专训2 比例式或等积式的技巧

专训2证比例式或等积式的技巧
名师点金：
证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似；若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．
构造平行线法
1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F.
求证：AE·CF＝BF·EC.
(第1题)
2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F.
求证：AB·DF＝BC·EF.
(第2题)
三点定型法
3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD
.
(第3题)
4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.
求证：AM 2＝MD·ME.
(第4题)
构造相似三角形法
5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
(第5题)
等比过渡法
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.
求证：(1)△DEF∽△BDE；
(2)DG·DF＝DB·EF.
(第6题)
7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP 于点G，交CE于点D.
求证：CE2＝DE·PE.
(第7题)
.
两次相似法
8．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F.
求证：BF BE ＝AB
BC
.
(第8题)
9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证： (1)△AMB ∽△AND ； (2)AM AB ＝MN AC
.
(第9题)
等积代换法
10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：AE AF ＝AC AB
.
(第10题)
等线段代换法
11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F.
求证：BP 2＝PE·PF.
(第11题)
12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P. 求证：PD2＝PB·PC.
(第12题)
答案
1．证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M. ∵CM ∥AB ，∴△CMF ∽△BDF. ∴
BF CF ＝BD CM
. 又∵CM ∥AD ，∴△ADE ∽△CME.∴AE EC ＝AD
CM .
∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD. ∴
BD CM ＝AD CM .∴BF CF ＝AE EC
， 即AE·CF ＝BF·EC.
(第1题)
(第2题)
2．证明：如图，过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ， 易知△DGF ∽△ECF ，△ADG ∽△ABC. ∴
EF DF ＝CE DG ，AB BC ＝AD
DG
. ∵AD ＝CE ，∴CE DG ＝AD DG .∴AB BC ＝EF
DF ，
即AB·DF ＝BC·EF.
点拨：过某一点作平行线，构造出“A ”型或“X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．
3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AE ∥DC. ∴∠CDF ＝∠E.
∴△FCD ∽△DAE.∴DC AE ＝CF AD .
4．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，
∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°. ∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.
又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，
∴BM＝AM.
∴∠B＝∠BAM.
∴∠BAM＝∠D，即∠EAM＝∠D.
又∵∠AME＝∠DMA.
∴△AME∽△DMA.
∴AM
MD＝
ME
AM，即AM
2＝MD·ME.
(第5题) 5．证明：如图，连接PM，PN.
∵MN是AP的垂直平分线，
∴MA＝MP，
NA＝NP.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.
∴∠2＋∠4＝60°.
∴∠5＋∠6＝120°.
又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，
∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.
∴BP
CN＝
BM
CP，即BP·CP＝BM·CN.
6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ACB＋∠FED＝180°，∠ABC＋∠EDB＝180°.
∴∠FED＝∠EDB.
又∵∠EDF＝∠DBE，
∴△DEF ∽△BDE. (2)由△DEF ∽△BDE 得
DE BD ＝EF
DE
，即DE 2＝DB·EF. 又由△DEF ∽△BDE ，得∠GED ＝∠EFD. ∵∠GDE ＝∠EDF ， ∴△GDE ∽△EDF. ∴
DG DE ＝DE
DF
，即DE 2＝DG·DF. ∴DG·DF ＝DB·EF.
7．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ， ∴∠AEP ＝∠DEB ＝∠AGB ＝90°. ∴∠P ＋∠PAB ＝90°， ∠PAB ＋∠ABG ＝90°. ∴∠P ＝∠ABG . ∴△AEP ∽△DEB. ∴
AE DE ＝PE
BE
.即AE·BE ＝PE·DE. 又∵∠CEA ＝∠BEC ＝90°， ∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°. 又∵∠ACB ＝90°， ∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°.
∴∠ACE ＝∠CBE.∴△AEC ∽△CEB. ∴
AE CE ＝CE
BE
，即CE 2＝AE·BE. ∴CE 2＝DE·PE.
8．证明：由题意得∠BDF ＝∠BAE ＝90°. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠ABE. ∴△BDF ∽△BAE.∴BD AB ＝BF BE
.
∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，∠ABC ＝∠DBA. ∴△ABC ∽△DBA.∴AB BC ＝BD AB .
∴
BF BE ＝AB BC
.
9．证明：(1)∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D. ∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，
∴∠AMB ＝∠AND ＝90°.
∴△AMB ∽△AND.
(2)由△AMB ∽△AND 得AM AN ＝AB AD
，∠BAM ＝∠DAN. 又∵AD ＝BC ，∴AM AN ＝AB BC
. ∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，
∴∠MAD ＝∠AMB ＝90°.
∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°.∴∠B ＝∠MAN.
∴△AMN ∽△BAC.∴AM AB ＝MN AC
. 10．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，
∴∠ADB ＝∠AED ＝90°.
又∵∠BAD ＝∠DAE ，∴△ABD ∽△ADE.
∴AD AB ＝AE AD
，即AD 2＝AE·AB. 同理可得AD 2＝AF·AC.
∴AE·AB ＝AF·AC.∴AE AF ＝AC AB
. 11．证明：连接PC ，如图所示．
(第11题)
∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，
∴AD 垂直平分BC ，∠ABC ＝∠ACB.
∴BP ＝CP.∴∠1＝∠2.
∴∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2，
即∠3＝∠4.
∵CF ∥AB ，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.
又∵∠CPF ＝∠CPE ，
∴△CPF ∽△EPC.
∴CP PE ＝PF CP
，即CP 2＝PF·PE. ∵BP ＝CP ，∴BP 2＝PE·PF.
12．证明：如图，连接PA ，
(第12题)
∵EP 是AD 的垂直平分线， ∴PA ＝PD.
∴∠PDA ＝∠PAD.
∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP. 又∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD ＝∠DAC.∴∠B ＝∠CAP. 又∵∠APC ＝∠BPA ，
∴△PAC ∽△PBA.∴PA PB ＝PC PA
. 即PA 2＝PB·PC.
∵PA ＝PD ，∴PD 2＝PB·PC.。