专训2 比例式或等积式的技巧

专训2证比例式或等积式的技巧

名师点金：

证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似；若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．

构造平行线法

1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F.

求证：AE·CF＝BF·EC.

(第1题)

2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F.

求证：AB·DF＝BC·EF.

(第2题)

三点定型法

3．如图，在▱ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F. 求证：DC AE ＝CF AD

.

(第3题)

4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，M 为BC 的中点，DM ⊥BC 交CA 的延长线于D ，交AB 于E.

求证：AM 2＝MD·ME.

(第4题)

构造相似三角形法

5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.

求证：BP·CP＝BM·CN.

(第5题)

等比过渡法

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.

求证：(1)△DEF∽△BDE；

(2)DG·DF＝DB·EF.

(第6题)

7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP 于点G，交CE于点D.

求证：CE2＝DE·PE.

(第7题)

.

两次相似法

8．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F.

求证：BF BE ＝AB

BC

.

(第8题)

9．如图，在▱ABCD 中，AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，垂足分别为M ，N.求证： (1)△AMB ∽△AND ； (2)AM AB ＝MN AC

.

(第9题)

等积代换法

10．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：AE AF ＝AC AB

.

(第10题)

等线段代换法

11．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点P 是AD 上一点，CF ∥AB ，延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F.

求证：BP 2＝PE·PF.

(第11题)

12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P. 求证：PD2＝PB·PC.

(第12题)

答案

1．证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M. ∵CM ∥AB ，∴△CMF ∽△BDF. ∴

BF CF ＝BD CM

. 又∵CM ∥AD ，∴△ADE ∽△CME.∴AE EC ＝AD

CM .

∵D 为AB 的中点，∴BD ＝AD. ∴

BD CM ＝AD CM .∴BF CF ＝AE EC

， 即AE·CF ＝BF·EC.

(第1题)

(第2题)

2．证明：如图，过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ， 易知△DGF ∽△ECF ，△ADG ∽△ABC. ∴

EF DF ＝CE DG ，AB BC ＝AD

DG

. ∵AD ＝CE ，∴CE DG ＝AD DG .∴AB BC ＝EF

DF ，

即AB·DF ＝BC·EF.

点拨：过某一点作平行线，构造出“A ”型或“X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．

3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AE ∥DC. ∴∠CDF ＝∠E.

∴△FCD ∽△DAE.∴DC AE ＝CF AD .

4．证明：∵DM ⊥BC ，∠BAC ＝90°，

∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°. ∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.

又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，

∴BM＝AM.

∴∠B＝∠BAM.

∴∠BAM＝∠D，即∠EAM＝∠D.

又∵∠AME＝∠DMA.

∴△AME∽△DMA.

∴AM

MD＝

ME

AM，即AM

2＝MD·ME.

(第5题) 5．证明：如图，连接PM，PN.

∵MN是AP的垂直平分线，

∴MA＝MP，

NA＝NP.

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.

又∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.

∴∠2＋∠4＝60°.

∴∠5＋∠6＝120°.

又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，

∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.

∴BP

CN＝

BM

CP，即BP·CP＝BM·CN.

6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，∴∠ACB＋∠FED＝180°，∠ABC＋∠EDB＝180°.

∴∠FED＝∠EDB.

又∵∠EDF＝∠DBE，