矩阵可交换性质

矩阵可交换的条件及其性质
摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。

本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.
关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵
The Conditions For The Commutation Of Matrix and Some
Properties
Abstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the core
of the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.
Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix
目录
1 引言........................................................................................................................................ - 1 -
2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -
3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -
3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -
4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -
5 -
5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -
5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -
6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -
7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -
1 引言
矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.
2 可交换矩阵的基本定义
一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BA
AB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.
定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BA
AB=,则称方阵A与B是可交换的。

3 矩阵可交换的条件
3.1 矩阵可交换的充分条件
定理3.1.1
（1）设A、B至少有一个为零矩阵，则A、B可交换；
（2）设A、B至少有一个为单位矩阵，则A、B可交换；
（3）设A、B至少有一个为数量矩阵，则A、B可交换；
（4）设A、B均为对角矩阵，则A、B可交换；
（5）设A、B均为准对角矩阵，则A、B可交换；
（6）设*A是A的伴随矩阵，则A与*A可交换；
（7）设A是可逆矩阵，则A与1-A可交换;
（8）设E
AB=，则A、B可交换.
证明：（1）对任意矩阵A，均有：A
0=，0表示零矩阵；
A0
（2）对任意矩阵A，均有：EA
AE=，E表示单位矩阵；
（3）对任意矩阵A，均有：A
)
(=，k为任意实数；
(
kE
kE
A)
（4、5）显然成立； （6）E A A A AA ⋅==**； （7）E A A AA ==--11；
（8）当E AB =时，A 、B 均可逆，且为互逆矩阵. 定理3.1.2
(1) 设B A AB βα+=,其中α,β为非零实数,则A ,B 可交换; (2) 设E AB A m =+α,其中m 为正整数,α为非零实数,则A ,B 可交换 证明
(1) 由B A AB βα+=可得
()()E E B E A αβαβ=--
即
()()E E B E A =--αβαβ
1
,
故依定理3.1.1()8得
()()E E A E B =--αααβ
1
,
于是
E E B A BA αβαββα=+--,
所以
AB B A BA =+=βα;
(2) 由E AB A m =+α得
()E B A A m =+-α1,
故依定理3.1.1()8得
()
E B A
m =+-α1
,
于是
E BA A m =+α,
所以可得BA AB =
定理3.1.3
(1) 设A 可逆,若O AB =或AB A =或BA A =,则A ,B 可交换;
(2) 设A ,B 均可逆, 若对任意实数k , 均有()B kE A A -=,则A ,B 可交
换[]2
证明
(1) 若O AB =,由A 可逆得()()O AB A B A A B ===--11, 从而O BA =,故
BA AB =;
若AB A =,同理可得
()
()E AB A B A A B ===--11,故BA AB =;
若BA A =,则
()
()E A BA AA B B ===--11,故BA AB =
(2) 因A ,B 均可逆, 故由()B kE A A -=得kE A -可逆, 且()A kE A B 1--=,则
()[]()[]
()()()()()()
()
'
=''=-'-'''=-''-'''=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡'-''-'='-'-=''----AB A B kE A kE A A B kE A A k A A B kE A A kE A B A
kE A B kE A B A 1
1
1
1
两边取转置可得BA AB =.或由
()[]
()[]
()()
()()
()[]()
1
11
11
2111
11
1
1
11--------------=--=--=--=--=A B kE A A kE A B kE A kE
A B kE A A kE A B A kE A B kE A B A
两边取逆可得BA AB =.
3.2 矩阵可交换的几个充要条件
定理3.2.1下列均是A,B 可交换的充要条件
①))(())((22B A B A B A B A B A +-=-+=-
②2
222)(B AB A B A +±=±;
③'
'')(B A AB =; ④*
**)(B A AB =
证明：（1）由22))((B BA AB A B A B A -+-=-+及
22))((B BA AB A B A B A --+=+-可证得；
（2）由222)(B ba AB A B A +±±=±可证得；
（3）分别由BA AB =，''')(B A AB =两边取转置可证得； （4）分别由BA AB =，***)(B A AB =两边取伴随可证得.
