有理数及其运算总复习
初一数学上册 有理数及其运算
有理数及其运算（复习）一、正负数有理数的分类：_____________统称整数，试举例说明。
_____________统称分数，试举例说明。
____________统称有理数。
正确理解非负数和非正数。
练习：1、把下列各数填在相应额大括号内：1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7正整数集｛ …｝；正有理数集｛ …｝；负有理数集｛ …｝ 负整数集｛ …｝；自然数集｛ …｝；正分数集｛ …｝ 负分数集｛ …｝2、某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。
二、数轴规定了 、 、 的直线，叫数轴练习：1、如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）2、在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。
4，-|-2|， -4.5， 1， 03、下列语句中正确的是（ ）Ａ数轴上的点只能表示整数Ｂ数轴上的点只能表示分数Ｃ数轴上的点只能表示有理数Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来4、①比－3大的负整数是_______； ②已知ｍ是整数且-4<m<3，则ｍ为_______________。
③有理数中，最大的负整数是 ，最小的正整数是 。
最大的非正数是 。
④与原点的距离为三个单位的点有_ _个，他们分别表示的有理数是 _和_ _。
5、在数轴上点A 表示-4,如果把原点O 向负方向移动1个单位,那么在新数轴上点A 表示的数是( ) A.-5， B.-4 C.-3 D.-26、画出数轴，把下列各组数分别在数轴上表示出来，并按从大到小的顺序排列，用“>”连接起来：⑴ 1，－2，3，－4 ⑵31，0，3，－0.2三、相反数1、像2和-2、-5和5、2.5和-2.5这样，只有 不同的两个数叫做互为相反数。
0的相反数是 。
一般地：若a 为任一有理数，则a 的相反数为-a2、相反数的相关性质：a 、相反数的几何意义：表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O 的两边，并且到原点的距离相等。
第二章 有理数及其运算(知识归纳+题型突破)(解析版)
第二章有理数1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；2.理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能正确解题；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.理解有理数加法、减法、乘法、除法法则、；5.理解有理数乘方定义及运算；6.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；7.通过将减法转化成加法和将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想8.进一步掌握有理数的五则混合运算；9.理解科学记数法，了解近似数；10.能运用科学记数法表示较大的数.知识点1 正数和负数1.概念正数：大于0的数叫做正数。
负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。
）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
知识点2：有理数1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。
分数：正分数、负分数统称分数。
（有限小数与无限循环小数都是有理数。
）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）知识点3 ：相反数1.概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。
(完整版)有理数及其运算知识点汇总
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数有理数及其运算知识点汇总 1、2、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。
3、任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。
（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）4、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
（0的相反数是0）5、在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。
数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。
正数在原点的右边，负数在原点的左边。
6、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离。
数a 的绝对值记作|a|。
7、正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0的绝对值是0。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(||a a a a a a 或 ⎩⎨⎧<-≥)0()0(||a a a a a 8、绝对值的性质：除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数； 互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥09、比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。
比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。
10、绝对值的性质：①对任何有理数a ，都有|a|≥0②若|a|=0，则|a|=0，反之亦然③若|a|=b ，则a=±b④对任何有理数a,都有|a|=|-a|11、有理数加法法则：①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。
②异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并 用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。
③一个数同0相加，仍得这个数。
有理数及其运算复习精选教学PPT课件
口答题
(-2)+(-10) (-31)-12
5+(-17) 23-(-10)
(-28)+0 (-10)-(-12)
3、有理数的乘法： 两数相乘，同号得正，异号得负， 绝对值相乘
任何数与0相乘，积仍为0 倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数
4、有理数的除法 ：
求法：整数、分数、小数 法则一：两数相乘，同号得正，异号 得负，
敞开心胸，便会云蒸霞蔚，快乐将永远伴随着你！
