北京2020版高考数学一轮复习第十二章复数、算法初步、推理与证明第一节数系的扩充与复数的引入课件理
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向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题简
单化.
2-1 (2017北京,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象
限,则实数a的取值范围是 ( B )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
答案 B ∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象
第一节 数系的扩充与复数的引入
教材研读
总纲目录
1.复数的有关概念 2.复数的几何意义
3.复数的运算
考点突破
考点一 复数的有关概念 考点二 复数的几何意义 考点三 复数的代数运算
教材研读
1.复数的有关概念
2.复数的几何意义
复数z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b)
向量
.O Z
3.复数的运算
限,∴
a 1
∴1 a<0 ,-1.故选B.
a 0,
B
2-2 复数z= i (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 (
(2)(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实
轴上,∴a+1=0,∴a=-1.
方法技巧 (1)复数z、复平面上的点Z及向量 O Z间的相互联系:z=a+bi(a,b∈R)⇔Z
(a,b)⇔O Z .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、
1-1 已知复数 a 为i 纯虚数,则实数a= ( D)
2i
A.-2 B.- 1
2
C.2 D1.
2
答案 D ∵复数z= a =i (a= i)(+2 i)i为2 纯a 虚1 数a , 2
2 i (2 i)(2 i) 5
5
∴
2a 5
1
0,
解得a=1
2
,故选D.
.
2
5.在复平面内,复数z1与z2对应的点关于虚轴对称,且z1=-1+i,则
z z
1 2
=
i
.
答案 解析
i
由已知得z2=1+i,∴
z z
1 2
= 1 B=i
1 i
(=1i. i)(1 i)
2
考点突破
考点一 复数的有关概念
典例1 (1)已知复数i·(1+ai)为纯虚数,那么实数a的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|= ( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 (3)若复数z满足i·z=1+i,则z的共轭复数的虚部是 ( ) A.i B.1 C.-i D.-1
2.(2018北京海淀高三期末,1)复数 1 =2 i (
i
A)
A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i
答案 A 1 =2 -i (1+2i)i=2-i,故选A.
i
B
3.(2017北京西城一模,2)在复平面内,复数 i 对应的点位于 (
1 i
A)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (i)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ; (ii)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ; (iii)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ;
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(2016北京,9,5分)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于
实轴上,则a=
.
答案 (1)A (2)-1
解析 (1)z= 2 =3 i (=2 3+i)(1ii,)对应5 的1 点为
1 i
2
22
选A.
,在第一52 ,象12 限.故
答案 (1)B (2)B (3)B
解析 (1)由于i·(1+ai)=-a+i为纯虚数,所以a=0. (2)∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,
∴
x y
∴1 , |x+yi|=|1+i|=
1,
= 1.2故选12 B. 2
(3)z=1 i= (1 = i ) i=1-i1,所 i 以 =1+i,其z 虚部为1.故选B.
B
a
5
2
0,
1-2 (2017北京东城一模,9)已知复数z满足z(1+i)=2,则|z|= 2 .
答案 2
解析
由z(1+i)=2,得z=
1
2
=
i
2 (=1
1 i
i
2
)
B=12-(i1,所 i以) |z|=
11
=.
12 (1)2 2
考点二 复数的几何意义
典例2 (1)若复数z满足z+z·i=2+3i,则在复平面内z对应的点位于( )
i
i2
1
规律总结 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应 该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的 方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚 部. (3)解决复数模的问题可以根据模的性质把积、商的模转化为模的积、 商.
(iv)除法:
z z
1 2
a bi
=c =d i
(a bi)(c di)
(=c di)(c d+i)
ac bd bc ad
i c(2c+ dd i2≠0c)2.加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=
答案 A 一象限.
i = =i(1 i,在) 复1平 面i 内对应的点为
1 i (1 i)(1 i) 2 B
,位于第 12
,
1 2
4.(2017北京海淀二模,10)已知复数z= 1 ,i 则|z|= 2 .
i
答案 2
解析
因为z=1
i
i=
(1 =i 2-ii)-i 1,所以|z|B=
,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .
z2+z1
1.(2017北京西城二模,1)在复平面内,复数z对应的点是(1,-2),则复数z的
共轭复数 z = ( A )
A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i
答案 A 易得 z=1-2i,故复数z的共轭复数 z =1+2i,故选A.
