苏教版高中数学必修4版学业分层测评18

学业分层测评(十八) 平面向量基本定理
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.设O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 的交点，有下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →
.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________.
【解析】 如图所示，AD →
与AB →
为不共线向量，可以作为基底.CA →
与DC →
为不共线向量，可以作为基底.DA →
与BC →
，OD →
与OB →
均为共线向量，不能作为基底.
【答案】 ①③
2.已知向量a 和b 不共线，实线x ，y 满足向量等式(2x －y )a ＋4b ＝5a ＋(x －2y )b ，则x ＋y 的值等于________.
【解析】 由平面向量基本定理得⎩⎨
⎧
2x －y ＝5，
4＝x －2y ，解得⎩⎨
⎧
x ＝2，y ＝－1，
∴x ＋y
＝1.
【答案】 1
3.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →
＝2DB →
，CD →
＝1
3CA →＋λCB →，则λ
＝________.
【解析】 ∵AD →
＝2DB →
，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →
＋
2
3CB →
.
又∵CD →
＝13CA →＋λCB →，∴λ＝2
3.
【答案】
23 4.若e 1，e 2是表示平面所有向量的一组基底，且a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2
不能作为一组基底，则k 的值为________.
【解析】 易知a ∥b ，故设3e 1－4e 2＝λ(6e 1＋k e 2)， ∴⎩⎨
⎧
3＝6λ，－4＝k λ，
∴k ＝－8.
【答案】 －8
5.如图2­3­7所示，平面内的两条直线OP 1和OP 2将平面分割成四个部分Ⅰ，
Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP →
＝aOP 1→
＋bOP 2→
，且点P 落在第Ⅰ部分，则a ________0，
b ________0.(填“＞”或“＜”)
图2­3­7
【解析】 由向量的分解可知，a ＜0，b ＞0. 【答案】 ＜ ＞
6.设e 1，e 2是不共线向量，e 1＋2e 2与m e 1＋n e 2共线，则n m
＝________. 【解析】 由e 1＋2e 2＝λ(m e 1＋n e 2)，得m λ＝1且n λ＝2， ∴n m
＝2. 【答案】 2
7.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →
＝4，BF →
·CF →
＝－1，则BE →
·CE →
的值是________.【导学号：48582093】
图2­3­8
【解析】 由题意，得BF →
·CF →＝(BD →＋DF →)·(CD →＋DF →
)
＝(BD →＋DF →)·(－BD →＋DF →
)＝DF →
2
－BD →
2 ＝|DF →
|2
－|BD →|2＝－1，① BA →
·CA →＝(BD →＋DA →)·(CD →＋DA →
) ＝(BD →＋3DF →)·(－BD →＋3DF →) ＝9DF →2－BD →2
＝9|DF →
|2
－|BD →
|2＝4.② 由①②得|DF →
|2
＝58，|BD →|2
＝138
.
∴BE →·CE →＝(BD →＋DE →)·(CD →＋DE →
) ＝(BD →＋2DF →)·(－BD →
＋2DF →
) ＝4DF →
2
－BD →
2
＝4|DF →|2
－|BD →
|2＝4×58－138＝7
8
.
【答案】
78
8.如图2­3­9，在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →
＝c ，三边BC ，CA ，AB 的中
点依次为D ，E ，F ，则AD →
＋BE →
＋CF →
＝________.
图2­3­9
【解析】 原式＝12(AB →＋AC →)＋12(BA →＋BC →)＋1
2(CB →＋CA →)＝0.
【答案】 0 二、解答题
9.如图2­3­9，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →
＝b ，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，G 点使DG →＝1
3
DC →，试以a ，b 为基底表示向量AF →与EG →
.
图2­3­10
【解】 AF →
＝AB →
＋BF →
＝AB →
＋1
2BC →
＝AB →
＋12AD →＝a ＋1
2b .
EG →
＝EA →
＋AD →
＋DG →
＝－12AB →＋AD →＋13DC →
＝－12a ＋b ＋13a ＝－1
6
a ＋
b .
10.设e 1，e 2为两个不共线的向量，a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，试用b ，c 为基底表示向量a .
【导学号：48582094】
【解】 设a ＝λ1b ＋λ2c ，λ1，λ2∈R ，则 －e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)， 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2，
∴⎩⎨
⎧
4λ1－3λ2＝－1，2λ1＋12λ2＝3，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
λ1＝－1
18，λ2
＝727，
∴a ＝－118b ＋7
27
c .
[能力提升]
1.如图2­3­11，已知AB →
＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →
＝________.
图2­3­11
【解析】 ∵AD →
＝AB →
＋BD →
＝AB →
＋3
4BC →
＝AB →＋3
4(AC →－AB →)
＝34AC →＋14AB → ＝34b ＋14a . 【答案】
34b ＋1
4
a
2.如图2­3­12，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋2
9AC →
，
则实数m 的值为________.
图2­3­12
【解析】 设NP →
＝λNB →
，
NP →
＝AP →
－AN →
＝m AB →＋29AC →－14AC →＝m AB →－136AC →
，λNB →＝λ(AB →－AN →)＝
＝λAB →
－λ
4AC →，∴⎩⎨⎧
m ＝λ，－1
36＝－λ4，
∴m ＝λ＝1
9.
【答案】
19
3.点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足AM →
＝34AB →＋1
4AC →，则△ABM 与△ABC
的面积之比为________.
【解析】 如图，分别在AB →
，AC →
上取点E ，F ，
使AE →
＝34AB →，AF →＝1
4AC →
，
在BC →上取点G ，使BG →
＝1
4BC →，则EG ∥AC ，FG ∥AE ，
∴AG →
＝AE →
＋AF →
＝AM →
，
∴M 与G 重合，∴S △ABM S △ABC ＝BM BC ＝1
4.
【答案】 1
4
4.如图2­3­13，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一
直线MN 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →
＝xAB →
，AN →
＝yAC →
，试问：1x ＋1
y
是否为
定值？【导学号：48582095】
图2­3­13
【解】 设AB →
＝a ，AC →
＝b ， 则AM →
＝x a ，AN →
＝y b ， AG →
＝12AD →＝14(AB →＋AC →)＝1
4
(a ＋b )，
∴MG →
＝AG →
－AM →
＝14(a ＋b )－x a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
14－x a ＋14b ，
MN →＝AN →－AM →
＝y b －x a ＝－x a ＋y b .
∵MG →
与MN →
共线，∴存在实数λ，使MG →
＝λMN →
， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫
14－x a ＋14b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .
∵a 与b 不共线， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
1
4－x ＝－λx ，14＝λy ，
消去λ，得1x ＋1
y
＝4，
∴1x ＋1
y
为定值.。