3、在数轴上，点A表示的数是4，则到点A的距离是5的数 是_________
9或-1
绝对值：1、定义： 在数轴上，一个数所对应 的点与原点的距离
2、性质： ①正数的绝对值是它本身
②负数的绝对值是它的相反数 ③0的绝对值还是0
3、比较大小
巩固练习（三）
1、绝对值是4的数有_2__个，分别是__4_和_-_4____；
我开始虚伪，听着谎言却装做一无所知；我学会窥探，四处打听如蛇之祟行，而十分看轻自己； 我的故事越编越好，好莱坞金牌编剧也没这般丰富多采，只为让他多留一分钟。
最后，我打他一巴掌。干脆痛快，出手的瞬间，像那位绝望的母亲，远远掷出她的高跟鞋。掷中没有？并不重要。 有多爱，就有多不舍；有多温柔，就有多暴烈，爱得唇边有血，眼中有泪，胸口有纠缠的爱与恨，爱到如连体婴般骨肉相连。割爱，就一定不可能如拈去一片花叶般轻松微笑。 明知留不住，收不下，却不能自控我颠倒狂乱的脚步。那一遭，我是夜深街上，追逐汽车的女子。而我无声的哭泣，他没有听见。快乐是人类社会众望所归的最高境界。所谓君子之交谈如水。一个把名缰利锁看得太重的人。注定是不快乐的。快乐就是看淡尘世的物欲、烦恼，不慕荣利。假如你喜欢武侠小说，你没有必要愧对红楼梦； 假如你喜欢的人突然销声匿迹，你没有必要寻死觅活地断言他一定洒脱地离去；假如你的朋友不幸，你没有必要怨天尤人；假如你认为张曼玉艳美绝俗，你没有必要眼馋肚饱虐待老婆；假如你已经身心交病，那就去教堂忏悔，没有必要仇视别人的平庸；坦然面对心融神会，快乐就在你心里。我怜悯一个有点荣誉的人，就旁若无人而因此失 去快乐的人。能把名利得失置之度外，而凡事都能以诚相待的人一生将是快乐的。我们应从平谈的生活中去提炼体会，如：赤城待人的那种快乐。低待遇下一如既往工作的快乐，助人为乐一介不取的快乐，一片至诚去感化恶人的快乐，热心被人误解依然如故的快乐，信实可靠的服务态度为目的的快乐，尽责任吃苦耐劳的快乐，因为这些 “快乐”能保持住人内心的快乐，使人的容貌永远那么牵挂，一句亲切的问候。甚至一个关切的眼神，快乐无处不有，唯有胸襟开阔的人，才能体会到。形单影只的人仍然可以享受着闲情逸致的快乐。乐山乐水各不相同。爱静的人可以看书、听音乐、上网、写作、画画、搜集各种收藏品。爱动的人则不妨练习舞蹈、慢跑、爬山、游泳。看 电影、上健身房。做编织、陶艺。练瑜枷、潜心发明、闭门创作，摄影、观鸟，我们仍然兴复不浅，乐不可支。人生苦短，岁月如流，乐天知命，为什么不乐乐陶陶的。为什么要疾首蹙额，为眼前一时的顿挫心胆俱碎？为什么要对那些你看不惯的人和事心烦率乱？岂不知我们都是尘世间相映成趣的战友。人世一切冤天屈地，无妄之灾，荣 华富贵，香娇玉嫩……都将随身亡命殒。而人生长着百年，短则数十寒暑，又有何值得耀武扬威的，不过是烟云过眼矣？人生如月，月满则亏，凡事岂能尽人意，但求于心无愧。无愧我心，则恩同再造，那些得失又算不了甚么。世界上没有完美无缺得事物。奉劝多愁善感的朋友。饮醇自醉，快乐起来吧！芸芸众生，绿水青山，名胜古迹，
有理数及其运算知识归纳及练习
第二章 有理数及其运算班级**〔一〕有理数知识点1：正数和负数1、设上升为正，上升200米记作米，则下降300米应记作，不升不降应记作.200+2、〔2021·〕如果零上记作，则零下可记作〔 〕.5C o 5C +o 7C oA. B. C. D. 7C -o 7C +o 12C +o 12C -o知识点2：有理数及其分类3、大于零的数叫______，在正数前面加上“﹣〞〔读作负〕的数叫______；____既不是正数，也不是负数。
4、〔2021•〕如果收入50元，记作+50元，则支出30元记作( )元. A.+30 B.-30 C.+80 D.-805、把以下各数填在相应的大括号：1，－0.1，－789，25，0，－20，－3.14，52正整数集｛…｝；非负整数集｛ …｝正分数集｛…｝；负分数集｛ …｝正有理数集｛ …｝；负有理数集｛ …｝〔二〕数轴知识点1：数轴的定义6、数轴的三要素：______，________，_________.知识点2：数轴上的点与有理数的关系7、比拟有理数的大小： ①数轴上右边的数总比左边的数__；②正数都______零；③负数都_____零；④正数______一切负数.8、〔1〕数轴上和原点距离等于4.3个单位的点所表示的数是________；〔2〕和表示的点距离等于4个单位的点所表示的数是_________；5-9、〔2001•呼和浩特〕在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是〔 〕A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数10、〔2021•莱芜〕如图，在数轴上点A 表示的数可能是〔 〕A ．1.5B ．－1.5C ．－2.4D ．2.411、数轴上A 、B 两点表示的数分别为a 、b ，且点A 在点B 的左边，以下结论正确的选项是( )A ．a ＋b ＜0B ．a ＋b ＞0C ．a －b ＜0D ．a －b ＞012、以下说法错误的选项是〔 〕A ．数轴是一条直线 B ．数轴上的原点表示数0C ．数轴上表示数－a 的点在原点的左边 D ．0是正数与负数的分界点〔三〕绝对值知识点1：相反数13、只有符号不同的两个数互为_______；数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离且分别在原点的两边；0的相反数是___；a 的相反数是_____；互为相反数的两个数相加和为_____.14、〔2005•〕如果□+2=0，则“□〞应填的实数是〔 〕A ．﹣2B ． C. D.2212115、以下关于相反数、数轴的说法，不正确的选项是〔 〕A ．符号相反的两个数互为相反数 B ．假设a=－a ，则数轴上表示a 的点是原点C ．数轴上关于原点对称的两个点表示相反数 D ．假设a ＋b=0，则a 、b 互为相反数16、写出以下各数的相反数，并在数轴上把这些相反数表示出来：知识点2：绝对值17、(1)数a 的点与原点的距离叫做，数a 的绝对值记作∣a∣；(2)意义：假设a ＞0，则∣a∣＝. 假设a ＝0，则∣a∣＝____. 假设a ＜0，则∣a∣＝___ ；两个负数比拟大小,绝对值越大的负数反而____；两个点a 与b(a ＜b)之间的距离为：______。
第二章 有理数及其运算 复习
数学·新课标〔BS〕
第二章 |过关测试
数学·新课标〔BS〕
第二章 |过关测试 ►考点十 科学记数法 例11 用科学记数法表示80 000 000×90 000 000的计算结
果．
解：80 000 000×90 000 000＝7 200 000 000 000 000＝×1015.
＋9，－3，－5，＋4，－8，＋6，－3，－6，－4，＋10. (1)最后出租车离开钟楼多远？在钟楼的什么方向？ (2)假设每千米的收费价格是元，该出租车周日下午的营业额 是多少？
数学·新课标〔BS〕
第二章 |过关测试 解：(1)＋9－3－5＋4－8＋6－3－6－4＋10＝0，故该出租
车正好在钟楼； ×(|＋9|＋|－3|＋|－5|＋|＋4|＋|－8|＋|＋6|＋|－3|＋|－6|＋|
第二章 有理数及其运算 复习
第二章 |过关测试
知识归类
1．有理数
(1)有理数
整数
正整数 零
负整数
分数
正分数 负分数
(2)有理数 正零有理数
正整数 正分数
负有理数Βιβλιοθήκη 负整数 负分数数学·新课标〔BS〕
第二章 |过关测试 2．数轴：(1)数轴的概念：规定了____原__点_、____正__方_、向
所示，则a________b(填“＜〞、“＞〞或“＝〞) .
