立体图形中的距离最短问题

立体图形中的距离最短问题
根据新课程标准，培养学生的空间观念主要表现在：“能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；……”。

空间图形的建立需要有一个循序渐进的过程，从小学到初中，再到高中，渐渐加强，作为一个初、高中的知识衔接模块，让学生在初中阶段能理解空间图形，特别是空间图形的展开图，夯实基础，显得尤为重要。

立体图形上点点之间的距离最短问题，通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决。

解决这一类距离最短的问题，可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决。

一、通过平移来转化
1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm
二、通过旋转来转化
2.有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？
析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm
3.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。

C
A
AB = 4，
BC为底面周长的一半
即BC = 5π
AC = AB 2 + BC 2= 42 + (5π)2
= 16 + 25π2
4.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？
通过阅读以上信息，解决下列问题：
（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，则它爬行一圈的路程是多少？
（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？
（1）如图，⊙O的周长为30cm，即AC=30cm，
高是40cm，则BC=40cm，由勾股定理得AB =50cm．
故爬行一圈的路程是50cm；
（2）⊙O的周长为80cm，即AC=80cm，
绕一圈爬行100cm，则AB = 100cm，高BC = 60cm．∴树干高=60×10=600cm=6m．
故树干高6m
5.已知O为圆锥顶点，OA、OB为圆锥的母线，C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为
（）
A.B.
C.D.
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线．故选C
6.如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是______（结果保留根式）。

设圆锥的展开图扇形QAA ’的中心角∠AQA ’ 的度数
为n ，则
2×2×π =
n π×8
180
，解得：n = 90° 即∠AQA ’ = 90°
在Rt △AQA ’中，根据勾股定理，
AA ’ = 8 2 错误!未定义书签。

7.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是多少？
设圆锥的展开图的圆心角为n ，则 .
2×2×π =
n π×4
180
，解得：n = 180° 即∠CQC ’ = 180°
在展开图中，BA ⊥CC ’，BA = 4，AP = 2， 由勾股定理得，BP = 42 + 22 = 20 = 2 5
根据圆锥的主视图是等边三角形可知，展开图是半径是4的半圆．点B 是半圆的一个端点，而点P 是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点B 和P 在展开图中的距离，就是这只蚂蚁爬行的最短距离．
圆锥的展开图的圆心角 = r
l
×360° .
主视图是等边三角形的圆锥的展开图的圆心角是
180°.
本题主要考查了圆锥的侧面展开图的计算，正确判断蚂蚁爬行的路线，把曲面的问题转化为平面的问题是解题的关键.
8.已知，圆锥底面半径为10cm ，高为1015 cm ， （1） 求圆锥的表面积；
（2） 若一只蚂蚁从底面一点A 出发绕圆锥一周回到SA 上一点M 处，且SM=3AM ，
求它所走的最短距离。

P
C
B
B
P
C'
A
C
A'A A
Q
Q A'
A
S M
利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长，进而借助扇形面积公式求出表面积；蚂蚁在圆锥表面上行走一圈，而圆锥侧面展开后为扇形，故可在展开图（扇形）上求点A’到M 的最短距离（即A’M 的长）。

解析：（1）圆锥的母线长SA=OA 2 + OS 2 = 40， 圆锥侧面展开图扇形的弧长l = 2π×OA =20π(cm)，
∴S 侧 = 1
2
l ×SA = 400π(cm 2)，S 底=π×OA 2 = 100(cm 2)，
∴S 表= S 底+ S 侧= 500π(cm 2) 。

（2）沿母线SA 将圆锥的侧面展开，得圆锥的侧面展开图，则线段AM 的长就是蚂蚁所走的最短距离，由（1）知
SA = 40，弧AA ’=20π，∠AS A ’=
180°×20π
40π
= 90°，
又SA ’= SA=40，SM=3AM ，∴SM = 3
4
SA = 30，
∴在Rt △A ’SM 中， A ’M = SA' 2 + SM 2 = 402 + 302 =50，所以蚂蚁所走的最短距离是50cm.
三、通过轴对称来转化
9.桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖。

问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

析：展开图如图所示，作A 点关于杯口的对称点A ’。

则BA ’=92 + 122 =15厘米
10.一只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A 点爬到桶内的B 点处寻找食物，已知点A 到桶口的距离AC 为12cm ，点B 到桶口的距离BD 为8cm ，CD 的长为15cm ，那么蚂蚁爬行的最短路
B B
程是多少？
展开图如右图所示，作点B 关于CD 的对称点B ’，连接AB ’，交CD 于点P ，则蚂蚁爬行路线A →P →B 为最短，且AP+PB = AB+PB ’，
在直角△AEB ’中，AE = CD = 12，EB ’ = ED + DB ’ = AC + BD = 12 + 8 = 20 由勾股定理知，AB ’ = 25
所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm. 11.（1）如图①，一个无盖的长方体盒子的棱长分别为BC ＝3cm 、AB ＝4cm 、AA 1＝5cm ，盒子的内部顶点C 1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）．假设昆虫甲在顶点C 1处静止不动，请计算A 处的昆虫乙沿盒子内壁爬行到昆虫甲C 1处的最短路程．并画出其最短路径，简要说明画法。

（2）如果（1）问中的长方体的棱长分别为AB ＝BC ＝6cm ，AA 1＝14cm ，如图②，假设昆虫甲从盒内顶点C 1以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C 1C 向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A 以3厘米/秒的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙
至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？
(1)
如图二，将上表面展开，使上表面与前表面在同一平面内，即
A 、A 1、D 1三点共线
AA 1+A 1D 1 = 5 + 3 = 8，D 1C 1 = 4
根据勾股定理得AC 1 = 80
5
3图二
B 1
C 1
D 1A 1
A
C D A
B
P A C D B
如图三，将右侧面展开，使右侧面与下表面在同一平面内，即A 、B 、B 1三点共线 AB+BB 1 = 4 + 5 = 7，B 1C 1 = 3
根据勾股定理得AC 1 = 100
如图四，将右侧面展开，使右侧面与前表面在同一平面内，即A 、B 、C 三点共线 AB+BC = 4 + 3 = 7，CC 1 = 5 根据勾股定理得AC 1 = 74 ∵74 < 80 < 100 ∴最短路程是74 cm
在图四中，∵△ABE ∽△ACC 1，
∴BE CC 1 = AB AC ∴
BE 5 = 47 ，BE = 207
如图一，在BB 1上取一点E ，使BE =
20
7
，连接AE ，EC 1，A →E →C 1就是最短路径 (2)
如图五，设C 1F = x ，则AF = 3x ，CF = 5 – x ， 在Rt △ACF 中，根据勾股定理得 AF 2 = AC 2 + CF 2
即：(3x)2 = (6 + 6)2 + (14 - x)2 解得：x 1 = 5，x 2 = -
172
∵x > 0，∴x = 5
昆虫乙至少需要多长5秒才能捕捉到昆虫甲.
5
图一C
1A
A 5
3图三11
B A 43
5
图四
1
A
B
A
6
6
14
图五
1
B
A
F
在长方体中，经过它的表面，从一个顶点到另一个与它相对的顶点的最短距离是：在长、宽、高中，以较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边，斜边长即为最短路线长。