB 的斜率总为12-，则椭圆E 的离心率为( )A ．12BCD【解答】解：设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 、4(D x ，4)y ， 由AM MC λ=，即1(2x -，131)(2y x λ-=-，31)y -，则1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()4(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，则123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ+++=+++，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⨯-+， 即21221212x x b a y y +-=-⨯+，则221212()2()a y y b x x +=+①，同理可得223434()2()a y y b x x +=+②，①+②得2212341234[()()]2[()()]a y y y y b x x x x +++=+++， 又123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ∴+++=+++，∴22221a b =，则2214b a =，则椭圆的离心率c e a ==故选：D ．3．（2021•武汉模拟）已知A ，B 分别为双曲线22:13y x Γ-=实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，)B ，则直线AP ，BQ 的斜率之比:(AP BQ k k = )A ．13-B ．3-C ．23-D ．32-【解答】解：由已知得双曲线:1a Γ=，b =2c =． 故(2,0)F -，(1,0)A -，(1,0)B ．设直线:2PQ x my =-，且1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ．由22213x my y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 整理得22(31)1290m y my --+=，∴121222129,3131m y y y y m m +==--， 两式相比得121234y y m y y +=⨯①， 121212112211221(3)3:1(1)AP BQ y x y my my y y k k x y y my my y y ---∴=⨯==+--②， 将①代入②得：上式12121121223()33(3)4333()4y y y y y y y y y y +--===--+-． 故:3AP BQ k k =-． 故选：B ．4．（2021•湖北月考）已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为A ，B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点（异于A ，)B ，若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为1k ，2k ，则12:(k k = )A ．13B ．3C ．12D ．2【解答】解：由椭圆的方程可知：24a =，所以2a =， 则(2,0)A -，(2,0)B ，设1(Q x ，1)y ，2(P x ，2)y ， 设直线PQ 的方程为：4x my =-， 则2222AP y k k x ==+，直线BQ 的方程为：11(2)2y y x x =-⋯-①， 直线AP 的方程为：()2222y y x x =+⋯+②， 联立①②解得：12211221121212211221122(2)2(2)2(6)2(2)262(2)(2)(6)(2)3y x y x y my y my my y y y x y x y x y my y my y y -++-+---===--++--+--，所以1212122664(*)3my y y y x y y +-+=-，联立方程224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 化简可得：22(2)8120m y my +-+=，所以121222812,22m y y y y m m +==++，所以12123()2my y y y =+， 代入(*)式得121293433y y x y y -+==-，因为14y k x =+，22yk x =+，所以122221114433k x k x x +==-=-=++， 故选：A ．二．填空题（共4小题）5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>内有一点(2,1)M 过点M 的两条直线分别与椭圆E 相交于A ．C 和B ，D 两点若||||||||MA MB MC MD =，若直线AB 的斜率为12-，则该椭圆的离心率为【解答】解：设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 、4(D x ，4)y ， 由||||||||MA MB MC MD =，可设AM MC λ=，BM MD λ=， 即1(2x -，131)(2y x λ-=-，31)y -，则1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()4(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩， 则123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ+++=+++，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得2121221212y y x x b x x a y y -+=--+， 即21221212x x b a y y +-=-+，则221212()2()a y y b x x +=+①，同理可得223434()2()a y y b x x +=+②，①+②得2212341234[()()]2[()()]a y y y y b x x x x +++=+++， 又123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ∴+++=+++，∴22221a b =，则2214b a =，则椭圆的离心率c e a ==，． 6．（2021•龙凤区校级月考）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>内一点(2,1)M ，过点M 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆E 交于A ，C 和B ，D 两点，且满足,AM MC BM MD λλ==（其中0λ>且1)λ≠，若λ变化时直线AB 的斜率总为23-，则椭圆的离心率为． 【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，AM MC λ=，1(2x ∴-，131)(2y x λ-=-，31)y -，即13132(2)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩，∴1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩， 同理可得，2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()4(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，12341234()()2[()()]x x x x y y y y λλ∴+++=+++，A ，B 两点均在椭圆上，∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减整理得，2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即21221223x x b a y y +-=-⋅+， 2212123()2()b x x a y y ∴+=+①，同理可得，2234343()2()b x x a y y +=+②，①+②λ⨯得，22123412342[()()]3[()()]a y y y y b x x x x λλ+++=+++， 又12341234()()2[()()]x x x x y y y y λλ+++=+++，∴222321a b =，即2213b a =， ∴离心率c e a ==．7．设F 为椭圆22:143x y C +=的右焦点，过椭圆C 外一点P 作椭圆C 的切线，切点为M ，若90PFM ∠=︒，则点P 的轨迹方程为 4()x y R =∈ ． 【解答】解：设切点0(M x ，0)y ，则椭圆的切线方程为：00143x x y y+=． 设(,)P x y ，90PFM ∠=︒，00(1)(1)0x x yy ∴--+=． 联立解得：4x =．∴点P 的轨迹方程为：4x =．故答案为：4()x y R =∈．8．（2021•南通模拟）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点1(1,)2作圆221x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 22154x y += ．【解答】解：设过点1(1,)2的圆221x y +=的切线为1:(1)2l y k x -=-，即102kx y k --+=①当直线l 与x 轴垂直时，k 不存在，直线方程为1x =，恰好与圆221x y +=相切于点(1,0)A ； ②当直线l 与x 轴不垂直时，原点到直线l的距离为：1||1k d -+==，解之得34k =-， 此时直线l 的方程为3544y x =-+，l 切圆221x y +=相切于点(B 35，4)5；因此，直线AB 斜率为14052315k -==--，直线AB 方程为2(1)y x =-- ∴直线AB 交x 轴交于点(1,0)A ，交y 轴于点(0,2)C ．椭圆22221x y a b+=的右焦点为(1,0)，上顶点为(0,2)1c ∴=，2b =，可得2225a b c =+=，椭圆方程为22154x y += 故答案为：22154x y +=．三．解答题（共32小题）9．（2021•朝阳区校级期中）已知A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点，点3(1,)2D 在椭圆C 上，且直线D 与直线DB 的斜率之积为24b -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，已知P ，Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN 的方程．【解答】解：（1）点3(1,)2D 在椭圆C 上，∴229141a b +=， 又直线DA 与直线DB 的斜率之积为24b -，∴223392241114b a a a ⋅==-+--，解得24a =，23b =，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）设:1PQ x ty =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，∴122634t y y t -+=+，122934y y t -=+， ∴直线AP 的直线方程为1122x x y y +=-， BQ 的直线方程为2222x x y y -=+， 联立，解得4M x =，同理，4N x =，∴直线MN 的方程为4x =．10．（2021•常熟市期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点3(1,)2，离心率为12，点B ，C 分别是椭圆E 的左、右顶点，点P 是直线:4l x =上的一个动点（与x 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当直线PB 过椭圆E 的短轴顶点(0,)b 时，求PBM ∆的面积．【解答】解：（1）由题意22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，因为222a b c =+，得2a =，b =1c =．所以椭圆E 的方程为22143x y +=．（2）直线PB的方程为2)y x +，得P ． 所以直线PC的方程2)y x =-，联立方程组222)3412y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，化简得2518160x x -+=， 解得12x =，285x =，得点8(,5M ．又点M 到直线PB的距离d =，||PB =所以12PBM S ∆=⨯=．11．（2021•邗江区校级期中）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，A ，B分别是椭圆C 的左、右顶点，右焦点F ，1BF =，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，M 在x 轴上方． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）记AFM ∆，BFN ∆的面积分别为1S ，2S ，若1232S S =，求k 的值；（3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与直线4x =相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求213()k k k -的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2(0)c c >． 依题意可得12c e a ==，1a c -=，解得2a =，1c =． 故2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．若1232S S =，则121||||3212||||2AF y BF y =，即有212y y =-，① 设直线MN 的方程为1(0)x my m =+>，与椭圆方程223412x y +=，可得22(43)690m y my ++-=， 可得122643m y y m +=-+，122943y y m =-+，② 将①代入②可得22843m m =+，解得m =，则k ； （3）由（2）得1223243D y y m y m +==-+，24143D Dx my m =+=+， 所以直线OD 的方程为34my x =-， 令4x =，得3E y m =-，即(4,3)E m -． 所以3341mk m -==--．所以221122112211222132122112121212(2)(3)(1)31()()()22(2)(2)(3)(1)33y y y y my x y y my my m y y my k k k k k m k x x x x my my m y y my my ++++++-=+=+===-++-+--+-2222222122222212122222229(1)9(1)33(1)3343439612(1)()344344434343m m my my m y y my m m m m m m y y m y y my my my m m m ++-+-+++++====+-+-+-+-+-++++．12．（2021春•射洪市期末）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为F '，F ，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，短轴为长轴长是焦距的2倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点．（1）若1k =时，记AFM ∆、BFN ∆的面积分别为1S 、2S ，求2212129S S S S +的值；（2）记直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在常数λ使21k k λ=成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为2b =，所以b =，又因为2a c =，所以2a =，1c =，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=．设点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，且(2,0)A -，(2,0)B ， 因为1k =，所以MN 的方程为1y x =-，联立221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：27690y y +-=，所以121269,77y y y y +=-=-，又221212121212212121113||91||9922(3)()111||3||22y y S S S S y yS S S S y y y y ⋅⋅⋅⋅⋅+=+=+=-+⋅⋅⋅⋅， 因为22212121212211212()2187y y y y y y y y y y y y y y ++-+===-所以原式547=．（2）假设存在常数λ使21k k λ=成立，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -⋅=+， 又22221211221111212121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)222y k x y x k x x x x x x y k y x k x x x x x x x -+-++--====-----++ 22222222222222222222222241281218462()233()434343433464128462()243434343k k k k x x x x k k k k k k k k x x x x k k k k -----+---++++++====-----+---++++++，因此，213k k =，故3λ=．13．（2021•全国模拟）椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，规定直线2a x c =为椭圆E 的右准线，椭圆E 上的任意一点到右焦点F 的距离与其到右准线的距离之比为ca．已知椭圆22:143x y E +=．（1）若点(1,1)D -，P 是椭圆E 上的任意一点，求||2||PD PF +的最小值；（2）若M ，N 分别是椭圆E 的左、右顶点，过点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点(A ，B 非顶点），证明：直线AM 与BN 的交点在椭圆E 的右准线上． 【解答】解：（1）根据条件可得椭圆E 的右准线为4x =，12c e a ==， 若PA 垂直于右准线，如图，则||||PF e PA =，即||2||PA PF =， 所以||2||||||PD PF PD PA +=+，故当仅当D ，P ，A 三点共线时，||||PD PA +最短，即为D 到右准线的距离5d =， 故||2||PD PF +的最小值为5；证明：（2）由题意，设:1l x ky =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立221143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：(324)2690k y ky ++-=，则122634k y y k +=-+，122934y y k =-+，又(2,0)M -，(2,0)N ，则11:(2)2y AM y x x =++，22:(2)2yBN y x x =--， 当4x =时，11116623AM y y y x ky ==++，22222221BN y y y x ky ==--， 而2212121122121212121212964()6()62666646()3434031(3)(1)(3)(1)(3)(1)kk y y ky y y ky y y ky y y y k k ky ky ky ky ky ky ky ky ⋅--⋅-----+++-====+-+-+-+-，即AM BN y y =，所以直线AM 与BN 的交点在椭圆E 的右准线4x =上，得证．