数学·新课标〔BS〕
第二章 |过关测试 [答案] ＜ [解析] 由图可知，实数a、b都是负数，且表示数a的点在
表示数b的点的左边，所以a＜b.
数学·新课标〔BS〕
第二章 |过关测试 例4 有理数a、b在数轴上的位置如图2－2所示，试化简|a
第二章 有理数及其运算知识梳理
第二章有理数及其运算一、正负数1.【正数】：像+1.8，+420、+30、+10%等带大于0的数叫做正数。
为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
2.【负数】：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等小于0的数叫做负数。
负数前面的“－”号不能省略。
3.【零】：既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
判断：-a一定是负数吗？二、用正负数表示相反意义的量：1.判断下列表述是否是相反意义的量（1）气温零上5℃表示为+5℃，那么-3℃表示气温下降3℃。
（2）购进50斤苹果与卖出-50斤苹果。
2.“某种机器零件规定其直径误差不得超过±0.8mm”这是什么意思？三、有理数及其分类：1.【定义】：整数与分数统称为有理数（注意：所有的有限小数和无限循环小数都可以化为分数。
）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数2.请把下列各数填入相应的集合中7，-9.25，，157，212-75%，31.25，-（-6.5）,负数集合：{ …}非负数集合：{ …}整数集合：{ …}分数集合：{ …}1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴与数的关系（1）任意一个有理数，都可以用数轴上的一点表示，但数轴上的一点不一定表示有理数，它可能表示无理数。
（2）数轴上的数，左边的数总要小于右边的数。
正数＞0 ，负数＜0，正数＞负数。
负数绝对值（数字）越大，数值越小。
一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度；表示数（定义）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0（性质）-a 的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度．（3）最小的非负整数 ；最小的正有理数 ；最大的负整数 ；1.概念：只有符号不同的两个数叫相反数；在任意一个数的前面添上一个“-”号，就变为这个数的相反数。
(完整版)有理数的除法及其运算知识点汇总
(完整版)有理数的除法及其运算知识点汇
总
1. 有理数的除法规则
- 有理数除以非零有理数，除数不为负时，商为正，除数为负时，商为负。
2. 有理数的除法步骤
- 将除法转化为乘法：除法问题可以转化为乘法问题，即将除数的倒数与被除数相乘。
- 计算乘积：将除数的倒数与被除数相乘，并化简答案。
3. 有理数的除法性质
- 除法的运算交换律：a ÷ b = b ÷ a
- 除法的运算结合律：(a ÷ b) ÷ c = a ÷ (b × c)
- 除法的运算分配律：a ÷ (b + c) = a ÷ b + a ÷ c
4. 有理数的除法运算技巧
- 将除数写成一个最简分数或小数，有助于计算时减小出错概率。
- 当除数很接近被除数时，可通过调整被除数变成除数的倍数，从而简化除法计算。
5. 有理数除法应用
- 有理数的除法在实际生活中有广泛应用，比如计算货币兑换、计算长短时间等。
6. 实例演算
以下是一个有理数的除法示例演算过程：
例如：计算-0.5 ÷ 0.2
从上述示例可见，有理数的除法运算需要注意符号、化简答案
和特殊情况的处理。
以上是有理数的除法及其运算知识点的汇总。
希望对您有帮助！。
有理数及其运算复习
－8 ，－1
非正有理数
（2）有理数中，最小的正整数是__1___，最 大的负整数是_－__1___ （3）请说出大于－4且小于2的所有整数。
－3，－2，－1，0，1
二 数轴三要素 原点，单位长度，正方向
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来 表示。 三 相反数只有 符号不同源自两个数互为相反数和－2.7
知识流程图
比
正
数
有
数 轴
较 大 小
负
理
数
数
绝
相 反
零
对
数
值
倒
数
解决实际问题
若a,b互为相反数，则a+b=0
四 绝对值 一个数所对应的点与原点的距离就叫该数的绝对值。 ①一个正数的绝对值是它本身；②一个负数的 绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。 因为正数可用a＞0表示，负数可用a＜0表示， 所以上述三条可表述成： (1)如果a＞0，那么|a|＝ a
(2)如果a＜0，那么|a|＝ -a
（3） │－32︱的相反数是32
(
(× ) )×
（4）在数轴上与原点的距离等于6的点有
哪些？
±6
（5）.已知数x，并且它的绝对值是2即 │x│=2，则数x等于多少呢？
X=±2
（6）.绝对值小于5的整数有_9__个,分别 是_4_,_3_,2_,_1_,0_,_-1_,_-2_,_-_3_,-.4
（7）.绝对值不大于5的整数中,最大的 数是_5__,最小的数是_－_5_.
