北师大新版八年级下册《第1章 三角形的证明》1含解析答案

北师大新版八年级下册《第1章三角形的证明》
一、选择题（共8小题）
1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）
A．20 B．12 C．14 D．13
2．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）
A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
3．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（）
A．2 B．C．D．
4．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）
A．3cm B．6cm C．cm D．cm
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）
A．60°B．45°C．30°D．75°
6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）
A．2.5 B．C．D．2
7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN ＝2，则OM＝（）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）
A．∠CAD＝30°B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED
二、填空题（共7小题）
9．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10cm，则CD的长为cm．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，点D为AC的中点，则BD＝cm．
12．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD的长等于．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是．
14．已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是．
15．著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝20cm，则画出的圆的半径为cm．
三、解答题（共1小题）
16．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF＝AC．
（2）若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
北师大新版八年级下册《第1章三角形的证明》
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
1．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）
A．20 B．12 C．14 D．13
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD＝BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝CE＝AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝8，
∴AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝5，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝4+5+5＝14．
故选：C．
2．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）
A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC＝AM＝1.2km．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为AB的中点，
∴MC＝AB＝AM＝1.2km．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为（）
A．2 B．C．D．
【分析】在Rt△ACD中求出AD，在Rt△CDB中求出BD，继而可得出AB．
【解答】解：在Rt△ACD中，∠A＝45°，CD＝1，
则AD＝CD＝1，
在Rt△CDB中，∠B＝30°，CD＝1，
则BD＝，
故AB＝AD+BD＝+1．
故选：D．
4．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）
A．3cm B．6cm C．cm D．cm
【分析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
【解答】解：过点C作CD⊥AD，∴CD＝3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD＝2×3＝6，
又∵三角板是有45°角的三角板，
∴AB＝AC＝6，
∴BC2＝AB2+AC2＝62+62＝72，
∴BC＝6，
故选：D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）
A．60°B．45°C．30°D．75°
【分析】根据轴对称的性质可知∠CED＝∠A，根据直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质可得∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，根据等边三角形的判定和性质可得∠CED ＝60°，再根据三角形外角的性质可得∠B的度数，从而求得答案．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，
∴∠CED＝∠A，CE＝BE＝AE，
∴∠ECA＝∠A，∠B＝∠BCE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠CED＝60°，
∴∠B＝∠CED＝30°．
故选：C．
6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（）
A．2.5 B．C．D．2
【分析】连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD＝∠GCF＝45°，再求出∠ACF ＝90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，
∴AC＝，CF＝3，
∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
由勾股定理得，AF＝＝＝2，
∵H是AF的中点，
∴CH＝AF＝×2＝．
故选：B．
7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN ＝2，则OM＝（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM＝PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD ﹣MD即可求出OM的长．
【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°＝＝，OP＝12，
∴OD＝6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝MN＝1，
∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的是（）
A．∠CAD＝30°B．AD＝BD C．BD＝2CD D．CD＝ED
【分析】根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD＝∠BAD＝∠B，推出AD＝BD，AD ＝2CD即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠B，
∴AD＝BD，AD＝2CD，
∴BD＝2CD，
根据已知不能推出CD＝DE，
即只有D错误，选项A、B、C的答案都正确；
故选：D．
二、填空题（共7小题）
9．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝ 5 ．【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB
又∵∠AOB＝60°
∴△AOB是等边三角形．
∴AB＝OA＝AC＝5，
故答案是：5．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10cm，则CD的长为 5 cm．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AB．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，
∴CD＝AB＝×10＝5cm．
故答案为：5．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10cm，点D为AC的中点，则BD＝ 5 cm．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD＝AC．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，
∴BD＝AC＝×10＝5cm．
故答案为：5．
12．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD的长等于8 ．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而结合勾股定理得出BD的长．【解答】解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，
∴AB＝2DE＝2×5＝10，
∴在Rt△ABD中，
BD＝＝＝8．
故答案为：8．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则BE的长是 2 ．
【分析】根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE＝30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，FD⊥AB，
∴∠ACB＝∠FDB＝90°，
∵∠F＝30°，
∴∠A＝∠F＝30°（同角的余角相等）．
又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，
∴∠EBA＝∠A＝30°，
∴直角△DBE中，BE＝2DE＝2．
故答案是：2．
14．已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是 5 ．【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝10，
所以，斜边上的中线长＝×10＝5．
故答案为：5．
15．著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB＝20cm，则画出的圆的半径为10 cm．
【分析】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长．
【解答】解：连接OP，
∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴OP＝AB，
∵AB＝20cm，
∴OP＝10cm，
故答案为：10．
三、解答题（共1小题）
16．如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．
（1）求证：EF＝AC．
（2）若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝AC；
（2）判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM＝CM，然后求出CD＝AM+DM，再等量代换即可得解．
【解答】（1）证明：∵CD＝CB，点E为BD的中点，
∴CE⊥BD，
∵点F为AC的中点，
∴EF＝AC；
（2）解：∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∵点F为AC的中点，
∴EF垂直平分AC，
∴AM＝CM，
∵CD＝CM+DM＝AM+DM，CD＝CB，
∴BC＝AM+DM．。