2019高考数学一轮复习不等式选讲第1课时绝对值不等式练习理

哈哈哈哈哈哈哈哈你好
第 1 课时绝对值不等式
1．不等式 x2－ |x| －2<0(x ∈ R) 的解集是 ( )
A． {x| － 2<x<2} B． {x|x< －2 或 x>2}
C． {x| － 1<x<1} D． {x|x< －1 或 x>1}
答案 A
分析方法一：当 x≥0时， x 2－ x－ 2<0，
解得－ 1<x<2，∴ 0≤ x<2.
当 x<0 时， x2＋x－ 2<0，
解得－ 2<x<1，∴－ 2<x<0.
故原不等式的解集为{x| － 2<x<2} ．
方法二：原不等式可化为|x| 2－ |x| － 2<0，
解得－ 1<|x|<2.
∵| x| ≥0，∴ 0≤ |x|<2 ，∴－ 2<x<2.
∴原不等式的解集为{x| － 2<x<2} ．
2． ab≥ 0 是 |a － b| ＝ |a| － |b| 的 ()
A．充分不用要条件B．必需不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不用要条件
答案 B
分析当 ab≥0， a<b 时， |a －b| ≠|a| － |b| ，故条件不充分．
当 |a －b| ＝ |a| － |b| 时，则 ab≥0且|a| ≥|b|. 故条件必需．综
上可知， ab≥0 是 |a －b| ＝ |a| － |b| 的必需不充分条件．
3．若 2－ m与 |m| － 3 异号，则 m的取值范围是()
A． m>3B．－ 3<m<3
C． 2<m<3D．－ 3<m<2或 m>3
答案 D
分析方法一： 2－ m与 |m| － 3 异号，因此 (2 －m)·(|m| － 3)<0 ，因此 (m－ 2)(|m| － 3)>0.
m≥ 0，m<0，
因此或
（m－ 2）（ m－ 3） >0 （ m－ 2）（－ m－ 3）>0.
解得 m>3或 0≤m<2或－ 3<m<0.
方法二：由选项知，令m＝ 4 切合题意，清除B， C两项，令m＝ 0 切合题意，可清除 A 项．
4．(2018 ·四川成都模拟) 对随意实数x，若不等式 |x ＋ 2| ＋|x ＋ 1|>k 恒建立，则实数k 的取值范围是() A． k<1B． k≥ 1
C． k>1D． k≤ 1
答案 A
分析由题意得k<(|x ＋2| ＋ |x ＋ 1|) min，而 |x ＋ 2| ＋ |x ＋1| ≥|x ＋ 2－ (x ＋ 1)| ＝ 1，因此 k<1，应选 A.
5．不等式 |x ＋3| － |x －1| ≤a2－ 3a 对随意实数x 恒建立，则实数 a 的取值范围为()
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哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊A ． ( －∞，－ 1] ∪[4 ，＋∞) B ． ( －∞，－ 2] ∪[5 ，＋∞) C ．[1 ，2] D ． ( －∞， 1] ∪[2 ，＋∞)
答案 A
分析 ∵|x ＋ 3| － |x －1| ≤|(x ＋ 3) － (x － 1)| ＝ 4， ∴ a 2－3a ≥4恒建立．∴ a ∈( －∞，－ 1] ∪[4 ，＋∞ ) ．
6．(2018 ·甘肃白银一模 ) 对随意的实数 x ，不等式 x 2＋ a|x| ＋1≥0恒建立，则实数 a 的取值范围是 (
)
A ． ( －∞，－ 2)
B ． [ － 2，＋∞)
C ． [ －2， 2]
D ． [0 ，＋∞)
答案 B
2
－ 1－ |x|
2
1
分析 当 x ＝ 0 时，不等式 x ＋ a|x| ＋1≥0恒建立， 此时 a ∈R. 当 x ≠0时，则有 a ≥ |x|
＝－ (|x| ＋
|x| ) ， 设 f(x) 1 1 ≥ 2( 当且仅当 |x| ＝ 1 时取等号 ) ，则 f(x)
＝－ (|x| ＋ ) ，则 a ≥ f(x) max ，由基本不等式得 |x| ＋
max |x| |x| ＝－ 2，故 a ≥－ 2. 应选 B.