一、有理数的分类
有
整数
正整数 零 负整数 有
正整数 正有理数
正分数
理 数
分数
理
正分数 数
有理数及其运算知识点总结
有理数及其运算知识点总结
1. 有理数是可以表达为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及可以用分数表示的数。
2. 有理数的加法和减法运算：
- 相同符号的有理数相加减，绝对值相加减，结果带相同符号。
- 不同符号的有理数相加减，绝对值相减，结果带绝对值大的符号。
3. 有理数的乘法和除法运算：
- 相同符号的有理数相乘、相除，结果为正数。
- 不同符号的有理数相乘、相除，结果为负数。
4. 有理数的乘法：
- 非零有理数相乘，绝对值相乘，符号由乘法规则决定。
- 0乘以任何数等于0。
5. 有理数的除法：
- 非零有理数相除，绝对值相除，符号由除法规则决定。
- 0不能作为除数。
6. 有理数的乘方：
- 正数的乘方：底数不变，指数相乘。
- 零的非负整数次幂为0，零的负整数次幂没有定义。
- 1的任何整数次幂仍为1。
- 负数的偶次幂为正数，奇次幂为负数。
7. 有理数的相反数是指与其绝对值相等，但符号相反的数。
8. 有理数的倒数是指其倒数等于它的分子和分母互换位置后的比值。
9. 有理数的绝对值是指其去掉符号的值。
10. 有理数的大小比较：
- 两个有理数绝对值相等，但符号相反时，负数较大。
- 两个正数比较大小，绝对值大的数较大。
- 两个负数比较大小，绝对值小的数较大。
这些是有理数及其运算的基本知识点总结，能够帮助理解有理数的概念和规则。
数学 第二单元 有理数及其运算 知识点汇总
七年级-上册
七年级上册-第二章 有理数及其运算
七年级上册-第二章 有理数及其运算
1.有理数 2.数轴 3.绝对值 4.有理数的加法 5.有理数的减法 6.有理数的加减混合运算 7.水位的变化 8.有理数的乘法 9.有理数的除法 10.有理数的乘方 11.科学记数法
七年级上册-第二章 有理数及其运算
思维导图
七年级上册-第二章 有理数及其运算
正数和负数的概念
⒈正数和负数的概念 负数：比 0 小的数 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数。 注意： ①字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示 0 时，-a 仍是 0。 （如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a, -a 就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2. 具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量， 比如：零上 8℃表示为： +8℃； 零下 8℃表示为： -8℃ 3. 0 表示的意义 ⑴0 表示“ 没有”，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人； ⑵0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。
有理数及其运算复习课件(经典)
本课件全面回顾有理数的概念、运算规律及应用。通过丰富的图表和实例， 让您轻松掌握复杂的数学概念。我们开始吧！
有理数的概念及表示方法
通过例子和图示介绍有理数的定义以及常见的表示方法，如数轴、分数等。掌握有理数的基本概念和表示形式。运算规律和性质。通过实例演示绝对值在数轴上的 作用，帮助理解和掌握绝对值的概念。
有理数的比较与大小关系
介绍有理数的大小比较方法和运算规则。通过练习问题培养对有理数大小关 系的敏感性和判断能力。
有理数的加法与减法运算规律
总结有理数加法和减法的运算规律，提供实例演示。通过具体问题，培养对 有理数运算的理解和应用能力。
有理数的乘法与除法运算规律
详细介绍有理数乘法和除法的运算规律和性质。通过解决实际问题，巩固对 有理数乘除法的掌握。
有理数的运算性质及证明
探讨有理数运算的基本性质和证明方法。通过数学推理和证明题，加深对有理数运算性质的理解和运用。
有理数的约分与通分
教授有理数的约分和通分方法，通过实例演示和练习题，提高对有理数约分 和通分技巧的掌握。
有理数的混合运算
解释有理数的加减乘除混合运算规则，通过实际问题和练习题，提升对有理数混合运算的应用能力。
有理数及其运算知识要点归纳
有理数及其运算知识要点归纳
一、有理数的概念
有理数包括整数和分数，它们都可以用分数的形式表示，而且可以是正数、负数或零。
二、有理数的表示与比较
有理数的表示可以使用小数形式或分数形式，小数形式可以是有限小数或无限循环小数。
比较有理数时，可以将它们表示成相同的分数形式，然后比较分子大小。
三、有理数的加法与减法运算
有理数的加法和减法运算可以直接进行，只需将同类项相加或相减即可。
注意要充分理解负数的加法和减法规则，以及对负数的运算顺序。
四、有理数的乘法与除法运算
有理数的乘法和除法运算同样可以直接进行，将分子乘（除）以分子，分母乘（除）以分母，并进行约分。
注意正数、负数相乘的规则，以及除法时被除数和除数的正负情况。
五、有理数的运算性质
有理数的四则运算包括交换律、结合律、分配律等运算性质。
理解并熟练运用这些性质可以简化计算过程，提高计算的准确性。
六、有理数的绝对值
有理数的绝对值是其去掉正负号后的数值。
可以用公式表示绝对值，也可以通过分情况讨论来计算。
七、有理数的倒数
有理数的倒数是指一个数的倒数与该数相乘的结果为1。
分母不为零时，可以直接写出有理数的倒数。
总结：有理数的概念、表示与比较、加法与减法运算、乘法与除法运算、运算性质、绝对值和倒数是掌握有理数及其运算知识的重要要点。
以上是关于有理数及其运算知识要点的归纳。
《第二章有理数及其运算》归纳总结
若a、b互为相反数，则a+b= 0 ③与0相加 a是任一个有理数，则a+0= a
2)有理数减法法则
减去一个数， 等于加上这个数的相反数.
即 a-b=a+(-b)
课后作业
完成练习册本课时的习题
例：分别求出数轴上两点间的距离： ①表示2的点与表示-7的点； ②表示-3的点与表示-1的点.
解：①︱2-（-7）︱=︱2+7︱=︱9︱=9 ②︱-3-（-1）︱=︱-3+1︱=︱-2︱=2
3）有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负， 并把绝对值相乘；
任何数同0相乘，都得0.
① 几个不等于0的数相乘，积的符号 由负因数的个数决定，当负因数有奇 数个时，积为负；当负因数有偶数个 时，积为正.
2.运算顺序
1）有括号，先算括号里面的； 2）先算乘方，再算乘除，
最后算加减； 3）对只含乘除，或只含加减的
运算，应从左往右运算.
