湖南师范大学2016年数学分析
新版湖南师范大学数学考研经验考研真题考研参考书
一年前的今天自己在宿舍为了是否要考研而辗转反侧，直到现在当初试结果跟复试结果都出来之后，自己才意识到自己真的考上了。
其实在初试考完就想写一篇关于考研的经验，毕竟这也是对自己一年来努力做一个好的总结，也希望我的经验，可以帮助奋斗在考研路上的你们。
首先当你决定考研的时候，请先想想自己是为了什么才决定要考研，并且要先想一下为什么非要选这个专业，作为你今后职业的发展方向，学习的动机决定了之后备考路上努力的成功还有克服一切困难的决心。
考研是一个很重要的决定，所以大家一定要慎重，千万不要随波逐流盲目跟风。
我选择这所学校的原因，一是因为这里是我的本校，二是因为这里离家也比较近。
所一大家一定更要个根据自己的实际情况来做出选择。
好啦，接下来跟大家好好介绍一下我的复习经验吧，希望对你们有所帮助。
另外还要说一句，这篇经验贴分为三个部分，先说英语政治，再说专业课，并且文章结尾分享了资料和真题，大家可以放心阅读。
湖南师范大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(723)数学分析和(841)高等代数参考书目为：1.复旦大学数学系编. 数学分析. 高等教育出版社, 19792.华东师范大学数学系编. 数学分析高等教育出版社, 20013.张学军、王仙桃等编. 数学分析选讲. 湖南师范大学出版社，20124.北京大学数学系编，高等代数 (第三版)，高等教育出版社, 北京（2003）；5.张禾瑞，郝炳新编，高等代数 (第五版)，高等教育出版社，北京（2008）。
先介绍一下英语现在就可以开始背单词了，识记为主（看着单词能想到其中文章即可，不需要能拼写）从前期复习到考试前每天坚持两到四篇阅读（至少也得一篇）11月到考试前一天背20篇英语范文（能默写的程度）。
那些我不熟悉的单词就整理到单词卡上，这个方法也是我跟网上经验贴学的，共整理了两本，每本50页左右，正面写英语单词，背面写汉语意思。
然后这两本单词卡就陪我度过了接下来的厕所时光，说实话整理完后除了上厕所拿着看看外还真的没专门抽出空来继续专门学单词。
湖南师范大学数学分析考研大纲
湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲考试科目代码：723 考试科目名称：数学分析一、试卷结构1) 试卷成绩及考试时间本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。
2)答题方式：闭卷、笔试3)试卷内容结构数学分析4)题型结构a: 填空题，10小题，每小题7分，共70分b: 讨论题，3小题，每小题10分，共30分c: 解答题(包括证明题)，5小题，每小题10 分，共50分二、考试内容与考试要求1、极限论考试内容①各种极限的计算；②单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理等实数基本理论的灵活应用；③连续函数特别是闭区间上连续函数性质的运用；④极限定义的熟练掌握等.考试要求（1）能熟练计算各种极限，包括单变量和多变量情形.（2）能熟练利用六个实数基本定理尤其是单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理进行各种理论证明．（3）能熟练掌握单变量连续函数特别是闭区间上连续函数的各种性质，并能利用这些性质进行计算和证明；掌握多变量连续函数的性质尤其是有界闭域上连续函数的性质，能利用这些性质进行计算和证明．（4）熟练掌握各种极限的定义，并能用逻辑术语进行理论证明.2、单变量微分学考试内容①微分中值定理（包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等）的灵活运用（包括单调性讨论、极值的求取、凸凹性问题、等式和不等式的证明等）；②Talor公式的灵活运用（包括用Lagrange余项形式证不等式、用Peano余项形式估计阶以及求极限等）；③各种形式导数的计算；④导数的定义和运用等.考试要求（1）熟练掌握微分中值定理，包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy 中值定理的条件和结论，能熟练利用这些定理进行理论证明或计算，包括函数单调性讨论、极值的求取、凸凹性问题的讨论、等式和不等式的证明等．（2）熟练掌握Talor公式的条件和结论，并能做到灵活运用，尤其是利用Lagrange余项形式证不等式、Peano余项形式估计阶以及求极限等.（3）熟练掌握复合函数导数的计算和高阶导数的计算．（4）熟练掌握导数的定义和性质，能用逻辑语言进行理论证明，熟练掌握利用导数定义进行证明或计算.3、单变量积分学考试内容①各种不定积分和定积分的熟练计算，尤其是计算中的处理技巧；②广义积分的计算和敛散性判别；③定积分的定义和性质的灵活运用等.考试要求（1）熟练计算各种不定积分、定积分，熟练掌握凑微分法、换元法、分部积分法以及常用的计算技巧，熟练掌握奇偶函数、周期函数的积分特点．（2）熟练掌握广义积分的计算，熟练掌握区间无限型、函数无界型以及混合型广义积分的敛散性判别，并能进行理论证明．（3）熟练掌握定积分的定义，能利用定积分的定义进行极限的计算，熟练掌握定积分的性质，并能利用这些性质进行理论证明，掌握常用可积函数类．4、级数论考试内容①各种数项级数尤其是正项级数的敛散性判别；②数项级数的性质③函数列和函数项级数的一致收敛性判别，给定函数Fourier级数的展开和特殊点的收敛性；④函数列和函数项级数一致收敛性质的灵活运用；⑤幂级数的收敛性和展开等知识的熟练掌握.考试要求（1）熟练掌握级数的敛散性判别，尤其是正项级数和交错级数敛散性判别.（2）掌握数项级数的一些常用性质，尤其是绝对收敛级数与条件收敛结束的常规性质.（3）熟练掌握函数列和函数项级数一致收敛性的判别，尤其是用定义、优级数判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法判别函数项级数的一致收敛性，熟练掌握给定函数的Fourier展开，能给出Fourier级数在特殊点的收敛性.（4）熟练掌握函数列和函数项级数一致收敛性的性质运用，包括连续性、可积性和可微性，能利用这些性质进行理论证明.（5）熟练掌握幂级数收敛区间的求法，熟练掌握常规函数的幂级数展开，并掌握一些特殊幂级数和函数的求法.5、多变量微分学和参变量积分考试内容①可微的定义；②求复合函数以及隐函数的偏导数；③多元函数极值理论；④参变量积分的一致收敛性判别；⑤参变量积分的计算；⑥参变量积分一致收敛性质的运用等.考试要求（1）掌握多元函数可微的定义，能熟练利用定义证明某些常规函数的可微性，掌握多元函数可微、连续、可求偏导之间的关系.（2）熟练掌握多元函数复合函数求偏导数尤其是高阶偏导数，掌握方程或方程组确定的隐函数偏导的计算.（3）熟练掌握多元函数极值的计算，并能计算有界闭域上连续函数的最值..（4）熟练掌握含参变量广义积分一致收敛性的判别.（5）熟练掌握含参变量常义积分和广义积分的计算.（6）熟练掌握含参变量常义积分和广义积分的连续性、可积性和可导性，并能利用这些性质进行计算和证明..6、多元积分学考试内容①二重积分、三重积分的计算；②格林公式、高斯公式的灵活运用；③两类曲线积分、两类曲面积分的计算；④各种积分之间的相互关系等考试要求（1）熟练掌握二重积分、三重积分的计算，熟练掌握降维、换元法，尤其是极坐标、球坐标变换.（2）熟练掌握Gree公式、Gauss公式的条件和结论.（3）熟练掌握第一类和第二类曲线积分和曲面积分的计算.（4）掌握平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数，熟练掌握利用Gree公式求第二类曲线积分、利用Gauss公式求第二类曲面积分、利用Stokes公式求空间第二类曲线积分..三、参考书目[1]复旦大学数学系编. 数学分析. 高等教育出版社, 1979[2]华东师范大学数学系编. 数学分析高等教育出版社, 2001[3] 张学军、王仙桃等编. 数学分析选讲. 湖南师范大学出版社，2012。
湖南师范大学2004-2016年数学分析考研试题
