抛物线中一类动直线过定点的问题——学习《浅谈动曲线过定点问题》体会

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现 的几个典 型 问题 ，来浅 谈一 下 “ 抛物
线 中一 类 过 定 点 问题 ” 。 先 来看 一 个 经 典 的 问 题 ：
她 ・ ： 肌 ‘
抛 物线 中一类动 直线过定点 的问题
一 一
学习 《 浅谈动 曲线过定点问题 》体会
吉林省 长春外 国语学校 姜 洋
笔者近 日拜读 了王 云峰老 师的 《 浅
谈动 曲线过 定点 问题 》一文。 文章 中所 采用 的 “ 特殊 到一般 ” 的数 学 思想将解 析几何 中繁难 的动 曲线过定 点 问题 简化 为猜 想证 明 ，从而 快速解决 问题 。笔者 经过 反复研 读 ，认 为这种解 题思 想大有
但 也 可 以验 证 动 直 线 与 直 线 ｙ ： 一 ｙ ０ 的 交
同 理 等， １ ］
・ ．
（ 学 亡 ・ （ ］
一
ｙ ＝ ０得 ： 一 ２ ＿ Ｐ Ｐ
由认 为定 点就在 ｘ轴上 ： ② 取： 直线 Ｏ Ａ
的斜率 ｋ ｌ ＝１ ，则 直 线 ＯＢ的斜 率 ｋ ２ ＝ 一
０
．
０
二
１ ， 此时直线 Ａ Ｂ的方程为 ｘ ＝ ２ ｐ 。这样可 以猜测直线 ＡＢ所过定点为 Ｍ（ ２ ｐ ， Ｏ ） 。下
面再来验证。 ‘
２
／
定 点 为 Ｍ ｆ ＿ － 兰 ， ｏ １ 。
上面问题 是把抛物线 上 的定点放在 特殊 位置——坐 标原点 ，那么我们 猜测 抛物 线上任 意一定点是 否也有 此类特性
呢 ？ 这 样 提 出 以下 问 题 。
问题 ３： Ａ、 Ｂ是 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ２ ｐ ｘ上
证。 设直 线 ＯＡ、ＯＢ的斜 率 分 别为 ｋ 、
Ｉ
，
，Ｊ
是从 斜率 角度 考虑 （ ｋ ． ． ｋ ＝ 一 １） ，那 么 如改成 ｋ ｋ ２ ＝ １ ， 其 他 它 条 件 不 变 ，直 线 ＡＢ是 否 也 过 定 点 呢？ 我 们 可 取
ｋ １ ＝ ｋ ＝ １， 此 时 直 线 ＡＢ就 是 在 点 （ ２ ｐ ， ２ ｐ ）．
（ 生 ＝ ： ！ 鱼 ： ！ ： ｎ
Ｚ
・
． ．
Ｏ Ａ 上 ＯＢ，求证 ： 动直线 Ａ Ｂ过定点。
我 们 先 找 到 定 点 的位 置 ，然 后 再 验
线斜率 为｜ ｊ ｝ ＝ ・ ｚ Ｐ ＝ ｛，切线 ｚ 方程为 ：
。
砀 与
共线， 即直线Ａ Ｂ 过
１
ｋ ２ ｏ
Ｙ － － ２ ｐ ＝ 亡 （ 一 ２ ｐ ） ， 令ｙ ＝ ０ 得ｘ ＝ 一 ２ ｐ ，
此 时 猜 测 直 线 ＡＢ过 定 点 Ｍ（ 一
２ ｐ ， ０ ） ，（ 验 证 同上 略 ） 。