3.有理数的运算律
1)加法交换律 a+b=b+a
2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)
3)乘法交换律
ab=ba
4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) 5)分 配 律 a(b+c)=ab+ac
一、有理数的基本概念
1.负数 2.有理数 3.数轴 4.互为相反数 5.互为倒数 6.有理数的绝对值 7பைடு நூலகம்有理数大小的比较 8.科学记数法、近似数与有效数字
《有理数及其运算》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《有理数及其运算》全章复习与巩固【知识网络】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如π．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“-”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．数a的绝对值记作a．（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．要点二、有理数的运算1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b(b≠0) ．5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： 2(3)9-=， 3(3)27-=-．2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10na ⨯的形式（其中1≤10a <，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=5210⨯．【典型例题】 类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全．【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．举一反三：【变式】(1)321-的倒数是 ；321-的相反数是 ；321-的绝对值是 ． -（-8）的相反数是 ；21-的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 ．(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min ．(4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则=++)(323b a cd ____ ． 【答案】（1）35-； 213； 213；-8；2 （2）降价5．8元，70．2 元；（3）33.7510⨯；（4）3；2．如果(x -2)2+|y -3|＝0，那么(2x -y )2005的值为( )．A ．1B ．-1C ．22006D ．32005【思路点拨】利用非负数的性质，求出y ,x 的值再代入计算．【答案】A【解析】 因为(x -2)2，|y -3|都是非负数，且(x -2)2+|y -3|＝0， 所以由非负数的性质先求出x=2， y =3的值，代入得： (2x -y )2005=12005=1．【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性．3．在下列两数之间填上适当的不等号：20052006________20062007． 【思路点拨】根据“a-b ＞0，a-b ＝0，a-b ＜0分别得到a ＞b ，a ＝b ，a ＜b ”来比较两数的大小．【答案】 ＜【解析】解法一：作差法 由于20052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯，所以2005200620062007< 解法二：倒数比较法：因为2006112007112005200520062006=+>+=所以2005200620062007< 举一反三：【变式】比较大小：(1)199-________0.001； (2)23-________-0.68 【答案】（1）＜ （2）＞类型二、有理数的运算4．（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|（3）()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （4）()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案与解析】解：（1）（﹣12）﹣5+（﹣14）﹣（﹣39）=﹣12﹣5﹣14+39=﹣31+39=8（2）﹣32÷（﹣3）2+3×（﹣2）+|﹣4|=﹣9÷9﹣6+4=﹣1﹣6+4=﹣3（3）()1526061215⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =×60﹣×60﹣×60 =10﹣25﹣8=﹣23（4）()()5410.751252⎡⎤⎛⎫-⨯-÷-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=﹣×[（﹣）÷（﹣）﹣32]=﹣×[2﹣32]=﹣×[﹣30]=24（5）231111312112132442434(0.2)⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3124575512416543415⎛⎫⎛⎫=⨯-++-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭14575524242412540434⎛⎫=-+⨯+⨯-⨯+ ⎪⎝⎭12705633012540=-++-+ 1121403912040=-+=举一反三：【变式】计算：（1）11(2)(2)22-⨯÷⨯- （2）()20064261031-+--⨯- 【答案】解：（1）111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-= （2）()20064261031-+--⨯-=-16+4-3×1=-15类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系．A ．-a ＜a ＜1B ．1＜-a ＜aC ．1＜-a ＜aD ．a ＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x |＝5，|y |＝3．求x -y 的值．（3）转化思想：计算：3135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭ 【答案与解析】解：（1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到a ＜1＜-a ，所以大小关系为：a ＜1＜-a ． 所以正确选项为：D ．（2）因为| x |＝5，所以x 为-5或5因为|y |＝3，所以y 为3或-3．当x ＝5，y ＝3时，x -y ＝5-3＝2当x ＝5，y ＝-3时，x -y ＝5-(-3)＝8当x ＝-5，y ＝3时，x -y ＝-5-3＝-8当x ＝-5，y ＝-3时，x -y ＝-5-(-3)＝-2故（x -y ）的值为±2或±8（3）原式=33135(7)357724614142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：【变式】若a 是有理数，|a |-a 能不能是负数?为什么?【答案】解： 当a ＞0时，|a |-a ＝a -a ＝0；当a ＝0时，|a |-a ＝0-0＝0；当a ＜0时，|a |-a ＝-a -a ＝-2a ＞0．所以，对于任何有理数a ，|a |-a 都不会是负数．类型四、规律探索6．将1，12-，13，14-，15，16-，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________． 【答案】1200- 【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是1210；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是1210-，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是1 200 ．拔高：类型一、有理数相关概念7．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y|+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．