湖南师范大学2004年全国硕士研究生入学考试数学分析试题一、 基础题（每题8分，共64分）1.求证：方程7543361510360x x x x x 在实数轴上有且仅有一个根； 2.若,,b c d 为实数且23b c ，求证：32y x bx cx d 没有极值；3.求极限11limxx x ex；4.求不定积分22sin 1sin xdx x；5.求111lim 1cos3nn k k n n ；6.求级数0211!2nn n n的和；7.设,,a b c 为常数，()u 是u 的可微函数，(,)z z x y 由222()ax by cz x y z 决定且20z c ，求()()z zcy bz az cx x y。
8.求二重积分Dy x dxdy，其中D 为矩形：[0,1][0,1] 。
二、 （12分）设11ln ,1,2,,nn k x n n k，求证： （1）对一切自然数n 都有111ln(1)1n n n ；（2）数列{}n x 收敛。
三、 （10分）设()f x 在[0,) 上连续，在(0,) 内可导且(0)0f ，()f x 在(0,) 内严格单调递增，求证：()f x x在(0,) 上严格单调递增。
四、 （10分）设0 ，求积分22x x eeI dx x。
五、 （10分）设()f a 存在且不为0，0h ，根据拉格朗日中值定理有()()()(01)f a h f a f a h h ，求证：1lim 2h。
六、 （12分）设C 为圆周222x y 取正向，求第二类曲线积分：22(1)4(1)Cydx x dyI x y。
七、 （10分）设0()1S x，()1),1,2,,n S x x n，求证：函数列{()}n S x 在[0,1]上一致收敛于x 。
八、 （12分）求曲面积分2(1)SI yzdydz ydzdx z dxdy，其中S为球面z 取上侧。
九、 （10分）设广义积分1()f x dx收敛，函数()xf x 在区间[1,) 上单调递减，求证：（1）()0xf x ； （2）lim ()ln 0x xf x x。
2016湖师应用心理专硕初试真题简析-抢先版
湖南师大心理专硕2016年初试真题分析篇2016届浩浩荡荡的177万人全国研究生入学考试落下帷幕，虽然伴随着痛或者快乐的诸多回忆，这些过往挥之不去，依然在我们思绪里纷飞，但考试已然结束，这一切确实是给我们时长一年的考研征程划上了一个句号。
对于那些打算备考湖南师范大学347应用心理专硕的小伙伴们，我第一时间找到回忆版，希望从一名湖南师范大学研究生二年级学长的角度来带着大家一起分析今年的真题，我是你们的小白学长，以下所述内容，代表个人观点，仅供大家作为择校备考以及是否报考湖南师大应用心理的一个信息参考，纯手打，不喜忽喷。
谢谢大家！一、考试科目及题型分值分布科目及题型分值普通心理学人格心理学发展心理学临床与变态心理学社会心理学管理心理学合计名词解释4*5’=20分4*5’=20分1*5’=5分4*5’=20分1*5’=5分4*5’=20分90分简答题2*15’=30分2*15’=30分1*15’=15分2*15’=30分1*15’=15分2*15’=30分150分论述题0 0 1*30’=30分0 1*30’=30分0 60分总分值50分50分50分50分50分50分300分二、2016年考题在历年真题中的重复率分析普通心理学真题无重复考题，人格心理学中名词解释无条件积极关注，在2014年及2015年均考过，只是说法不同，14年和15年是以“积极关注”的名词解释出现的；发展心理学中埃里克森的心理社会性阶段发展论在14年和15年均考过大题；皮亚杰的相关理论在11年考过一道论述，今年虽然考察题目不同，但都是考察的皮亚杰的理论，由此可见，皮亚杰的相关理论是很重要的；临床与变态心理学无重复考题；社会心理学部分论述题考察助人行为的相关理论，在15年也考察了一道论述题；管理心理学部分无重复考题。
总体来看，今年考题在历年真题中重复出现的题目分值约占了50分。
由此来看，历年真题的参考价值还是很大的。
三、各科目题目特点简析及复习建议（一）心理学导论心理学导论，四个名词解释和两道简答题均是大纲上的考点，这几个名词解释基本属于送分题。
中山大学2016年(数学学院)考研真题初试试题《数学分析》663真题与解析
(x,y )(0,0 )
y
x0 且y0
x0 且y0
而 lim （1 cos 2 x ) 1 cos 1
(x,y )(0,0 )
y
x0 且y2 x
故 lim f (x,y) f (0,0) fx (0,0)x fx (0,0)y 不存在
则 f (x2 y2 z2 )dxdydz,t (0,1 ] x2 y2 z2 t2
2
t
t
f ( x2 y2 z2 )dxdydz d sin d f (r) r2dr 4 f (r) r2dr
x2 y2 z2 t2
而由泰勒公式 f (x) f (1) f ( )(x 1)，位于1与x之间
则
1
1
1
xn[f (1) f (x)]dx xn[f ( )(1 x)]dx [m,M ] xn(1 x)dx [m,M ]
1
0
0
0
(n 1)(n 2)
1
故 lim n xn[f (1) f (x)]dx 0 n 0
f ( )(x1 x2 )
在 n 时， f (x1) f (x2 ) f ( )(x1 x2 )
1
故 f (x) x 8 sin x 在 [0,)上不一致收敛
1
五．证明：由拟合法 f (1) lim n xn f (1)dx n 0
而由于 f (x)在 [ 0 ,1]上连续可知， 常数 M 及 m ，使得 m f (x) M
5.解：
0
2
dx e y2 dy
x
2
0
y
dy e y2 dx
2016年湖南师范大学本科生分省分专业招生计划表
2 2 3 2 2 2
2 2 2 1
2 2 2 22ຫໍສະໝຸດ 2 21 22 2 2
2 2 3
2 2 4 2 2
2
2
1 2 2 2 2
2 2 2 2 3
2 2
2 2 2 2
2
2
3 2 2
2
2
信息来自中国教育在线 整理：湖南师大新生群 285555326 转载请注明出处 二〇一六年六月二十四日
青海 宁夏 新疆 25 20 20
2
2
2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
4 2
2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
2 1
2 2 2 3 2
2 2 2
2 3 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
1 2 2 2 2 2 2 2
理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科 理科
8 22 18 47 9 8 8 48 67 16 36 8 10 16 18 17 26 8 7 10 10 0 5 29
2 2 2 2 3 3 3 3 3 2 2 6 2 2 4 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
数学分析试题库--计算题、解答题--答案
数学分析题库（1-22章）四．计算题、解答题求下列极限解：１.∞=+=--+=--∞→∞→∞→)2(lim 2)2)(2(lim 24lim2n n n n n n n n n ２． 111lim(1)1223(1)n n n →∞++++⋅⋅+111111lim(1)122311lim(1)11n n n n n →∞→∞=+-+-++-+=-=+３．111cos lim cos 1lim00===-→→x e x e x x x x ４.这是型，而 )1()1ln()1()1(]111)1ln(1[)1(][])1[(2121)1ln(11x x x x x x x x x x x ex xxx x x+++-+=+⋅++-+='='++故 原极限＝12(1)ln(1)lim(1)(1)xx x x x x x x →-++++ 2001ln(1)1lim2311lim 261x x x e x x e x x →→-+-=⋅+-=⋅⋅=∞++53)1(lim )1()1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→n n n n n n n n n n n 6 211lim(1)nn n n →∞++22(1)121lim(1)1n n n n n n n n +⋅+→∞=++因1)1(lim 2=+∞→nn n n ， ∞=+∞→1lim 2n n n 故原极限＝e e =1. 