年崇明县高考模拟考试(理科参考答案)

2009年崇明县高考模拟考试
数学理科试卷参考答案与评分标准2009.4.28
一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，）
1、 1
2、-2
3、[)+∞⋃⎥⎦
⎤ ⎝
⎛
-∞-,12
1, 4、 40 5、1
2
6、4
7、1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
8、 6π⎛⎫
⎪⎝⎭ 9、()5,7 10、41
50
11、2A 为4，3，2，1 12、-(1,3)（答案不唯一） 二、选择题（本大题共4小题，共16分）
13、D 14、C 15、A 16、A 三、解答题（本大题共5小题，满分74分） 17、本题满分12分（其中（1）6分（2）6分） 解：（1）1
3
P ABC ABC V S PD -∆=
⋅
=
⋅⋅=123(2) （理）如图建立空间直角坐标系
A （2，0，0）,C （0，，0）E （00）、F （11）
A E =（-20）A F =（-11）A C =（-2，，0）
设平面AEF 的一个法向量为(),,n x y z =
n AE ⋅=
-+=20x n AF ⋅=
-++=0x z
取=1x ，=y =-1z ，即 ()=-11n
设A C 与n 的夹角为ϕ，AC 与平面AEF 所成的角为θ，
sin cos n AC n AC
θϕ⋅==
⋅=
所以AC 与平面AEF
所成的角为。

18、本题满分12分（其中（1）6分（2）6分） 解：（1）由434sin 4cos
22
=-C C 得3
cos 24
=C 。

2
cos 2cos 12
=-C
C =18
（2）cos CB CA a b C ⋅=⋅5
82
ab =
=，ab =20； 2
2
2
2cos =+-c a b ab C
()2
22cos =+--a b ab ab C =36
6=c
19、本题满分14分（其中（1）6分（2）8分） 解：（1）当0a <，时,)(b x
a
x x f ++=在()0,+∞上是增函数； 当0a =，时(),f x x b =+在()0,+∞上是增函数； 当0a
>，时()f x
在(
上是减函数，在)+∞上是增函数 。

（2）不等式()
10f x ≤在114⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，即等价于max ()10f x ≤
⎤
⎥⎣⎦，11()44
4f a b =++，(1)1f a b =++ 因为1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，
所以
()1()14f f -=334a -0> 所以max
11()()444f x f a b ==++，1
4104a b ++≤ 1
1044
b a ≤--，min 11044b a ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭
得23
4
b ≤
20、本题满分16分（其中（1）4分（2）6分（3）6分）
解：（1）由((42))(2)0k
x k x -+-=可知方程两根为42,2k
k +
1k =，12=a ，26=a
2k
=，34=a ，=410a
（2）（理）当4k ≤，即8n ≤时，1
2
2,22,n n n a n n 为奇数为偶数+⎧⎪=⎨⎪+⎩
当5k ≥，即9n ≥时，224,2,n
n n n a n 为奇数为偶数+⎧⎪=⎨⎪⎩
（3）（理）当4k ≤，即8n ≤时，1
2
2,22,n n n a n n 为奇数为偶数+⎧⎪=⎨⎪+⎩
，
ⅰ）当2,n k k N =∈为偶数时，
n s =
2(12)(642)
122
k k k -+++-+=-++122224k k k
+=-++2
12
2
222
n
n n
ⅱ）当21,n
k k N =-∈为奇数时，
n s =()()-+--+
+-2
1
12
12
2212
n n n +12
2
n +
()+-=+
+-2
32
12
242
n n n
当5k ≥，即9n ≥时，224,2,n
n n n a n 为奇数为偶数+⎧⎪=⎨⎪⎩
ⅰ）当2,n
k k N *=∈为偶数时，
n s =
2(12)(642)
122
k k k -+++-+=-++122224k k k
+=
-++2
12
2
222
n n n
ⅱ）当21,n
k k N ∙=-∈为奇数时，
n s =()()-+--+
+-2
1
12
12
2212
n n n +24n +
()+-=+
+2
32
12
42
n n n
21、本题满分20分（其中（1）4分（2）6分（3）10分） 解：（1）2=
c ,2=a
椭圆C 的标准方程：22
142
+=x y （2）设),(),,(2211y x B y x A ，中点为),(000y x P
),(1212y y x x --=，),21
(000y x P --=
由于P 0⊥， 所以0))(()2
1
)((012012=--+--y y y x x x （Ⅰ）
则2
21124x y +=① 222224x y +=②． 由①②两式相减得： 22221212220x x y y -+-=
即()()()()1212121220x x x x y y y y -++-+= （Ⅱ） 由（Ⅰ），（Ⅱ）得：10=x 因此：点M 的所有“相关弦”的中点在同一条直线1x =上。

另解：设直线AB 的方程为0k ,b kx y ≠+=,设AB 中点为()000y ,x P ()11y ,x A ()22y ,x B
⎪⎩⎪⎨⎧=++=12y 4
x b kx y 2
2消去y 得()
042b 4kbx x 12k 2
22=-+++ 1
2k b
2y y y ,12k 2kb 2x x x 22102210+=+=+-=+=
直线AB 的中垂线方程为⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+12k 2kb x k 112k b
-
y 2
2
把点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,21M 代入得⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+12k 2kb 21k 112k b -022
可知
21
1
2k kb 2
-=+ 所以Q 的横坐标11
2k 2kb
2x x x 2210=+-=+=
即“相关弦”AB 的中点在同一直线1x =上。

（3）（理）推广的评分要求分四层
第一层:特殊的点与特殊的抛物线（双曲线）共4分（问题2分，证明2分）
例题一：若A 、B 是曲线x y 42=上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与
x 轴相交于点M ，则称弦AB 是点M 的一条“相关弦”，如果点M 的坐标为M （4,0），求证点M
的所有“相关弦”的中点在同一条直线上。

（注：px y t M 2),0,(2=，须符合p t >）（双曲线应该就是否在同一分支上进行分类讨论）
第二层：点P 推广到一般或椭圆推广到一般（或一般的抛物线、双曲线）（6分，问题3分、解答3分）
例题二：若B A 、是椭圆C ：22
142
+=x y 上的不同两点．弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点M ，则称弦AB 是点M 的一条“相关弦”，如果点M 的坐标为(,0)M t ，证明：点M 的所有“相关弦”的中点在同一条直线2x a =，()1,1t ∈-上。

第三层:椭圆到一般，点到一般（8分，问题4分、解答4分）
例题三：若B A 、是椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>）上的不同两点．弦AB （不平行于y 轴）
的垂直平分线与x 轴相交于点M ，则称弦AB 是点M 的一条“相关弦”，如果点M 的坐标为
M (,0)t ，当a
b a t a b a 2222-<<--时，证明：点M 的所有“相关弦”的中点在同一条直线上。

第四层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（10分，问题5分、解答5分）（需正确地表述t 的范围）
例题四：若B A 、是抛物线C ：2
2(0)y px p =>（或双曲线22
221x y a b
-=）上的不同两点．弦
AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点M ，则称弦AB 是点M 的一条“相关弦”，
如果点M 的坐标为M (,0)t ，p t >时，证明：点M 的所有“相关弦”的中点在同一条直线
p x x -=上。