【人教B版高中数学选择性必修第二册】二项分布与超几何分布(2)-课件

与中的较小者，在不大于乙类物品件数(即 ≤
− )时取0，否则取减乙类物品件数之差(即
= − − ).
课堂小结
而且
−
C C−
= =
, = , + 1, … , .

C
这里的称为服从参数为, , 的超几何分布，记
作~(, , ).
功”的概率为，记 = 1 − ，且次独立重复试
验中出现“成功”的次数为，则的取值范围是
{0,1,2, … , , … , }，而且
= = C − , = 0,1, … , ,
复习旧知
因此的分布列如下表所示．

0
1
…

…

0 0 1 1 −1
(即 = − − ).
而且
= =
−
C C−

C
, = , + 1, … , .
这里的称为服从参数为, , 的超几何分布，记
作~ , , .
例如，尝试与发现中(10名同学，6男，4女，
随机抽取3人, 为女生人数) = 10， = 4，
5
0
4
×
5
3
64
=
,
125
1
1
= 1 = C3 ×
5
1
4
×
5
2
48
=
,
125
1
×
5
2
4
×
5
1
12
=
,
125
1
×
5
3
4
×
5
0
1
=
.
125
=2 =
=3 =
C32
C33
因此的分布列为
64
125
48
125
12
125
1
125
(2) 若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看
成随机抽取1次，但1次抽取了3个球，因此黑球数
率，应采用超几何分布的概率公式，但是此公式需
要知道总体的容量，数值计算比较复杂.
探索与研究

−1
不过当相对来说很大时，
与
都可以
−1
−1

近似为 ，那么不放回抽样与放回抽样是差不多的.

探索与研究
故超几何分布近似于二项分布，因此可用二项
分布的计算公式近似，这样可以大大节省计算量.
所以当一批产品数量很大的时候，我们可以把取得
C10 2
（2） 如果抽取的人中女生数为，则的取值范围
是{0,1,2,3}，
已算得 = 1 =
类似的办法得
C14 C26 1
= ,
3
C10
2
C40 C63 1
=0 = 3 = ;
C10 6
C42 C61 3
C43 C60 1
=2 = 3 = ; =3 = 3 = .
C10 10
= 3，此时 = = 3，
由于 ≤ − ，则 = 0，所以
= =
3−
C4 C6
3
C10
, = 0,1,2,3.
若将题目变为(10名同学，6男，4女，随机抽
取7人)其他条件不变，则 = 10， = 4， = 7
此时 = =4，
由于 > − ，则 = 7 − 10 − 4 = 1，所以
服从参数为10,3,2的超几何分布，即~(10,3,2).
所以
=0
=1
0 3
C2 C8
= 3
C10
1 2
C2 C8
= 3
C10
7
=
,
15
7
=
,
15
C22 C81
1
=2 = 3 =
.
15
C10
因此的分布列为

15

15
1
15
小结
1. 解决超几何分布问题的两个关键点
（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公
= =
7−
C4 C6
7
C10
, = 1,2,3,4.
应用举例
例1 学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出
3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，求
( ≤ 1).
解：由题意知，服从参数为7,3,2的超几何分布，
即~(7,3,2),因此
C20 C53 C21 C52 6
值.
课后练习
A-5.袋中有6个白球、3个黑球，从中随机地连续抽取2次，
每次取1球.
(1) 若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的
分布列；
(2) 若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求
的分布列.
课后练习
B-2. 分别指出下列随机变量服从的分布列，并用合适的符
号表示：(1) 某班级共来自30名学生，其中有10名学生戴眼镜，随机
C10 30
因此的分布列为
超几何分布：
一般地，若有总数为件的甲、乙两类物品，
其中甲类有件( < )，从所有物品中随机取出
件( ≤ )，则这件中所含甲类物品件数是一个
离散型随机变量.
能取不小于且不大于的所有自然数，其中
是与中的较小者，在不大于乙类物品件数(即
≤ − )时取0，否则取减乙类物品件数之差
课堂小结
2、超几何分布与二项分布的关系
二项分布与超几何分布既有区别，又有联系．
产品检验一般都采用不放回抽样，因此要计算
次抽取中恰好得到件次品的概率，应采用超几何
分布的概率公式.
课堂小结
但当相对来说很大时，那么不放回抽样与
放回抽样时差不多的，故超几何分布近似于二项分
布，因此可用二项分布的计算公式近似．所以当一
的表格表示，这个表格称为 的概率分布或分布
列．
1 2 … …
1 2 … …
复习旧知
2、次独立重复试验．
在相同的条件下重复次伯努利试验时，人们
总是约定这次试验是相互独立的，此时这次伯努
利试验也常称为次独立重复试验．
X
B(n, p)
复习旧知
3、二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成
0