【思路点拨】 (1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立．(2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．【答案与解析】解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0，所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010＝a2-a+1．∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．举一反三：【变式1】选择题（1）已知四种说法：①|a|=a时，a>0； |a|=-a时， a<0．②|a|就是a与-a中较大的数．③|a|就是数轴上a到原点的距离．④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|．其中说法正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4（2）有四个说法：①有最小的有理数②有绝对值最小的有理数③有最小的正有理数④没有最大的负有理数上述说法正确的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①②（3）已知(-ab)3>0，则（）A．ab<0 B．ab>0 C．a>0且b<0 D．a<0且b<0（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（）A ．120B ．-15C ．0D ．-120（5）下列各对算式中，结果相等的是（ ）A ．-a 6与(-a)6B ．-a 3与|-a|3C ．[(-a)2]3与(-a 3)2D ．(ab)3与ab 3【答案】（1）C ；（2）C ；（3）A ；（4）D ；(5)C【变式2】明明同学在“百度”搜索引擎输入“钓鱼岛最新消息”，能搜索到与之相关的结果个数约为4680000，这个数用科学记数法表示为 ．【答案】64.6810⨯．8． 在下列两数之间填上适当的不等号：99100-________100101-． 【思路点拨】在a 、b 均为正数的条件下，根据“1a b >，1a b =，1a b <分别得到a ＞b ，a ＝b ，a ＜b ”来比较两数的大小．【答案】 ＞【解析】解法一：作差法：99100--（100101-） =99100991011001001010010110110010100-⨯+⨯-+==>⨯， ∴99100100101->-． 解法二：作商法：由于99100991019999110010110010010000÷=⨯=<，所以99100100101<． 再根据两个负数，绝对值大的反而小，得到：99100100101->-． 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．举一反三：【变式】在下列两数之间填上适当的不等号．1111111-_________111111111-． 【答案】＞ （提示：倒数法较简便）类型二、有理数的运算9．(1)211143623324⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)5153()( 1.5)()1244-÷⨯-÷-()()23541(3)24121522⎛⎫-÷-⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭(4)137775111 2.534812863⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--÷--÷⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(5)()1003221511221132⎛⎫----÷- ⎪⎝⎭+--⨯ 【答案与解析】 解：（1）原式21111143622332412=-++-= （2）原式543421215239=-⨯⨯⨯=- （3）原式3132(4)12(1516)104=-÷-⨯-⨯-+=- （4）原式12561[1(2)1]()233253=+-++-⨯⨯-= （5）1125112()41192---÷-=+--⨯原式 3.9=-举一反三： 【变式】 （1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯-- （2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯ 【答案】 解：（1）225117832[()10.25]199[()2]7148923-÷⨯-⨯-⨯-- 251471834()199(2)492584929=⨯⨯-⨯-⨯- 118343()199(2)449292=-⨯-⨯-⨯ 20(3)3=-- 2033=-+ 123=（2）23155115(1)()()(2)()299229-⨯---⨯-+-⨯ 955515()()()()499289=⨯---⨯-+-⨯ 5951()()942817224=-⨯++=-10．先观察下列各式：11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭； 11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；…；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算： 1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值． 【答案与解析】 解：原式111111111111343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭… 111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 1113200812007320086692008⎛⎫=- ⎪⎝⎭=⨯= 【总结升华】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成11133n n ⎛⎫-⎪+⎝⎭的形式，然后再进行计算． 举一反三：【变式】用简单方法计算： 120180148124181++++ 【答案】解：原式=1111111111115(...)244668810101222446101224++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯⨯类型三、数学思想在本章中的应用11．（1）数形结合思想：已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．A．2b+a B．2b-a C．a D．b（2）分类讨论思想：已知a是任一有理数，试比较|a|与-2a的大小．（3）转化思想：1 (999)35⎛⎫-÷-⎪⎝⎭．【答案与解析】解：（1）从数轴上a、b两点的位置可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，所以|a|-|a+b|-|b-a|＝-a+a+b-b+a＝a．（2）a可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：当a＞0时，|a|＝a＞0，-2a＜0，所以|a|＞-2a；当a＝0时，|a|＝0，-2a＝0，所以|a|＝-2a；当a＜0时，|a|＝-a>0，-2a＞0，又-a＜-2a，所以|a|＜-2a．综上所述：当a≥0时， |a|≥-2a；当a＜0时，|a|＜-2a．（3）1(999)(10001)(35)35⎛⎫-÷-=-+⨯-⎪⎝⎭(1000)(35)1(35)34965=-⨯-+⨯-=．【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．类型四、规律探索12．下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是()．A．495 B．497 C．501 D．503【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和．【答案】A【解析】按照法则可以看出此数为362 486 248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来．举一反三：【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（）A．1B．1C．1D．1【巩固练习】一、选择题1．下列判断正确的个数有( )(1)任何一个有理数的相反数和它的绝对值都不可能相等．(2)若两个有理数互为相反数，则这两个数互为倒数．(3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个有理数也相等．