【湘教版】九年级数学上期末试题(带答案)

一、选择题
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A ．打开电视机，正在播放动画片
B ．2022年世界杯德国队一定能夺得冠军
C ．某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖
D ．在一只装有5个红球的袋中摸出1球，一定是红球
2．一位批发商从某服装制造公司购进60包型号为L 的衬衫，由于包装工人疏忽，在包裹中混进了型号为M 的衬衫，每包混入的M 号衬衫数及相应的包数如表所示．
一位零售商从60包中任意选取一包，则包中混入M 号衬衫数不超过3的概率是（ ） A ．120 B ．115 C ．920 D ．427
3．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为
13
．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( ) A ．能中奖一次 B ．能中奖两次
C ．至少能中奖一次
D ．中奖次数不能确定 4．袋中装有3个绿球和4个红球，它们除颜色外，其余均相同。

从袋中摸出4个球，下列属于必然事件的是（ ）
A ．摸出的4个球其中一个是绿球
B ．摸出的4个球其中一个是红球
C ．摸出的4个球有一个绿球和一个红球
D ．摸出的4个球中没有红球 5．如图，AC 为半圆的直径，弦3AB =，30BAC ∠=︒，点
E 、
F 分别为AB 和AC 上
的动点，则BF EF +的最小值为（ ）
A 3
B ．332
C ．3
D ．332
+6．如图，在三角形ABC 中，AB=2，∠B=30°，∠C=45°，以A 为圆心，以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ，与BC 相交于点F ，则弧EF 的长为( )
A ．6π
B ．2π
C ．23π
D ．π
7．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，过点O 作OM ⊥弦BC 于点M ，若O 的半径为4，则弦心距OM 的长为（ ）
A ．23
B ．3
C ．2
D ．22 8．如图，PA 、PB 、CD 是O 的切线，切点分别是A 、B 、
E ，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若60APB ∠=︒，则COD ∠的度数（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．70°
D ．75°
9．已知Rt ABC ∆中，两条直角边4AC =，3BC =，将ABC ∆绕斜边中点O 旋转，使直角顶点与点B 重合，得到与ABC ∆全等的EDB ∆，BE 边和AC 相交于点F ，则EF 的值是（ ）
A ．78
B ．1
C ．45
D ．23
10．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ． 11．抛物线2(2)3y x =-+的对称轴是（ ）
A ．直线2x =-
B ．直线3x =
C ．直线1x =
D ．直线2x = 12．方程23x x =的解为（ ）
A ．3x =
B ．3x =-
C ．10x =，23x =
D ．10x =，23x =-
二、填空题
13．在一个不透明的袋子中装有红球和黑球一共12个，每个球除颜色不同外其余都一样，任意摸出一个球是黑球的概率为14
，那么袋中的红球有_________个． 14．如图，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD ，垂足为D ，连接CD ，若三角形△ABC 内有一点P ，则点P 落在△ADC 内（包括边界的阴影部分）的概率为__________．
15．已知抛物线的解析式为21y ax bx =++，现从﹣1，﹣2，﹣3，4四个数中任选两个不同的数分别作为a 、b 的值，则抛物线2
1y ax bx =++与x 轴有两个交点的概率是_____． 16．如图，A ，B ，P 是半径为2的O 上的三点，45APB ∠=︒，则弦AB 的长为______．
17．如图，在扇形AOB 中90AOB ∠=︒，正方形CDEF 的顶点C 是AB 的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为________．
18．如图，在△ABC 中，AB ＝6，将△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A 1BC 1，则阴影部分的面积为________．
19．如图，在直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，且8AC =，10AB =，90ACB ∠=，抛物线经过坐标原点O 和点A ，若将点B 向右平移5个单位后，恰好与抛物线的顶点D 重合，则抛物线的解析式为_______．