14．（2021•南平二模）已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>．（Ⅰ）若椭圆T，过焦点且垂直于z 轴的直线被椭圆截得弦长为83． ①求椭圆方程；②过点(2,1)P 的两条直线分别与椭圆F 交于点A ，C 和B ，D ，若//AB CD ，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设0(P x ，0)y 为椭圆T 内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两条直线分别与椭圆T 交于点A ，C 和B ，D ，且//AB CD ，类比（Ⅰ）②直接写出直线T 的斜率．（不必证明）【解答】解：（Ⅰ）①椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>，椭圆T，过焦点且垂直于z 轴的直线被椭圆截得弦长为83， ∴222228359b a a b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，⋯（2分） ∴椭圆T 的方程为22194x y +=．⋯（3分）②设点11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y AP PC λ=．则132(2)x x λ-=-，131(1)y y λ-=-， 故132(1)x x λλ+-=，13(1)y y λλ+-=．⋯（5分）点C 在椭圆上，∴2233194x y +=，则221122[2(1)][(1)]194x y λλλλ+-+-+=整理得22221111241(1)()2(1)()949494x y x y λλλ++-++++=⋯（6分）由点A 在椭圆上知2211194x y +=，故2211241(1)()2(1)()19494x y λλλ++-++=-．①⋯（7分）又//AB CD ，则BP PD λ=．同理可得2222241(1)()2(1)()19494x y λλλ++-++=-．②⋯（8分）①-②得212121()()094x x y y -+-=．由题意可知12x x ≠，则直线AB 的斜率为212189y y k x x -==--．⋯（10分） （Ⅱ）直线AB 的斜率为2020b x a y -．⋯（13分）15．（2021•安徽模拟）设0(P x ，0)y 为椭圆214x y +=内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两直线分别与椭圆交于A ，C 和B ，D ，若//AB CD ． （Ⅰ）证明：直线AB 的斜率为定值；（Ⅱ）过点P 作AB 的平行线，与椭圆交于E ，F 两点，证明：点P 平分线段EF ． 【解答】解：（Ⅰ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，23)(y C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，AP PC λ=，则01300130()()x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩，∴013013(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，点C 在椭圆上，∴223314x y +=，即22010122[(1)][(1)]14x x y y λλλλ+-+-+=，整理得22222222201100101111(1)()(1)(4)()()4244x x x y x x y y y y λλλλ++-++++=++=，又点A 在椭圆上，∴221114x y +=，从而可得222220001011(1)()(1)(4)1142x y x x y y λλλλ++-++=-=-①又//AB CD ，故有BP PD λ=．同理可得22220002021(1)()(1)()142x y x x y y λλλ++-++=-②②-①得012012()4()0x x x y y y -+-=，P 点不在坐标轴上，00x ∴≠，00y ≠，又易知不与坐标轴平行，∴直线AB 的斜率0121204x y y k x x y -==--，为定值； （Ⅱ）直线EF 的方程为0000()4x y x x y y =--+， 代入椭圆方程得220000[()]144x x x x y y +--+=，整理得到2222222000000022004(4)101682x y x x y x x x y y y ++-++-=， ∴220002220020(4)82416E F x x y y x x x x y y +-+=-=+， 故EP PF =．16．（2021•安阳三模）已知椭圆M 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其短轴长为2，离心．点0(P x ，0)y 为椭圆M 内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两直线分别与椭圆交于点A ，C 和B ，D ，且//AB CD ． （Ⅰ）求椭圆M 的标准方程； （Ⅱ）证明：直线AB 的斜率为定值． 【解答】（Ⅰ）解：短轴长为2， 2a ∴=，1b =，焦点在x 轴上，∴椭圆M 的标准方程2214x y +=；（Ⅱ）证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，AP PC λ=， 013(1)x x x λλ+-∴=，013(1)y y y λλ+-=，点C 在椭圆上，∴223314x y +=，又点A 在椭圆上，∴221114x y +=，从而可得22220001011(1)()(1)(4)142x y x x y y λλλ++-++=-①又//AB CD ，故有BP PD λ=．同理可得22220002021(1)()(1)()142x y x x y y λλλ++-++=-②②-①得012012()4()0x x x y y y -+-=，P 点不在坐标轴上，00x ∴≠，00y ≠，又易知不与坐标轴平行，∴直线AB 的斜率0121204x y y k x x y -==--，为定值． 17．（2021•南昌一模）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为(0)k k ≠的动直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l '过点1(A x ，1)y ，且点F 关于直线l '的对称点1(R x ，1)-．（1）求抛物线E 的方程，并证明直线l '是抛物线E 的切线；（2）过点A 且垂直于l '的直线交y 轴于点G ，AG ，BG 与抛物线E 的另一个交点分别为C ，D ，记AGB ∆的面积为1S ，CGD ∆的面积为2S ，求21S S 的取值范围．【解答】解：（1）1(R x ，1)-在定直线:1m y =-上，||AR 表示A 到直线m 的距离， 因为F 关于l '的对称点为R ，故||||AF AR =，即抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线m 的距离，直线m 即为准线， 所以12p -=-，即1p =，抛物线的方程为24x y =； 证明：12FR k x =-，因为FR l '⊥，所以l '的斜率为12x ， 由24x y =可得12y x '=，点A 处的切线的斜率为112x ，故直线l '是抛物线E 的切线；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，则3421121||||sin ||||21||||||||sin 2CG DG CGD x x S CG DG S AG BG x x AG BG AGB ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠， 22313113313112444ACx x y y x x k x x x x x --+====---，则3118x x x =--， 设直线l 的方程为1y kx =+，与24x y =联立，可得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-，214x x =-， 则AC 的方程为21112()4x y x x x -=--，令0x =，可得2124x y =+，即21(0,2)4x G +， 因为A ，G ，C 三点共线，可得3118x x x =--， 又B ，G ，D 三点共线，且2(B x ，22)4x ，4(D x ，24)4x ，224(0,2)G x +，所以22224224244BD DGx x x x k k x +-+===-，可得4322816x x x =--， 故13342122112128816()()x x x S x x x S x x x x ----==，将124x x =-，124x x =-，代入上式， 化简可得22412211416()4S S x x =++>，所以21S S 的取值范围是(4,)+∞． 18．（2021•金华模拟）如图，已知抛物线24y x =，过点(1,1)P -的直线l 斜率为k ，与抛物线交于A ，B 两点． （Ⅰ）求斜率k 的取值范围；（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为2k -的直线与抛物线交于C ，D 两点，设直线AC 与直线BD 的交点N 的横坐标为0x ，是否存在这样的k ，使05x =-，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意设直线l 的方程为1(1)(0)y k x k -=+≠，即1y kx k =++， 联立241y x y kx k ⎧=⎨=++⎩，得22222(2)(1)0k x k k x k ++-++=，所以21222(2)k k x x k +-+=-，2122(1)k x x k +=，因为直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则120x x +>，120x x >， 所以△22224(2)4(1)0k k k k =+--+>，解得k <<0k ≠， 所以k的取值范围为15((0,)2-+． （Ⅱ）由题知，1(k M k+-，0)，设3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ， 由（Ⅰ）知，124y y k +=，1244y y k=+， 因为直线l 与x 轴交于M ，1(1M k --，0)，因为直线CD 过点M 且斜率为2k -，所以直线CD 的方程为12(1)y k x k=-++， 联立212(1)4y k x ky x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得22440y y k k +++=， 所以342y y k+=-，3444y y k =+，所以△2444(4)0k k =-+>，即1122k +-+-<<且0k ≠， 所以131322313131444AC y y y y k y x x y y y --===-+-， 所以直线AC 的方程为11134()y y x x y y -=-+， 所以21311111313131313134444y y x y y x y x y x y y y y y y y y y y y y =-+=-+=+++++++①， 所以直线BD 的方程为2424244y y y x y y y y =+++②， 联立①②得13241313242444y y y y x x y y y y y y y y +=+++++， 解得132413242413114()y y y y x y y y y y y y y -=-++++， 所以2413241313244()()()x y y y y y y y y y y y +--=+-+， 因为1234y y y y =， 所以124x y y =， 所以点N 的横坐标为1201154y y x k==+=-， 所以16k =-．19．（2021•新津县校级月考）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且||3AF =． （1）求抛物线E 的方程；（2）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，以点F 为圆心作与直线GA 相切的圆F ，求圆F 的半径，判断圆F 与直线GB 的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的定义得||22pAF =+． 因为||3AF =，即232p+=，解得2p =， 所以抛物线E 的方程为24y x =；（2）证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r ． 因为点(2,)A m 在抛物线2:4E y x =上，所以m =±由抛物线的对称性，不妨设(2A ，，由(2A ，，(1,0)F 可得直线AF 的方程为1)y x =-， 由得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1(2B ， 又(1,0)G -，故直线GA 的方程为30y -+，从而r ==．又直线GB 的方程为30y ++，所以点F 到直线GB 的距离d r ===．这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．20．（2015•四川）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是2，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为∴点，1)在椭圆E 上，又，∴22222211a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2a =，b =， ∴椭圆E 的方程为：22142x y +=；（Ⅱ）结论：存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立． 理由如下：当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点， 如果存在定点Q 满足条件，则有||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =． Q ∴点在直线y 轴上，可设0(0,)Q y ．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点， 则M 、N的坐标分别为、(0,，又||||||||QM PM QN PN =，∴=01y =或02y =． ∴若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(0,2)．法一：下面证明：对任意直线l ，均有||||||||QA PA QB PB =． 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立． 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得：22(12)420k x kx ++-=， △22(4)8(12)0k k =++>， 122412k x x k ∴+=-+，122212x x k =-+， ∴121212112x x k x x x x ++==， 已知点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为2(x -，2)y ， 又11111211AQ y kx k k x x x --===-，2222212111QB y kx k k k x x x x '--===-+=---， AQ QB k k '∴=，即Q 、A 、B '三点共线，∴12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='． 法二：当斜率存在时，过点A 作AA y '⊥轴，垂足为A '，过点B 作BB y '⊥轴，垂足为B '，易知//AA BB ''，则△AA P '相似于△BB P '，则PA AA PB BB '='， 若证上命题，则需证直线QA 与直线QB 交于点(0,2)Q 时关于y 轴对称，则要证0QA QB k k +=，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得：22(12)420k x kx ++-=， △22(4)8(12)0k k =++>，122412k x x k ∴+=-+，122212x x k =-+，∴121212112x x k x x x x ++==， 11111211AQ y kx k k x x x --===-，2222212111QB y kx k k k x x x x --===-=-+，可证得0QA QB k k +=， 所以QAA '∆相似于QBB '∆ 进而得证：QA AA PAQB BB PB'=='， 当斜率不存在时，由上可知，结论也成立． 故存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立．21．（2021秋•西城区校级期中）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点0(P x ，0)y 为直线l 上一定点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C 的焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=的距离为，∴2=解得1c =或5c =-，（舍)，∴抛物线C 的方程为24x y =．（Ⅱ）设0(P x ，02)x -，设切点为2(,)4x x ，曲线2:4x C y =，2xy '=，则切线的斜率为200(2)42x x x y x x --='=-，化简，得2002480x x x x -+-=，设1(A x ，21)4x ，2(B x ，22)4x ，则1x ，2x 是以上方程的两根， 1202x x x ∴+=，12048x x x =-，1242AB x x x k +==， 直线AB 为：2011()42x x y x x -=-，化简，得：00220x x y y --=，定点(2,2)Q ．22．（2021秋•西城区校级期中）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C 的焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=的距离为2，∴=解得1c =或5c =-，（舍)，∴抛物线C 的方程为24x y =．（Ⅱ）设0(P x ，02)x -，设切点为2(,)4x x ，曲线2:4x C y =，2xy '=，则切线的斜率为200(2)42x x x y x x --='=-，化简，得2002480x x x x -+-=，设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，则1x ，2x 是以上方程的两根，1202x x x ∴+=，12048x x x =-，2212012124442ABx x x x x k x x -+===-， 直线AB 为：21121()44x x x y x x +-=-， 化简，得：00220x x y y --=，定点(2,2)Q ．（Ⅲ）设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，过A 的切线2111()24x x y x x =-+，过B 的切线2222()24x x y x x =-+，交点12(2x x M +，12)4x x 设过Q 点的直线为(2)2y k x =-+联立2(2)24y k x x y =-+⎧⎨=⎩，得24880x kx k -+-=，124x x k ∴+=，1282x x k =-，(2,22)M k k ∴-，2y x ∴=-．