定理3.2.2 可逆矩阵A ,B 可交换的充要条件是()111---=B A AB . 证明 分别由BA AB =,()111---=B A AB 两边取逆可证得 定理3.2.3
( 1) 设A ,B 均为(反) 对称矩阵, 则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵;
(2) 设A ,B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵
证明
(1) 设A ,B 均为对称矩阵, 由定理3.2.1(3) ,()AB B A AB =''='
,因此
AB 为对称矩阵;
若A ,B 均为反对称矩阵,则()()()AB B A B A AB =--=''='
因此AB 也为对
称矩阵.
仿(1)可证(2)
定理3.2.4[]6 设A ,B 均为对称正定矩阵, 则A ,B 可交换的充要条件是
AB 为对称正定矩阵.
证明 充分性由定理3.2.3(1)可得,下面证明必要性 因,A B 为对称正定矩阵,故有可逆矩阵P ,Q ,使
P P A '=,Q Q B '=
于是
Q Q P P AB ''=,()()'
''=-Q P Q P ABP P 1
所以ABP P 1-为对称正定矩阵, 其特征值全为正数.而AB 与ABP P 1-相似, 从而
AB 的特征值也全为正数,因此AB 为对称正定矩阵
定理3.2.5 1-=PCP A ,1-=PDP B ,则A 与B 可交换的充分必要条件是C 、
D 可交换.
证明 因BA AB =,1-=PCP A ,1-=PDP B ,得
1-=PAP C ,1-=PBP D ,
()()
()()DC P BA P P AB P PBP PAP CD ====----1111,
所以C 、D 可交换.
另一方面,DC CD =,()()()BA P DC P CDP P DP P CP P AB ====----1111, 所以C 、D 可交换.
4 可交换矩阵的性质
设B A ,可交换，则有
（1）,,)(,l l k k k m m BA B A B A AB A B AB ===其中l k m ,,都是正整数； 证明 （1）由BA AB =可得
A B A B B B B BA B B A AB m
m m m m =====-
个个
个
1 同理可证l
l k k k BA B A B A AB ==,)(.
（2）A B f B Af )()(=,其中)(B f 是B 的多项式，即A 与B 的多项式可交换； （3）)
)((121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A
))((121B A B B A A m m m -+++=---
（4）))(0k k m m
k k
m
m
B A
C B A -=∑=+（矩阵二项式定理）.
5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法
5.1 定义法
求此类矩阵的基本思路是：按定义，设未知数，列齐次方程组，求通解。

例 求与⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=1-121A 可交换的矩阵
解 根据定义，设与A 可交换的二阶矩阵为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
x x x x 4
321
，即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1-121 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡x x x x 4
321 = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x 4
3
21
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1-1
21，则有， ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+x x x x x x x x x x x x x x x x 42414231434321212222，即⎪⎩⎪
⎨⎧=--=--=-0
0043142132
22222x x x x x x x x 解出u t t u t x x x x ===+=4321,,2,2.所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡+u t t u t 22就是与A 可交换的矩阵.