20．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x 个小分支，可列方程___________．
三、解答题
21．交大附中 各班举行了“垃圾分类，从我做起”的主题班会，九年级三班的同学在班会课上进行了一个有关垃圾分类知识竞答的活动，他们上网查阅了相关资料，收集到如下四个图标，并将其制成编号为,,,A B C D 的四张卡片(除编号和内容外，其余完全相同) ，他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从中随机抽取一张，恰好抽到“可回收物”的概率是
（2）从中随机抽取一张(不放回)，再从中随机抽一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“其他垃圾”和“有害垃圾”的概率(这四张卡片分别用它们的编号,,,A B C D 表示)
22．某生活小区鲜奶店每天以每瓶3元的价格从奶场购进优质鲜奶，然后以每瓶6元的价格出售，如果当天卖不完，剩余的只有倒掉．店主记录了30天的日需求量（单位：瓶），整理得下表： 日需求量 26 27 28 29 30
频数 5 8 7 6 4
（1）求这30天内日需求量的众数；
（2）假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，求这30天的日利润（单位：元）的平均数；
（3）以30记录的各需求量的频率作为各需求是发生的概率．若鲜奶店每天购进28瓶，求在这记录的30天内日利润不低于81元的概率．
23．如图，AB ，AC 是⊙O 的弦，过点C 作CE AB ⊥于点D ，交⊙O 于点E ，过点B 作BF AC ⊥于点F ，交CE 于点G ，连接BE ．
（1）求证：BE BG =；
（2）过点B 作BH AB ⊥交⊙O 于点H ，若BE 的长等于半径，4BH =，43AC =，求CD 的长．
参考答案
24．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （0，1），B （3，3），C （1，3）．
（1）画出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 1B 1C 1．
（2）①画出△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°的△A 2B 2C 2；
②直接写出点B 2的坐标为 ．
25．阅读下列材料：
春节回家是中国人的一大情结，春运车票难买早已是不争的事实．春节回家一般都要给父母、亲戚带点年货，坐车回去不好携带，加上普通小客车中签率低以及重大节假日高速公路小客车免费通行等因素，所以选择春节租车回家的人越来越多．这都对汽车租赁市场起
到明显的拉动作用，出现了很多的租赁公司．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元．当每辆车的日租金为500元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．
根据以上材料解答下列问题：
设公司每日租出x辆车时，日收益为y元（日收益＝日租金收入－平均每日各项支出）．（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金收入为______元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益才能盈利？
26．解方程：2250
x x
+-=．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据随机事件和必然事件定义一一判定即可，必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【详解】
解：A. 打开电视机，正在播放动画片，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故此项错误；
B. 2022年世界杯德国队一定能夺得冠军，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故此项错误；
C. 某彩票中奖率是1%，买100张一定会中奖，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故此项错误；
D. 在一只装有5个红球的袋中摸出1球，一定是红球，一定发生，所以是必然事件．
故选：D．
【点睛】
该题考查的是对必然事件的概念的理解；必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．C
解析：C
【解析】
由题意得7
60
+
20
60
=
9
20
，所以选C.
3．D 解析：D
【分析】
由于中奖概率为1
3
，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．
【详解】
解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定
.