∴点M 满足的轨迹方程为20x y --=．23．（2021•越秀区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H ．设抛物线C 的焦点为F ．（1）若点(2,)A m 在抛物线C 上且||3AF =，求抛物线C 的方程； （2）证明||||OH ON 为定值． 【解答】解：（1）若点(2,)A m 在抛物线C 上且||3AF =， 由抛物线的焦点(2p F ，0)，准线方程为2p x =-，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24y x =；（2）证明：将直线:l y t =与抛物线方程22y px =联立，解得2(2t P p，)t ，M 关于点P 的对称点为N ，∴222N M x x t p +=，2N My y t +=， 2(t N p∴，)t ，ON ∴的方程为py x t=， 与抛物线方程联立，解得22(t H p，2)t ，∴||||2||||H N y OH ON y ==为定值． 24．（2021•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：可设(,)P m n ，21(4y A ，1)y ，22(4y B ，2)y ，AB 中点为M 的坐标为2212(8y y +，12)2y y +， 抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上， 可得21214()422y m n y ++=⋅， 222214()422m y n y ++=⋅， 化简可得1y ，2y 为关于y 的方程22280y ny m n -+-=的两根， 可得122y y n +=，2128y y m n =-， 可得122y y n +=， 则PM 垂直于y 轴；（另解：设PA ，PB 的中点分别为E ，F ， EF 交PM 于G ，EF 为PAB ∆的中位线， //EF AB ，又M 为AB 的中点，G 为EF 的中点，设1:AB y kx b =+，2:EF y kx b =+， 由24y x =，1y kx b =+，2y kx b =+， 解得4M P y y k==，所以PM 垂直于y 轴） （Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，可得2214n m +=，10m -<，22n -<<，由（Ⅰ）可得122y y n +=，2128y y m n =-， 由PM 垂直于y 轴，可得PAB ∆面积为121||||2S PM y y =⋅- 22121()28y y m +=-2211[(4162)]162n m n m =⋅-+-24n m =-可令t ==可得12m =-时，t ；1m =-时，t 取得最小值2，即25t ，则3S =在25t 递增，可得S ∈，PAB ∆面积的取值范围为．25．（2021•金安区校级期末）如图所示，已知点0(P x ，0)y 是y 轴左侧一点，抛物线2:4C y x=上存在不同的两点211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，AB 中点为M ，PA ，PB 的中点均在C 上．（1）求证：1202y y y +=；（2）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求||PM 长度的取值范围．【解答】解：（1）证明：设0(P x ，0)y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ，因为PA ，PB 的中点在抛物线上， 所以1y ，2y 为方程22014()422y x y y ++=⋅， 即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根为1y ，2y ， 所以1202y y y +=．（2）由（1）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩所以22121144(2y y M +，12)2y y +，即2212(8y y M +，0)y ，∴2221200013||()384PM y y x y x =+-=-， 又22014y x +=，0x <，∴2200000||3(1)3333(10)PM x x x x x =--=--+-<∴15||[3,]4PM ∈． 26．（2021•杨浦区期末）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B ，满足PA ，PB 的中点均在抛物线C 上 （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且(P P x ，)P y ，(M M x ，)M y ，证明：P M y y =；（3）若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的最小值．【解答】（1）解：由抛物线2:4C y x =，得24p =，则2p =，∴抛物线C 的焦点到准线的距离为2；（2）证明：(P P x ，)P y ，设21(4y A ，1)y ，22(4y B ，2)y ，AB 中点为M 的坐标为(M M x ，)M y ，则2212(8y y M +，12)2y y +， 抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上， 可得21214()422P P y x y y ++=，22224()422P P y x y y ++=， 化简可得1y ，2y 为关于y 的方程22280P P P y y y x y -+-=的两根， 可得122P y y y +=，2128P P y y x y =-， 可得122P M y y y y +==；（3）解：若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，可得2214P P y x +=，10P x -<，22P y -<<，由（2）可得122P y y y +=，2128P P y y x y =-， 由PM 垂直于y 轴，可得PAB ∆面积为121||||2S PM y y =- 2212121()()28P y y x y y +=-+ 222211[(4162)]4324162P P P P P P P y x y x y x y =-+--+24P P y x =-令t ==，得12P x =-时，t ．1P x =-时，t 取得最小值2， 即25t ，则3S =在25t 递增，可得S ∈，PAB ∴∆面积的最小值为27．（2021•怀化一模）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，点F 为抛物线2:C y x =的焦点，且抛物线C 上存在不同的两点A ，B ．（1）若AB 中点为M ，且满足PA ，PB 的中点均在C 上，证明：PM 垂直于y 轴； （2）若点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，6(OA OB O ⋅=为坐标原点），且ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，求124S S +最小值．【解答】解：（1）证明：设0(P x ，0)y ，21(A y ，1)y ，22(B y ，2)y ，因为直线PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程2200()22y y y y ++=的两个根， 即220002220y y y y y -+-=，的两个不同的实数根， 所以1202y y y +=， 所以PM 垂直于y 轴．（2）根据题意可得1(4F ，0)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则211x y =，222x y =， 所以22121212126x x y y y y y y +=+=，则123y y =-或122y y =， 因为A ，B 位于x 轴的两侧，所以123y y =-， 设直线AB 的方程为x ty m =+，联立2x ty my x =+⎧⎨=⎩，得20y ty m --=，所以123y y m =-=-，则3m =， 所以直线过定点(3,0)，所以1212111143||4||224S S y y y +=⨯⨯-+⨯⨯11211111131339()()2226222222y y y y y y y y y =⨯-+=⨯+=+⨯， 当且仅当11922y y =，即132y =时取等号， 故124S S +的最小值为6．28．（2021秋•通州区期末）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，离心率12e =． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点)P ，直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．【解答】解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b +=①11,22c e a ==又所以②由①②得21c =，24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=⋯．（4分） （Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标(1,0)F ，显然直线AB 斜率存在， 设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =-③⋯．（5分）代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=⋯．（6分） 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④⋯．（7分） 在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而1212123322,11y y k k x x --==--，33312412k k k -==--，⋯．（9分）又因为A 、F 、B 共线，则有AF BF k k k ==， 即有121211y yk x x ==--， 所以1212121212123331122()1111211y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=--++⑤将④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-=---+++，⋯（12分） 又312k k =-，所以1232k k k +=，即1k ，3k ，2k 成等差数列．⋯．（13分）29．（2013•江西）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，离心率12e =，直线l的方程为4x =． （1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点)P ，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ．问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，可得22191(0)4a b a b +=>>① 由离心率12e =得12c a =，即2a c =，则223b c =②，代入①解得1c =，2a =，b 故椭圆的方程为22143x y +=（2）方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =-③代入椭圆方程22143x y +=并整理得2222(43)84120k x k x k +-+-=设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+④ 在方程③中，令4x =得，M 的坐标为(4,3)k ， 从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==-- 注意到A ，F ，B 共线，则有AF BF k k k ==，即有121211y yk x x ==-- 所以1212121212123331122()1111211y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⨯-++⑤④代入⑤得22122222823432214128214343k k k k k k k k k k -++=-⨯=---+++ 又312k k =-，所以1232k k k += 故存在常数2λ=符合题意方法二：设0(B x ，00)(1)y x ≠，则直线FB 的方程为00(1)1y y x x =-- 令4x =，求得003(4,)1y M x - 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-，联立2200143(1)1x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得0058(25x A x --，003)25y x -， 则直线PA 的斜率00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为020232(1)y k x -=-所以000001230002252321222(1)2(1)2(1)y x y y x k k k x x x -+--++=+=⨯=---，故存在常数2λ=符合题意30．（2021•张掖期末）如图，椭圆的两顶点(1,0)A -，(1,0)B ，过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ． （1）当||2CD =时，求直线l 的方程； （2）当点P 异于A ，B 两点时，求证：点P 与点Q 横坐标之积为定值．【解答】解：（1）由椭圆的焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b +=>>，由1b =，1c =，则a =∴椭圆的标准方程：2212y x +=；当直线的斜率不存在时，||CD = 设直线l 的方程为1y kx =+，1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)210k x kx ++-=， 则12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，||CD ∴==， 解得k =∴直线l 10y -+=10y +-=；（2）当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，(0,1)k k ≠≠±，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ， P ∴的坐标为1(k -，0)，1P x k=， 由（1）可知：12222k x x k +=-+，12212x x k =-+， 直线AC 的方程为11(1)1y y x x =++① 则直线BD 的方程为22(1)1y y x x =--② 联立①②，解得：211212122112()()y x y x y y x y x y x y y -++-=--+，由111y kx =+，221y kx =+，。
高考数学重难点第9讲-函数的定义域、解析式与值域8大题型(新高考用)(解析版)(全国通用)(老师专用
重难点第9讲 函数定义域、解析式与值域8大题型——每天30分钟7天掌握函数定义域、解析式与值域8大题型【命题趋势】函数的定义域、解析式与值域问题是高考数学的必考内容。
函数问题定义域优先，在解答函数问题时切记要先考虑定义域；函数解析式在高考中较少单独考查，多在解答题中出现；函数的值域在整个高考范畴应用的非常广泛，例如恒成立问题、有解问题、数形结合问题；基本不等式及“耐克函数”、“瘦腰函数”模型；数列的最大项、最小项；向量与复数的四则运算及模的最值；向量与复数的几何意义的最值；解析几何的函数性研究问题等；都需要转化为求最值问题。
在复习过程中，在熟练掌握基本的解题方法的同时，要多加训练综合性题目。
第1天 认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、求函数的定义域的依据函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围 1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，(2,)n k k N *=∈其中中0,x ≥(21,)n k k N *=+∈其中中.3、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。
【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。
二、抽象函数及定义域求法1、已知)(x f 的定义域为A ，求))((x g f 的定义域，其实质是)(x g 的取值范围为A ，求x 的取值范围;2、已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ，求)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域.3、已知))((x g f 的定义域，求))((x h f 的定义域，要先按（2）求出)(x f 的定义域.三、函数解析式的四种求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
解析几何课程教案
解析几何课程教案一、教学目标1. 让学生掌握解析几何的基本概念和基本公式。
2. 培养学生运用解析几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学内容1. 解析几何的基本概念：坐标系、点、直线、圆等。
2. 解析几何的基本公式：直线方程、圆的方程等。
3. 解析几何中的重要性质和定理。
三、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解解析几何的基本概念、基本公式和重要性质。
2. 利用图形展示，让学生直观地理解解析几何的知识。
3. 设置例题和练习题，巩固所学知识，培养学生的解题能力。
四、教学步骤1. 引入坐标系，讲解点的坐标表示方法。
2. 讲解直线的基本概念和直线方程的求法。
3. 讲解圆的基本概念和圆的方程的求法。
4. 讲解解析几何中的重要性质和定理。
5. 通过例题和练习题，让学生运用所学知识解决问题。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对解析几何基本概念的理解。
2. 作业批改：检查学生对解析几何知识的掌握和运用能力。
3. 阶段性测试：评估学生对解析几何的整体掌握情况。
4. 学生反馈：了解学生在学习过程中的需求和困惑，及时调整教学方法。
六、教学难点与对策1. 难点：理解并掌握解析几何中的抽象概念和复杂公式。
对策：通过具体例子和图形展示，帮助学生直观地理解抽象概念；分步骤讲解公式，让学生逐步掌握。
2. 难点：解决实际问题时的坐标运算。
对策：引导学生将实际问题转化为坐标问题，逐步讲解运算方法，让学生熟练运用。
七、教学实践与拓展1. 案例分析：选取实际问题，让学生运用解析几何知识解决。
2. 拓展练习：设计有一定难度的练习题，激发学生的学习兴趣，提高解题能力。
八、课程资源与辅助工具1. 教材：选用权威、实用的教材，为学生提供系统、全面的学习资源。
2. 网络资源：利用互联网查找相关教学视频、文章，丰富教学内容。
3. 几何画板：为学生提供直观的图形展示，帮助理解抽象概念。
九、课程进度安排1. 课时：本课程共计30课时。
第9讲 解析几何
2.以抛物线 y2＝4x 的焦点为圆心， 且过坐标原点的圆的
x2＋y2－2x＝0 方程为_______________.