7． 用洛必达法则333sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim66=--=-→→xx x x x x ππ8. 00111lim()lim 1(1)x x x x x e xx e x e →→---=--0011lim lim 122x x x x x x x x e e xe e xe e →→-===+-+ 9. xx xx x sin tan lim--→;解法1：200tan sec 1lim lim sin 1cos x x x x x x x x →→--=--2201cos lim cos 1cos x x x x →-=-（）201cos limcos 2 x x x →+==解法2：2002030tan sec 1lim lim sin 1cos 2sec tan lim sin 2limcos 2x x x x x x x x x xx xxx→→→→--=--===10． 10lim(sin 2cos )xx x x →+解 因00sin 2cos 12cos 2sin limlim 21x x x x x xx →→+--==， （3分）故原式1sin 2cos 1sin 2cos 10lim(1sin 2cos 1)x x x x xx x x +-+-→=++-=2e求下列函数的导数sin 11.cos 12.ln(ln )13.14.sin .x xy e x y x y xy x ====求的各阶导数解 11x e x e y xxsin cos -=' 12 xx x x y ln 11ln 1=⋅=' 13)sin ln (cos )(sin ln sin xxx x x ey x xx +='=' 14 . cos sin()2y x x π'==+()sin sin(2)2cos sin(3)2sin()2n y x x y x x y x n πππ''=-=+⋅''=-=+⋅=+ 15 x e x e y xx2cos 22sin +=' 16 )1sin (ln cos 1xx x x y +-⋅+='17 )tan )ln(cos (cos )(cos ][sin )ln(cos sin x x x x e y x x x +='='18 ),2,1(),2)1(sin()( =⋅++=n n x yn π.19．1tan 22113sec ln 3x x x x x++-； 20.求下列函数的高阶微分：设x e x v x x u ==)(,ln )(，求)(),(33vud uv d解 因为xx x x x e x x xx e x e x e x e x v u v u C v u C v u dx uv d )ln 332(ln 13132)(2323231333++-=⋅+⋅+-⋅+='''+'''+'''+'''=所以 3233333)ln 332()()(dx x xx x e dx dx uv d uv d x ++-== )ln 332()(ln 13)(132)(ln )(23233333x x xx e e x e x e x e x e x dx d v u dx d x xx x x x -++=-⋅+⋅⋅+--⋅+=⋅=------所以 3233)ln 332()(dx x x xx e vud x-++=- 21. ;)(arctan 23x y = 解：332362arctan (arctan )6 arctan 1y x x x x x''==+22. ;xx y x =解： 令1xy x =,1ln ln y x x =两边对两边对x 求导有11ln 1y x y '=+,()ln x x x x x x x '=+ ln ln x y x x =两边对x 求导有(ln )x y x x y''= 1121 ()ln (ln ) (ln )ln ((ln )ln ) (ln ln )xxx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x ---''=+=++'=++=++23. 求由参量方程⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt所确定的函数的二阶导数:22dx y d 解法1：⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt由含参量方程的求导法则有cos sin cos sin cos sin cos sin t t t t dy e t e t t t dx e t e t t t++==-- 求22d y dx 即求参量方程cos sin ,cos sin cos ;t dy t tdx t t x e t +⎧=⎪-⎨⎪=⎩的导数 222223(cos sin )(cos sin )()2(cos sin )(cos sin )(cos sin )t t t t t t dyd d y t t dx dx dxe t t e t t -++-===-- 解法2：⎪⎩⎪⎨⎧==;sin ,cos t e y t e x tt由含参量方程的求导法则有cos sin cos sin tan()cos sin cos sin 4t t t t dy e t e t t t t dx e t e t t t π++===+-- 求22d y dx 即求参量方程tan(),4cos ;t dyt dx x e t π⎧=+⎪⎨⎪=⎩的导数2232()sec ()4sec ()4cos()4t t dy d t d ydx t dxdx t πππ-+===++24．设3xy x e =, 试求(6)y.解 基本初等函数导数公式，有32333()()3,()6,()6,()=0, 4,5,6,k x x x x x x k ''''''==== ()(e )e ,1,2,,6x k x k ==,应用莱布尼兹公式（6n =）得(6)32e 63e 156e 206e x x x x y x x x =+⋅+⋅+⋅32(1890120)e x x x x =+++.25．试求由摆线方程(sin ),(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩所确定的函数()y f x =的二阶导数.解d ((1cos ))sin cot ,d ((sin ))1cos 2y a t t t x a t t t '-==='--22421cot csc d 1222csc .d ((sin ))(1cos )42t t y t x a t t a t a '⎛⎫- ⎪⎝⎭===-'-- 26 .求2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式.解 因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++,所以2()ln(1)f x x =+到6x 项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为46226ln(1)()23x x x x o x +=-++.28．解 （1）)0(0sinlim )(lim 0f x x x f mx x ===→→，故对任意正整数m ，f 在0=x 连续. （2）⎩⎨⎧≤>==-=--='-→→→1101sin lim 01sinlim 0)0()(lim)0(1000m m x x x x x x f x f f m x m x x 不存在，故当1>m 时，f 在0=x 可导. （3）先计算f 的导函数.00≠∀x ，000000000000)1sin 1(sin 1sin)(lim1sin 1sin 1sin 1sin lim 1sin 1sinlim)(000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f mmm x x mm m m x x m m x x --+-=--+-=--='→→→200102000010000000100211cos1sin 11cos 1sin 2sin 2cos2lim 1sin )(lim 00x x x mx x x x x mx x x xx xx xx x x x x x x x x m m m m mx x m m m x x ---→---→-=⋅-=--+++++=⎩⎨⎧≤>=-=-='-→--→→220)1cos 1sin (lim )1cos 1sin(lim )(lim 20210m m x x mx x x x x mx x f m x m m x x 不存在由（2）知，0)0(='f ，于是当2>m 时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，所以当2>m 时，f '在0=x 连续.29．