人教版A版高中数学选修3-3：球面三角形的内角和
人教版A版高中数学选修3-3：用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式_课件1
占面积为地球表面积的
150 3600
1 24
即 4 R2 1 64002 21446605.85km2
24 6
球面二角形的面积
如何计算一般球面二角形的面积？ • 二角形的夹角α，就是平面PA与PB所夹的
二面角的平面角； • 这个二角形可以看成半个圆绕直径P旋转
角所生成； • 球面二角形的面积与其夹角成比例。
• 所以 V E F 2
球面上的欧拉公式
• 球面上的三角剖分满足下面的公式：
V EF 2
其中V、E、F分别是三角剖分的顶点数，三 角形边数和三角形个数。
• 我们把这个公式叫做球面的欧拉公式。这 个公式与球面的大小，三角剖分的方式无 关。
球面上的欧拉公式
• 如何利用球面三角形面积公式证明球面多 面体的欧拉公式？
计算球面三角形的面积
例2：计算以北京、上海、重庆为顶点的球 面三角形的边长和的面积。
解：根据地理知识，北京位于北纬39°56′ 、东经116°20′，上海位于北纬31°14′、 东经121°29′，重庆位于北纬29°30′、东 经106°30′的经纬度，地球半径为 R=6400km
计算球面三角形的面积
球面上的欧拉公式
• 图中所示的两个三角形的位置关系在球面 的三角剖分中都是不允许出现的。
球面上的欧拉公式
例3：观察下面的球面三角剖分，记录它们 的顶点数V，三角形边数E和三角形个数F， 说明它们满足什么关系？
球面上的欧拉公式
• 在左图中，顶点为A、B、C、D，顶点数 V=4，
• 三角形的边为AB、AC、AD、BC、BD、 CD，边数E=6，
(3)
i 1
4．根据（1）、（2）、（3）式，得
人教版高中数学选修3-3球面上的几何第四讲 球面三角形
旧知回顾在上一讲中，我们主要讲了球面上的基本图形．我们认识了球面二面角和球面三角形．回想一下球面三角形的定义和性质．新课导入本讲我们在类比平面三角形有关性质的基础上，讨论球面三角形三边之间的关系、球面“等腰”三角形、球面三角形的周长以及球面三角形的内角和等等．教学目标知识与能力•感知球面三角形在现实中的应用．•认识球面三角形的性质．•了解球面三角形的基本内涵．过程与方法•通过观察，了解球面三角形和平面三角形的类比过程．•进一步了解球面三角形在实际生活中的应用．情感态度与价值观•让学生能够以类比的思想学习新的知识．•总结实际生活中大量存在的现象和规律．•培养合作交流意识．教学重难点•更深入地认识球面三角形．•了解球面三角形与平面三角形之间的异同点．•抓住球面三角形的特征，认识它的几何性质．一、球面三角形三边之间的关系在平面上，三角形满足：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边．球面上是否也成立？AC BO图4-1由于引入三面角，对于球面上边与角的研究就转化为立体几何中角的研究．球面三角形的边对应三面角的面角，因此研究三面角中三个面角之间的关系．图4-2,假定为单位球面，那么O-ABC 是一个三面角．而且有,,.a BC BOCb CA COAc AB AOB ==∠==∠==∠A C B O 图4-2ab c O -ABCOC A Ba b在b 图中，我们可以证明.AOB BOC COA ∠+∠>∠再根据上述等式，得到.c a b +>这样可以得出：三面角中的两个面角之和大于第三个面角．对应到球面三角形中，就有：球面三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．