解析 抛物线 y2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆 心，且过坐标原点的圆的半径为 r＝ 12＋02＝1，所以 圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即 x2＋y2－2x＝0.
第 9 讲 解析几何 高考要点回扣
1.直线的倾斜角 (1)定义. (2)倾斜角的范围为［0，π). 如①直线 xcos θ＋ 3y－2＝0 的倾斜角的范围 π 5π 是 ［0，6］∪［ 6 ，π) . ②过点 P(－ 3，1)，Q(0，m)的直线的倾斜角的范围 π 2π α∈［ ， ］ ，那么 m 值的范围是 m≤－2 或 m≥4. 3 3
11.圆的切线与弦长 (1)切线：①过圆 x2＋y2＝R2 上一点 P(x0，y0)圆的切线 方程是： 0＋yy0＝R2， xx 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝R2 上一 点 P(x0， 0)圆的切线方程是： y (x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0 －b)＝R2；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可 先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法来 求；③过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法： 先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆 与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；④切线 长：过圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0((x－a)2＋(y－b)2＝ R2) 外 一 点 P(x0 ， y0) 所 引 圆 的 切 线 的 长 为 x2＋y2＋Dx0＋Ey0＋F ( (x0－a)2＋(y0－b)2－R2 ). 如 0 0 设 A 为圆(x－1)2＋y2＝1 上动点，PA 是圆的切线，且 (x－1)2＋y2＝2 . |PA|＝1，则 P 点的轨迹方程是
【高考数学复习 解析几何专题】第9讲 巧用同构-解析版
第9讲 巧用同构 知识与方法1.同构式指的是除了变量不同,其余均相同的代数式.如果实数,a b 满足()()0,,,0,f a a b f b ⎧=⎪⎨=⎪⎩是方程()0f x =的两个根.在解析几何中,变量,a b 常以点的坐标或斜率作为同构变量,便于构建坐标或斜率之间的关系,其几何形式是“一点双线”同构模型,“双线”往往是“双切线”或“双割线”,最典型的结构图是“阿基米德三角形”. 2.圆锥曲线的切点弦(1)定义:从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线,那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦. (2)切点弦方程:(1)设()00,P x y 为圆222x y r +=外一点,则切点弦方程为200x x y y r +=;(2)设()00,P x y 为椭圆22221x y a b +=外一点,则切点弦方程为00221x x y ya b +=;(3)设()00,P x y 为双曲线22221x y a b -=外一点,则切点弦方程为00221x x y ya b -=;(4)设()00,P x y 为抛物线22y px =外一点,则切点弦方程为()00y y p x x =+.典型例题【例1】如图,已知抛物线2:4C y x =,直线l 过点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭与抛物线C 交于第一象限内,A B 两点,设,OA OB 的斜率分别为12,k k .(1)求12k k +的取值范围;(2)若直线,OA OB 恰好与圆222:(1)(2)(0)Q x y r r -+-=>相切,求r 的值.【分析】(1)直线l 过定点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则可得点,A B 的横、纵坐标的乘积为定值,考虑将12k k +用,A B 的坐标来表示.(2)是“一点双线”的同构模型,可由切线性质d r =得以斜率k 为主元的同构方程.【解析】(1)设4:(0)5l x ty t =->,代人24y x =,得22166440,Δ16055y ty t -+==->,得t >设点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则1212164,5y y t y y +==.()121212124445y y k k t y y y y ++=+==>所以12k k +的取值范围是()25,∞+. (2)由(1)知1212165k k y y ==,设过原点且与圆相切的直线为y kx =,r =,整理得()2221440r k k r --+-=.2122451r k k r -==-,得214r =,所以12r =. 【点睛】本题主要涉及直线与抛物线的位置关系,直线与圆相切的性质运用.在解决抛物线上两点连线的斜率时,用点的坐标差构建斜率是重要方法;对于双切线的同构模型,以斜率为同构变量是本题处理的自然方式.【例2】双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点,直线y =为C 的一条渐近线. (1)求双曲线C 的方程;(2)过点()0,4P 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点,交x 轴于点Q (点Q 与双曲线C 的顶点不重合).当12PQ QA QB λλ==,且1283λλ+=-时,求点Q 的坐标.【分析】【例】的核心条件是12PQ QA QB λλ==,变量12,λλ的“地位”是平等的,于是考虑将其坐标化,寻求变量12,λλ的同构方程.此外,从设线的视角,尝试以直线l 的斜率k 为主变元表示12,λλ及点Q 的坐标.【解析】(1)设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>.由题意得22844,ba b a+=-==,所以1,a b ==双曲线C 的方程为2213y x -=.(2)由题意知直线l 的斜率k 存在且不为零.设直线l 的方程为4y kx =+,则可求点4,0Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设点()()1122,,,A x y B x y .因为11144,,4,,PQ QA PQ QA x y k k λ⎛⎫⎛⎫==--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以111144,4.x kk y λλ⎧⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-=⎩所以1111411,4.x k y λλ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩因为点()11,A x y 在双曲线22:13y C x -=上,所以222116116113k λλ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 所以()222111616321603k k λλ-++-=. 同理可得()222221616321603k k λλ-++-=. 若2160k -=,则4,k l =±过双曲线的顶点,不合题意, 所以2160k -≠,所以12,λλ是一元二次方程()2221616321603k x x k -++-=的两个根, 因为122328163k λλ+==--,验知Δ0>,所以2k =±. 所以点Q 的坐标是()2,0±.【点睛】“设直联曲”是解决本题的基本方法.从几何形式看,同构形态不明显;从代数视角看,才可以发现以12,λλ为同构变量. 【例3】已知抛物线2y x =和()22:11C x y ++=，过抛物线上的一点()()000,1P x y y ,作C 的两条切线,与y 轴分别相交于,A B 两点.(1)若切线PB 过抛物线的焦点,求直线PB 的斜率;(2)求ABP 面积的最小值.【分析】对于(1),可设直线PB 的斜率为k ,运用切线性质求出PB 的斜率.对于(2),以坚线段AB 为底,P x 为高,考虑以两切线在y 轴上的截距12,m m 为同构变量,将ABPS表示为()0f x ,进而求最小值.【解析】(1)抛物线的焦点为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,设切线PB 的斜率为k .则切线PB 的方程为14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即104kx y k --=.点C 到切线PB1=,所以43k =±.因为点()()000,1P x y y ,所以43k =. (2)设切线方程为y kx m =+,由点P 在直线上得00y m k x -=(1)圆心到切线的距离21210m km =⇒--=(2)将(1)式代人(2)式得()2000220x m y m x +--=(3)设方程的两个根分别为12,m m . 由韦达定理得001212002,22y xm m m m x x +==-++, 从而12AB m m =-=所以)00112ABPSAB xx ==.记函数()()()22231(2)x x x f x x x +=+,则()()223211180(2)x x x f x x '++=>+,所以ABPS的最小值为23,当01x =时取得等号. 【点睛】本题的关键是以切线截距12,m m 为同构变量,将ABPS 表示为()0f x ,其中双切线是常见的同构模型.【例4】已知点()00,A x y 在抛物线24y x =上,,P Q 是直线2y x =+ 上的两个不同的点,且线段,AP AQ 的中点,M N 都在抛物线上. (1)求0y 的取值范围;(2)若APQ 的面积等于求0y 的值.【分析】对于(1),设点()(),2,,2P a a Q b b ++,线段,AP AQ 的中点都在抛物线上,得到,a b 的同构方程,继而通过对应方程解得0y 的取值范围.对于(2),将APQ 的面积表示为同构变量,a b 的关系式.【解析】(1)设点()(),2,,2P a a Q b b ++.因为点200,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则AP 的中点20042,82y a y a M ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,代人24y x =,得()2200042440a y a y y ---++=.同理可得()2200042440b y b y y ---++=.所以,a b 是方程()2200042440x y x y y ---++=的两个根, 所以()()22200000Δ424448320y y y y y =---++=->,解得04y >或00y <.(2)点A 到PQ的距离2d ==,由韦达定理可知,200042,44a b y ab y y +=-=-++,则PQ b =-==所以21122APQSPQ d =⋅=⋅=t =,则38240t t +-=,即()()222120t t t -++=,解得2t =,即20440y y --=,解得02y =±【点睛】已知两条线段的中点在曲线上,是得到同构方程的显性条件,利用所得同构方程的判别式得到变量的限制条件,运用韦达定理构建变量之间的关系.此类方法的运用值得关注.【例5】已知点()2,4P 和抛物线2y x =，动圆()()22:11C x y m m +-=＞ （1）若Q 是圆C 上任意一点,且4PQ 恒成立,求实数m 的取值范围;(2)如图,过点P 作圆C 的切线分别交抛物线于点,A B ,若直线AB 恰与圆C 相切,求实数m 的值.【分析】(1)PQ 的最值当且仅当,,P Q C 三点共线时取到.(2)由于直线AB 恰与圆C 相切,于是考虑以双切线的斜率表示点,A B 的坐标,进而得到直线AB 的方程;也可考虑设点()()22,,,A a a B b b 表示直线方程. 【解析】(1)由题意知,min ||114PQ PC =+=,得4545m -+.又1m >,故m的取值范围是4⎡⎣.(2)方法1设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,直线PA 的方程为()142y k x -=-,即11240k x y k --+=.直线PB 的方程为()242y k x -=-.由直线PA 与圆22:()1C x y m +-=相切,1=,整理得()22113448150k m k m m +-+-+=.同理可得()22223448150k m k m m +-+-+=.所以12,k k 是方程()223448150k m k m m +-+-+=的两个不同的根， 则()()2121244815,.*33m m m k k k k --++=-=又由点差法知,12,2PA P A A A k x x x x k =+=++=,即12A x k =-, 所以点()()2112,2A k k --. 同理可得点()()2222,2B k k --.直线AB 的方程为()A B A B y x x x x x =+⋅-,即()()()1212422y k k x k k =+----,即()()121212424y k k x k k k k =+--++-.将()*代人上式,整理得()241350m x y m ---+=. 由直线AB 与圆C 相切,1=,化简得3261720m mm +-+=,即()()22810m m m -+-=,解得2m =或4m =-±因为1m >,所以2m =.方法2设点()()22,,,A a a B b b ,则2422APa k a a -==+-.所以()()2:2AP y a a x a -=+-,即()220a x y a +--=. 因为圆C 与AP 相切,所以1d ==,整理得()2234450a m a m +-+-=.同理可得()2234450b m b m +-+-=.所以,a b 为方程()2234450x m x m +-+-=的两个根,则()2445,.*33m m a b ab --+== 从而()()222,:ABa b k a b AB y a a b x a a b-==+-=+--,即()y a b x ab =+-. 将()*代人上式,得2445:33m m AB y x --=+,即()244350m x y m --+-=. 又因为圆C 与AB 相切,所以1d ==,化简得3261720m m m +-+=,即()()22810m m m -+-=, 解得2m =或4m =-因为1m >,所以2m =.【点睛】运用设点法,得到关于,a b 的同构方程,能有效减少运算量.在抛物线中,运用点差法构建直线的斜率,进而表示直线方程,是解决抛物线问题的巧妙方法.【例6】如图，已知抛物线21C x y =：，P 是圆222y 21C x ++=：（）上任意一点，过点P 作两直线12,l l ,分别交抛物线1C 于点,,,A C B D ,使得13AB CD =.(1)当M 为CD 的中点时,证明://PM y 轴; (2)求PCD 面积的取值范围.【分析】(1)11//,33PA PB AB CD AB CD PC PD =⇔==,可建立(0P x ,)()()01122,,,,y C x y D x y 三点之间的坐标关系.(2)结合(1),运用PM “铅垂高”与“水平宽”乘积的一半表示PCD 面积. 【解析】(1)证明:设点()()()001122,,,,,P x y C x y D x y .由13AB CD =可得13PA PB PC PD ==,则点010*********,,,3333x x y y x x y y A B ++++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则211222101000101,232022,33x y x x x y x x x y y ⎧=⎪⇒-+-=⎨++⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎩. 同理有22202002320x x x y x -+-=. 则12,x x 是方程220002320x x x y x -+-=的两个根, 则1202x x x +=,即1202x x x +=. 即有//PM y 轴.(2)由(1)得212012002,32x x x x x y x +==-.222121200004422y y x x PM y y x y ++=-=-=-.则12x x -==.[]3322221200000153,3,12PCDSPM x x x y y y y =⋅-=-=++∈--.则PCD S ⎡∈⎢⎣⎦.【点睛】本题的难点在于条件13AB CD =的转译,既从几何角度得到13PA PB PC PD ==,也从坐标化角度寻找同构变量;PCD 的面积采用水平分割转化“底”与“高”,可大大减少计算量.【例7】如图，F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，抛物线在,A B 两点处的切线相交于点M . (1)求证:点M 在抛物线的准线上;(2)过抛物线上的点C 作拋物线的切线,分别交直线,AM BM 于点P ,Q ,求FPQ 面积的最小值.【分析】(1)弦AB 过点F ,可得4,1A B A B x x y y =-=,于是利用(1A x ,)()122,,y B x y 两点求出切线方程,解出交点M 的坐标.(2)将FPQ 面积表示为关于12,x x 的函数,12124,1x x y y =-=,求面积的最小值. 【解析】(1)方法1设点()()1122,,,A x y B x y ,则由2xy '=可知直线AM 的方程:21124x x y x =-.同理可得BM 的方程:22224x x y x =-.