故选D．
【点睛】
解答此题要明确概率和事件的关系：
()
P A0
=
①，为不可能事件；
()
P A1
=
②为必然事件；
()
0P A1
<<
③为随机事件．
4．B
解析：B
【分析】
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定事件．
【详解】
A．若摸出的4个球全部是红球，则其中一个一定不是绿球，故本选项属于随机事件；B．摸出的4个球其中一个是红球，故本选项属于必然事件；
C．若摸出的4个球全部是红球，则不可能摸出一个绿球，故本选项属于随机事件；D．摸出的4个球中不可能没有红球，至少一个红球，故本选项属于不可能事件；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了随机事件，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．
5．B
解析：B
【分析】
作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，利用两点之间线段最短和垂线段最短可判断此时FB＋FE的值最小，再判断△ABB′为等边三角形，然后计算出B′E的长即可．
【详解】
解：作B点关于直径AC的对称点B′，过B′点作B′E⊥AB于E，交AC于F，如图，
则FB＝FB′，
∴FB＋FE＝FB′＋FE＝B′E，此时FB＋FE的值最小，∵∠BAC＝30°，
∴∠B′AC＝30°，
∴∠BAB′＝60°，
∵AB＝AB′，
∴△ABB′为等边三角形，∵B′E⊥AB，
∴AE＝BE＝3
2
，
∴B′E3＝33
2
，
即BF＋EF 33
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质．
6．A
解析：A
【分析】
过A作AD⊥BC，连接AF，求出∠FAE，再利用弧长计算公式计算EF的长即可．
【详解】
解：过A作AD垂直BC，连接AF，如图，
∵22,30,45AB B C =∠=︒∠=︒，可得AD=CD=2
∴AC=2，
∵AC=AF
∴∠AFC=∠C=45°，
∴∠FAE=∠AFC-∠B=45°-30°=15°
∴EF 的长为：
152180
π⨯=6π 故选：A
【点睛】
此题主要考查了弧长的计算，关键是掌握弧长计算公式． 7．A
解析：A
【分析】
如图，连接OB 、OC ．首先证明△OBC 是等边三角形，求出BC 、BM ，根据勾股定理即可求出OM ．
【详解】
解：如图，连接OB 、OC ．
∵ABCDEF 是正六边形，
∴∠BOC=60°，OB=OC=4，
∴△OBC 是等边三角形，
∴BC=OB=OC=4，
∵OM ⊥BC ，
∴BM=CM=2，
在Rt △OBM 中，22224223OM OB BM -=-=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是
记住等边三角形的性质，弧长公式，属于基础题，中考常考题型．
8．B
解析：B
【分析】
连接AO ，BO ，OE 由切线的性质可得90PAO PBO ︒∠=∠=，结合已知条件和四边形的内角和为360°可求出AOB 的度数，再由切线长定理即可求出COD 的度数.
【详解】
如图，连接AO ，BO ，OE ，
∵PA 、PB 是O 的切线，
∴∠PAO =∠PBO =90∘，
∵60APB ∠=︒，
∴36029060120AOB ∠=︒-⨯︒-︒=︒，
∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，
∴∠ACO =∠ECO ，∠DBO =∠DEO ，
∴∠AOC =∠EOC ，∠EOD =∠BOD ， ∴1602
COD COE EOD AOB ∠=∠+∠=
∠=︒， 故选B.
【点睛】
本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.
9．A
解析：A
【分析】
由旋转的性质得O 为DE 中点，可证OB=OE ，∠OBE=∠E ，进而证明AF=BF ，然后设设AF=BF=x ，根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵ABC ∆≌EDB ∆，
∴BE=AC=4， ∠A=∠E ， ∠C=∠DBE=90°．
∵O 为AB 中点，且△ABC 绕点O 旋转，
∴O 为DE 中点，
∴OB=OE ，
∴∠OBE=∠E ，
∴∠OBE=∠A ，
∴AF=BF ，
设AF=BF=x ，则CF=4-x ，
∵222BC CF BF +=，
∴2223(4)x x +-=， ∴258
x =
， ∴258BF =， ∴257488
EF BE BF =-=-
=． 故选A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 10．A
解析：A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项正确；
B 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 11．D
解析：D
【分析】
直接利用二次函数对称轴求法得出答案．
【详解】