二、球面“等腰”三角形类似平面三角形的两边相等，则对角相等．在球面三角形中，等边对等角，等角对等边；大角对大边，大边对大角．已知：在球面△ABC中，b=c求证:∠B=∠C ．动动脑ACBOBOACE DFab ccab图4-3三、球面三角形的周长在球面三角形中，每条边都小于大圆周长的一半，所以周长不会超过3/2个大圆周长．实际上，周长要小于大圆周长．具体的证明方法是应用球面上边角对等的关系来验证的．一个很重要的结论：球面三角形的周长小于大圆周长．四、球面三角形的内角和对于平面三角形，内角和等于180°．那么球面三角形的内角和是否也是一个定值呢？下面引入例题AOB C图4-4上图中，设A点表示地球的北极，B、C两点所在的曲线是赤道L A，其中，B点所在的经线是0°，C点所在经线是90°．AB、AC是两条经线，而经线与赤道平面垂直，所以∠BAC=π/2．由极与赤道的概念知道：ABC ACB ,2π∠=∠=因此三角形的内角和为3ABC ACB BAC .2π∠+∠+∠=>π说明球面上存在内角和大于180°的三角形．球面面积等于1/4上半球面面积（因为区域扫过了90°），也等于1/8球面面积，如果半径为r ，那么球面△ABC 的面积=22221134πr =πr =(π-π)r 822=(ABC +ACB +CAB -π)r .⨯∠∠∠探究如果再在赤道上取一点D，所在的经线是东经120°，这是球面△ABD的面积又会是多少？通过计算得：球面△ABD 面积2222125S 4r r ()r 633(ABD ADB DAB )r .=⨯π=π=π-π=∠+∠+∠-π一般的，球面△ABC的半径为r,则任意球面的面积=（A+B+C-π）r2，(A、B、C分别为角A、B、C的弧度数)，特殊的，若半径为1，则面积=（A+B+C-π）．通过例子说明球面三角形的内角和是大于180°的．这是球面几何与欧氏几何不同的重要特征之一．思考球面三角形的内角和是不是可以任意大？A CB O a b c 图4-5分析：由于球面三角形的内角所对应的边都小于大圆周长的一半，故每个内角都小于180°，所以内角和要小于540°，实际上，球面三角形的内角和要小于360°．课堂小结1. 球面三角形三边之间的关系；2. 球面“等腰”三角形；3. 球面三角形的周长以及球面三角形的内角和；。
人教版A版高中数学选修3-3：球面三角形的内角和
2
又由极与赤道的概念可知，球
面角∠ABC= ，
∠ACB=
2
，2 因此球面三角
形ABC的三角内角的和
∠ABC+∠ACB+∠BAC=3
2
这说明球面上存在一个三角形，它
的内角和大于π.
我们在在赤道上去一点D，点D所 在的经线是东经1200，这时球面 三角形ABC的面积是多少？
球面三角形的内角和
我们知道，平面三角形的一个 非常重要的性质是内角和等于 π，球面三角形的内角和是否 也是一个定值呢？
如图，设点A表示地球的北极，LA 为 赤B所道在，的点经B线,C是是赤00，道点LAC上所的在两的点经，线且是点 900.
因为地球上的经线和赤道都 是大圆，且经线所在的平面 与赤道所在的平面垂直，所
球面三角形的内角和是不是可以 任意大？
如图，由于球面三角形的内角所对的 边都小于大圆周的一半，所以每个内 角都小于π.因此内角和小于3π.
实际上，由于球面三角形的 周长小于大圆周长，球面三 角形的内角和可以更小。
球面三角形的内角和小于2π.
如图，球面角∠ABD= ，
2
∠形AABDCB的= 2三个，内∠角BA的D和=23
，因此球面三角
∠ABD+∠ADB+∠BAD=5 . 球面三角形ABC 3
的面积= 1 4r2 2r2 (5 )r2
6
3
3
（∠ABD +∠ADB +∠BAD -）r2.