解 因为23)(,2)(x x g x x f ='='，故当0=x 时，0)0(,0)0(='='g f ，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间[-1, 1]上不能用柯西中值定理. 30．证明 （1）对任何0≠x ，有)0(01sin)(24f xx x f =≥=，故0=x 是极小值点. （2）当0≠x 时，有)1cos 1sin 2(1sin 21cos 1sin 21sin 4)(2223xx x x x x x x x x x f -=-='，作数列 221ππ+=n x n ，421ππ+=n y n ，则0→n x ，0→n y .即在0=x 的任何右邻域)0(0+U 内，既有数列}{n x 中的点，也有数列}{n y 中的点.并且0)(>'n x f ，0)(<'n y f ，所以在)0(0+U 内f '的符号是变化的，从而f 不满足极值的第一充分条件.又因为001sin lim)0(240=-='→x x x f x ，00)1cos 1sin 2(1sin 2lim )0(20=--=''→xx x x x x f x ，所以用极值的第二充分条件也不能确定f 的极值.31．答：能推出f 在),(b a 内连续.证明如下：),(0b a x ∈∀，取},m i n {2100x b a x --=ε，于是],[0εε-+∈b a x ，由题设，f 在],[εε-+b a 上连续，从而在0x 连续.由0x 的任意性知，f 在),(b a 内连续.32.试求函数32|2912|y x x x =-+在[1,3]-上的最值和极值. 解32222|2912||(2912)|(2912),10,(2912),03,y x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⎧--+-≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩在闭区间[1,3]-上连续, 故必存在最大最小值.2261812,618126(1)(2),10,6(1)(2),03,x x y x x x x x x x x ⎧-+-⎪'=⎨-+⎪⎩----≤<⎧=⎨--<≤⎩ 令0y '=,得稳定点为1,2x =. 又因(0)12,f -'=-(0)12,f +'= 故y 在0x =处不可导. 列所以0x =和2x =为极小值点, 极小值分别为(0)0f =和(2)4f =,1x =为极大值点, 极大值为(1)5f =.又在端点处有(1)23f -=,(3)9f =, 所以函数在0x =处取最小值0,在1x =-处取最大值23.33.求函数155345++-=x x x y 在[1,2]-上的最大最小值： 解：令()y f x =43222252015 5(43) 5(1)(3)y x x x x x x x x x '=-+=-+=-- 令0y '=解得函数在[1,2]-的稳定点为120,1x x ==, 而(1)10,(0)1,(1)2,(2)7f f f f -=-===-，所以函数在[1,2]-的最大值和最小值分别为 max min (1)2,(1)10f f =-=-. 34. 确定函数25363223+--=x x x y 的凸性区间与拐点: 解：令()y f x =26636,y x x '=--126,y x ''=-1260,y x ''=-=解得12x =， 当1(,)2x ∈-∞时，0y ''<，从而区间1(,)2-∞为函数的凹区间,当1(,)2x ∈+∞时，0y ''>，从而区间1(,)2+∞为函数的凸区间.并且1113()0,()222f f ''==，所以113(,)22为曲线的拐点.35.设11(1,2,)nn a n n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则{}n a 是有理数列. 点集{}1,2,n a n =非空有界,但在有理数集内无上确界.数列{}n a 递增有上界,但在有理数集内无极限.36.设11(1,2,)nn a n n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,则{}n a 是有理数列. 点集{}1,2,n a n =有界无限,但在有理数集内无不存在聚点.数列{}n a 满足柯西准则,但在有理数集内不存在极限.37.不能从H 中选出有限个开区间覆盖10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为H 中任意有限个开区间,设其中左端点最小的为12N +,则当103x N <<+时,这有限个开区间不能覆盖x .38.5232326129.6116ln 1326ln 1.x dx x x dx x x x x x x x C C ⎛⎫=-+-⎪++⎝⎭⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭=+⎛⎛⎜⎜⎠⎠39.令sin ,2x a t t π=<,则()()22222cos sin cos 1cos 2211sin 2arcsin .222a a td a t a tdt t dta x t t C a C a ===+⎛⎫⎛=++=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎰⎰⎰⎰40.()222222211131.arctan arctan arctan 1arctan 22211111arctan arctan .22221x x x xdx xd x x d x x x x x dx x x C x ⎛⎫++==-+ ⎪⎝⎭+++=-=-++⎛⎜⎠⎛⎜⎠⎰⎰41.()()23222211432.ln 111121ln 1.x dx dx x dxx x x x x x C +⎛⎫=+=++ ⎪++-+⎝⎭-+=+++⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎜⎠⎠⎠42.令t =则有()()2222218,11t t x dx dt t t +-==--, ()()2222242211111ln2arctan 2arctan.1t dt dt t t t t tt C C t ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭-++=-+=-⎛⎛⎜⎜⎠⎠43. 令tan 2xt =,则有22212cos ,11t x dx dt t t-==++, 22(2)111arctan 2arctan 2tan .53cos 2222141(2)d t dx dt x t C C x t t ⎡⎤===+=+⎢⎥-++⎣⎦⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠⎠. 44.()()11111111ln ln ln ln ln 2(1)ee eeeex dx xdx xdx x x x xx x e -=-+=--+-=-⎰⎰⎰.45.()()111111202222t t t t te dt tde tee dt e e ==-=-=⎰⎰⎰.46.12111000011arcsin arcsin 12222d x xdx x x πππ-=-=+=+=-⎛⎛⎜⎜⎠⎠⎰.47.22222111111lim lim 1221nn n i J n n n n n i n →∞→∞=⎛⎫=+++=⋅ ⎪++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.