7．(2018 ·广州综合测试一 ) 若不等式 |x － a|<1 的解集为 {x|1<x<3} ，则实数 a 的值为 ________．
答案 2
由题意可得， 1 和 3
|1 － a| ＝ 1，
分析 是方程 |x － a| ＝1 的根，则有 解得 a ＝2.
|3 － a| ＝ 1，
8．(2018 ·重庆五区抽测 ) 若函数 f(x) ＝ |x ＋2| ＋ |x －m| － 4的定义域为 R ，则实数 m 的取值范围为 ________． 答案 ( －∞，－ 6] ∪[2 ，＋∞)
分析 依据题意，不等式 |x ＋ 2| ＋ |x － m|－4≥0 恒建立，因此 (|x ＋ 2| ＋ |x － m|－ 4) min ≥ 0.
又 |x ＋2| ＋ |x －m|－4≥|m ＋ 2| －4，因此 |m ＋ 2| －4≥0? m ≤－ 6 或 m ≥2.
4
9．(2017 ·浙江 ) 已知 a ∈ R ，函数 f(x) ＝ |x ＋ x － a| ＋ a 在区间 [1 ， 4] 上的最大值是 5，则 a 的取值
范围是
________．
9
答案
( －∞， 2]
4
9
9
分析 ∵x ∈[1 ， 4] ，∴ x ＋ x ∈ [4 ，5] ，①当 a ≤ 2时， f(x)
＝ |5 －a| ＋ a ＝5－ a ＋ a ＝ 5，切合题意；②当 a>2
max
时， f(x)
9
9
＝ |4 － a| ＋ a ＝ 2a －4＝ 5，∴ a ＝ 2( 矛盾 ) ，故 a 的取值范围是 ( －∞，
2] ．
max
10．(2018 ·江西九江一模 ) 已知函数 f(x)
＝ |x － 3| － |x － a|.
1
(1) 当 a ＝ 2 时，解不等式 f(x) ≤－ 2；
(2) 若存在实数 x ，使得不等式 f(x) ≥ a 建立，务实数 a 的取值范围．
11
3
答案 (1){x|x ≥ 4 } (2)( －∞， 2]
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1， x≤ 2，
分析(1) 当 a＝ 2 时， f(x)＝|x－3|－|x－2|＝5－2x，2<x<3，
－1，x≥ 3，
1 x≤2，2<x<3，x≥3，
11
f(x) 或 1 或 1 ≤ x<3，或 x≥3，
≤－等价于解得
2 1 4
1≤－5－2x≤－－1≤ ，
2 2 2
11
因此原不等式的解集为 {x|x ≥4 } ．
(2) 由不等式的性质可知 f(x) ＝ |x － 3| － |x －a| ≤ |(x － 3) － (x －a)| ＝ |a － 3|. 因此若存在实数x，使得 f(x)
3 3
≥ a 建立，则 |a －3| ≥a，解得 a≤2，故实数 a 的取值范围是 ( －∞，2] ．
11．(2016 ·课标全国Ⅰ ) 已知函数 f(x) ＝ |x ＋ 1| －|2x － 3|.
(1)画出 y＝ f(x) 的图像；
(2)求不等式 |f(x)|>1 的解集．
1
答案(1) 看法析图(2){x|x< 3或 1<x<3 或x>5}
x－ 4， x≤－ 1，
3 分析(1)f(x) ＝3x－ 2，－ 1<x≤2，
3
－x＋ 4， x>2.
y＝ f(x) 的图像如下图．
(2)由 f(x) 的表达式及图像，
当 f(x) ＝ 1 时，可得 x＝1 或 x＝3；
当 f(x) ＝－ 1 时，可得 x＝1
或 x＝5， 3
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哈哈哈哈
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故 f(x)>1 的解集为 {x|1<x<3} ；
1
f(x)< － 1 的解集为 {x|x< 3或 x>5} ．
1 因此 |f(x)|>1
的解集为 {x|x<
或 1<x<3 或 x>5} ．
3
12．(2018 ·河南郑州质量展望 ) 设函数 f(x) ＝ |x －4| ＋ |x －a|(a<4)
．
(1) 若 f(x) 的最小值为 3，求 a 的值；
(2) 求不等式 f(x) ≥ 3－ x 的解集．
答案
(1)1
(2) R
分析
(1) 因为 |x － 4| ＋|x －a| ≥|(x － 4) － (x － a)| ＝ |a － 4| ，
又 a<4，因此当且仅当 a ≤x ≤4时等号建立．故 |a －4| ＝ 3，因此 a ＝ 1 为所求．
(2) 不等式 f(x) ≥ 3－ x 即不等式 |x － 4| ＋ |x －a| ≥3－ x(a<4) ，
①当 x<a 时，原不等式可化为 4－x ＋ a －x ≥3－ x ，即 x ≤a ＋ 1.