一般地，在半径为r的球面上，是否有
任意球面三角形ABC的面积= （A B C -）r2 ？ （A,B,C分别为∠A,∠B，∠C的弧度数）
事实上，这个猜想是正确的，即
【精品推荐】球面几何-选修3-3-2.5球面多边形的内角和与欧拉公式PPT优秀课件
在平面几何中，我们知道平面多边形 的内角和为(n-2)π，单位球面上球面三角形
△ABC的面积S´=（A+B+C-π），因此得到 球面三角形的内角和为S´+π．
13
我们大胆猜想，单位球面上，球面n （n≥3）边形的内角和等于（n-2）π+S,其 中S为球面n边形的面积．事实上猜测是正 确的．
14
拉公式
从橡皮变换角度看，简单多面体与球 等价，简单多面体的表面与球面等价．这 时，我们大胆想象，橡皮膜变成球后，组 成简单多面体的每个面的各条边可以与球 面多边形建立一定的联系．
下面我们给出欧拉公式的证明．
22
欧拉公式 如果用V 表示简单多面体的 顶点数，E 表示简单多面体的棱数，F表 示简单多面体的面数，那么：
25
调整“网络”，使其上的每一条曲线都 变成 上的一段大圆弧，那么简单多面体 就变成整个球面 ，且 的一个面变成 上的 多边形 ， 的顶点数、棱数、面数与 上的顶 点数、棱数、面数完全相同.这样就只研究 上的顶点数、棱数、面数的关系就行了．
26
把的各面编号：1，2，…，F， 的第一
个面变成 的第一个球面多边形，设此球面 多边形有 n 1 条边，它的内角的弧度数分别
与先学平面三角形再学平面多 边形一样，我们在球面三角形的基 础上，引进球面多边形的概念．
8
A1 A6
A2
A3
O
A4
A5
图 6-1
9
我们知道，在平面上，n(n≥3)条收尾相接且 互不相交的线段围成的封闭图形叫做n边 形．类似地，如图6-1中，在球面上有n个点： A1，A2,A3,. . . An，且任意三点不在同一个大圆 上，经过这n个点中任意两点做大圆，首尾顺 次相接劣弧A1A2,A2A3,. . .An-1An．
《球面三角形的内角和》课件-优质公开课-人教A版选修3-3精品
总结上述性质，可得一个球面三角形的成立条件为： • • • • • • • • • 1. 当给定了球面三角形的三个边时： （1）任一边应大于0°，小于180 °； （2）三边之和大于0 °，小于360 °； （3）二边之和大于第三边或二边之差小于第三边。 2. 当给定了球面三角形的三个角时： （1）任一角应大于0°，小于180 °； （2）三角之和大于180 °，小于540 °； （3）二角之和减去第三角小于180 ° 。 3. 若给定球面三角形的两个角及其夹边或两个边及其夹角，则 仅需满足每一个角和每一个边大于0°，小于180 °的条件，球 面三角形都成立。 • 4. 若给定球面三角形的两个角及其一个角的对边，或两个边及 其一边的对角，则角形的性质
• 1.球面三角形与三面角的关系 • 球面三角形的角是三面角的三个二面角； • 球面三角形的边与所对应的三面角的面 角相等。 • 2.球面三角形的每一边必大于0°而小于 180 °，三边之和大于0 °而小于360 °。 • 3.球面三角形两边之和大于第三边，两边 之差小于第三边。
• 4.球面三角形的每一角必大于0 °而小于180 °， 三角和必大于180 °而小于540 °。 • 5.球面三角形三角之和超出180 °的部分称为 球面角盈（或球面剩余），以E表示，即： • E＝A＋B+C－180 ° • 6.球面三角形两角之和减去第三角小于180 °。 • 7.球面三角形的外角小于不相邻的两内角的和 而大于它们之差。 • 8.同一球面三角形中对等边的角相等，对等角 的边也相等。 • 9.在任意球面三角形中对大角的边较大，对大 边的角也较大。
人教版高中数学选修3-3球面上的几何第五讲 球面三角形全等
