六年级奥数题题目

六年级奥数题题目
一、工程问题。

1. 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。

现在两队合作，期间甲队休息了3天，乙队休息了若干天，从开始到完工共用了16天。

问乙队休息了几天？
- 解析：
- 甲队单独做20天完成，则甲队每天的工作效率为1÷20=(1)/(20)。

- 乙队单独做30天完成，则乙队每天的工作效率为1÷30=(1)/(30)。

- 甲队工作了16 - 3=13天，甲队完成的工作量为(1)/(20)×13=(13)/(20)。

- 那么乙队完成的工作量为1-(13)/(20)=(7)/(20)。

- 乙队完成这些工作量需要的时间为(7)/(20)÷(1)/(30)=10.5天。

- 所以乙队休息的天数为16 - 10.5 = 5.5天。

2. 有一项工程，甲、乙两队合作需要12天完成，乙、丙两队合作需要15天完成，甲、丙两队合作需要20天完成。

如果甲、乙、丙三队合作需要多少天完成？
- 解析：
- 设甲队每天的工作量为x，乙队每天的工作量为y，丙队每天的工作量为z。

- 根据题意可得x + y=(1)/(12) y+z=(1)/(15) x + z=(1)/(20)。

- 把这三个式子相加得2(x + y+z)=(1)/(12)+(1)/(15)+(1)/(20)。

- 先计算(1)/(12)+(1)/(15)+(1)/(20)=(5 + 4+3)/(60)=(12)/(60)=(1)/(5)。

- 所以x + y + z=(1)/(10)。

- 那么甲、乙、丙三队合作需要1÷(1)/(10)=10天完成。

二、分数应用题。

3. 一篓苹果分给甲、乙、丙三人，甲分得全部苹果的(1)/(5)加5个苹果，乙分得全部苹果的(1)/(4)加7个苹果，丙分得其余苹果的(1)/(2)，最后剩下的苹果正好等于一篓苹果的(1)/(8)。

这篓苹果有多少个？
- 解析：
- 设这篓苹果有x个。

- 甲分得((1)/(5)x + 5)个，乙分得((1)/(4)x+7)个。

- 丙分得(1)/(2)[x-((1)/(5)x + 5)-((1)/(4)x + 7)]个。

- 最后剩下(1)/(8)x个。

- 可列出方程：((1)/(5)x + 5)+((1)/(4)x+7)+(1)/(2)[x-((1)/(5)x + 5)-((1)/(4)x + 7)]+(1)/(8)x=x。

- 化简方程：(1)/(5)x+5+(1)/(4)x + 7+(1)/(2)(x-(1)/(5)x-(1)/(4)x-5 -
7)+(1)/(8)x=x。

- (1)/(5)x+(1)/(4)x+(1)/(2)(x-(1)/(5)x-(1)/(4)x)-1+(1)/(8)x=x。

- (1)/(5)x+(1)/(4)x+(1)/(2)((20x- 4x-5x)/(20))-1+(1)/(8)x=x。

- (1)/(5)x+(1)/(4)x+(11x)/(40)-1+(1)/(8)x=x。

- (8x + 10x+11x - 40 + 5x)/(40)=x。

- 34x-40 = 40x。

- 6x = 40，解得x = 40。

4. 某班有学生51人，准备推选1名同学在教师节那天给老师献花。

选举的方法是：让51名同学按编号1、2、3、…、51排成一个圆圈，从1号开始报数，报1、2、3、4、5的同学都出圈，剩下的同学继续报数，报1、2、3、4、5的同学再出圈，这样继续下去，最后剩下的那名同学当选。

那么当选的同学最初的编号是多少？
- 解析：
- 我们先从简单的情况分析。

- 如果有n个人，每次淘汰报数为1、2、3、4、5的人。

- 我们发现当n = 5时，淘汰一轮后就剩下0个人；当n=10时，第一轮淘汰2组共10个人，剩下0个人；当n = 15时，第一轮淘汰3组共15个人，剩下0个人。

- 可以推出当n = 5k时，经过一轮就全部淘汰。

- 对于51个人，51÷5 = 10·s·s1，先淘汰10组共50个人，此时剩下1个人，这1个人就是最初编号为31的同学（因为第一轮淘汰的最后一个数是50，下一个开始报数的就是51，再从1开始报数，此时剩下的就是31号）。