因此，当 x<a 时，原不等式建立．
②当 a ≤x ≤4 时，原不等式可化为
4－ x ＋ x －a ≥3－ x.
即 x ≥a － 1. 因此，当 a ≤x ≤4时，原不等式建立． ③当 x>4 时，原不等式可化为
x －4＋ x －a ≥3－ x ， a ＋ 7
a ＋ 7 即 x ≥ 3 ，因为 a<4 时， 4>
3
.
因此，当 x>4 时，原不等式建立．
综合①②③可知：不等式 f(x)
≥3－ x 的解集为 R.
13．(2017 ·课标全国Ⅲ ) 已知函数 f(x) ＝ |x ＋ 1| －|x － 2|.
(1) 求不等式 f(x) ≥ 1 的解集；
(2) 若不等式 f(x) ≥ x 2－ x ＋ m 的解集非空，求 m 的取值范围．
5
答案
(1){x|x ≥1}
(2)( －∞， 4] － 3， x<－ 1，
分析
(1)f(x) ＝ 2x －1，
－1≤x ≤2，
3， x>2.
当 x<－ 1 时， f(x) ≥ 1 无解；
当－ 1≤x ≤2 时，由 f(x) ≥ 1，得 2x －1≥1，
解得 1≤x ≤2；
当 x>2 时，很显然 f(x) ≥ 1 恒建立，故 x>2.
因此 f(x) ≥ 1 的解集为 {x|x ≥1} ．
(2) 由 f(x) ≥ x 2－ x ＋ m 得 m ≤|x ＋ 1| － |x － 2| － x 2＋ x.
2
2
3 2 5 5
而 |x ＋1| － |x －2| － x ＋x ≤|x| ＋ 1＋ |x| －2 － x ＋ |x| ＝－ (|x| －2) ＋
4≤4，
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哈哈哈哈哈哈哈哈你好
当且仅当x＝3
时， |x ＋ 1| － |x － 2| － x2＋ x＝
5
.
2 4
5
故 m的取值范围为 ( －∞，4] ．
14．(2018 ·湖北七市联考) 设函数 f(x)＝|x－a|，a∈ R.
1
(1) 若 a＝ 1，解不等式f(x)≥ 2(x＋1)；
(2) 记函数 g(x) ＝ f(x)－|x－2|的值域为A，若 A? [ － 1， 3] ，求 a 的取值范围．
1
答案(1)( －∞，3] ∪[3 ，＋∞)(2)[1 ， 3]
分析(1) 因为 a＝ 1，故 f(x) ＝1－ x，x<1，x－ 1，x≥ 1.
1 1 1
当 x<1 时，由 f(x) ≥2(x ＋ 1) ，得 1－x≥2(x ＋ 1) ，解得 x≤3；
1 1
当 x≥1时， f(x) ≥2(x ＋1) ，得 x－1≥2(x ＋ 1) ，解得 x≥3.
1 1
综上，不等式f(x) ≥2(x ＋ 1) 的解集为 ( －∞，3] ∪[3 ，＋∞ ) ．
a－ 2， x≤a，
(2)当 a<2 时， g(x) ＝ 2x－ 2－ a，a<x<2，g(x) 的值域 A＝ [a －2， 2－ a] ，2
－ a， x≥2
a－ 2≥－ 1，
由 A? [ － 1， 3] ，得解得a≥1，又a<2，故1≤a<2；
2－a≤3，
a－2， x≤ 2，
当 a≥2时， g(x) ＝－2x＋ 2＋ a，2<x<a，g(x) 的值域 A＝ [2 －a， a－ 2] ，2
－ a， x≥ a
2－ a≥－ 1，
由 A? [ － 1， 3] ，得解得a≤3，又a≥2，故2≤a≤3.