联立直线AM 与BM 的方程,解得点1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭.又2121214AB y y x x k x x -+==-，所以直线1212:44x x x x AB y x +=-过点()0,1F ,可知1214x x=-, 因此点M 在抛物线的准线上.方法2设点()11,A x y ,直线AM 的方程:()2114x y k x x -=-.()222112114,44044,x y x kx kx x y x k x x ⎧=⎪⇒-+-=⎨-=-⎪⎩, 所以()()222111Δ1644020k kx x k x =--=⇒-=,解得12x k =. 代人直线AM 的方程可得21124x x y x =-.设点()22,B x y ,同理可得直线BM 的方程:22224x x y x =-.可得点1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭.又设直线AB 的方程:221,1.4404,y k x y k x x k x x y =+⎧=+⇒--=⎨='''⎩. 因为12,x x 是上述方程的两个根,所以124x x =-, 可知1214x x =-,即点12,12x x M +⎛⎫- ⎪⎝⎭. 因此点M 在抛物线的准线上.(2)设点()33,C x y ,则直线PQ 的方程:23324x x y x =-,则点F 到直线PQ的距离231x d +==,同(1)中的解法可得点13132323,,,2424x x x x x x x x P Q ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以PQ ==, 所以212123112444FPQx x x x x Sd PQ --⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,当1232,2,0x x x =-==时取得等号.【点睛】本题的基本结构是“一点两线”所围成的阿基米德三角形,常用方法是选择两个切点坐标或切线斜率作为同构变量,从而将面积表示为坐标或斜率的函数关系,其关键是紧扣,A B 的坐标关系.【例8】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在抛物线C 上. （1）设AB 的中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点,求PAB 面积的取值范围.【分析】(1)先设点()21002,,,4y P x y A y ⎛⎫⎪⎝⎭,将,PA PB 的中点代入抛物线的方程,得到12,x x 的同构方程,探寻M P y y =.(2)由(1)知,将PAB 面积以PM 为水平线进行分割,即将面积表示为()02112M S x x y y =-⋅-,进而以0x 限制PAB 面积的取值范围.【解析】（1）设点()22120012,,,,,44y y P x y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则AP 的中点为20011,282x y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 由AP 的中点在抛物线上,可得2201014228y y x y ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得2210100280y y y x y -+-=.显然21y y ≠,且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=. 所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两个不等实根, 所以1212002,2M P y y y y y y y y ++====,即PM 垂直于x 轴. (2)()()()120121122PABM P M M M Sx x y y y y x x y y =--+-=--, 由(1)可得212012002,8y y y y y x y +==-,()()()()2220000012Δ248840y x y y x y y =--=->≠,此时点()00,P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上,所以()()()222000000Δ848414321y x x x x x ⎡⎤=-=--=--⎣⎦, 因为010x -<,所以Δ0>,所以12y y a-===,()()()()22222000121212000220042828886443318M P y x y y y y y y y x x x x x xxx x --+-+-=-=-=--=-=--所以()2301200112PABM Sx x y y x x =--=--=,因为t ⎡=⎢⎣⎦,所以3S ⎡=∈⎢⎣⎦,即PAB 面积的取值范围是⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题从代数的视角,利用割线段的中点在拋物线上,得到以12,y y 为变量的同构方程.这是同构问题的常用处理方式;通过同构方程建立多点之间的坐标关系,在面积函数的整体消元中起到关键作用,因此,同构法是本题的破题核心.。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第9讲 圆锥曲线的综合问题 第2课时 定点、定值、探索性问题
第2课时 定点、定值、探索性问题圆锥曲线中的定点问题(师生共研)(2020·某某模拟)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C于A ，B 两点，且|AB |＝8.(1)求直线l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标． 【解】 (1)由y 2＝4x 知焦点F 的坐标为(1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 代入抛物线方程y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1.由抛物线的弦长公式知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，则2k 2＋4k2＝6，即k 2＝1，解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)由(1)及抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1， 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1.因为y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，所以(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)．所以直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0， 对任意y 1，y 2∈R ，有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，即直线BD 恒过定点(－1，0)．求解圆锥曲线中定点问题的两种方法(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．(2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k 当成变量，将变量x ，y 当成常数，将原方程转化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （x ，y ）＝0g （x ，y ）＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．(2020·某某模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上动点P 到两焦点F 1，F 2的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的一个顶点时，直线PF 1恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率e 为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，若直线PA ，PB 分别交直线x ＝6于不同的两点M ，N ，则以线段MN 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由椭圆的定义可知2a ＝4，解得a ＝2.若点P 运动到椭圆的左、右顶点时，直线PF 1与圆一定相交，则点P 只能在椭圆的上、下顶点，不妨设点P 运动到椭圆的上顶点(0，b )，F 1为左焦点(－c ，0)，则直线PF 1：bx －cy ＋bc ＝0.由题意得原点O 到直线PF 1的距离等于椭圆C 的离心率e ， 所以bc b 2＋c 2＝ca， 又a 2＝b 2＋c 2，故b 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知，直线PA ，PB 的斜率存在且都不为0， 设直线PA 的斜率为k ，点P (x 0，y 0)，x 0≠±2， 又A (－2，0)，B (2，0)，所以k PA ·k PB ＝k ·k PB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14，则k PB ＝－14k.所以直线PA 的方程为y ＝k (x ＋2)， 令x ＝6，得y ＝8k ，则M (6，8k )； 直线PB 的方程为y ＝－14k (x －2)，令x ＝6，得y ＝－1k，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－1k .因为8k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝－8＜0，所以以线段MN 为直径的圆与x 轴交于两点，设点G ，H ，并设MN 与x 轴的交点为K ， 在以线段MN 为直径的圆中应用相交弦定理，得|GK |·|HK |＝|MK |·|NK |＝|8k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1k ＝8，因为|GK |＝|HK |，所以|GK |＝|HK |＝22，所以以线段MN 为直径的圆恒过点(6－22，0)，点(6＋22，0)．圆锥曲线中的定值问题(多维探究) 角度一 定线段的长已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (1，0)，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，354.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 相切，过点F 作FQ ⊥l ，垂足为Q ，求证：|OQ |为定值(其中O 为坐标原点)．【解】 (1)由题意可知椭圆C 的左焦点为F ′(－1，0)，则半焦距c ＝1. 由椭圆定义可知 2a ＝|PF |＋|PF ′|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3542＝4， 所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明：①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝±2，点Q 的坐标为(－2，0)或(2，0)，此时|OQ |＝2；②当直线l 的斜率为0时，l 的方程为y ＝±3，点Q 的坐标为(1，－3)或(1，3)， 此时|OQ |＝2；③当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)． 因为FQ ⊥l ，所以直线FQ 的方程为y ＝－1k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1消去y ，可得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(8km )2－4×(3＋4k 2)×(4m 2－12)＝0， 整理得m 2＝4k 2＋3.(*)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝－1k （x －1）得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－km k 2＋1，k ＋m k 2＋1， 所以|OQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－km k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋m k 2＋12＝1＋k 2m 2＋k 2＋m2（k 2＋1）2， 将(*)式代入上式，得|OQ |＝4（k 4＋2k 2＋1）（k 2＋1）2＝2. 综上所述，|OQ |为定值，且定值为2.直接探求，变量代换探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.角度二 定几何图形的面积(2020·某某模拟)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A 、B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．【解】 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得，k AP ·k BP ＝y x ＋3·y x －3＝－23(x ≠±3)，化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)． (2)证明：由题意可知，M ，N 是轨迹C 上不同于A 、B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ， 则直线OM ，ON 的斜率必存在且不为0，k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23.①当直线MN 的斜率为0时，设M (x 0，y 0)，N (－x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 20x 20＝23，x 203＋y202＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0|＝62，|y 0|＝1， 所以S △MON ＝12|y 0||2x 0|＝62.②当直线MN 的斜率不为0时，设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，(*)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程(*)的两根， 所以y 1＋y 2＝－4mt 3＋2m 2，y 1y 2＝2t 2－63＋2m2.又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt （y 1＋y 2）＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2，所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3，满足Δ＞0.又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2|＝|t |－24t 2＋48m 2＋722（3＋2m 2）， 所以S △MON ＝26t 24t 2＝62. 综上，△MON 的面积为定值，且定值为62.探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1，F 2，离心率为12，点P 为其上一动点，且三角形PF 1F 2面积的最大值为3，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点M ，N 为C 上的两个动点，求常数m ，使OM →·ON →＝m 时，点O 到直线MN 的距离为定值，求这个定值．解：(1)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，bc ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝m ，当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋n ，则点O 到直线MN 的距离d ＝|n |k 2＋1＝n 2k 2＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝kx ＋n ，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0，由Δ>0得4k 2－n2＋3>0，则x 1＋x 2＝－8kn 4k 2＋3，x 1x 2＝4n 2－124k 2＋3，所以x 1x 2＋(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝(k 2＋1)x 1x 2＋kn (x 1＋x 2)＋n 2＝m ，整理得7n2k 2＋1＝12＋m （4k 2＋3）k 2＋1.因为d ＝n 2k 2＋1为常数，则m ＝0，d ＝127＝2217，此时7n 2k 2＋1＝12满足Δ>0. 当MN ⊥x 轴时，由m ＝0得k OM ＝±1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝±x ，消去y ，得x 2＝127，点O 到直线MN 的距离d ＝|x |＝2217亦成立．综上，当m ＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值，这个定值是2217.