−
C C
… C
… C
称服从参数, 的二项分布，记作~ , ．
尝试与发现
某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有
10名同学参加，其中6名男生，4名女生，现要从这
10名同学中随机抽取3名去采集自然标本.
（1）抽取的人中恰有1名女生的概率是多少？
是不放回地抽样且 ≤ ，则抽到的次品数服从的是超
几何分布.
探索与研究
若件产品中共有件次品( > 1, > 1, >
)，则不放回地抽样中，第一次抽到次品的概率

为 .

探索与研究
而第二次抽到次品的概率与第一次抽到的是
否为次品有关；若第一次抽到的是次品，则第二次
抽到次品的概率为
某类样本的频率视作取得这类样本的概率，用二项
分布近似代替超几何分布.
课堂小结
1、超几何分布：一般地，若有总数为件的甲、
乙两类物品，其中甲类有件( < )，从所有物
品中随机取出件( ≤ )，则这件中所含甲类物
品件数是一个离散型随机变量.
课堂小结
能取不小于且不大于的所有自然数，其中是
从这个班级中抽取5人，设抽到的不戴眼镜的人数为;
(2) 已知女性患色盲的概率为 0.25%，任意抽取 300名 女
性，设其中患色盲的人数为;
(3) 学校要从3名男教师和4名女生中随机选出3人去支教，
设抽取的人中男教师的人数为.
谢谢
二项分布与超几何分布（2）
高二年级 数学
复习旧知
1、离散型随机变量的分布列
一般地，当离散型随机变量 的取值范围是
{1 , 2 , … , } ， 如 果 对 任 意 ∈ {1,2, … , }， 概 率
= = 都是已知的，则称的概率分布是
已知的．
复习旧知
离散型随机变量的概率分布可以用如下形式
批产品数量很大的时候，我们可以把取得某类样本
的频率视作取得这类样本的概率，用二项分布近似
代替超几何分布．
课后练习
教材79页 练习A 3，5；练习B 2.
A-3.市教育局决定在所管辖的20所中学中随机抽取3所进行
教学质量检测，已知20所中学中农村中学有8所，设抽到的
农村中学共有X所，指出服从的分布，并求出( = 3)的
取3次， 每次取1个球.
（1）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为
，求的分布列；
（2）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数
为，求的分布列.
解：（1）若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球
2
的概率均为
8+2
=
1
，而3次取球可以看成3次独立重
5
复试验，因此~
1
3,
5
.
1
0
所以 = 0 = C3 ×
≤1 = =0 + =1 = 3 + 3 =
7
C7
C7
小结
1. 解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满
足超几何分布.若满足，则直接利用公式解决；
若不满足，则应借助相应概率公式求解.
2. 注意公式中, , 的含义.
应用举例
例2 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽
（2）设抽取的人中女生有名，写出的分布列.
解：（1）注意到从10名同学中随机抽取3人，共有
3
C10 种不同的抽法，也就是说，样本空间中样本点
3
的数量是C10 .
另外，抽取的人中恰有1名女生，等价于抽取
的是1名女生和2名男生，因此包含的样本点数为
1 2
C4 C6 .
C14 C26 1
因此所求概率为 3 = .
−1
.
−1
若第一次抽到的不是次品，则第二次抽到次品

的概率为
.
−1
探索与研究
不过，当相对来说很大时，

−1
与
都可
−1 −1

以近似为 .

由以上信息出发，探索二项分布与超几何分布
之间的联系.
探索与研究
在实际工作中，产品检验一般都采用不放回抽
样，因此要计算次抽取中恰好得到件次品的概
式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公
式求解，但不能机械地记忆.
（2）超几何分布中，只要知道, , ，就可以利用公式
求出取不同的概率(＝)，从而求出
的分布列.
小结
2. 由例题可知，若件产品中共有件次品，当我们从
这些产品中每次抽取1件，共抽取次进行检查时，若是
有放回地抽样，则抽到的次品数服从的是二项分布；若