山东省诸城繁华中学高三数学下学期假期学习效果检测考试试题 文 新人教A版【会员独享】

2012-2012学年度假期高三年级假期学习效果检测考试数学文科试
题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项．
1．设集合{|2},{|9},{4,7}A x x a B x b x A B =<<=<<⊆⋂集合若，则a b -的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2)(1)z a i i =-+在复平面内对应的点为M ，则“1a =”
是“点M 在第四象限”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知命题P ：“2
,230x R x x ∀∈++≥”，则命题P 的否定为( )
A.2,230x R x x ∀∈++<
B. 2,230x R x x ∃∈++≥
C. 2,230x R x x ∃∈++<
D. 2,230x R x x ∃∈++≤ 4.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ( )
A 30°
B 60°
C 120°
D 150° 5．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，115132,,a a a a =且 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和n S =
（ ）
A ．2744n n
+ B ．2533n n
+ C ．2324
n n
+ D ．2
n n +
6．已知一个空间几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 （ ）
A
． 3
3
8
cm B ．
3
3
16cm C ． 34cm D ．312cm 7.若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出四
个函数： ()x x f 21log 2=，()()2log 22+=x x f ，2
23log )(）（x x f =， ()x x f 2log )(24=. 则“同形”函数是 ( ) A ．()x f 1与()x f 2 B ．()x f 2与()x f 3 C ．()x f 1与()x f 4 D ．()x f 2与()x f 4
主视图
左视图
俯视图
8. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()3x f x m =+（m 为常数），则函数()f x 的大致图象为
9．设双曲线22
22:1(,0)x y C a b a b
-=>的一条渐近线与抛物线2y x =的一个交点的横坐标
为001
,2
x x >若，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 （ ）
A ．(1,
2
B ．
C ．)+∞
D ．(
)2
+∞ 10．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向左平移2
π
个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（ ） A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
11．已知函数
12
||4
)(-+=
x x f 的定义域是[a ，b ]（a ，b ∈Z ）
，值域是[0，1]，则满足条件的整数对（a ，b ）共有（ ）
A ．2个
B ．5个
C ．6个
D ．无数个
12．函数()(31)2f a m a b m =-+-，当[]0,1m ∈时，0()1f a ≤≤恒成立, 则22
9a b ab
+ 的最
大值与最小值之和为（ ）
A ．18
B ．16
C ．14
D ．
494
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案须填在题中横线上．) 13． 在△ABC 中，已知60,4,5,A b c ===则sin B = .
14．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(2)(2)f x f x -=+，且(1,0)x ∈-时，
1
()25
x f x =+则2(log 20)f =____________.
15．如果一个平面与一个圆柱的轴成α（︒<<︒900α）角，且该平面与圆柱的侧面相交，
则它们的交线是一个椭圆. 当=α︒30时，椭圆的离心率是 . 16 ．已知平面βα,和直线，给出条件：
F
E
D
B
A
P
C
①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//. （i ）当满足条件 时，有β//m ； （ii ）当满足条件 时，有β⊥m .
（填所选条件的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =-
2
(cos ,cos 2)2
A n A =，且72
m n
⋅=
． （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a =b c ⋅取得最大值时ABC ∆形状．
18．（本小题满分12分）
某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3000平方米，其中场地四周（阴影部分）为通道，通道宽度均为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S 平方米. （1）分别写出用x 表示y 和用x 表示S 的函数关系式（写出函数定义域）；
（2）怎样设计能使S 取得最大值，最大值为多少？
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ， E 是
PC 中点，F 为线段AC 上一点
.
（Ⅰ）求证：EF BD ⊥；
（Ⅱ）试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF //平面PBD ，并说
明理由.
20（本小题满分12分）
在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ， 2
2b S q =．（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设数列{}n c 满足n n S c 1=，
求{}n c 的前n 项和n T ．
21．（本小题满分12分）
已知函数3
2
()2f x x ax x =--+.(a R ∈). （1）当1=a 时，求函数)(x f 的极值；
（2）若对x R ∀∈，有成立，求实数a 的取值范围．
22. （本小题满分14分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为
半径的圆与直线0x y -相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足
OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25
||PA PB -<
时，求实数t 的取值范围．
文科数学参考答案
一、选择题 DACCA CDBBB BB 二、填空题13.7
72
14.1- 15.