5.2 对角矩阵的可交换矩阵的求法
定理5.2.1 若a a a a a j
i
n
diag A ==),,...,,(2
1
，
其中）（n j ,...,2,1,i =，则A 与任意同阶方阵可交换；
例 设⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=010001100A ,求所有与A 可交换的矩阵. 解 设与A 可交换的矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=32
1
321
321
c c c b b b a a a B ()3,2,1,,=∈i R c b a i i i ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321
321
321
32
1321
321
010001100b b b a a a c c c c c c b b b a a a AB ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=13
2
132132
32
1
321
321
010001100c c c b b b a a a c c c b b b a a a BA 由BA AB =,得
21a c =,32a c =,13a c =,21b a =,32b a =,13b a =,21c b =,32c b =,13c b =,
故所求
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=13
2
213
321a a a a a a a a a B 同样可以求得与A '可交换矩阵也是
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=13
2
213
321a a a a a a a a a B
定理5.2.2 若a
a a a a j
i
n
diag A ≠=),,...,,(
2
1
，其中）
（n j ,...,2,1,i =，则与A 可交换的矩阵一定是对角矩阵；
5.3 一般方阵A 的可交换矩阵的求法 一般地，对于任意的方阵F
a n
n n
n ij ⋅⋅∈=)(A ，可化为jordon 标准型：
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡=A A
A n A
2
1
其中=A i ⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡⨯
λλλλi i i
i k
k i
i
111 并且
λλλn
2
1
，
，中有一些可以相等.
例5 已知10阶方阵A 的Jordan 标准型为
()
2122
21
111
111
1
1
100
1
00
1000
1000~λλλλλλλλλλλλ≠⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=A 即存在U 可逆,使
1~
-=U A U A
则A 的初等因子为
()()()()2223141,,,λλλλλλλλ----
设与A ~
可交换的矩阵
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4443
42
41
3433323124232221
14131211~X X X X X X X X X X X X X X X X X A
其中ij X 为矩阵块,A X ~的分块方法与A ~
相同,则
21λλ≠
04241323124231413========∴X X X X X X X X
其他4443343322211211,,,,,,,X X X X X X X X 使不为零的上三角形矩阵; 又()4
1λλ-与()4
1λλ-的最大公因式为()4
1λλ-所以11X 有4个非零参数.
同理()4
1λλ-与()3
1λλ-的最大公因式的次数为3,所以12X 和21X 都有3个非零参
数以此类推,可将A X ~表示成
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=z w r t s r m h p m o k h q
p m l k h a e b a f e c b a g f e d
c b a
X A
00
00000000000000000000000000000000
0000000000000000000
000000~ 其中啊z w t s r q p m l k h g f e d c b a ,,,,,,,,,,,,,,,,,为非零参数,则与A 可交换的矩
阵1~
-=U A U X A
由以上求法可以看出,如果n 阶方阵A 的特征艮没有重根,则与A 可交换的矩阵只有数量矩阵和零矩阵
例 已知⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a a n A 21其中a a a n ，，21两两不等.证明与A 可交换的矩阵只能是对角矩阵.
证明 设B 与A 可交换，并对A 分别按列（行）分块，记为
⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=a a
a a a a a a
a nn n n n n A
2
1222
21
11211=()α
α
αn
21，，， =⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡βββn 21 ，则 ()⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡=a a
a n BA
2
1n 21,,,ααα=()αααn
n
a a a ，，， 2
2
1
1
，
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡=ββββββn n n n a a a a a
a AB
2211212
1
. 因为AB BA =,即⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡a a a
a a a a
a a
a a a a a a
a a a nn n n
n n n n
n
22
1
1222
2
211112211
1=⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡a a a a a a a
a a
a a a a a a a a a nn n n n
n n n n
2
12222
2
21
211
121111， 那么a a a a ij
i
ij
j
=，又因a a j
i
≠，可见()j i a ij
≠∀≡，即A 是对角矩阵.
例 武汉大学 1997 求所有的与⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡101α相乘可交换的2⨯2实矩阵，这里α是非零实数.
解 设R x x x x 2
24
3
21⨯∈⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡，且⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡
x x x x x x x x 4
3
21
4
3
21
10
110
1αα，于是， 由⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧=+=+=++=x x x x x x x x x x x x 443334231311,,,
αααα 解得x x x x 2
413,,0==为任意实数，所以与⎥⎦⎤⎢⎣⎡101α可交换的实矩阵为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡a b a 0，其中b a ,为任意实数. 6 结论（结束语）。