09近世代数A参考答案

浙江海洋学院 2009 - 2010 学年第 一 学期
《 近世代数 》课程期末考试A 卷
（适用班级
B08数学 ）
考试时间： 120分钟
一、填空+选择+判断：（31015⨯=分）
1. 令A 是平面全部向量的集合，A 中向量的内积是一个代数运算 （ × ）
2. 域和环中都要求至少有两个元素 （ × ）
3. 任何一个群都至少含有一个循环子群 （ √ ）
4. 令 12345678910(
)7653819210
4
ρ=，将ρ写作互不相交轮换的乘积
（1 7 9 10 4 3 5 8 2 6），其逆序数为： 23 .
5. 与置换（1 2 4）（3 5）（6）共轭的置换是 （ C ）
A. （1 2）（3 4 5 6）
B. （1 2 4）（3 5 6）
C. （2 1 3）（4 6）（5）
D. （1 2）（4 3）（5 6） 6. 若一个五元多项式的对称变换群是5S ，举出该多项式的一个例子： 略 .
7. 若12,H H 都是G 的子群，则12H H ⋃也是G 的子群。

（ × ） 8.
n S 的阶为 n! 。

9. 令1H 是由S 生成的1G 的子群，2H 是由S 生成的2G 的子群，且12G G ≠，则必有
12H H ≠. （ × ）
10. 取()n G GL =R ，R 是实数域，M 是R 上全体n 阶方阵，做映射：
(,)T
G M M C A AC ⨯→→
则该映射为群作用 （ √ ）
学专业班级姓名学号
二、计算题（1,2,3每题7分, 4题9分）
1. 令
12345678910(
)7653819210
4
ρ=，
12345678910()
35792614108
σ= 求1
ρ-，1
ρσρ-.
解：
2. 给定
4A 的一个子群4V ={（1）
，（1 2）（3 4），（1 3）（2 4），（1 4）（2 3）}，作4
A 关于4V 的左陪集分解，并说明分解过程。

见教材
3. 令2
123451234(,,,,)f x x x x x x x x x =+++，写出其所有对称性变换。

解：在该多项式中，1，3，4的位置是对称的，所以其所有对称性变换包括: (1), (1 3), (1 4), (3 4), (1 3 4), (1 4 3)
4. 令M 为R 上全体33⨯矩阵构成的集合，3()G GL =R ，取12
,P P G ∈，对M 做变换：
12
,A M A P AP ∀∈→. 则该群变换的轨道不变量是什么？在此群作用下，下列矩阵
1
230002
130
100
006
390110000000120121001
203
450
10210102111A B C D E F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
生成的轨道数是多少，每条轨道上的轨道不变量是多少，每条轨道上分别包含哪些元素？ 解：该群变换相当于对G 中的矩阵做行和列的初等变换，轨道不变量是矩阵的秩； 经简单计算可知：r(A)=r(D)=r(E)=r(F)=3 这四个矩阵在轨道不变量为3的轨道上； r(B)=0, B 矩阵在轨道不变量为0的轨道上； r(C)=1,C 矩阵在轨道不变量为1的轨道上。

三、证明题（4 * 10分）
1．Suppose G is a group, S is a nonempty subset of G . Let
},,{)(S s sa as G a S C G ∈∀=∈= },{)(1S aSa G a S N G =∈=-
where }{11S s asa aSa ∈∀=--.
Choose one of ()G C S and ()G N S prove it ’s the subgroup of G . 2．设
G 是非交换群，||2G p =，且
p
是素数，则
G 必有p 阶子群。

证明：在G 中取异于单位元e 的元素a ，则a 生成的G 的子群为循环群<a>. 再去G 中除<a>之外的元素b ，得到由b 生成的G 的子群<b>，亦为循环群。

重复这样的步骤，因为G 是有限群，故上述步骤必有停止一刻。

上述得到循环群为G 的子群，故其阶只可能为1，2，p ，2p ； 阶为1只有{e}，其他不可能；
若得到的某个循环子群阶为2p ，则该子群即为群G ，即G 也是循环群，矛盾。

故2p 不可能取到；
如果阶都为2，则由书中前面习题亦可推出G 为循环群，矛盾。

所以在上述群当中必有p 阶子群存在。

得证。

3. 证明：实数域R 上的全体多项式集合01(),n n x a a x a x =++
++
R
0,n
a a ∈R ，在多项式的加法和乘法下成环。

依照环定义简单验证。

4．Let be the set of rational number(有理数集). Prove
(3){3|,}a b a b =+∈ is a
field.
依照域定义简单验证。