其中和式是函数21()1f x x=+在[0,1]上的一个积分和,所以11200arctan 41dx J x x π===+⎛⎜⎠. 48.()()()()().xx xaaaF x f t x t dt x f t dt tf t dt =-=-⎰⎰⎰.于是()()()()(),()()x xaaF x f t dt xf x xf x f t dt F x f x '''=+-==⎰⎰.49.以平面00()x x x a =<截椭球面,得一椭圆2222220022111y z x x b c a a +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以截面积函数为221,[,]x bc x a a a π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.于是椭球面的体积22413aa x V bc dx abc a ππ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎛⎜⎠.50.化椭圆为参数方程: cos ,sin ,[0,2]x a t y b t t π==∈.于是椭圆所围的面积为()2220sin cos sin A b ta t dt ab tdt ab πππ'===⎰⎰.51.(1cos ),sin ,02x a t y a t t π''=-=≤≤,于是所求摆线的弧长为22202sin 82t s a dta πππ====⎛⎜⎠⎰⎰.52.根据旋转曲面的侧面积公式2(baS f x π=⎰可得所求旋转曲面的面积为)02sin 2ln1S πππ⎤==⎦⎰.53.因为2222001111limlim lim 2222AAx xx A A A A xe dx xe dx e e +∞----→+∞→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.于是无穷积分2x xedx +∞-⎰收敛,其值为12.54.因为22211111lim lim 1(1)(1)AAA A dx dx x dx x x x x x x +∞→+∞→+∞-⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭⎛⎛⎛⎜⎜⎜⎠⎠⎠ ()111lim ln(1)ln lim ln 1ln 2ln 11ln 2.AA A x x A A x A →+∞→+∞⎛⎫⎛⎫=+--=+--+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是无穷积分21(1)dxdx x x +∞+⎰收敛,其值为1ln2-.55.因为1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦,从而级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的部分和为1111111111()(1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)4nn k k n k k k k k k k n n ==⎡⎤⎡⎤=-=-→→∞⎢⎥⎢⎥+++++++⎣⎦⎣⎦∑∑.于是该级数收敛,其和为14. 56.因为222111cos2sin 12limlim 112n n n n n n→∞→∞-==,且级数211n n ∞=∑收敛,所以级数111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛.57.因为1lim 1212n n n n →∞==<+,由根式判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛.58.因为()21sinlim21nn nn→∞-=,且级数11n n ∞=∑发散,故原级数不绝对收敛.但{}2sin n 单调递减,且2limsin 0n n →∞=,由莱布尼茨判别法知级数()121sin n n n ∞=-∑条件收敛. 59. 因为1111112sin sin cos cos cos cos 22222n nk k x kx k x k x x n x ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑,当(0,2)x π∈时,sin 02x≠,于是.所以级数1sin n nx ∞=∑的部分和数列111cos cos 221sin 2sin sin 22nn k x n x S kx x x =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==≤∑当(0,2)x π∈时有界,从而由狄利克雷判别法知级数1sin n nxn ∞=∑收敛;同法可证级数1cos 2n nxn ∞=∑在(0,)x π∈上收敛. 又因为2sin sin 11cos 21cos 2222nx nx nx nx n n n n n-≥=⋅=-,级数112n n∞=∑发散,1cos 2n nx n ∞=∑收敛,于是级数11cos 222n nx n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑发散,由比较判别法知级数1sin n nx n ∞=∑发散.所以级数1sin n nxn ∞=∑在(0,2)x π∈条件收敛. 60. 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn nn x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性. 解 记nn n n n x x v n x u ⎪⎭⎫⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x u n 收敛;ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗；ⅲ> e n x x v nn ≤⎪⎭⎫⎝⎛+=1|)(| 对 ∀∈x ] 1 , 0 [和n ∀成立. 由Abel 判别法, ∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛.61. )(x f n =221xn nx+, ∈x ] 1 , 0 [. 讨论函数列{)(x f n }的一致收敛性. 解 ∞→n lim )(x f n = 0, ∈x ] 1 , 0 [. |)(x f n ― 0|=)(x f n . 可求得10max ≤≤x )(x f n =,0 21) 1 (→/=n f n ) (∞→n . ⇒ 函数列{)(x f n }在区间] 1 , 0 [上非一致收敛.62. 函数列2212,0,211()22,,210, 1.n n x x n f x n n x x n n x n ⎧≤≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎩,2,1=n在]1,0[上是否一致收敛？解：由于(0)0n f =，故0)0(lim )0(==∞→n n f f .当10≤<x 时，只要xn 1>，就有0)(=x f n ，故在]1,0(上有0)(lim )(==∞→x f x f n n .于是函数列（8）在]1,0[上的极限函数0)(=x f ，又由于∞→==-∈n nf x f x f n n x )21()()(sup ]1,0[ )(∞→n ， 所以函数列（8）在[0，1]上不一致收敛. 63. )(x f n 2222x n xen -=在R 内是否一致收敛？解 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫⎝⎛-ne n f n ,) (∞→n . 由系2 , )}({x f n 不一致收敛. 64. 