圆锥曲线中的探索性问题(师生共研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b3，设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得的线段为RS ，当l ⊥x 轴时，|RS |＝3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由内切圆的性质，得12×2c ×b ＝12×(2a ＋2c )×b 3，得c a ＝12.将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以2b2a＝3.又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线l 垂直于x 轴时，显然x 轴上任意一点T 都满足TS 与TR 所在直线关于x 轴对称．当直线l 不垂直于x 轴时，假设存在T (t ，0)满足条件，设l 的方程为y ＝k (x －1)，R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2①，其中Δ>0恒成立， 由TS 与TR 所在直线关于x 轴对称，得k TS ＋k TR ＝0(显然TS ，TR 的斜率存在)， 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0 ②.因为R ，S 两点在直线y ＝k (x －1)上， 所以y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②得k （x 1－1）（x 2－t ）＋k （x 2－1）（x 1－t ）（x 1－t ）（x 2－t ）＝k [2x 1x 2－（t ＋1）（x 1＋x 2）＋2t ]（x 1－t ）（x 2－t ）＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0 ③，将①代入③得8k 2－24－（t ＋1）8k 2＋2t （3＋4k 2）3＋4k 2＝6t －243＋4k 2＝0 ④，则t ＝4，综上所述，存在T (4，0)，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称．存在性问题的求解策略解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点F (1，0)，P 为平面内一动点，以线段FP 为直径的圆内切于圆O ，设动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得∠MQO ＝∠NQO ，若存在，请求出定点Q ，若不存在，请说明理由．解：(1)设PF 的中点为S ，切点为T ，连接OS ，ST ，则|OS |＋|SF |＝|OT |＝2，取F 关于y 轴的对称点F ′，连接F ′P ，所以|PF ′|＝2|OS |，故|F ′P |＋|FP |＝2(|OS |＋|SF |)＝4，所以点P 的轨迹是以F ′，F 分别为左、右焦点，且长轴长为4的椭圆， 则曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在满足题意的定点Q ，设Q (0，m )，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋12，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋4kx －11＝0，则Δ>0，x 1＋x 2＝－4k3＋4k 2，x 1x 2＝－113＋4k2， 由∠MQO ＝∠NQO ，得直线MQ 与NQ 的斜率之和为零，易知x 1或x 2等于0时，不满足题意，故y 1－m x 1＋y 2－mx 2＝kx 1＋12－m x 1＋kx 2＋12－m x 2＝2kx 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m （x 1＋x 2）x 1x 2＝0，即2kx 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m (x 1＋x 2)＝2k ·－113＋4k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m ·－4k 3＋4k 2＝4k （m －6）3＋4k 2＝0，当k ≠0时，m ＝6，所以存在定点(0，6)，使得∠MQO ＝∠NQO ；当k ＝0时，定点(0，6)也符合题意．易知当直线MN 的斜率不存在时，定点(0，6)也符合题意． 综上，存在定点(0，6)，使得∠MQO ＝∠NQO .解析几何减少运算量的常见技巧技巧一 巧用平面几何性质已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B ．12 C.23D ．34【解析】 设OE 的中点为N ，如图，因为MF ∥OE ，所以有ON MF ＝a a ＋c ，MF OE ＝a －ca.又因为OE ＝2ON ，所以有12＝aa ＋c ·a －c a ，解得e ＝c a ＝13，故选A.【答案】 A此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算． 技巧二 设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为M (1，－1)，则E 的标准方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29＝1 【解析】 通解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，①x 22a 2＋y22b 2＝1，②①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b2＝0， 所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2（x 1＋x 2）a 2（y 1＋y 2）＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18， 所以椭圆E 的标准方程为x 218＋y 29＝1.优解：由k AB ·k OM ＝－b 2a 2得，－1－01－3×－11＝－b 2a2得，a 2＝2b 2，又a 2－b 2＝9，所以a 2＝18，b 2＝9，所以椭圆E 的标准方程为x 218＋y 29＝1.【答案】 D本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．技巧三 巧用“根与系数的关系”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆M ，N两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．【解】 (1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，45.(2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 2＝1， 化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 则x A ＋x M ＝－16k21＋4k 2，又x A ＝－2，则x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k21＋4k 2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0. 证明如下：因为k MP ＝y Mx M ＋65＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋22－8k 21＋4k 2＋65＝5k4－4k 2， 同理可计算得k PN ＝5k4－4k2. 所以直线MN 过x 轴上的一定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，0.本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k21＋4k 2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．技巧四 巧妙“换元”减少运算量变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．如图，已知椭圆C 的离心率为32，点A ，B ，F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S △ABF ＝1－32.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，若直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求△OMN 面积的最大值．【解】 (1)由已知椭圆的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则A (a ，0)，B (0，b )，F (c ，0)(c ＝a 2－b 2)．由已知可得e 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，即a ＝2b ，可得c ＝3b ①.S △AFB ＝12×|AF |×|OB |＝12(a －c )b ＝1－32②.将①代入②，得12(2b －3b )b ＝1－32，解得b ＝1，故a ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)圆O 的圆心为坐标原点，半径r ＝1，由直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，得|m |1＋k2＝1，故有m 2＝1＋k 2③. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0.由题可知k ≠0，即(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 所以Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＝48k 2＞0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.所以|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 4k 2＋12－4×4m 2－44k 2＋1＝16（4k 2－m 2＋1）（4k 2＋1）2④. 将③代入④中，得|x 1－x 2|2＝48k2（4k 2＋1）2，故|x 1－x 2|＝43|k |4k 2＋1.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2×43|k |4k 2＋1＝43k 2（k 2＋1）4k 2＋1. 故△OMN 的面积S ＝12|MN |×1＝12×43k 2（k 2＋1）4k 2＋1×1＝23k 2（k 2＋1）4k 2＋1. 令t ＝4k 2＋1，则t ≥1，k 2＝t －14，代入上式，得S ＝23×t －14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14＋1t2＝32（t －1）（t ＋3）t2＝32t 2＋2t －3t 2＝32－3t 2＋2t＋1＝32－1t 2＋23t ＋13＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －132＋49， 所以当t ＝3，即4k 2＋1＝3，解得k ＝±22时，S 取得最大值，且最大值为32×49＝1.破解此类题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且ac ≠0)的函数常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值X 围，以保证等价转化，这样目标函数的值域才不会发生变化．[基础题组练]1．已知直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线交于M ，N 两点，则OM →·ON →的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．与P 的位置有关解析：选A.依题意，设点P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 20－4y 20＝4，则直线l 的方程是x 0x 4－y 0y ＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y ＝±12x .①当y 0＝0时，直线l 的方程是x ＝2或x ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 24－y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝±1，此时OM →·ON →＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l 的方程是x ＝－2时，OM →·ON →＝3.②当y 0≠0时，直线l 的方程是y ＝14y 0(x 0x －4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14y 0（x 0x －4）x24－y 2＝0，得(4y 2－x 20)x2＋8x 0x －16＝0(*)，又x 20－4y 20＝4，因此(*)即是－4x 2＋8x 0x －16＝0，x 2－2x 0x ＋4＝0，x 1x 2＝4，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2－14x 1x 2＝34x 1x 2＝3.综上所述，OM →·ON →＝3，故选A.2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由FA →＋FB →＝－FC →，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p＋y 2＋y 32p＝0. 答案：03．(2020·某某模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点M在椭圆C 上滑动，若△MF 1F 2的面积取得最大值4时，有且仅有2个不同的点M 使得△MF 1F 2为直角三角形．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点P (0，1)的直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，与x 轴交于点Q .设QA →＝λPA →，QB →＝μPB →，求证：λ＋μ为定值，并求该定值．解：(1)由对称性知，点M 在短轴端点时，△MF 1F 2为直角三角形且∠F 1MF 2＝90°，且S △MF 1F 2＝4，所以b ＝c 且S ＝12·2c ·b ＝bc＝4，解得b ＝c ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝8， 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：显然直线l 的斜率不为0，设直线l ：x ＝t (y －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，x ＝t （y －1），消去x ，得(t 2＋2)y 2－2t 2y ＋t 2－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t 2t 2＋2，y 1y 2＝t 2－8t 2＋2.令y ＝0，则x ＝－t ，所以Q (－t ，0)， 因为QA →＝λPA →，所以y 1＝λ(y 1－1)， 所以λ＝y 1y 1－1.因为QB →＝μPB →，所以y 2＝μ(y 2－1)，所以μ＝y 2y 2－1.所以λ＋μ＝y 1y 1－1＋y 2y 2－1＝2y 1y 2－（y 1＋y 2）y 1y 2－（y 1＋y 2）＋1＝83. 4．(2020·某某某某联考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，O 为坐标原点，点O 到直线AF 2的距离为22，△AF 1F 2为等腰直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 与椭圆C 分别相交于M ，N 两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意可知，直线AF 2的方程为x c ＋y－b＝1， 即－bx ＋cy ＋bc ＝0，则bc b 2＋c 2＝bc a＝22.因为△AF 1F 2为等腰直角三角形，所以b ＝c ， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝2，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知A (0，－1)．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠±1)， 代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，所以Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＞0，即t 2－2k 2＜1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k2.因为直线AM 与直线AN 的斜率之和为2， 所以k AM ＋k AN ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋t ＋1x 1＋kx 2＋t ＋1x 2＝2k ＋（t ＋1）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －（t ＋1）·4kt2t 2－2＝2， 整理得t ＝1－k .