a－2≤3
综上， a 的取值范围为[1 ， 3] ．
15．(2018 ·福州市联考试卷) 已知 f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈ R)．(1)当 a＝ 1 时，求不等式 f(x) ≥0 的解集；
(2) 若函数 f(x) 恰有两个不一样的零点，务实
数 a 的取值范围．
答案(1){x|x ≤－ 4 或 x≥2} (2)( － 2， 2)
1
，
－ x－ 4，x<
2 分析(1) 当 a＝ 1 时， f(x) ＝ |2x － 1| ＋ x－ 5＝
1
3x－ 6，x≥2，
1 1
由 f(x) ≥0，得x<
2
，
或x≥2，解得 x≤－ 4 或 x≥2，－x－4≥0 3x－6≥0，
故不等式 f(x) ≥ 0 的解集为 {x|x ≤－ 4 或 x≥2} ．
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(2) 令 f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5，
则函数 f(x)恰有两个不一样的零点转变为y＝ |2x － 1| 与 y＝－ ax＋ 5 的图像有两个不一样的交点，
在同一平面直角坐标系中作出两函数的图像如下图，联合图像知当－2<a<2 时，这两个函数的图像有两个不同的交点，因此当－2<a<2 时，函数f(x)恰有两个不一样的零点，故实数 a 的取值范围为( － 2， 2) ．
1．若 |a － c|<|b| ，则以下不等式中正确的选项
是()
A． a<b＋ c B． a<c－ b
C． |a|>|b| － |c| D． |a|<|b| ＋ |c|
答案 D
分析∵|a| －|c| ≤|a － c|<|b| ，∴ |a|<|b| ＋ |c|.
2．设会合 A＝ {x||x － a|<1 ， x∈R} ， B＝ {x||x － b|>2 ， x∈ R} ，若 A? B，则实数 a， b 必知足 ()
A． |a ＋b| ≤3 B． |a ＋b| ≥3
C． |a －b| ≤3 D． |a －b| ≥3
答案 D
分析|x － a|<1 ? － 1<x－ a<1? a－ 1<x<a＋ 1，|x －b|>2 ? x<b－ 2 或 x>b＋ 2，∵ A? B，∴ a＋1≤b－ 2，或 b＋2≤a－ 1，即 b－a≥3或 a－b≥3，应选 D.
3．(2017 ·山西忻州四校二次联考) 已知函数 f(x) ＝|x ＋ 2| ＋ |2x － 4|.
(1) 求 f(x)<6 的解集；
(2) 若对于 x 的不等式 f(x) ≥ m2－ 3m的解集是 R，求 m的取值范围．
8
答案(1){x|0<x< 3} (2) －1≤m≤4
8
分析(1) 由题设知，当 x≥2时，不等式等价于x＋ 2＋ 2x－4<6，即 2≤x< 3；
当－ 2<x<2 时，不等式等价于x＋ 2＋ 4－ 2x<6，即 0<x<2；
当 x≤－ 2 时，不等式等价于－x－ 2＋ 4－ 2x<6，即无解．
因此不等式的解集是{x|0<x< 8 } ．3
(2) 由图像或许分类议论可得f(x) ＝ |x ＋ 2| ＋ |2x －4| 的最小值为
2
4，则 m－3m≤4，解得－ 1≤m≤4.
1 4． ( 2017·辽宁大连双基考试) 设函数 f(x) ＝ |x － 1| ＋2|x － 3|.
(1)求不等式 f(x)>2 的解集；
1
(2) 若不等式f(x)≤ a(x＋2)的解集非空，务实数a 的取值范围．
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1
答案 (1)( －∞， 3) ∪(3 ，＋∞)
(2)( 3 4
－∞，－ ) ∪[ ，＋∞)
2 7
3 5
1
1 3 5
分析
(1) 原不等式等价于 － 2x ＋ 2>2，
或 2x ＋ 2>2，或 2x －2>2，
x ≤1 1<x ≤ 3
x>3，
1
解得不等式的解集为 ( －∞， 3) ∪(3 ，＋∞ ) ．
3 5
－ 2x ＋ 2， x ≤ 1，
1 1
1
(2)f(x)
＝ |x －1| ＋ 2|x －3| ＝ x ＋ ， 1<x ≤3，
2
2
3 5
2x － 2，x>3.
f(x) 图像如下图，此中 A(1 ， 1) ， B(3 ，2) ，
1
1
直线 y ＝ a(x ＋2) 绕点 ( －2， 0) 旋转，
由图可得不等式 f(x) 1
3 4 ≤ a(x ＋ ) 的解集非空时， a 的取值范围为 ( －∞，－
)∪[，＋∞)．
2 2 7
5．(2018 ·沧州七校联考 ) 已知函数 f(x) ＝ |1 － 2x| － |1 ＋ x|.