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．下列各数中最大的是( )．A ．23B ．-32C ．(-3)2D ．(-2)33． 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-)511(-|32+，中，负数的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个４．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（ ）A ．2.02×210人B ．202×810人C ．2.02×910人D ．2.02×1010人 5．若-1<a<0,则a ，2a ,a1从小到大排列正确的是（ ） A ．a 2<a<a 1 B ．a <a 1< a 2 C ．a 1<a< a 2 D ．a < a 2 <a 16．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )A ．6B ．-6C ．-1D ．-1或67．a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）A ． a+b>0B ． ab>0C ．ba >0 D ．a-b>0 8．已知有理数a ，b 在数轴上对应的两点分别是A ，B ．请你将具体数值代入a ，b ，充分实验验证：对于任意有理数a ，b ，计算A ， B 两点之间的距离正确的公式一定是（ ）A ．a b -B ．||||a b +C ．||||a b -D ．||a b -二、 填空题9.对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量2克，记作+2克，那么-3克表示_____.10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是___________.11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米．12．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x .13．已知实数a , 在数轴上如下图所示，则|1|-a = .14．若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= ．15．()221---＝ ．16．观察下列算式：23451=+⨯ ，24462=+⨯，25473=+⨯，24846⨯+=，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：250___________=+⨯.三、 解答题17．计算： （1）222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭ （2）4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--（3）21-49.5+10.2-2-3.5+19 （4）323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 18．已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，且x 的绝对值为3，求2x 2-(ab -c -d )+|ab+3|的值．19．某地的气象观测资料表明，高度每增加1km ，气温大约下降6℃，若该地地面温度为18℃，高空某处气温为-48℃，求此处的高度．20．先观察下列各式： 11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；...；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算：1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值．【答案与解析】一、选择题1．【答案】A2．【答案】C【解析】只有A 、C 两项的结果为正，只要比较23、(-3)2的大小即可．由23＝8，(-3)2＝9，可知：(-3)2最大．3．【答案】 C【解析】负数有三个，分别是：-|-7|，-|+1|，)511(-+4．【答案】D5．【答案】C【解析】由-1<a<0可知2a 为正数，而其它两数均为负数，且| a |＜a1，所以a ＞a 1，所以a 1<a< a 2．6．【答案】D【解析】2.5+3.5=6, 2.5-3.5=-17．【答案】D【解析】由图可知，a 、b 异号，且b 的绝对值较大．8.【答案】D【解析】按正负对a ，b 分类讨论．二、填空题9．【答案】低于标准质量3克10．【答案】水位无变化11．【答案】1.02×1014 12．【答案】7,7±± 13．【答案】1-a【解析】由图可知：a-1＜0，所以 │a-1│=-（a-1）=1- a14．【答案】0【解析】∵|a-2|+|b+3|=0，∴a-2=0，b+3=0，即a=2，b=-3．∴3a+2b=6-6=0；15．【答案】-5【解析】()221415---=--=-16．【答案】 24852450⨯+=【解析】观察可得规律为：2(4)4(2)n n n ⨯++=+三、解答题17．【解析】解： (1) 原式14929(6)9=-+⨯+-÷ 4918(6)949185485=-++-⨯=-+-=-(2) 原式1111115 11[2(9)]11112 232366⎛⎫=---⨯⨯--=--⨯⨯=--=- ⎪⎝⎭（3）原式＝[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]＝50.2-55＝-4.8(4) 原式＝322 33519422519435⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2794319162700 8251943258⎛⎫=-⨯-⨯+=-⨯=⎪⎝⎭18．【解析】解：将ab＝1，c+d＝0，|x|＝3代入所给式子中得：2×32-1+|1+3|＝21．所以2x2-(ab-c-d)+|ab+3|=2119．【解析】解：18(48)116km --=则此高空比地面高11km，又地面高度应为0，所以此高空处的高度为11 km．20．【解析】解：原式111111111111343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=-⎪⎝⎭=⨯=。
第二章有理数及其计算(复习)
12. 计算：1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100＝____ _；
计算： 11 12 1 2000 =_________。 13.当 x=___时， x 2 3 有最___值是_____;当 x=____时， 5 x 22 有最___值是______。
14.已知点 4 和点 9 之间的距离为 5 个单位，有这样的关系 5 9 4 ，那么点 10 和点 3.2 之间的距离是
3. 绝对值不大于 3 的自然数有_____________；绝对值小于 4 的负整数有_______________； 绝对值小于 100 的所有整数的积是__________、和是__________。
4．若 x y ，则 x 与 y 的关系是__________；若，则 x2 y 2 ，则 x 与 y 的关系是__Fra bibliotek_______；
若 x2 36, 则 x=________；若 x 2 3, 则 x=________。
5．已知 m 3 ＋（n＋２）2＝０，则 nm 的值为
；
如果∣ a 4 ∣与( b 3 ) 2 互为相反数，那么 (a b)2011 的值是_________。
6. 用“小于”号比较大小： 5 , 6 , 17 ：____________________________。 6 7 21
（3）75460≈__________（保留 1 个有效数字）；（4）90990≈__________（保留 2 个有效数 字） 7、有理数运算：①减去一个数等于____________________，符号表示：__________________；
②除以一个数等于____________________，符号表示：__________________。
有理数及其运算(四)(通用版)(含答案)