B
单化.
2-1 (2017北京,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象
限,则实数a的取值范围是 ( B )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
答案 B ∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象
第一节 数系的扩充与复数的引入
教材研读
总纲目录
1.复数的有关概念 2.复数的几何意义
3.复数的运算
考点突破
考点一 复数的有关概念 考点二 复数的几何意义 考点三 复数的代数运算
教材研读
1.复数的有关概念
2.复数的几何意义
复数z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b)
向量
.O Z
3.复数的运算
限,∴
a 1
∴1 a<0 ,-1.故选B.
a 0,
B
2-2 复数z= i (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 (
(2)(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实
轴上,∴a+1=0,∴a=-1.
方法技巧 (1)复数z、复平面上的点Z及向量 O Z间的相互联系:z=a+bi(a,b∈R)⇔Z
(a,b)⇔O Z .
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、
1-1 已知复数 a 为i 纯虚数,则实数a= ( D)
2i
A.-2 B.- 1
2
C.2 D1.
2
答案 D ∵复数z= a =i (a= i)(+2 i)i为2 纯a 虚1 数a , 2
2 i (2 i)(2 i) 5
5
∴
2a 5
1
0,
解得a=1
2
,故选D.
.
2
5.在复平面内,复数z1与z2对应的点关于虚轴对称,且z1=-1+i,则
z z
1 2
=
i
.
答案 解析
i
由已知得z2=1+i,∴
z z
1 2
= 1 B=i
1 i
(=1i. i)(1 i)
2
考点突破
考点一 复数的有关概念
典例1 (1)已知复数i·(1+ai)为纯虚数,那么实数a的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 (2)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|= ( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 (3)若复数z满足i·z=1+i,则z的共轭复数的虚部是 ( ) A.i B.1 C.-i D.-1
2.(2018北京海淀高三期末,1)复数 1 =2 i (
i
A)
A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i
答案 A 1 =2 -i (1+2i)i=2-i,故选A.
i
B
3.(2017北京西城一模,2)在复平面内,复数 i 对应的点位于 (
1 i
A)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (i)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i ; (ii)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i ; (iii)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i ;
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)(2016北京,9,5分)设a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于
实轴上,则a=
.
答案 (1)A (2)-1
解析 (1)z= 2 =3 i (=2 3+i)(1ii,)对应5 的1 点为
1 i
2
22
选A.
,在第一52 ,象12 限.故
答案 (1)B (2)B (3)B
解析 (1)由于i·(1+ai)=-a+i为纯虚数,所以a=0. (2)∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,
∴
x y
∴1 , |x+yi|=|1+i|=
1,
= 1.2故选12 B. 2
(3)z=1 i= (1 = i ) i=1-i1,所 i 以 =1+i,其z 虚部为1.故选B.
B
a
5
2
0,
1-2 (2017北京东城一模,9)已知复数z满足z(1+i)=2,则|z|= 2 .
答案 2
解析
由z(1+i)=2,得z=
1
2
=
i
2 (=1
1 i
i
2
)
B=12-(i1,所 i以) |z|=
11
=.
12 (1)2 2
考点二 复数的几何意义
典例2 (1)若复数z满足z+z·i=2+3i,则在复平面内z对应的点位于( )
i
i2
1
规律总结 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应 该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的 方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚 部. (3)解决复数模的问题可以根据模的性质把积、商的模转化为模的积、 商.
(iv)除法:
z z
1 2
a bi
=c =d i
(a bi)(c di)
(=c di)(c d+i)
ac bd bc ad
i c(2c+ dd i2≠0c)2.加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=
答案 A 一象限.
i = =i(1 i,在) 复1平 面i 内对应的点为
1 i (1 i)(1 i) 2 B
,位于第 12
,
1 2
4.(2017北京海淀二模,10)已知复数z= 1 ,i 则|z|= 2 .
i
答案 2
解析
因为z=1
i
i=
(1 =i 2-ii)-i 1,所以|z|B=
,(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) .
z2+z1
1.(2017北京西城二模,1)在复平面内,复数z对应的点是(1,-2),则复数z的
共轭复数 z = ( A )
A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i
答案 A 易得 z=1-2i,故复数z的共轭复数 z =1+2i,故选A.
B