回顾旧知 C AB A 'B 'C '全等图形 形状、大小完全相同的图形是全等图形．新课导入全等是图形的重要性质之一．在欧氏几何中，我们对全等的研究是从平面三角形开始的，先讲全等的定义，在讲判定三角形全等的公理，最后运用三角形全等证明一些命题．我们对球面三角形的研究也遵循同样的思路．教学目标知识与能力•感知球面全等三角形在现实中的应用．•掌握球面三角形全等的判定定理．•会利用判定定理研究球面三角形．过程与方法•通过观察，了解球面三角形全等与平面三角形全等的异同点．•进一步了解球面三角形在实际生活中的应用．情感态度与价值观•让学生从类比中学习新的知识．•认识实际生活中大量存在的现象和规律．•培养合作交流意识．教学重难点•认识球面全等三角形．•对球面三角形全等判定定理的理解．•对判定定理的应用．类似于平面上研究全等的思路，首先给出球面上全等的定义．两个球面三角形全等：两个图形完全相等，即球面三角形的六个要素——三条边、三个角分别相等．注意由于球面的半径不同，球面的大小也不一样，所以研究球面三角形的全等问题只能在同一球面上或者是半径相等的球面上．下面讨论两个球面三角形全等的判定1、“边边边”（s.s.s）判定定理我们知道，如果平面三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．类似地，我们可以得到：如果两个球面三角形的三对边对应相等，则两个球面三角形全等．证明：分析：由球面△ABC与三面角O-ABC的对应关系可知，由于球面三角形的三条边对应相等，所以与球面三角形对应的两个三面角相等．这时，如果能够证明这两个三面角中每两个面所成的二面角也相等，那么就证明了球面三角形中的角对应相等，也即两个球面三角形全等．图 5-1A OO D EF BCA ´ D ´ E ´ F ´B ´C ´如图5-1，在两个三面角O-ABC和O-A´B´C´中，连结AB，BC，CA，A´B´，B´C´，C´A´，因为球面△ABC与球面△A´B´C´的三条边对应相等，即'',AB A B ='',BC B C ='',CA C A =又因等弧上的弦相等，所以AB=A ´B ´,BC=B ´C ´,CA=C ´A ´． 因为三对面角∠AOB=∠A ´O ´B ´,∠BOC=∠B ´O ´C ´, ∠COA=∠C ´O ´A ´． 又因为OA=OB=OC=OA ´=OB ´=OC ´,所以△AOB≌△A´OB´,△BOC≌△B´OC´, △COA≌△C´OA´．所以∠OAB=∠OA´B´,∠OBC=∠OB´C´, ∠OCA=∠OC´A´．又因为△AOB≌△A´OB´，所以∠BAC=∠B´A´C´.在OA和OA´上分别取点D和D´，使AD=A´D´，再过点D在平面OAB和OAC 上作OA的垂线，分别交AB和AC于点E 和F；同样地，过点D´在平面OA´B´和OA´C´上作OA´的垂线，分别交A´B´和A´C´于点E´和F´，容易证明：∠EDF=∠E´D´F´.又因为EDF和E´D´F´分别是二面角B-OA-C和B´-OA´-C´的平面角，所以这两个二面角相等．同理可证，另外两对二面角也相等．由球面三角形的内角与三面角中二面角的对应关系，可得：球面△ABC的和球面△A´B´C´的三对内角对应相等．所以，球面△ABC≌球面△A´B´C´．借助三面角这个“脚手架”，我们还可以证明下面一些球面三角形全等的判定定理．2、“边角边”（s.a.s）判定定理如果两个球面三角形的两对边对应相等，且它们的夹角也相等，那么这两个球面三角形全等．3、“角边角”（a.s.a）判定定理如果两个球面三角形的两对角对应相等，且夹边相等，则两个球面三角形全等．4、“角角角”（a.a.a）判定定理在平面上，我们知道，三对角对应相等的两个三角形不一定全等．也就是说，平面三角形全等的一个必要条件是至少有一对边对应相等．在球面上，三对角对应相等的两个球面三角形是否也有类似的结论呢？答案是否定的.我们知道，半径为r的球面上，球面△ABC的面积=（A+B+C-π）r2．因此，若两个球面三角形的三对内角相等，那么它们的面积一定相等．所以，若两个球面三角形的三对内角相等（可以理解为一样），则它们的面积必相等，形状和大小一样的两个三角形当然全等．如果两个球面三角形的三对角对应相等，则两个球面三角形全等．所以，在球面上有两个球面三角形全等的“角角角（a.a.a ）”判定定理． 下面我们给出它的证明．分析：由于已经学过三个判定球面三角形全等的判定定理，我们尝试把球面三角形中角的关系转化为边的关系，由边的关系判定球面三角形全等．