有理数及其运算（四）（通用版）试卷简介:有理数综合复习一、单选题(共12道，每道6分)1.若a和b互为相反数,则下列各组数不互为相反数的是( )A.a3和b3B.a2和b2C.-a和-bD.和答案：B解题思路：a和b互为相反数,则b=-a,代入各个选项,可以得到B中两数相等,答案为B试题难度：三颗星知识点：相反数2.下列说法中,正确的是( )A.0是最小的有理数B.0是最小的整数C.-1的相反数与1的和是0D.0是最小的非负数答案：D解题思路：A选项无最小的有理数;B选项0是最小的非负整数,但不是最小的整数;C选项-1的相反数是1,1与1的和是2,答案为D试题难度：三颗星知识点：相反数3.文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上,文具店在书店西边30米处,玩具店位于书店东边50米处,小王从书店沿街向东走了80米,接着又向东走了-70米,此时小王的位置在( )A.玩具店B.文具店C.文具店西边20米D.书店东边10米答案：D解题思路：小王两次向东走80+（-70）=10米，所以小王的位置在书店东边10米.故正确选项是D试题难度：三颗星知识点：数轴的作用4.下列说法正确的是( )A.互为相反数的两个数一定不相等B.绝对值等于它相反数的数是负数C.一个有理数不是整数就是分数D.是分数答案：C解题思路：整数和分数统称为有理数,所以一个有理数不是整数就是分数,答案为C试题难度：三颗星知识点：相反数5.-|-a|是一个( )A.正数B.非正数C.非负数D.负数答案：B解题思路：一个有理数的绝对值为非负数,故-|-a|为非正数,答案为B试题难度：三颗星知识点：绝对值6.若|x+2|+|(y-2)2=0,则x y+1=( )A.6B.-6C.8D.-8答案：D解题思路：∵|x+2|+(y-2)2=0∵|x+2|≧0，(y-2)2≧0∴|x+2|=0，(y-2)2=0∴x=-2，y=2∴x y+1=(-2)2+1=(-2)3=-8，故选D试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性7.下列结论正确的是( )A.若|x|=|y|,则x=-yB.若x+y=0,则|x|=|y|C.若|a|<|b|,则a<bD.若a<b,则|a|<|b|答案：B解题思路：若|x|=|y|，则x=-y或者x=y，故A选项错误；若|-2|<|-3|，则-2＞-3，故C选项错误；若-3<-2，则|-3|>|-2|，故D选项错误；若x+y=0，则x=-y，即x，y互为相反数，互为相反数的两个数到原点的距离相等，故它们的绝对值相等，故B选项正确.试题难度：三颗星知识点：绝对值及其法则8.如果a+b>0,ab>0,那么这两个数是( )A.都是正数B.都是负数C.一正一负D.符号无法确定答案：A解题思路：ab>0,则a与b同号,同为负时,a+b<0，同为正时,a+b>0，故这两个数都是正数,答案为A试题难度：三颗星知识点：有理数的乘法9.用“>”连接(-0.1)3,(-0.1)4,(-1)5应该是( )A.(-0.1)4>(-0.1)3>(-1)5B.(-1)5>(-0.1)4>(-0.1)3C.(-0.1)3>(-0.1)4>(-1)5D.(-0.1)4>(-1)5>(-0.1)3答案：A解题思路：(-0.1)3=-0.001，(-0.1)4=0.0001，(-1)5=-1,0.0001>-0.001>-1,得到结果(-0.1)4＞(-0.1)3＞(-1)5,答案为A试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方10.如果a<0,b>0,b>|-a|,则a,b,-a,-b这4个数从大到小的顺序是( )A.-a>b>a>-bB.-b<a<-a<bC.-a>b>-b>aD.b>-a>a>-b答案：D解题思路：b>|-a|,则b距原点的距离大于a距原点的距离,根据a,b的正负得到图形如下:可知,b＞-a＞a＞-b,答案为D试题难度：三颗星知识点：用数轴比较大小11.如图,点A,B所表示的数如图所示,则A,B两点间的距离为( )A.a+bB.-a+bC.a-bD.|a+b|答案：B解题思路：a到原点的距离为|a|=-a,b到原点的距离为b,则A,B间的距离为-a+b,答案为B 试题难度：三颗星知识点：用数轴比较大小12.如图,点M,N所表示的数如图所示,则下面结论正确的是( )A.m-n<0B.-m-n<0C.m-(-n)>0D.n-m<0答案：A解题思路：A中∵m<n，∴m-n<0，故本选项正确；B中∵|m|＞|n|，∴-m>n，∴-m-n>0，故本选项错误；C中∵-m-n>0，∴m+n<0，∴m-(-n)<0，故本选项错误；D中∵m-n<0，∴n-m>0，故本选项错误故选A试题难度：三颗星知识点：用数轴比较大小二、填空题(共4道，每道7分)13.计算____．答案：37解题思路：解：原式===36+1=37试题难度：知识点：有理数的混合运算14.计算____．答案：12解题思路：解：原式===12试题难度：知识点：有理数的混合运算15.计算____．答案：2解题思路：解：原式====2试题难度：知识点：有理数的混合运算16.计算____．答案：-3解题思路：解:原式=====-3试题难度：知识点：有理数的混合运算。
第二章有理数及其运算复习
A、
B、 4、-4
C、a、b同号 8D、a、b异号
7、平方得16的数是________；立方得64的数是_______
8、某种细胞经过30分钟16便由一个分裂3成2个，经过2个小时，这种
细胞由一个分裂成 ____个，经过____个小时，这种细胞由一
混合运算：
例1 （ 2 ） 3 （ 6 ） （ 2 ） 2 （ 4 ） 2 5
2、如果 a3,b2 ，则 a b 等于_1_、__-1_、__5_、_ -5
3、
1 3
的相反数是_1_/_3___,倒数是_-_3____，绝对值是__1_/3____
4、若a0,b0，则ab_＜__0_；若a0 ,b0 ,ab,则 ab_＞_0_
。
-5
-3
5、比-a2小b3的0数是________；D 比-6小-3的数是_________ 6、若a0,b0 ，则a必有0,（b0）
1、一个数既不是正数也不是负数，则这个数是___0___
2、在有理数中，最小的正整数是_1____,最大的负整 数是_-_1___
3、负数是指（ D ）
A、把某个数的前面加上“—”号 B、不大于0的数
C、除去正数的其他数
D、小于0的数
4、把下列各数填在相应的大括号内：
5 ， 3 1 ， 0 ， ， 6 . ， 2 ， ， 4 ， ， 1 ， ， 7 6 ， ， 6 . 4 ， ， 7 3 1 ， ， 12 ，
正有理数集 ｛ 负整数数集｛
、6.2、4、、12 -5、-1、 -5、0、4、-1、12
…｝； …｝
整数集 ｛ 、6.2、
…｝；
正分数集 ｛
…｝
1、数轴：① 三要素 原点、单位长度、正方向
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有理数及其运算总复习（一）
班级________姓名________得分________
一、填空题（每小题3分，共30分）
1、如果向银行存入人民币20元记作+20元，那么从银行取出人民币32.2元记作________
2、5
1与__互为倒数；若13-=a ，那么____=-a 3、某天A 市早晨的气温是3-℃，到中午升高了6℃，晚上又降低了4℃，到半夜再降低3℃，这时，半夜的温度是________
4、如右图，化简a = ___ ，b =___ ，b a -=_ __
5、我国拟设计建造的长江三峡电站，估计总装机容量将达16780000千瓦，用科学记数法表示总装机容量是__________
6、绝对值大于2且小于5的所有负整数__________
7、（1）|2
3||32|+÷-=____________ （2）()()75-++=___________ （3）122131⨯⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=____________ 8、绝对值最小的数是
9、已知：a ＝－5，|a|＝|b|,则b 的值为__________
10、计算：()()()200021111-+-+- =_________
二、计算：（每小题5分，共20分）
11、 ()[]322332---÷- 12、（－43－+95127）÷361
13、733)64(317)64(⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-
÷- 14、⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-31)4(214211
三、解答题：（每小题10分，共50分）
15、某水文站一周内河水涨落记录如下 星期一河水在警戒线下8cm ，星期二河水在警戒线下10 cm ，星期三河水在警戒线下6 cm ，星期四河水上涨了5 cm ，星期五河水下降了3 cm ，
星期六河水上涨了7 cm ，星期天下降了1 cm 。
试求星期天的水位在警戒线上或警戒线下几厘米。
16、规定一种运算：a ＊b=
b a ab +；计算2＊(-3)的值
17、已知a ，b 是有理数，且53--
a 与2互为相反数，a 与
b 互为倒数，试求ab a 432+的值。
18、数a ，b 在数轴上对应的位置如右图所示，试化简：b a -＋a b +－a 。
19、已知0)2(162=-+-b ab ，求代数式的值：①22b a -；②2
22b ab a --。