05第5章机械振动与机械波

根据牛顿第二运动定律：
2
kx ma
即：
k d x k 令 x 0 2 m dt m 2 d x 2 x 0 2 dt
微分方程的解: 周期T为：
x Acos( t 0 )
2
m T 2 k
第 15 页
单摆
以通过O点且垂直直面的线为轴 ，取向外为正方向，则角位移θ的 正向与之同向。分析可知，小球仅 受到重力距，为：
2
微分方程的解: 周期T为：
m cos( t 0 )
l T 2 g 2
第 17 页
பைடு நூலகம்
复摆
以通过O点且垂直直面的线为轴 ，取向外为正方向，则角位移θ的 正向与之同向。摆的重心为C，分 析可知，摆仅受到重力距，为：
M mgl sin k
θ较小时，sinθ≈ θ，则：
矢量端点在 x 轴上的投 影点P作简谐振动！
O
x
对应关系：旋转矢量的模即振幅，转动的角速度即角频
率，初始时刻与x轴正方向之间的夹角即初相位，任意时 刻与x轴正方向之间的夹角即相位，投影长度代表位移。
第8页
例1 一物体沿Ox轴作简谐振动，振幅为A＝0.2m，周期为T＝4s。 当t＝0时，物体的位移为0.1m，且向Ox轴负向运动。求：
2 0.1 0.2
4
6
8
第 11 页
（2）t＝T/3时物体的位置、速度和加速度
x 0.2cos t m 3 2
4 x 0.2cos 0.2 m 2 3 3
dv 2 a 0.05 cos t m/s 2 dt 3 2 a dv 4 0.05 2 cos 0.493 m/s 2 dt 2 3 3
1 2 1 2 2 势能： E p kx kA cos (t 0 ) 2 2
总能量：
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1 2 E Ek E p kA 2
x
x A cos( t )
t
1 1 Ep kx 2 kA2 cos2 t 2 2
1 2 1 Ek mv m 2 A2 sin 2 t 2 2
1 d2 y 故： (m M ) 2 ky 2 dt
令
k / (m M / 2)
d2 y 2 y0 2 dt
2
则：
表明物体m作简谐振动，周期 T
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2 (m M / 2) / k
4.简谐振动的能量
以理想弹簧振子为例来讨论谐振动系统的能量
1 1 2 动能： Ek mv m 2 A2 sin 2 (t 0 ) 2 2 1 2 2 2 k / m kA sin (t 0 ) 2
v A sin(t 0 )
a 2 A cos(t 0 )
第5页
描述谐振动的三个重要的物理量：
振幅(Amplitude) A：位移振幅（离开平衡位置的最大位移的大小）
vm：速度振幅（速度的最大值）
am：加速度振幅（加速度的最大值）
vm A
am A
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合振动的振幅与初相
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(20 10 )
A1 sin 10 A2 sin 20 tan 0 A1 cos 10 A2 cos 20
第 32 页
旋转矢量法的处理：
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1)
M mgl k
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根据定轴转动定律：
2
d J 2 mgl dt
2
mgl d mgl 令 即： 0 2 J dt J 2 d 2 0 2 dt
微分方程的解: 周期T为：
m cos( t 0 )
2
J T 2 mgl
第一次回到平衡位置时 的相位为π/2。 第一次回到平衡位置所 需要的时间：
5 / 6 5 t s /2 3
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3.简谐振动的动力学特征
理想弹簧振子
小幅振动满足胡克定律：
F kxi
线性回复力:物体所受的合 外力与和位移成正比，方 向始终指向平衡位置。
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滑轮应用转动定律： 绳子无质量且不可伸长： 绳子在滑轮上不打滑： 由上述四式化简，可得：
2 d y 2 (m J / R ) 2 ky dt
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J T1R T2 R
T2 k (a y)
d2 y R 2 dt
1 若将滑轮当做匀质圆盘，则： J MR 2 2
声源1
P
声源2
P的运动就是两个同方向振动的合成
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1.同方向同频率简谐振动的合成
两个 x 方向的简谐振动的角频率都是
x1 A1 cos(t 10 ) x2 A2 cos(t 20 )
x x1 x2
同方向、同频率简谐振动的合成仍是简谐振动
x A cos( t 0 )
dx v 0.1 sin t m/s dt 3 2 dx 4 v 0.1 sin 0 dt 2 3 3
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（3）物体从x＝0.1m处向Ox轴正向运动，第一次回到 平衡位置需要多少时间。 质点从 x = 0.1m 向 x 轴 正方向运动可知此时的相 位为-π/3。
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x(t ) 3sin(2 t ) sin(6 t )
现考虑两个方向相同、频率非常接近、振幅相 等、初相位相同的振动合成：
x1 A cos(1t 0 )
x2 A cos(2t 0 )
1 2 1 2 x x1 x2 2 A cos t cos t 0 2 2
自由振动。已知滑轮的半径为R，质量为M，可看作匀质圆盘。证
明物体作简谐振动并求出物体的振动周期。
解
以物体平衡位置为坐标原点O，竖直 向下为正方向建立坐标系Oy，滑轮转 动轴垂直图平面向外为正。在物体平衡 时，弹簧有一个伸长量，设为a，则： ka=mg 各个物理量标示如右图所示。