由于球面三角形与它的球极三角形之间存在定量的边角关系，因此我们设法通过构造球面三角形的球极三角形，实现球面三角形和球极三角形之间边角的转换，进而证明结论．证明：设球面△ABC和△DEF的极对称三角形分别为球面△A´B´C´和△D´E´F´，且这四个球面三角形的边长分别为a，b，c；d，e，f；a´，b´，c´；d´，e´，f´．根据球面三角形和球极三角形之间的边角关系，有：a´=π-∠A，d´=π-∠D，b´=π-∠B，e´=π-∠E，c´=π-∠C，f´=π-∠F.又因为∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，所以a´=d´,b´=e´,c´=f´．因此，球面△A´B´C´≌球面△D´E´F´. 所以∠A´=∠D´,∠B´=∠E´,∠C´=∠F´.又根据球面三角形和球极三角形之间的边角关系，有：a=π-∠A´，d=π-∠D´，b=π-∠B´，e=π-∠E´，c=π-∠C´，f=π-∠F´.所以a=d,b=e,c=f．因此，球面△ABC≌球面△DEF．从第四个判定定理可以看出，平面几何与球面几何有显著不同之处：1.平面几何中，如果两个三角形的三个角对应相等，那么两个三角形相似，不一定全等．2.球面几何中，在同一球面上，如果两个球面三角形的三对角对应相等，那么它们全等．由1、2知道，在同一个球面上不存在相似三角形．课堂小结球面三角形全等的判定定理：边边边（s.s.s.）边角边（s.a.s）角边角（a.s.a）角角角（a.a.a）。
人教A版高中数学选修3-3-8
欧氏几何与非欧几何的意义
首先，判断一种几何是否正确的标准是什么？ 1. 这种几何在理论上是否成立，这是本质上
的逻辑问题； 2.这种几何在实际中是否成立，能否刻画我
们生活的物理世界。
数学家用间接的方法, 在欧氏几何中建立了一 个非欧几何的模型, 在这个模型中, 规定了一些（非 欧）基本概念后, 全部的推理都是依照欧氏几何所 遵循的逻辑进行的, 因此这个模型是欧氏几何与非 欧几何的一个“桥梁”。
非欧几何的结论通过模型又可解释为欧氏几何 中的一个结论, 这样一来, 如果非欧几何是矛盾的, 那么, 欧氏几何在逻辑上也是矛盾的, 因此, 庞加莱 模型告诉我们, 如果欧氏几何是无矛盾的, 那么非欧 几何也是无矛盾的。
第二个问题是单纯的一种几何是否能刻画物理世界？ 爱因斯坦认为，时间和空间是不可分割的，物理空间十 分复杂，无论欧氏几何或非欧几何都不能全面、精确的 解释物理的时空概念，但他们都是物理空间，对物理空 间在不同方面有很好的近似。也就是说，对待不同的实 际我们应该采用不同的几何。
定 其夹边对应相等，则两个三角形全等。 理 5.平面（球面）“等腰”三角形的两底角相等，两腰
对应相等。
……
平面几何
平面三角形内角和为
不 180°。 相 同 平面三角形的面积与 的 内角和无关。 定 理 同一平面上存在两个
球面几何
球面三
角形内
球面三角形内角和大于 角和减
去180°
180°．
或π余下
的部分 球面三角形的面积与角
平面上与球面上会有这些不相 同的定理？
追溯其根源, 是平面上有以下的 结论
过直线外一点, 有且只有一条直线与 该直线不相交。
我们把两条不相交的直线称为平行线, 上述结论最早出现在欧几里得所著的《原本》 中, 所以我们把上述结论称为欧氏平行公理。 在欧氏平行公理成立的条件下, 推导出来的 所有定理及其他结果所组成的几何体系称为 欧氏几何。
人教版高中选修3-3三从球面上的正弦定理看球面与平面课程设计
人教版高中选修3-3 三从球面上的正弦定理看球面与平面课程设计一、前言《人教版高中数学选修3》是高中数学选修课程中的一本重要教材。
其中，第3章“空间中的几何体”中的第3节“球面上的三角形及其运算”中介绍了球面上三角形的各种性质及运算方法，包括正弦定理、余弦定理等。
本文将以第3节的内容为基础，通过三从球面上的正弦定理来深入探讨球面与平面的关系，在此基础上进行课程设计。