条 件直 线 ０Ａ和 ＯＢ的斜 率 之积是 特 定 的常数 ，那 么我们 大胆 的猜想 “ 当 Ｏ Ａ和 Ｏ８的斜率 之积是任 意 的常数时 ，
＼
当ｋ １ 一 十 ｏ 。 时 ，贝 ０ ｋ ２ —０ （ ｋ １ ・ ｋ ２ ＝ ） ，
将直 线 Ｏ Ａ 的方程 ｙ ＝ ｋ ｉ ｘ与 抛 物 线
此 时 点 Ａ趋 于 点 Ｐ ｘ ｏ ， 一 Ｙ ｏ ） ，点 Ｂ
（ ，
一
趋于无穷远处 ， 此时 ＡＢ的极 限位置就是 ｙ ＝ 一 ｙ ０ 轴，
触 类 旁 通 的 作 用 ，再 联 想 以 往 教 学 中 出
●
： ＝ ２＋ ～七 Ｉ 一 ＝ ＝ ０
与 共 线 ，即直 线 Ａ Ｂ过 定 点 为 Ｍ（ ２ Ｐ ， Ｏ ） 。
・ ． ．
（ ＋ ， ］ ＝ ２ ｐ （ 杀 ］ ，
同理
。
：
探 究 ：问 题 １中 的 条 件 ＯＡ 上 ＯＢ
线 ＯＡ、０Ｂ的 斜 率 分 别 为 ｋ 、ｋ ， 当
ｋ ・ ｋ ， ： （ 不 为 零 的 常数 ）时 ，直 线 ＡＢ 是否过定点。
ｋ ２ ＝ 一 １ ） ，此时点 Ａ趋于原点 Ｏ，点 Ｂ趋
于无穷远 处，直线 Ａ Ｂ的极 限位 置就 是 Ｘ 轴 （ 也可 由对称性得 出 ） ，这样我们有理
．一
处 的切 线，对 抛 物 线 方程 ｙ ￣ ＝ ２ ｐ ｘ求
导 得 ：２ ｙ－ Ｙ ＝２ ｐ＝ ＝ ＞ ｙ ＝兰 ， 所 以 切
ｎ １
生 ± ： ： 生 一 （ 二 生 ！ 生 ｆ 鱼 二 ！
（
问题 １： Ｏ是直 角坐标原 点 ，Ａ、Ｂ
是 抛物 线 ｙ ２ ＝ ２ ｐ ｘ （ ｐ ＞ ０ ） 上 不 同 两 点 ， 且
线Ｐ Ａ、Ｐ Ｂ的 斜 率 分 别 为 ｋ ， 、ｋ ２ ， 当
ｋ ・ Ｉ ｋ ２ ＝ （ 不 为 零 的 常 数 ）时 ，直 线 Ａ Ｂ 是否过定点。 我们 仍 用 上面 的思 考 方 法进 行 探 究 ，设 Ａ （ ｘ ， ， ｙ １ ） ，Ｂ （ ｘ ２ ｙ ２ ） ，Ｐ （ ｘ ０ ， ｙ ０ ）
０
不 同 两 点 ，Ｐ是 抛 物 线 上 的 定 点 ， 直
直线 Ａ Ｂ也 过 Ｘ轴 上 一 个 定 点 ” 。 问题 ２ ． ： Ａ、 Ｂ是 抛 物 线 ｙ ２ ＝ ２ ｐ ｘ 上 不 同 两 点 ，Ｏ 是 抛 物 线 的 顶 点 ， 直 ／ － － ＼当 ｋ １ 一 ＋ ｏ 。时 ， 则 ＿ ＋Ｏ （ ｋ ． ‘
１
ｙ ２ ＝ ２ ｐ Ｘ 联立易得
… ， ＝
２ ｐ
（ 一 ２ ｐ ， ］ ＝ ２ ｐ （ 去 ］ ，
，
此 时 。 磊 奇 ，
ｙ 一 ２ ｐ ＝ （ ２ ｐ ）
，
这样我们有理 由认
为直 线 Ａ Ｂ如 过 定 点 ，那 么 就 该 在
直线ｙ ＝ 一 Ｙ 。 上。然后再 取一组 特殊位 置 （比如 ｋ ， ： １ ， ｋ ２ ＝ Ａ） 就可 以确定定点位置 ，