解：抛物线y=（x-2）2+3的对称轴是：直线x=2．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握对称轴确定方法是解题关键．
12．C
解析：C
【分析】
方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
解：方程变形得：x2-3x=0，
分解因式得：x（x-3）=0，
可得x=0或x-3=0，
解得：x1=3，x2=0．
故选：C．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二、填空题
13．9【分析】首先设袋中的黑球有x个根据题意得：解此分式方程即可求得答案【详解】解：设袋中的黑球有x个根据题意得：解得：x=3即袋中的黑球有3个所以红球个数：12-3=9（个）故答案为9【点睛】此题考查
解析：9
【分析】
首先设袋中的黑球有x个，根据题意得：
1
124
x
=，解此分式方程即可求得答案．
【详解】
解：设袋中的黑球有x个，
根据题意得：
1 124
x
=，
解得：x=3，
即袋中的黑球有3个．
所以红球个数：12-3=9（个）
故答案为9．
【点睛】
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．【分析】据已知条件证得△ABD≌△AED根据全等三角形的性质得到BD＝ED得出S△ABD＝S△AEDS△BCD＝S△DCE推出S△ACD＝S△ABC根据概率公式可得的答案【详解】延长BD交AC于E∵
解析：1 2
【分析】
据已知条件证得△ABD≌△AED，根据全等三角形的性质得到BD＝ED，得出S△ABD＝
S△AED，S△BCD＝S△DCE，推出S△ACD＝1
2
S△ABC，根据概率公式可得的答案．
【详解】
延长BD 交AC 于E ，
∵AD 平分∠BAC ，
∴∠BAD ＝∠EAD ，
∵BD ⊥AD ，
∴∠ADB ＝∠ADE ＝90°，
在△ABD 和△AED 中，
ADB ADE AD AD
BAD EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
＝， ∴△ABD ≌△AED （ASA ），
∴BD ＝ED ，
∴S △ABD ＝S △AED ，S △BCD ＝S △DCE ，，
∴S △ACD ＝12
S △ABC ， 则点P 落在△ADC 内（包括边界）的概率为：
12ACD ABC S S =． 故答案为
12
． 【点睛】 本题考查了概率公式的应用与全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
15．【分析】根据题意可知有两个不相等的实数根结合概率公式进行分析计算即可【详解】解：由抛物线与轴有两个交点可知有两个不相等的实数根根据图可知共有12种不同的情况而满足有两个不相等的实数根的情况有9种所以
解析：34
【分析】
根据题意可知21=0ax bx ++有两个不相等的实数根，结合概率公式进行分析计算即可.
【详解】
解：由抛物线2
1y ax bx =++与x 轴有两个交点可知21=0ax bx ++有两个不相等的实数根，
2=40b a ->，
根据图可知共有12种不同的情况，而满足21=0ax bx ++有两个不相等的实数根的情况有9种，所以抛物线21y ax bx =++与x 轴有两个交点的概率是93124=. 故答案为：
34
. 【点睛】
本题考查二次函数相关以及概率公式，熟练运用方程思维以及结合概率公式进行分析是解题的关键. 16．【分析】首先连接OAOB 由圆周角定理即可求得∠AOB=90°又由OA=OB=2利用勾股定理即可求得弦AB 的长【详解】解：连接OAOB ∵∠APB=45°∴∠AOB=2∠APB=90°∵OA=OB=2∴ 解析：22
【分析】
首先连接OA ，OB ，由圆周角定理即可求得∠AOB=90°，又由OA=OB=2，利用勾股定理即可求得弦AB 的长．
【详解】
解：连接OA ，OB ，
∵∠APB=45°，
∴∠AOB=2∠APB=90°，
∵OA=OB=2，
∴2222AB OA OB +=
故答案为：2
【点睛】
此题考查了圆周角定理以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
17．【分析】连结OC 根据勾股定理可求OC 的长根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积依此列式计算即可求解【详解】连接如图∵在扇形中又故答案为：【点睛】考查了正方形的性质和扇形面
解析：24π-
【分析】
连结OC ，根据勾股定理可求OC 的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC 的面积-三角形ODC 的面积，依此列式计算即可求解．
【详解】
连接OC ，如图，
∵在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，AC BC =，
45COD ∴∠=︒，
又CD DE ⊥，
45OCD COD ∴∠=∠=︒，
22OD CD ∴==
22(22)(22)4OC ∴=+=，
224541(22)243602