二、课程设计1. 课程学习目标通过本章学习，学生应能：•理解球面上的三角形的概念及特点；•掌握球面上三角形的各种运算方法，并能够运用正弦定理进行计算；•探究球面和平面的关系，理解球面上的几何图形转化为平面上的几何图形的方法及原理，如球面上的面积与平面上的面积的关系等。
2. 课程内容及教学方法（1）课程内容：本节课程将围绕“三从球面上的正弦定理看球面与平面”的主题展开教学，具体内容如下：1.球面上的三角形和球面上的角度单位；2.球面上的正弦定理推导及应用；3.球面上的各种几何图形与平面图形的转换。
（2）教学方法：本节课程的教学应注重理论知识的讲授，同时通过讲解案例、练习题等形式，帮助学生快速掌握知识要点和应用技巧。
在教学中需要采取以下教学方法：1.讲授法：首先通过讲解理论知识，帮助学生理解球面三角形和球面正弦定理的概念、原理以及推导过程。
2.案例分析法：通过具体的例子，帮助学生深入理解球面上的运算方法和转换方法。
3.合作学习法：组织学生进行小组合作学习，培养学生的合作精神同时提高学生的问题解决能力。
3. 教学流程本章课程设计的教学流程可以如下：具体内容课时教学内容教学方法课时教学内容教学方法具体内容第一课时球面上的三角形和角度单位讲授法1. 球面上的概念和基本概念；2. 球面上的角度单位。
第二课时球面正弦定理讲授法1. 球面正弦定理的推导过程；2. 球面正弦定理的应用。
第三课时球面上的几何图形转换案例分析法1. 球面上多边形的转换过程和方法；2.球面上面积与平面上面积的关系。
人教版高中选修3-3二球面上的角课程设计
人教版高中选修3-3二球面上的角课程设计一、教学目标1.掌握二球面的基本性质，了解球面上的切平面和法线。
2.熟悉二球面上的角，并能够运用培根公式和余弦定理解决二球面上的相关问题。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学内容1.二球面的基本性质。
2.球面上的切平面和法线。
3.二球面上的角及其性质。
4.在二球面上的角的度量。
5.二球面上角的计算：培根公式和余弦定理。
三、教学重点1.二球面上的角及其性质。
2.在二球面上的角的度量。
3.二球面上角的计算：培根公式和余弦定理。
四、教学难点1.二球面上角的计算：培根公式和余弦定理。
2.解决二球面上的相关问题的能力。
五、教学方法1.讲授法：通过讲解二球面的基本性质和角的概念，帮助学生建立起正确的知识体系。
2.练习法：通过练习题的方式，帮助学生掌握二球面上角的计算方法。
3.探究法：通过实验和观察二球面上的性质，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
六、教学步骤第一步、导入引出本节课的主题——二球面上的角，并简要介绍二球面的基本性质和角的概念。
第二步、讲解1.讲解二球面上的切平面和法线。
介绍二球面的微元法和曲面的微分，引入曲率和法向量以及切平面和法线的概念。
2.讲解二球面上的角。
介绍二球面上的角的度量和计算方法，培养学生的运算和解题能力。
3.引出培根公式和余弦定理，并详细讲解两种公式的计算方法和应用场合。
第三步、练习通过练习题的方式，帮助学生掌握二球面上角的计算方法，并培养解决实际问题的能力。
第四步、探究通过实验和观察二球面上的性质，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
第五步、总结对本节课所学的知识进行总结、回顾和归纳，让学生进一步巩固和理解所学内容。
七、教学资源1.教师讲义。
2.学生练习题。
3.教学实验器材。
4.多媒体教学工具。
八、教学评估1.课堂练习：通过课堂练习的方式，考察学生对二球面上角和计算方法的掌握情况。
2.作业评估：通过作业评估的方式，考察学生对二球面上角和计算方法的综合应用和解决问题的能力。
人教版A版高中数学选修3-3：球面多边形及其内角和公式_课件1
设单位球面上的 n(n 3)边形A1A2A3...An-1An 的n个内角分别为 A1，A2，A3，...An 其弧度数分别为 A1，A2，A3，...An ，S为这个球 面n边形的面积，则
A1 A2 A3 ... An-1 An (n 2) S.