三、比和比例问题。

5. 甲、乙两个长方形，它们的周长相等。

甲的长与宽之比是3:2，乙的长与宽之比是7:5。

求甲与乙的面积之比。

- 解析：
- 设甲长方形的长为3x，宽为2x，则甲的周长为2(3x + 2x)=10x。

- 因为甲、乙周长相等，设乙长方形的长为7y，宽为5y，则乙的周长为
2(7y+5y)=24y。

- 由于10x = 24y，解得x=(12)/(5)y。

- 甲的面积为3x×2x = 6x^2，乙的面积为7y×5y=35y^2。

- 把x=(12)/(5)y代入甲的面积表达式，甲的面积
6×((12)/(5)y)^2=6×(144)/(25)y^2=(864)/(25)y^2。

- 所以甲与乙的面积之比为(864)/(25)y^2:35y^2=(864)/(25):35 = 864:875。

6. 有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是6:5，甲钉子的(2)/(3)钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分比为5:4，而它们留在墙外的部分一样长。

问：甲、乙、丙的长度之比是多少？
- 解析：
- 设甲钉子的长度为6x，因为甲与乙长度的比是6:5，则乙钉子的长度为
5x。

- 甲钉子的(2)/(3)钉入墙内，则甲钉入墙内的长度为6x×(2)/(3)=4x，留在墙外的长度为6x-4x = 2x。

- 因为甲与丙钉入墙内的部分比为5:4，设丙钉入墙内的长度为4y，则甲钉入墙内的长度为5y，又因为甲钉入墙内的长度为4x，所以5y = 4x，y=(4)/(5)x。

- 丙留在墙外的长度也为2x，则丙的长度为
4y+2x=4×(4)/(5)x+2x=(16)/(5)x+2x=(26)/(5)x。

- 所以甲、乙、丙的长度之比为6x:5x:(26)/(5)x = 30:25:26。

四、浓度问题。

7. 有一杯重300克的盐水，含盐率为20%，要使含盐率下降为10%，需要加水多少克？
- 解析：
- 原来盐水中盐的质量为300×20% = 60克。

- 当含盐率下降为10%时，盐水的质量为60÷10%=600克。

- 原来盐水质量是300克，所以需要加水600 - 300=300克。

8. 在100千克浓度为50%的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液就可以配制成浓度为25%的硫酸溶液？
- 解析：
- 设需要加入x千克浓度为5%的硫酸溶液。

- 100千克浓度为50%的硫酸溶液中含硫酸100×50% = 50千克。

- x千克浓度为5%的硫酸溶液中含硫酸5%x千克。

- 混合后溶液总质量为(100 + x)千克，混合后硫酸质量为(100×50%+5%x)千克，且混合后浓度为25%。

- 可列出方程50+5%x=(100 + x)×25%。

- 50+0.05x = 25+0.25x。

- 0.2x = 25，解得x = 125千克。

五、行程问题。

9. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是乙的速度的2倍。

两人相遇后继续往前走，各自到达B、A后立即返回。

已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是12千米，那么A、B两地相距多少千米？
- 解析：
- 设乙的速度为v，则甲的速度为2v，设A、B两地相距x千米。

- 第一次相遇时，时间t_1=(x)/(v + 2v)=(x)/(3v)，相遇地点距离A地(2)/(3)x 千米。

- 第二次相遇时，两人共走了3x千米，时间t_2=(3x)/(v+2v)=x/v。

- 此时甲走了2v×(x)/(v)=2x千米，甲从A地到B地再返回走了2x千米，第二次相遇地点距离A地2x - x=x千米。

- 已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是12千米，(2)/(3)x-x = 12或x-(2)/(3)x = 12。

- 解得x = 36千米。

10. 一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16小时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16小时。

求水流的速度。

- 解析：
- 设轮船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时。

- 根据时间 = 路程÷速度，顺流速度为(x + y)千米/小时，逆流速度为(x-y)千米/小时。

- 可列出方程组(120)/(x + y)+(80)/(x - y)=16 (60)/(x + y)+(120)/(x - y)=16。

- 设(1)/(x + y)=a，(1)/(x - y)=b，则方程组变为120a + 80b=16 60a+120b = 16。

- 由第一个方程120a+80b = 16可得3a + 2b=0.4，由第二个方程60a +
120b=16可得a+2b=(4)/(15)。

- 用3a + 2b-(a + 2b)=0.4-(4)/(15)，2a=(2)/(5)-(4)/(15)，2a=(2)/(15)，
a=(1)/(15)。

- 把a=(1)/(15)代入a + 2b=(4)/(15)，(1)/(15)+2b=(4)/(15)，2b=(1)/(5)，
b=(1)/(10)。

- 所以x + y = 15 x-y = 10，解得y = 2.5千米/小时。

六、几何问题。

11. 一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米、5厘米。

以斜边为轴旋转一周，得到一个立体图形，求这个立体图形的体积。

- 解析：
- 这个立体图形是由两个共底的圆锥组成的。

- 先求斜边上的高，根据三角形面积公式S=(1)/(2)×底×高，对于直角三角形，S=(1)/(2)×3×4=(1)/(2)×5× h（h为斜边上的高），解得h=(12)/(5)厘米。

- 以斜边5厘米为轴旋转一周后，两个圆锥底面半径为\(\frac{12}{。