2
3
16.③⑤, ②⑤ 三、解答题
4'()||3f x x ≥-
E
D
B
A
F
O
P
17．解：（Ⅰ）由2
(4,1),(cos
,cos 2)2A
m n A =-= 24cos
cos 22A m n A ⋅=-21cos 4(2cos 1)2A A +=⋅--22cos 2cos 3A A =-++ 又因为77,2cos 322m n A A ⋅=++=2
所以-2cos 解得1cos 2
A =
0,3
A A π
π<<∴=
……………… 6分
18．解：（Ⅰ）由已知xy =3000 , 26a y +=，则y =
3000
(6500),x x ≤≤…………（2分） ()()()()46210210S x a x a x a x =-+-=-=-·6
2
y -=()()56x y -- 30306x =--15000
(6500).x x
≤≤…………（6
分）
(Ⅱ)30306S x =--150003030x ≤-×300=2430…………（10分） 当且仅当6x =
15000
x
,即50x =时，“=”成立，此时max 50 , 60 , 2430x y S === . 即设计x=50米，y=60米时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米. …………(12分)
19证明（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PA ⊥BD ． 又四边形ABCD 是正方形，
所以BD AC ⊥，A AC PA = ，所以BD ⊥平面PAC , 又EF ⊂平面PAC , 所以EF BD ⊥. ………………6分
（Ⅱ）：设AC 与BD 交于O ，当F 为OC 中点，
即AC AF 4
3
=时，EF ∥平面PBD ．
理由如下：连接PO ，因为EF //平面PBD ，⊂EF 平面PAC ，平面PAC
平面PBD PO =，所以EF ∥PO ．
在△POC 中,E 为PC 的中点，所以F 为OC 中点．
在△POC 中,E ，F 分别为PC ，OC 的中点，所以EF ∥PO ．
又EF ⊄平面PBD , PO ⊂平面PBD ,故EF //平面PBD .………………12分 20.解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，
因为⎪⎩
⎪⎨⎧==+,
,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，
q d q d q 6126解得 3=q 或4-=q （舍），3=d ．
故33(1)3n a n n =+-= ，13-=n n b ． ……………6分
21. 解：（1）当1=a 时，32()2f x x x x =--+,2'()321f x x x =--=(1)(31)x x -+， 令'()0f x =，解得121
,13
x x =-=.
当'()0f x >时，得1x >或13x <-；当'()0f x <时，得1
13
x -
<<.
∴当3
x =-时，函数()f x 有极大值，()=()
2,327
f x f -=极大--------------4分
当1x =时函数()f x 有极小值，()(1)1f x f ==极小------------------5分
（2）∵2
'()321f x x ax =--，∴对x R ∀∈，4'()||3
f x x ≥-成立，
即2
4321||3
x ax x --≥-对x R ∀∈
成立，---------------------6分
①当0x >时，有2
13(21)03x a x -++≥，即12133a x x
+≤+，对(0,)x ∀∈+∞恒成立，
∵1323x x +≥=，当且仅当13x =时等号成立，
∴212a +≤2
a ⇒≤---------------------------------------------------9分
②当0x <时，有2
13(12)03x a x +-+≥，即1123||3||
a x x -≤+，对(,0)x ∀∈-∞恒成
立，
∵13||23||x x +
≥，当且仅当13x =-时等号成立，
∴1222
a a -≤⇒≥--------------------------------------11分
③当0x =时，a R ∈。

综上得实数a 的取值范围为11
[,]22
-
.-------------12分
22．解：（Ⅰ）由题意知2
c e a ==， 所以2222
22
12c a b e a a -===．… 2分
即22
2a b =．又因为1
b =
=，所以22a =，21b =．…… 4分 故椭圆C 的方程为12
22
=+y x ．…… 5分
2122812k x x k +=
+，2
12
2
82
12k x x k -=+.…… 9分 ∵t =+，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，2
122
8(12)
x x k x t t k +==+， 1212214[()4](12)
y y k y k x x k t t t k +-==+-=+.…… 11分
∵点P 在椭圆上，∴222
222222
(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++，.…… 12分
∴222
16(12)k t k =+＜
312x -<， ∴22
121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++，
∴22
(41)(1413)0k k -+>，∴214
k >.
∴21142k <<，∵222
16(12)k t k =+，∴2222
16881212k t k k
==-++，
∴2t -<<2t <<，
∴实数t 取值范围为)2,3
6
2()362,2( --.…… 14分。