分析：当n=3时，就是球面三角形的 面积公式，结论显然成立。 当n=4时，如图，我们总可以把两个 不相邻的顶点用大圆弧连结起来，由 于这两个不相邻的顶点都在一个大圆 的半个球面内，所以这段圆弧是劣弧， 因此这段劣弧把球面四边形分为两个 球面三角形，而这两个球面三角形面 积的和等于球面四边形的面积。
以此类推，便可得到球面n边形的面积公 式，进而得到球面n边形的内角和公式。
四边形
五边形
A
六边形
A
B
F
B
E
C
D
C
E
D
n边形从一个顶点引 （n － 3）条对角线 把一个n 边形分成了 （n － 2）个三角形
A
1
B
A
EB
F
1 ×4 ÷2=2
C
D
2 ×5 ÷2=5
C
E
D
3 ×6 ÷2=9
n 边形一共有多少条对角线呢？ n( 3) 2五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次 连接组成的平面图形。
n边形是由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次
连接组成的平面图形。（也称为多边形）
以前我们学习过平面多边形，那 么我们再球面三角形的基础上， 引进球面多边形的概念。
平面多边形的定义
在平面上，n(n 3) 条首尾相接且不 相交的线段围成的封闭图形叫做n 边形.
球面多边形及其内角和公式
人教A版高中数学选修3-3-2.2 球面上的角- 课件(共14张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
人教版A版高中数学选修3-3：球面多边形及其内角和公式
段 AB的极，求球面 PAB的面积.
定理2.1 球面三角形的面积等于它的三内角和减去 的差再乘以球面半径的平方，即
球面ABC的面积 R2 A B C（2.1）
其中，R为球面的半径.
证明:如图2.3所示，设点A,B,C的对径点分别为 A, B,C
将球面角CAB的边AC与AB延长至 ，A得 球面二角 形 ABAC. 我们用 AB表C示球面 A的BC面积，用A
的经线所围成的球面二角形的面积.
解 因为
SNB 12129 11620
59 5 9
180 60 180
0.0286(弧度),
36 1200
所以 S0 2R2 SNB 2 63712 0.0286
2.3217 106 km2 .
3.球面三角形
设A,B,C是球面上不在同一条球面直线上的三点，我
们把其中任两点用球面线段连接. 所得的图形称为
球面三角形,记为球面 AB. C点A,B,C称为这个球面
三角形的顶点，球面线段
AB, B称C,为CA这个球面
三角形的边，三边的长称为这个球面三角形的边长，
也用记号
A.B, BC,CA
4.定理2.1
对于球面二角形，我们把对径点 P与 P称 为这个
二角形的顶点，半大圆弧PAP′ 与PBP’ 称为这个二 角形的边，球面角 A与PB球面角 A称P为B 这个二 角形的内角，在不产生混淆的情况下，简记 为 P, P， 它们既表示二角形的两个内角，也表 示这两角内角的大小.