函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n在] 1 , 0 [上是否一致收敛？解 10≤<x 时, 只要1->x n , 就有)(x f n =0. 因此, 在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 0)0(=n f , ⇒ )0(f =∞→n lim )0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x , ) (∞→n ,因此 , 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛. 65. 求幂级数++++74533234333231x x x x 的收敛域 . 解 ++++74533234333231x x x x ∑∞=++=02131n n n x n x 是缺项幂级数 .∞→n lim, 31||||1⇒=+nn a a 3=R . 收敛区间为) 3 , 3 (-. 3±=x 时, 通项0→/. 因此 , 该幂级数的收敛域为) 3 , 3 (-.66. 计算积分⎰-=12dx e I x , 精确到0001.0.解 =-2x e∑∞=-02,!) 1(n nnn x ) , (∞+∞-∈x . 因此,⎰⎰∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞=-11002!) 1(2dx n x dx en n n x ∑⎰∞==-0102!) 1(n n n dx n x ∑∞=+-0!)12(1) 1(n nn n .上式最后是Leibniz 型级数 , 其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值 . 为使10001!)12(1<+n n ,可取7≥n .故从第0项到第6项这前7 项之和达到要求的精度.于是⎰-=12dx e I x 1111111352769241112013720≈-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅ 7468.000011.000076.000463.002381.010000.033333.01=+-+-+-=. 67. 把函数)(x f =)5ln(x +展开成)2(-x 的幂级数.解+-+-+-=+-n x x x x x n n 132) 1 (32)1ln(∑∞=--=11) 1 (n n n n x , ] 1 , 1 (-∈x .而7ln 721ln )27ln()5ln(+⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+=+x x x =∑∞=-+--117ln 7)2()1(n n nn nx , ] 9 , 5(-∈x .68. 求幂级数∑∞=+0!1n nx n n 的和函数. 解法一 收敛域为) , (∞+∞-,设和函数为)(x S , 则有⎰⎰∑⎰∑∞=∞==+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=xxn x nn n dt t n n dt t n n dt t S 00000)1(!1!1)(∑∞=+=01!n x n xe n x . 因此, ∑∞=+0!1n n x n n =)(x S =x x x e x xe dt t S )1()()(0+='='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰, ∈x ) , (∞+∞-. 解法二 ∑∞=+0!1n nx n n =∑∞=+0!n n n nx ∑∞==0!n nn x ∑∞=+-1)!1(n x ne n x = ∑∞=+=+=+=0)1(!n x x x x ne x e xe e n x x , ∈x ) , (∞+∞-.69. 展开函数xe x xf )1()(+=.解 =+=xxxe e x f )(∑∞=+0!n nn x ∑∞=+=01!n n n x ∑∑∞=∞=-+01)!1(!n n nn n x n x =+1∑∞=1!n n n x ∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++11)!1(1!11)!1(n n nn x n n n x ∑∞==++=1!11n nx n n ∑∞=∞+<+0 || ,!1n nx x n n . 70. 在指定区间内把下列函数展开成傅里叶级数,)(x x f =（i ）,ππ<<-x （ii ）.20π<<x解 （1）（i ）函数f 及其周期延拓后的图象所示. 显然f 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于011()0a f x dx xdx ππππππ--===⎰⎰.当1≥n 时，有211()cos cos 11sin |sin 1cos |0n a f x nxdx x nxdxx nx nxdx n n nx x ππππππππππππππ-----===-==⎰⎰⎰ 11()sin sin 11cos |cos 2,2,n b f x nxdx x nxdxx nx nxdx n n n n n nππππππππππππ----===+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩⎰⎰⎰当为偶数时，当为奇数时.所以在区间),(ππ-上,sin )1(2)(11nnxx f n n ∑∞=+-= （ii ）函数f 及其周期延拓后的图象所示. 显然f 是按段光滑的，故由收敛定理知它可以展开成傅里叶级数. 由于20012a xdx πππ==⎰.当1≥n 时2022001cos 11sin |sin 0n a x nxdxx nx nxdxn n ππππππ==-=⎰⎰,2022001sin 11cos |cos 2n b x nxdxx nx nxdxn n πππππππ==-+=-⎰⎰.所以在区间)2,0(π上1sin ()2n nx f x n π∞==-∑. 71. 设)(x f 是以π2为周期的分段连续函数, 又设)(x f 是奇函数且满足)()(x f x f -=π试求)(x f 的Fourier 系数⎰-=πππnxdx x f b n 2sin )(12的值， ,2,1=n . 解 由)(x f 是奇函数，故nx x f 2sin )(是偶函数，再由)()(x f x f -=π，故有()b f x nx x n 2022=⎰ππsin d ()=-⎰220πππf x nx xsin d . 作变换π-=x t ，则()()()b f t n t tn 20221=--⎰πππsin d ()=-⎰220ππf t nt tsin d=-b n 2 .所以,02=n b ,.,2,1 =n72. 设)(x f 以π2为周期，在区间]2,0[π内,()f x x x x =≤<=⎧⎨⎪⎩⎪20202πππ,,,,试求)(x f 的Fourier 级数展开式。
考研_2016一2017年湖南师范大学金融专业考研真题
2016一2017年湖南师范大学金融专业考研真题2016年湖南师范大学金融专业考研真题一、名词1、一价定律2、利息3、系统性金融风险4、金融监管5、净现值法则二、简答1、金融系统六大核心功能2、货币三大职能3、系统性风险与非系统性风险差异4、金融危机的危害5、西方商业银行经营管理理论的演变三、计算1、今天存1000，2年后存2000，5年后存3000；3年后取1500，7年后取1000，问：第八年存款是多少?这笔现金流量的现值是多少?2、公司每年EBIT为10000，借款利率为0.07，所得税为0.35，无负债的权益资本成本为17%，问公司价值为?若借款15000，以回购股票，公司价值为多少?四、论述1、你如何理解存款保险制度?2、并购协同效应的来源。
2017年湖南师范大学金融专业考研真题一、名词解释1．DD模型DD模型包括三个基本观点：银行开办活期存款可以通过在那些需要在不同的时间消费的人们之间进行较好的风险分担来改进竞争性的市场;提供这种改进的活期存款合同有一个大家不希望的均衡（银，处于这种均衡状态时，所有的存款人都很惊慌并且马上提款，包括那些本来是愿意把钱行挤兑）继续存在银行里的人;银行挤兑引起实际经济问题，因为即使是健康的银行也会失败，这造成贷款被收同，生产投资被终止。