(1) 若不等式 f(x)<4 的解集为 {x|a<x<b} ，求 a ， b 的值； (2) 求使不等式 f(x)
≤ k － f( － 2x) 有解的实数 k 的取值范围．
(1)a ＝－ 2， b ＝ 6 (2)[ 3
答案
－4，＋∞)
－x ＋ 2， x< －1，
1
分析
(1) ∵ f(x) ＝
－3x ，－ 1≤x ≤ 2，
1
x －2， x> ，
2
当 x<－ 1 时，－ x ＋ 2<4，∴－ 2<x<－ 1；
1
1
当－ 1≤x ≤ 2时，－ 3x<4，∴－ 1≤x ≤ 2；
1 1 当 x> 时， x － 2<4，∴ <x<6.
2
2
故由 f(x)<4
得－ 2<x<6，∴ a ＝－ 2， b ＝ 6.
(2) 不等式 f(x) ≤ k － f( － 2x) 有解，
即 |1 －2x| － |1 ＋x| ≤k － |1 ＋ 4x| ＋ |1 － 2x| ，
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即 k≥|1 ＋ 4x| － |1 ＋ x| 有解，
3
又 |1 ＋4x| － |1 ＋ x| 的最小值为－4，
3
∴实数 k 的取值范围为[ －，＋∞ ) ．
4
6．(2018 ·广东五校一次诊疗) 已知函数f(x) ＝ |x －a|.
(1)若 a＝ 1，解不等式： f(x) ≥ 4－ |x － 1| ；
1 1
(2)若 f(x) ≤ 1 的解集为 [0 ， 2] ，m＋2n＝ a(m>0， n>0) ，求 mn的最小值．答案(1)( －∞，－ 1] ∪[3 ，＋∞) (2)2
分析(1) 当 a＝ 1 时，不等式为 |x －1| ≥4－ |x － 1| ，即 |x －1| ≥2，
∴x－1≥2或x－1≤－2，即x≥3或x≤－1，∴
原不等式的解集为 ( －∞，－ 1] ∪[3 ，＋∞ ) ．
(2)f(x) ≤ 1? |x －a| ≤1? －1≤x－a≤1? a－1≤x≤a＋ 1，
∵ f(x) ≤ 1 的解集为 [0 ，2] a－ 1＝0，
，∴得 a＝1.
a＋ 1＝2
1 1 1
(m>0， n>0) ，
∴ ＋＝1≥2
m 2n 2mn
∴ mn≥2( 当且仅当1 1 1
，即 m＝2， n＝ 1 时取等号 ) ．＝＝
2
m 2n
∴ mn的最小值为 2.
7．(2018 ·洛阳一致考试 ( 一 )) 已知 f(x) ＝ |2x － 1| － |x ＋ 1|.
(1)将 f(x) 的分析式写成分段函数的形式，并作出其图像；
1 4
(2) 若 a＋ b＝ 1，对 ? a，b∈ (0 ，＋∞ ) ，a＋b≥ 3f(x) 恒建立，求 x 的取值范围．
答案 (1) 如分析图(2)[ － 1， 5]
－x＋ 2， x<－ 1，
1
分析(1)由已知，得f(x) ＝－3x，－1≤x≤ 2，
1
x－2， x>2
函数 f(x)的图像如下图．
(2)∵a， b∈ (0 ，＋∞ ) ，且 a＋ b＝1，
1 4 1 4 b 4a b 4a b 4a1 2
∴a＋b＝ ( a＋b)(a ＋ b) ＝5＋ ( a＋b ) ≥5＋ 2a·b＝9，当且仅当a＝b，即a＝3，b＝3时等号建立．
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1 4
∵a＋b≥ 3(|2x － 1| － |x ＋ 1|) 恒建立，
∴|2x － 1| － |x ＋1| ≤3.
联合图像知－ 1≤x≤5，
∴ x 的取值范围是 [ － 1，5] ．
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