所以直线l 的方程为y ＝kx ＋t ＝kx ＋1－k ＝k (x －1)＋1，显然直线y ＝k (x －1)＋1经过定点(1，1)．当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝m .因为直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，设M (m ，n )，则N (m ，－n )， 所以k AM ＋k AN ＝n ＋1m ＋－n ＋1m ＝2m＝2，解得m ＝1， 此时直线l 的方程为x ＝1，显然直线x ＝1也经过该定点(1，1)． 综上，直线l 恒过点(1，1)．[综合题组练]1．(2020·某某五市十校联考)已知动圆C 过定点F (1，0)，且与定直线x ＝－1相切． (1)求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(2)过点M (－2，0)的任一条直线l 与轨迹E 分别相交于不同的两点P ，Q ，试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M )，使得∠QNM ＋∠PNM ＝π？若存在，求点N 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)法一：由题意知，动圆圆心C 到定点F (1，0)的距离与其到定直线x ＝－1的距离相等，又由抛物线的定义，可得动圆圆心C 的轨迹是以F (1，0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，其中p ＝2.所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .法二：设动圆圆心C (x ，y )，由题意知（x －1）2＋y 2＝|x ＋1|， 化简得y 2＝4x ，即动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2＝4x . (2)假设存在点N (x 0，0)，满足题设条件．由∠QNM ＋∠PNM ＝π可知，直线PN 与QN 的斜率互为相反数，即k PN ＋k QN ＝0.① 由题意知直线PQ 的斜率必存在且不为0，设直线PQ 的方程为x ＝my －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －2，得y 2－4my ＋8＝0.由Δ＝(－4m )2－4×8＞0，得m ＞2或m ＜－ 2. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 由①式得k PN ＋k QN ＝y 1x 1－x 0＋y 2x 2－x 0＝y 1（x 2－x 0）＋y 2（x 1－x 0）（x 1－x 0）（x 2－x 0）＝0，所以y 1(x 2－x 0)＋y 2(x 1－x 0)＝0， 即y 1x 2＋y 2x 1－x 0(y 1＋y 2)＝0.消去x 1，x 2，得14y 1y 22＋14y 2y 21－x 0(y 1＋y 2)＝0，14y 1y 2(y 1＋y 2)－x 0(y 1＋y 2)＝0， 因为y 1＋y 2≠0，所以x 0＝14y 1y 2＝2，所以存在点N (2，0)．使得∠QNM ＋∠PNM ＝π.2．(2020·某某某某教学质量监测)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，过点F 的直线分别交抛物线于A ，B 两点．(1)若以AB 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝16，求抛物线C 的标准方程； (2)过点A ，B 分别作抛物线的切线l 1，l 2，证明：l 1，l 2的交点在定直线上． 解：(1)设AB 中点为M ，A 到准线的距离为d 1，B 到准线的距离为d 2，M 到准线的距离为d ，则d ＝y M ＋p2.由抛物线的定义可知，d 1＝|AF |，d 2＝|BF |，所以d 1＋d 2＝|AB |＝8， 由梯形中位线可得d ＝d 1＋d 22＝4，所以y M ＋p2＝4.又y M ＝3，所以3＋p2＝4，可得p ＝2，所以抛物线C 的标准方程为x 2＝4y .(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由x 2＝2py ，得y ＝x 22p ，则y ′＝xp，所以直线l 1的方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线l 2的方程为y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立得x ＝x 1＋x 22，y ＝x 1x 22p， 即直线l 1，l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p .因为AB 过焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，由题可知直线AB 的斜率存在，故可设直线AB 方程为y －p2＝kx ，代入抛物线x 2＝2py 中，得x 2－2pkx －p 2＝0，所以x 1x 2＝－p 2，y ＝x 1x 22p ＝－p 22p ＝－p2，p 2上．所以l1，l2的交点在定直线y＝－。
《解析几何》课程教案
一、教案基本信息教案名称：《解析几何》课程教案课时安排：共10课时，每课时45分钟教学目标：1. 让学生掌握解析几何的基本概念和基本公式。
2. 培养学生解决实际问题的能力，提高空间想象能力。
3. 引导学生运用数形结合的思想，提高数学思维能力。
教学内容：1. 坐标系与直线方程2. 圆的方程3. 二次曲线4. 空间几何5. 解析几何在实际问题中的应用二、第一课时：坐标系与直线方程教学重点：坐标系的建立，直线的斜率，直线方程的求法。
教学难点：坐标系的转换，直线方程的求法。
教学准备：黑板，粉笔，坐标系图示，实际问题案例。
教学过程：1. 导入：讲解坐标系的建立，引导学生理解坐标系的作用。
2. 新课讲解：讲解直线的斜率，直线方程的求法。
3. 案例分析：分析实际问题中的直线方程，引导学生运用所学知识解决实际问题。
4. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
三、第二课时：圆的方程教学重点：圆的标准方程，圆的一般方程，圆的性质。
教学难点：圆的方程的求法，圆的性质的理解。
教学准备：黑板，粉笔，圆的图示，实际问题案例。
教学过程：1. 导入：讲解圆的定义，引导学生理解圆的特点。
2. 新课讲解：讲解圆的标准方程，圆的一般方程，圆的性质。
3. 案例分析：分析实际问题中的圆的方程，引导学生运用所学知识解决实际问题。
4. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
四、第三课时：二次曲线教学重点：二次曲线的标准方程，二次曲线的性质。
教学难点：二次曲线方程的求法，二次曲线性质的理解。
教学准备：黑板，粉笔，二次曲线的图示，实际问题案例。
教学过程：1. 导入：讲解二次曲线的定义，引导学生理解二次曲线的特点。
2. 新课讲解：讲解二次曲线的标准方程，二次曲线的性质。
3. 案例分析：分析实际问题中的二次曲线，引导学生运用所学知识解决实际问题。
4. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
五、第四课时：空间几何教学重点：空间几何的基本概念，空间几何图形的性质。
精英数学之立体几何解析几何篇(必修2)第9讲圆锥曲线与方程1——椭圆方程及其应用--Pdf
〔1〕对称轴〔X、Y轴〕；
〔2〕顶点坐标；
〔3〕焦点坐标；
〔4〕中心坐标；
〔5〕准线方程。
4、能根据条件确定椭圆的标准方程
二、椭圆方程的练习题
例1． 椭圆过两点(1，25)、(2，
5
5)，求椭圆的标准方程。
5
例2．求焦点为(0,4)和(0,-4)且过点(5,-33)的椭圆方程。
例3．求焦距为25且过点〔3，-2〕的椭圆标准方程。
Y轴上的焦点坐标：0,c,0,c；
2、椭圆的几何性质
〔1〕范围(有界性)：两种讨论方式：解不等式或求函数的定义域和值域
〔2〕对称性：关于X轴、Y轴、坐标原点对称，注意：对称轴及椭圆中心概念及关系
〔3〕顶点：顶点、长轴、短轴的概念及几何意义
〔4〕离心率：e，范围、表示、及对椭圆扁圆程度的影响，可以说明圆和椭圆的关系；
2
的椭圆的左顶点的轨迹方程。
例9．椭圆的焦点为F1(0,2
2),
F2(0, 2
2)，长轴长为6，过焦点的弦长等于短轴长，求
这焦点弦的倾斜角.
例10． 在△ABC中，点A(-1，0)，C(1，0)，三边a，b，c成等差数列，求顶点B的轨迹方程．
a
注意：
〔1〕长轴长2a；
〔2〕短轴长2b；
〔3〕焦距2c；
〔4〕a2b2c2；
〔5〕离心率e；
a
〔6〕中心是两对称轴的交点；
〔7〕顶点是对称轴与曲线的交点；
〔8〕中心到顶点的距离分别为a,b、中心到焦点的距离为c；
a2
〔9〕中心到准线的距离为；
c
〔10〕中心、焦点、长轴顶点三点共线，为一对称轴且和准线垂直。
例4．如果方程x2ky22表示焦点在Y轴上的椭圆，求实数k的取值范围。
【精品奥数】四年级上册数学思维训练讲义-第九讲 几何计数 人教版(含答案)
第九讲几何计数第一部分：趣味数学解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。
当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。
笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。
后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。
从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。
他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。
为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对（x，y）的对应关系。
x，y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。
这就是解析几何的基本思想。
具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。
从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。
第九讲 数列与解析几何、点列问题stu
（2）记四边形 An Bn Bn1An1 的面积为 an ，求 an 的表达式； （3）对于（2）中的 an ，是否存在最小的正整数 P ，使得对任意 n N * 都有 an P 成立？若存在，求 P
的值；若不存在，请说明理由．
六、实战演练： 一、填空题
1.已知数列 2、5、2 2、11、则 2 5 是该数列的第______项.
Bn An+1
（2）用 n 表示 Bn Bn1 及点 Bn 的坐标；
An B2
（3）写出四边形 An An1Bn1Bn 的面积关于 n 的表达式 S (n) ，并求 S (n) 的最大
B1
A2
A1
x
值．
O
5
其中 n N*, 0 为常数， x1 1, x2 2 .
（1）设 an xn1 xn ，求数列 an {的通项公式；
（2）设
f
lim
n
xn
，当
变化时，求
f
的取值范围.
16.如图，平面直角坐标系中，射线 y x （ x 0 ）和 y 2x （ x 0 ）上分别依次有点 A1 、 A2 ，„„，
二、选择题
9.数列an 的首项为
1，满足 an1
1 2
an
1 2n
，则此数列的第
3
项是
(
)
A.1
B. 1
2
C. 3
D. 5
4
8
10.若某数列an 的前四项为 0,
2,0,
2 ，则下列各式：① an
2 2
[1 (1)n ] ；② an
1 (1)n ；
解解析几何的常用方法
yxABCA 1OF解解析几何的常用方法一、利用12x x -=（或12y y -=）将与长度或面积有关问题与韦达式联合例1，从抛物线22y px =外一点(2,4)A --引倾角为045的直线交抛物线于12,P P 两点。
若1122,,AP PP AP 成等比数列，求抛物线方程。
分析：设111(,)P x y ,222(,)P x y 由已知易得，直线方程为2y x =-，代入22y px =中，可得2(42)40x p x -++=，所以2(42)160p ∆=+->，解得0p >或4p <-，且121242,4x x p x x +=+=（＊）,因为1122,,AP PP AP 成等比数列，所以，112122AP PP PP AP =,利用平几知识，将平面直角坐标系下的距离比化为一维（x 轴）上的长度之比，即12121222x x x x x x +-=-+，即,将（＊）式代入可化得，，若2121212122()4()4x x x x x x x x +++=+-244p p p +=+，则有，解的（舍去）0p >244p p p +=+1,4p p ==-若，此时无解。
若，解的，均应舍去。
故。
40p -≤<4p <-4,1p p =-=-1p =例2（2007年高考全国卷）已知椭圆的左、右焦点分别为.过的直线交椭圆于22132x y +=12,F F 1F 两点，过的直线交椭圆于两点，B D 、2F AC 、二、利用（或）实施消元变形。
12121211y y y y y y +=+12121211x x x x x x +=+例2：已知椭圆2212x y +=的右准线为l ,过右焦点F 的直线与椭圆相交于,A B 两点,经过B 点与x 轴平行的直线交右准线于C 点,求证直线AC 过一定点.解题分析：1.1首先用特殊直线探究定点位置。
当AB 垂直x 轴时就可以找到定点位置。
第9讲 定点问题-2021届高三数学一轮复习解析几何专题复习训练
第九讲 定点问题题型分析，主要是考察直线过定点，圆过定点等 直线过定点问题解题方式一般分两种：①假设直线y kx b =+，通过求解出,k b 的关系求解定点②两动点坐标通过某参数表示，假设定点坐标00(,)x y ，利用斜率相等求出定点坐标简单引理1.已知直线方程(2)(12)430x y λλλ++-+-=.求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；2.求解过点22222220211k k k k A k k-++++（,）,B(,)的直线过哪个定点.直线过定点1.已知椭圆14:22=+y x C ，过点)0,1(T 的动直线l 交椭圆C 于B A ,两点，A 关于x 轴的对称点为A '，问直线B A '是否经过x 轴上的一个定点？若是，求出定点坐标；不是，说明理由.2.已知左焦点为F (－1，0)的椭圆过点E (1)．过点P (1，1)分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为线段AB 的中点，求k 1；（3）若k 1+k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．3.已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。
4.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．5.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．6.已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．7.已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率25e =，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。
《解析几何》课程教学大纲
《解析几何》课程教学大纲一、课程的性质、目的与任务通过本课程的教学，使学生掌握平面曲线、空间直线、平面、柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面等的基本性质。
提高用代数方法解决几何问题的能力，为今后学习其它课程打下必要的基础，并能在较高理论水平的基础上处理中学数学的有关教学内容，以及生产、生活中的有关实际问题。
本课程是大学专科小学教育专业数学类必修的一门重要的专业课课程，通过本课程的教学，使学生系统掌握空间解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向量；在掌握几何图形性质的同时，提高运用代数方法解决几何问题的能力和空间想象能力，能在较高理论水平的基础上处理中小学教学的有关问题。
二、课程教学内容和基础要求要求学生重点掌握空间解析几何的基本思想和基本方法；培养空间想象能力，逻辑思维能力以及运用现代各种数学方法处理几何问题的能力，运用几何结构，深入理解现行中学数学教材中的有关问题，并且具有应用几何知识解决实际问题的能力。
通过本课程的学习，为学好后续专业课程打下良好的基础。
第一章矢量与坐标教学目的：通过本章的教学,使学生掌握矢量的概念，矢量运算的定义、规律及几何意义，利用矢量的运算作为工具研究平面与空间的几何图形教学要求:理解矢量及与之有关诸概念,并能在具体问题中区分那些是矢量,那些是数量，掌握矢量的运算（矢量加（减）法）数与矢量乘法，两矢量的数性积，矢性积，混合积，二重矢性积等的定义与性质，注意与数的运算规律的异同之处，理解坐标系的建立，区分仿射坐标系与空间直角坐标系的区别，掌握在直角坐标系下，用坐标进行矢量的运算方法，会用矢量法进行有关的几何证明问题。
教学内容：§1.1矢量的概念§1.2矢量的加法§1.3数量乘矢量§1.4矢量的线性关系与矢量的分解§1.5标架与坐标§1.6矢量在轴上的射影§1.7两矢量的数性积§1.8两失量的矢性积§1.9三矢量的混合积§1.10三矢量的双重矢性积教学提示：由浅入深，采用启发式教学，并通过对比加深学生印象。
解析几何
D2＋E2－4F 以 为半径的圆； 2 (2)当 D ＋E －4F＝0
2 2
D E 时，方程表示一个点－ 2 ，－ 2 ；
(3)当 D2＋E2－4F＜0 时，方程不表示任何图形.