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d2 y 物体m应用牛顿第二定律： m 2 mg T1 dt
第 27 页
上式说明，液柱作简谐振动，振动的角频率为：
2g l
周期为：
l T 2 2g
圆频率或周期与管的形状、截面积以及液体种类无关！
第 28 页
2
5.2 简谐振动的合成
1. 同方向同频率简谐振动的合成 2. 同方向不同频率简谐振动的合成 3. 相互垂直方向上简谐振动的合成
第 29 页
M mgl sin k
θ较小时，Sinθ≈ θ，则：
M mgl k
线性回复力钜:物体所受的合外力钜和角位移成正 比，方向始终指向平衡位置。
第 16 页
d 根据定轴转动定律： ml mgl 2 dt
2 2
即：
g d g 令 0 2 l dt l 2 d 2 0 2 dt
2 2
第 33 页
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(20 10 )
两个振动同相
20 10 2k , k 0,1, 2,
A A1 A2
E
1 2 E kA 2
t
简谐振动系统的机械能守恒。 简谐振动系统的总能量与振幅的平方成正比。
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例3 如图所示，截面积为S的U型管，内装有密度为r、长度为l的 液体柱受到扰动后管内液体发生无阻力振荡，试分析液柱的运动。
解
由于液体不宜简化为一个质 点，而液体受到扰动后，在振动 过程中没有机械能损失，因此用 能量法来分析。 取U型管两边液体等高的位置 为坐标原点，向上为正建立坐标系 Ox。设t时刻，右面液面升高x，此 时左侧液面下降x，以U型管两边 液体等高的位置为势能零点，则此 时的势能为：
0：初相（反映初始时刻振动系统的运动状态）
0 0, 2 或 0 [ , ]
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2.简谐振动的旋转矢量图表示
矢量绕O点逆时针旋转 ，旋转矢量的模为A，t=0 时，旋转矢量与x轴正方向 的夹角为0，旋转矢量的 角速度为。
A
t 0
0
P
xP A cos( t 0 )
（1）振动的表达式；
（2） t＝T/3时物体的位置、速度和加速度； （3）物体从x＝0.1m处向Ox轴正向运动，第一次回到平衡位置需
要多少时间。
解
（1）.设位移表达式为:
x Acos( t 0 )
已知 A = 0.2 m , T = 4s
2 rad s 1 T 2
E p r Sx g
2
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分析可知所有质元的总动能为： E 1 r lS dx k
2
2
dt
系统机械能守恒，则：
1 dx r lS r Sx 2 g Const. 2 dt
两边同时对时间求导，整理后得：
2
d2 x 2g x 0 2 dt l
拍：振幅随时间缓慢变化的近似谐振动
拍 1 2
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1 2 n拍 n 1 n 2 2
拍现象
第 38 页
3.相互垂直方向上简谐振动的合成
同频率互相垂直振动的合成
x A1 cos(t 10 )
y A2 cos(t 20 )
x 2 y 2 2 xy 2 cos( ) sin (20 10 ) 20 10 2 2 A1 A2 A1 A2
第3页
5.1 简谐振动
1. 简谐振动的运动学描述 2. 简谐振动的旋转矢量图表示 3. 简谐振动的动力学特征 4. 简谐振动的能量
第4页
1. 简谐振动的运动学描述
简谐振动：物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或
角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化。
x A cos(t 0 )
2
第6页
周期和频率（Period and Frequency） T：周期（完成一次完整振动所经历的时间）
n：频率（单位时间内物体完成的完整振动的次数）
：角（圆）频率（在 2π 秒时间内完成全振动的次数） 1 n T 2
相位和初相 (Initial phase)
t＋0：振动的相位（简称相）
第5章 机械振动与机械波 Chap.5 Vibrating & Wave
振动：物理量随时 间 t 作周期性变化。
波：振动在空间的 传播，同时也是能量 的传播。
第2页
机械波：机械振动在介质中的传播
★波动 电磁波：交变电磁场在空间的传播
★波的共同特征 都是振动状态的传播 都是能量传播 都能发生反射、折射、干涉、衍射
两个振动反相
20 10 (2k 1) , k 0,1, 2,
A A1 A2
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一般情形
(2010)是其它任意值时，合振动的振幅介于 (A1+A2)和| A1－A2 |之间。
第 35 页
2.同方向不同频率简谐振动的合成 拍
方向相同，频率不同，合成后的运动不再是简谐振动
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谐振动的动力学方程
简谐振动的本质原因： 物体受到线性回复力（或线性回复力矩）的作用 简谐振动动力学方程：
d 0, >0 2 dt
2
微分方程的解：
A cos( t 0 )
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例2 如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在地面上，另一 端系一轻绳，绳子绕过匀质定滑轮连接一质量为m的物体，绳子在 滑轮上不打滑且不可伸长，保持弹簧拉伸状态，使物体上下作微小
x 0.2cos(
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2
t 0 ) m
由初始条件用旋转矢量法求初相 0
当 t = 0 时, 位移为 0.1m ，且向 x 轴负方向运动
第 10 页
0 3
振动表达式为：
x 0.2cos t m 3 2
振动曲线为：
x 0.2 0.1 t