为了制止或阻止银行挤兑，传统的工具有暂停存款变现和政府存款保险。
2．预防性需求指企业或个人为了应付突然发生的意外支出，或者捕捉一些突然出现的有利时机而愿意持有一部分货币。
根据凯恩斯的观点，货币的预防性需求也是同收入成正比的。
但是凯恩斯的投机性货币需求不考虑利率变动的影响，与现实情况不符。
在考虑了收入与支出在时间上的不确定性以后，惠伦等人论证了预防性动机的货币需求同样为利率的减函数，惠伦模型最有代表，他假设有3个影响因素:非流动性成本，持有预防性现金余额的机会成本，收入与支出的平均和变化情况。
即正相关，与利率r负相关。
3．私募发行私募发行是仅向少数特定投资者发行证券的.种方式，也称内部发行。
2016年考研数学二真题及答案解析
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设1(cos 1)a x x =-，32l n(1)a x x =+，3311a x =+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是()（A ）123,,a a a .（B ）231,,a a a .（C ）213,,a a a .（D ）321,,a a a .【答案】（B ）【解析】当0x +→时，211(cos 1)~2a x x x =--,5362l n(1)~a x x x =+,33111~3a x x=+-所以3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是231,,a a a ，故选B.2、已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是（A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩【答案】（D ）【解析】2(1)1()()ln 1x x F x f x dx x x x Cx ⎧-<==⎨-+>⎩⎰，()F x 需连续，(1)(1)F F +-=1C ⇒=3、反常积分121x e dx x -∞⎰①，1+201x e dx x∞⎰②的敛散性为（A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散.（C ）①发散，②收敛.（D ）①发散，②发散.【答案】（B ）【解析】11111020011(lim lim )1x x x x x x x e dx e d e e e x x--∞-∞→-∞→=-=-=--=-∞⎰⎰，收敛111111+2000011(lim lim )1lim 0x x x x x xx x x e dx e d e e e e x x++∞+∞→+∞→→+∞=-=-=--=-+=+∞⎰⎰，发散故选B.4、设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则()（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点.（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.【答案】（B ）【解析】根据极值的必要条件可知，极值点可能是驻点或导数不存在的点。
湖南省湖南师范大学附属中学2016届高三上学期第六次月考理数试题解析(解析版)含解斩
湖南师大附中2016届高三月考试卷（六）数学(理科）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
）1。
已知复数221z i i=++，则下列结论中正确的是( ）A ．的虚部为B ．2z =C ．2z 为纯虚数 D ．1z i =-+【答案】C111］考点:复数及其运算.2.已知条件:p ()()30x m x m --->；条件:q 2340x x +-<．若p 是的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()(),71,-∞-+∞B ．(][),71,-∞-+∞C ．()7,1-D ．[]7,1- 【答案】B 【解析】试题分析：设集合{}3x x m x m P =<>+或,{}Q 41x x =-<<．因为p是的必要不充分条件，则Q 是的真子集，所以34m +≤-或1m ≥,即7m ≤-或1m ≥，选B ．考点：1、充要条件；2、二次不等式。
3。
已知sin cos αα+=，且()0,απ∈，则cos 2α的值为（ ）A ．B ．14-C ．4D ．14【答案】A 【解析】1111］试题分析：由已知，()23sin cos 4αα+=，即31sin 24α+=，则1sin 24α=-．因为()0,απ∈，则sin 0α>，cos 0α<．因为()25cos sin 1sin 24ααα-=-=，则cos sin αα-=,所以()()cos 2cos sin cos sin ααααα=-+=，选A ．考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角公式.1 【方法点晴】本题主要考查同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属于中等难题。
本题是考查正余弦和、差、积知一求二的常见题型，要求考生熟练掌握它们之间的互化,即sin cos sin cos sin cos αααααα+⇔⇔-，以正余弦的平方和等于为工具，以sin cos αα为桥梁实现三者的互化，解决此类题型还应注意根的取舍.4.执行如图所示的程序框图，如果输入6m=，则输n=，4出的p等于（）A．60B．240C．300D．360【答案】D考点：程序框图。
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湖南师范大学2012年全国硕士研究生入学考试数学分析试题一、 基本填空题（每题6分，共72分）1.极限210sin lim(x x x x＿＿＿。
2.当参数p 满足条件＿＿＿时，级数1231ln (ln ln )pn n n n收敛。
3.设 为有限数，则 为非空实数集合E 之下确界的定义是＿＿＿。
4.设方程arctan y x 能决定可导的函数()y y x ，则dy dx＿＿＿。
5.幂级数31(1)8nnn x n收敛区间是＿＿＿。
6.设()f u 二阶可导，(y z f x ，则2zx y＿＿＿。
7.不定积分2sin xdx x=＿＿＿。
8.第一型曲线积分Cxds ＿＿＿，其中C 为球面2221x y z 和平面1x y z 的交线。
9.定积分1241cos sin 1x x dx x＿＿＿。
10.函数2(,,)f x y z x y z 在(0,0,0)点沿方向{1,1,1}l的方向导数(0,0,0)fl＿＿＿。
11.设()f t 在(,) 上连续，1111()()F x f x u v dudv，则()F x ＿＿＿。
12.当常数 ＿＿＿。
时，积分22cos 1L x axy dx x dy x在全平面上与光滑路径L 无关。
二、 （18分）设110,ln(1)(1,2,)1n n x x x n n n .若记n n xy n，（1）求证：{}n y 收敛，且收敛于0；（2）求111lim()n n ny y；（3）求lim n n x 。
三、 （14分）设()f x 和()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，求证：存在(,)c a b 使得{()()}(){()()}()f a f c g c g c g b f c四、 （14分）求第二类曲面积分32223(1)(23)Sxdydz ydzdx z dxdyI x y z，其中S 为球面：z ，且S 去上侧。
五、 （14分）设()f x 在[0,) 上可导，(0)0f ，当0x 时()()f x f x ，求证：在[0,)()0f x 上。
六、 （10分）设0a，已知2x e dx，求2()cos 2ax I y e yxdx。