4.点 M(x0，y0)与圆 x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝0 的位置关系
2 点 M 在圆内⇔x2 0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F<0； 2 点 M 在圆上⇔x2 0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F＝0； 2 > 点 M 在圆外⇔x2 0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F________0.
条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
点A(x0，y0)，直线l：
l1 ： Ax＋By＋C＝0，
l2：Ax＋By＋C′＝ 0(C≠C′)
Ax＋By＋C＝0
d＝ |Ax0＋By0＋C| A2＋B2
|P1P2|＝
距离 公式
x1－x22＋y1－y22
|C－C′| d＝ 2 A ＋B2
1.如果直线 ax＋2y＋2＝0 与直线 3x－y－2＝0 平行，那么 实数 a＝( A.－3
2.两圆的位置关系
圆与圆的位置关系 内含 内切 相交 外切 外离 ＋r 3 ＋r 4
判断圆与圆的位置
关系的方法(r<R) 公切线条数
d<R－r d＝R－r
0 1
R－r<d< d＝R d>R R＋r
2
3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的 一半及半径构成的直角三角形计算. (2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：
3.若直线y＝x＋b平分圆x2＋y2－8x＋2y＋8＝0的周长，则
b＝(
D
[讲解]解析几何的创立
![[讲解]解析几何的创立](https://img.taocdn.com/s3/m/b0cae8d40d22590102020740be1e650e52eacfb0.png)
解析几何的诞生近代数学本质上可以说成是变量数学。
文艺复兴以来资本主义生产力的兴起，对科学技术提出了全新的要求，机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确地研究天体运行的规律；武器的改进刺激了弹道问题的探讨，等等；总之，到了十六世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，这就迫切地需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。
变量数学的第一个里程碑是解析几何的诞生。
解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种左边在平面上的点和有序实数对(x , y)之间建立一一对应的关系。
每一对实数(x , y)都对应于平面上的一个点，反之，每一个点都对应于它的坐标(x , y)，以这种方式可以将一个代数方程f (x , y) = 0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。
借助坐标来确定点的位置的思想古代曾经出现过，古希腊阿波罗尼乌斯(apollonius,约bc262~bc190)关于圆锥曲线性质的推导、阿拉伯人通过圆锥曲线交点求解三次方程的研究，都蕴涵这种思想。
解析几何最重要的前驱是法国数学家奥雷斯姆(nicole oresme, 1323~1382)，他在《论形态幅度》这部著作中提出的形态幅度原理（或称图线原理），甚至已接触到直角坐标系中用曲线表示函数的图象，在这里，奥雷斯姆借用了“经度”、“纬度”这两个地理学术语来叙述他的图线，相当于纵坐标与横坐标。
不过他的图线概念是模糊的，至多是一种图表，还未形成清晰的坐标与函数图象的概念，是解析几何的酝酿阶段。
解析几何的真正发明还要归功于法国另外两位数学家笛卡儿(r.descartes , 1596~1650)与费尔马(p. de fermat, 1601~1665)。
他们工作的出发点不同，但方式都是采用代数方法来研究几何问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第9讲 解析几何高考要点回扣1．直线的倾斜角(1)定义．(2)倾斜角的范围为[0，π)．如直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的范围是．2．直线的斜率(1)定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；(2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)；(3)直线的方向向量a ＝(1，k )；(4)应用：证明三点共线：k AB ＝k BC .如两条直线斜率相等是这两条直线平行的条件．既不充分也不必要3．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋y b＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．特别提醒：忽视直线方程五种形式的局限性(1)点斜式和斜截式不适用于斜率不存在的直线；(2)两点式不包括垂直于坐标轴的直线；(3)截距式不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；(4)任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0的形式，但A ，B 不同时为0.4．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2； (2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 5．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系(1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0(斜率)且B 1C 2－B 2C 1≠0(在y 轴上截距)；(2)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；(3)重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0；(4)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.特别提醒：(1)A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2、A 1A 2≠B 1B 2、A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．如设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝－1 时，l 1∥l 2；当m ＝12时l 1⊥l 2；当 m ≠3且m ≠－1时l 1与l 2相交；当m ＝ 3时l 1与l 2重合．6．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，只有当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋D x ＋E y ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为 12D 2＋E 2－4F 的圆． 7．点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)及圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，(1)点M 在圆C 外⇔|CM |>r ⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2；(2)点M 在圆C 内⇔|CM |<r ⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2；(3)点M 在圆C 上⇔|CM |＝r ⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2.如点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是 . ⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，113 8．直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；Δ＝0⇔相切；(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交；d >r ⇔相离；d ＝r ⇔相切．9．圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则(1)当|O 1O 2|>r 1＋r 2时，两圆外离；(2)当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；(3)当|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2时，两圆相交；(4)当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切；(5)当0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2|时，两圆内含．如双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为 ．内切10．椭圆及其性质(1)定义：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >2c ＝|F 1F 2|)．(2)标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)； 焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． (3)性质：①范围；②顶点；③对称性；④离心率．11．双曲线及其性质(1)定义：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <2c ＝|F 1F 2|)．(2)标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)； 焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)． (3)性质：①范围；②顶点；③对称性；④离心率；⑤渐近线．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)． 如方程(x －6)2＋y 2－(x ＋6)2＋y 2＝8表示的曲线是 ．双曲线的左支12．抛物线及其性质(1)定义：|MF |＝d ；(2)标准方程：y 2＝2px ；y 2＝－2px ；x 2＝2py ；x 2＝－2py (p >0)(3)性质：①范围；②顶点；③对称性；④离心率．如设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝4ax 2的焦点坐标为 . ⎝⎛⎭⎫0，116a 13．直线与圆锥曲线(1)直线与圆锥曲线的位置关系可通过表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0f (x ，y )＝0，消元 如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0.①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)．②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac .(ⅰ)Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；(ⅱ)Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；(ⅲ)Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点．(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].精品回扣练习1．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12解析 如图所示，抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，由抛物线的定义知：|PF |＝|PE |＝4＋2＝6.2．已知椭圆的中心在坐标原点，离心率e ＝12，抛物线y 2＝－4x 的准线l 经过它的一个焦点，则此椭圆的标准方程为( ) A.x 24＋y 2＝1 B.x 22＋y 2＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 28＋y 26＝1 解析 ∵抛物线y 2＝－4x 的准线l 为：x ＝1， ∴c ＝1，又c a ＝12，∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. 3．(2011·湖南)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为 ( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝(±32)2，解得a ＝±2.由题意知a >0， ∴a ＝2.4．(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A 、B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 ( )A ．(0，2)B ．(1，2)C ．(22，1) D ．(2，＋∞)解析 方法一 由⎩⎨⎧ x ＝－a 2c，y ＝－b a x 得A (－a 2c ，ab c )． 同理可得B (－a 2c ，－ab c)． 又左焦点F (－c,0)，∴F A →＝(b 2c ，ab c )，FB →＝(b 2c ，－ab c)． ∵点F 在以AB 为直径的圆内，∴F A →·FB →<0，即(b 2c )2－(ab c)2<0，∴b 4<a 2b 2， ∴b 2<a 2，即c 2－a 2<a 2，∴c 2<2a 2，即e 2<2，∴e < 2.又∵e >1，∴1<e < 2. 方法二 由⎩⎨⎧x ＝－a 2c ，y ＝－b ax 得A (－a 2c ，ab c )． 同理可得B (－a 2c ，－ab c)． ∵点F (－c,0)在以AB 为直径的圆内，∴左焦点F 到圆心的距离小于半径长，即c －a 2c <ab c，即a >b . ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2< 2. 又∵e >1，∴1<e < 2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在椭圆x 236＋y 216＝1上，则sin A ＋sin C sin B等于 ( )A ．3 B.65 C.54 D.45解析 由正弦定理知sin A ＋sin C sin B ＝a ＋c b，其中a 、b 、c 是△ABC 的三边长．由题知b ＝10，a ＋c ＝12， 所以sin A ＋sin C sin B ＝a ＋c b ＝1210＝65.6．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是 ．22，12解析 ∵两平行直线之间的距离d ＝|a －b |2， ∴d 2＝(a －b )22＝12[(a ＋b )2－4ab ]． 又∵a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，∴a ＋b ＝－1，ab ＝c .∴d 2＝12(1－4c )．而0≤c ≤18，∴14≤d 2≤12，12≤d ≤22. ∴两平行直线之间的距离的最大值和最小值分别是22，12. 7．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段F A 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为 ．34 2 解析 由已知得B 点的纵坐标为1，横坐标为p 4，即B ⎝⎛⎭⎫p 4，1，将其代入y 2＝2px 得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，则B 点到准线 的距离为p 2＋p 4＝34p ＝342. 8．若实数a 、b 、c 成等差数列，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝5截得的线段中点的轨迹方程是 ．⎝⎛⎭⎫x －122＋(y ＋1)2＝54解析 由2b ＝a ＋c ，得a －2b ＋c ＝0，所以直线ax ＋by ＋c ＝0过定点A (1，－2)．又A (1，－2)在圆x 2＋y 2＝5上，所以A 点为圆与直线的一个交点，设另一交点为B (x 1，y 1)，AB 中点为P (x ，y )，则x ＝x 1＋12，y ＝y 1－22，所以x 1＝2x －1，y 1＝2y ＋2，代入圆方程x 2＋y 2＝5，得⎝⎛⎭⎫x －122＋(y ＋1)2＝54. 9．(2011·浙江)设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左，右焦点，点A ，B 在椭圆上．若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是 ．解析 由题意知F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设A (a ，b )，B (x B ，y B )，则F 1A →＝(a ＋2，b )，F 2B →＝(x B －2，y B )．由F 1A →＝5F 2B →得x B ＝a ＋625，y B ＝b 5， 代入椭圆方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋62523＋⎝⎛⎭⎫b 52＝1. 又因为a 23＋b 2＝1，联立，解得a ＝0，b ＝±1. 10．设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4.又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1.化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0，则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|， 即43＝2|x 2－x 1|， 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2， 解得b ＝22⎝⎛⎭⎫b ＝－22不合题意，故舍去.。