ODC BOC S S S
ππ⨯∴=-=-⨯=-阴影扇形． 故答案为：24π-．
【点睛】
考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度． 18．9【分析】根据旋转的性质得到△ABC ≌△A1BC1A1B=AB=6所以△A1BA 是等腰三角形依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积由图形可以知道S 阴影=S △A1BA+S △A1BC1﹣S △ABC=
解析：9
【分析】
根据旋转的性质得到△ABC ≌△A 1BC 1，A 1B=AB=6，所以△A 1BA 是等腰三角形，依据∠A 1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道 S 阴影=S △A1BA +S △A 1BC 1﹣
S △ABC=S △A 1BA ，最终得到阴影部分的面积．
【详解】
解：∵在△ABC 中，AB=6，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30°后得到△A 1BC 1， ∴△ABC ≌△A 1BC 1，
∴A 1B=AB=6，
∴△A 1BA 是等腰三角形，∠A 1BA=30°，
∴S △A1BA = 12
×6×3=9， 又∵S 阴影=S △A1BA +S △A1BC1﹣S △ABC ，
S △A1BC1=S △ABC ，
∴S 阴影=S △A1BA =9． 故答案为9．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的
夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决此题的关键是运用面积的和差关系解决不规则图形的面积．
19．【分析】利用勾股定理易求BC 的长即点D 的纵坐标长度再求出OE 的长即可出点D 的坐标设抛物线的解析式为y=a （x-3）2+6把点A 坐标代入求出a 的值即可得到抛物线解析式【详解】解：如图所示∵BC ⊥x 轴即 解析：2243
y x x =-+ 【分析】
利用勾股定理易求BC 的长，即点D 的纵坐标长度，再求出OE 的长即可出点D 的坐标,设抛物线的解析式为y=a （x-3）2+6，把点A 坐标代入求出a 的值即可得到抛物线解析式．
【详解】
解：如图所示，
∵BC ⊥x 轴，即∠BCA=90°，
∴226BC AB AC -=．
由平移性质得，CE=BD=5．
∴AE=OE=3．
∴D 的坐标为（3，6）．
设抛物线的解析式为y=a （x-3）2+6，
将点A （6，0）代入得，a （6-3）2+6=0．
∴a=23
， ∴y=-23（x-3）2+6=2243
x x -+． 故答案为：2243y x x =-
+ 【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点、利用待定系数法求抛物线的解析式以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等．
20．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x 个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x 个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解
解析：1+x+x 2=91
如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程．
【详解】
解：依题意得支干的数量为x个，
小分支的数量为x•x=x2个，
那么根据题意可列出方程为：1+x+x2=91，
故答案为：1+x+x2=91．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
三、解答题
21．（1）1
4
；（2）
1
6
．
【分析】
（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画出树状图列出所有等可能结果数，根据概率公式求解即可．【详解】
解：（1）有其他垃圾、可回收物、有害垃圾、厨房垃圾，共四张卡片，
∴恰好抽到“可回收物”的概率是1
4
；
（2）根据题意画图如下：
共12种等可能的结果数，其中抽到“其他垃圾”和“有害垃圾”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“其他垃圾”和“有害垃圾”的概率
21 126 ==．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题时放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．（1）这30天内日需求量的众数是27；（2）则这30天的日利润的平均数是80.4
元；（3）在这记录的30天内日利润不低于81元的概率为17 30
．
（1） 根据众数的概念并结合表格中的数据进行解答即可；
（2） 首先根据加权平均数的计算公式与已知条件即可求出总利润，接下来利用总利润÷30，即可求出每天的利润；