例2.1 已知地球的半径 为6371km，上海位于北 纬31°14′东经 121°29′，北京位于 北纬39°56′，东经 116°20′，如图2.2所示，试求过北京B与上海
人教A版高中数学选修3-3-4.4 球面三角形的内角和-教案设计
球面三角形的内角和【教学目标】1．掌握球面三角形的面积求法。
2．熟练运用球面三角形的内角和的性质解决具体问题。
3．亲历球面三角形的内角和的性质的探索过程，体验分析归纳得出球面三角形的面积求法，进一步发展学生的探究、交流能力。
【教学重难点】重点：球面三角形内角和的性质。
难点：球面三角形面积的求法的实际应用。
【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习球面三角形内角和，这节课的主要内容有球面三角形内角和，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。
二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解球面三角形内角和内容，形成初步感知。
（2）首先，我们先来学习球面三角形内角和，它的具体内容是：1．球面三角形的面积在半径为r的球面上，任意球面△ABC的面积＝2（。
特别的，在单位球面上，++-π)A B C r球面△ABC的面积＝π++-。
A B C2．球面三角形的内角和球面三角形的内角和大于π。
球面三角形的内角和小于3π。
它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。
例：我们再在赤道上取一点D，点D所在的经线是东经120︒，这时球面ABC△的面积是多少？解析：教师板书根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。
练习：球面三角形的内角和是不是可以任意大？三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了球面三角形内角和的相关内容：1．球面三角形的面积在半径为r 的球面上，任意球面△ABC 的面积＝2π)A B C r ++-（。
特别的，在单位球面上，球面△ABC 的面积＝πA B C ++-。
2．球面三角形的内角和球面三角形的内角和大于π。
球面三角形的内角和小于3π。
（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测1．已知球面ABC △中，A ＝90°，B ＝60°，C ＝45°，求球面△ABC 的面积。
2．设球面ABC △的三个内角分别为A ∠，B ∠，C ∠，且点A ，B ，C 的对径点分别为A '，B '，C '，试分别写出球面A BC '△，AB C '△，ABC '△的三个内角与它们的面积。
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如图，由于球面三角形的内角所对的 边都小于大圆周的一半，所以每个内 角都小于π.因此内角和小于3π.
实际上，由于球面三角形的 周长小于大圆周长，球面三 角形的内角和可以更小。
球面三角形的内角和小于2π.
以球面角∠BAC=
2
又由极与赤道的概念可知，球
面角∠ABC= ，
∠ACB=
2
，2 因此球面三角
形ABC的三角内角的和
∠ABC+∠ACB+∠BAC=3
2
这说明球面上存在一个三角形，它
的内角在的经线是东经1200，这时球面 三角形ABC的面积是多少？
任意球面三角形ABC的面积= （A B C -）r2 ？ （A,B,C分别为∠A,∠B，∠C的弧度数）
事实上，这个猜想是正确的，即
在半径为r的球面上，任意球面 ABC的面积=（A B C-）r2 特别地，球面 ABC的面积=A+B+C-π.
球面三角形的内角和大于π.
这与平面三角形的内角和等于π有很大 区别，也是球面几何作为非欧几何模型 与欧式几何不同的重要特征之一.
如图，球面角∠ABD= ，
2
∠形AABDCB的= 2三个，内∠角BA的D和=23
，因此球面三角
∠ABD+∠ADB+∠BAD=5 . 球面三角形ABC 3
的面积= 1 4r2 2r2 (5 )r2
6
3
3
（∠ABD +∠ADB +∠BAD -）r2.
一般地，在半径为r的球面上，是否有
球面三角形的内角和
我们知道，平面三角形的一个 非常重要的性质是内角和等于 π，球面三角形的内角和是否 也是一个定值呢？
如图，设点A表示地球的北极，LA 为 赤B所道在，的点经B线,C是是赤00，道点LAC上所的在两的点经，线且是点 900.
因为地球上的经线和赤道都 是大圆，且经线所在的平面 与赤道所在的平面垂直，所