七、 （8分）证明：数列1211n n严格单调递减。
湖南师范大学2011年全国硕士研究生入学考试数学分析试题一、 基本填空题（每题10分，共100分）1.求广义积分sin 2x e xdx。
2.求极限20(1)cos2limln(1)x x xx x 。
3.求积分max{2,}x dx。
4.设2222()(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy x y x y f x y x y x y，求0(0,)(0,0)lim x x y f y f y。
5.求幂级数21(1)(21)(1)n nn x n n的和函数。
6.求三重积分2()Vx y z ，其中222:1V x y z 。
7.求极限221122limn nn j i i jn n 。
8.假设22(,)323ydx xdydu x y x xy y ，求(,)u x y 。
9.求第二类曲线积分2222149x y xdy ydxx y ，其中积分曲线取正向。
10.假设()f x 具有一阶连续导数，求11((x xI f dydz f dzdx zdxdy y y x y，其中 表示由曲面221y x z 和229y x z 所围成立体的表面，方向去外侧。
二、 基本证明（每题15分，共45分）1.设()f x 在[0,) 上连续，lim (),(0)x f x A f A。
证明：()f x 在[0,) 上存在最小值。
2.设非负函数()f x 在[0,1]上连续且不为0，证明：1()0f x dx。
3.设()f x 在[1,2]上连续，D 由12xy xy y =x 、、和4y x 所围闭域在第一象限部分，证明：21()ln 2()Df xy dxdy f u du三、 （5分）假设平面域D 的边界C 是一条光滑的Jordan 曲线，函数(,)f x y 在D 内满足：22(,)(,)0x y f x y f x y 。
证明：22(,)(,)(,)(,)C D f x y f x y f x y f x y ds dxdy x y n其中n表示C 的外法向量。
湖南师范大学2010年全国硕士研究生入学考试数学分析试题一、 基本填空题（每题5分，共85分）1. 2009200920092010123lim n n n ＿＿＿。
2.设(,)z x y 是由2sin()z z x y 确定的隐函数，则2d z ＿＿＿。
3.若5350sin lim 0x x x bx ax x，则a ＿＿＿，b ＿＿＿。
4.不定积分sin axe xdx ＿＿＿。
5.曲线积分212Cxydx x dy＿＿＿，其中C 是位于上半平面中以(0,0)为起点，(1,1)为终点的有向光滑曲线。
6.幂级数311sin n n n n x n的收敛半径是＿＿＿。
7.曲线241x t y t在(1,0)点处的曲率半径为＿＿＿。
8.函数221xy x的拐点有＿＿＿，渐近线有＿＿＿。
9. 2(1)011(21)!nn n x dx n ＿＿＿。
10.设(1)(0)x y x x ，则dy ＿＿＿。
11.若(,)u x y 二阶可导，则22u ux y y x 的充分条件之一是＿＿＿。
12.若0b a ，则10ln b ax x dx x＿＿＿。
13.若级数1(1)ln 1p pn n收敛，则p 的取值范围是＿＿＿。
14.方程20x e ax bx c 最多有多少个实根＿＿＿。
15.已知211(,)(,)(,,)(,,)x xyx b x z a x z dx dy f x y z dz dx dz f x y z dy，则(,)a x z ＿＿＿，(,)b x z ＿＿＿16. 222212202010lim ()x y x y x y x y x y＿＿＿。
17.若 表示圆周222x y a 并取逆时针方向，则22xdx ydyx y＿＿＿。
二、 计算题（每题10分，共50分）1.求函数22z x y在闭区域22((9x y上的最大值和最小值。
2.将2[1,0)()[0,1)x f x xx 展成傅里叶级数。
3.求极限110()lim(sin )x x f t x dt t，其中0,()f x 为[0,1]上的连续函数。
4.计算第二类曲面积分2222()n z xdydz ydzdx zdxdyI x y z ，其中n 为整数，曲面的正向为上侧。
5.令2222220()00k x yx y f x x y x y，求k 的最大取值区间使得(,)f x y 在(0,0)点处可微。
三、 证明题（共15分）1.（10分）用有限覆盖定理证明维尔斯特拉斯聚点定理。
2.（5分）设()f x 在 , 上连续可导且lim ()lim ()x x f x f x A，证明：存在一点, 使得()0f 。
2009年全国硕士研究生入学考试数学分析试题一、 基本填空题（每题6分，共72分）1.设3ln()z z x x y 能决定隐函数(,)z z x y ，则2(1,0)zx y＿＿＿。
2. 01max (1)n mx x x ＿＿＿。
3. lim sin )n n n＿＿＿。
4.若lim0x ax b，则b ＿＿＿。
5.设22220(,)00pxy x y f x y x y在(0,0)可微，则p 的取值范围是＿＿＿。
6.曲线积分222(222)Cx y z x y z ds＿＿＿，其中C 为球面2221x y z 和平面0x y z 的交线。
7.设x y xe ，则()(0)n y ＿＿＿。
8.不定积分arctan 2xdx＿＿＿。
9. 定积分2sin 1cos x xdx x＿＿＿。
10.幂级数2111n n n x n的收敛半径为＿＿＿。
11.曲线sin 1cos x y在(,2) 点的切线方程为＿＿＿。
12.第二型曲线积分2221sin (1x y yx dy ydx y ＿＿＿，其中曲线取正向。
二、 （18分）设()f x 在 , 上可导，且(,)sup()x k f x（1）.求证()f x 在 , 上一致连续；（2）.若01k ，任取0(,)x ，令1()(1,2,)n n x f x n ，求证：{}n x 收敛； （3）.若01k ，证明：()f x 在 , 上有唯一不动点。
三、 （16分）（1）.对任意0R ，求22222x y R x y RI edxdy；（2）.求证：2x edx。
2008年全国硕士研究生入学考试数学分析试题一、 基础题（每题8分，共80分）1.若ln ,01(),1x x f x ax b x在(0,) 上可导，求常数a 和b 。
2.求幂级数31(31)8nnn x n的收敛区间。
3.设(,)f u v 的所有二阶偏导数都连续，2(,)y w x f xy x ，求2wx y。
4.求2222C C x y x yI dx dy x y x y ，其中C 为22331x y 取正向。
5.设113(1)1,(1,2,)3n n nx x x n x，求证：{}n x 收敛，并求lim n n x 。
6.设0 ，求广义积分201(1)(1)dx x x 。
7.求证：函数项级数1(1)ln(1)n n x x n在[0,1]上一致收敛。
8.求含参量积分10ln b ax x I dx x，其中0b a 。
9.求椭球体的222111222333()()()1a x b y c z a x b y c z a x b y c z 体积，其中1112223330a b c a b c a b c 。
10.求第二类曲面积分222SI x dydz y dzdx z dxdy，其中S 为锥面222z x y 上 02z 部分，取下侧。
二、 计算及讨论题（每题15分，共30分）1.求定积分13011dx x ，并求级数11(1)32n n n的和。
2.已知322,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x x y f x y x y x y，（1）.求(,)f x y 在(0,0)点的偏导数(0,0)x f 和(0,0)y f ；2007年全国硕士研究生入学考试数学分析试题一、 基本计算题（每题10分，共60分）1.设L 是从(0,1)点到(0,3)点的曲线x()f x 在[0,) 上连续可微，求22215()()(1)L x y I yf xy dx xf xy dy y y y。