（3） 设每天的需求量为x 瓶时，日利润不低于81元，根据图表所给出的数据列出算式，求出x 的取值范围，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】
（1）∵27出现了8次，出现的次数最多，
∴这30天内日需求量的众数是27，
（2）假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，
则这30天的总利润是：（26×5+27×8+28×7+28×6+28×4）×6﹣28×30×3=2412（元）， 则日利润的平均数是：2412÷30=80.4（元）；
（3）设每天的需求量为x 瓶时，日利润不低于81元，根据题意得：
6x ﹣28×3≥81，
解得：x≥27.5，
则在这记录的30天内日利润不低于81元的概率为：
764173030
++=． 【点睛】
本题考查了众数、加权平均数和利用频率估计概率，掌握这些基本概念才能熟练解题．用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）见解析；（2）6．
【分析】
（1）根据圆周角定理得到BAC BEC ∠=∠，根据直角三角形的性质、对顶角相等得到BEC BGE ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理证明结论； （2）连接OB 、OE 、AE 、CH ，根据平行四边形的判定和性质得到4CG BH ==，根据等边三角形的性质得到60BOE ∠=︒，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
【详解】
（1）证明：由圆周角定理得，BAC BEC ∠=∠，
CE AB ⊥，BF AC ⊥，
90ADC GFC ∴∠=∠=︒，
CGF BAC ∴∠=∠，
BEC CGF ∴∠=∠，
BGE CGF ∠=∠，
BEC BGE ∴∠=∠，
BE BG ∴=；
（2）解：连接OB 、OE 、AE 、CH ，
BH AB ⊥，CE AB ⊥
//BH CE ∴，
四边形ABHC 是O 的内接四边形，
90ACH ABH ∴∠=∠=︒，
//BF CH ∴，
∴四边形CGBH 为平行四边形，
4CG BH ∴==，
OE OB BE ==，
BOE ∴∆为等边三角形，
60BOE ∴∠=︒，
1302
BAE BOE ∴∠=∠=︒， 12
DE AE ∴=， 设DE x =，则2AE x =， 由勾股定理得，223AD AE DE x =-=，
BE BG =，AB CD ⊥，
DG DE x ∴==，
4CD x ∴=+，
在Rt ADC ∆中，222AD CD AC +=，即)()(22
23434x x ++=， 化简得：2280x x +-=
解得，12x =，240x =-<（舍去）
则24=6CD =+．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质，灵活运用圆周角定理是解题的关键．
24．（1）作图见解析；（2）①作图见解析；②（-3，3）．
【分析】
（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可； （2）①利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 、C 的对应点A 2、B 2、C 2即可； ②利用所画图形写出B 2点的坐标．
【详解】
解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；
（2）①画如图，△A 2B 2C 2为所作；
②点B 2的坐标为（﹣3，3）．
故答案为（-3，3）．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角．
25．（1）150050x -（020x ≤≤，x 为整数）；（2）当日租出15辆时，租赁公司的日收益最大，最大值为5000元；（3）当每日租出520x <≤（x 为整数）辆时，租赁公司的日收益才能盈利．
【分析】
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意得日租金收入＝每辆车的日租金×日租出车辆的数量，日收益＝日租金收入－平均每日各项支出，据此可求函数关系式，然后根据二次函数的性质进行求解即可； （3）当租赁公司的日收益不盈也不亏时，即0y =，求解，进而可根据题意求解．
【详解】
解：（1）每辆车的日租金是()5005020150050x x +-=-（元）（020x ≤≤，x 为整数）；
故答案为()150050x -；
（2）∵日租金收入＝每辆车的日租金×日租出车辆的数量，
∴日租金收入()150050x x =-，
又∵日收益＝日租金收入－平均每日各项支出，
∴()1500506250y x x =--，
()22501500625050155000x x x =-+-=--+，
∵租赁公司拥有20辆小型汽车，
∴020x ≤≤，
∴当15x =时，y 有最大值5000，
答：当日租出15辆时，租赁公司的日收益最大，最大值为5000元． （3）当租赁公司的日收益不盈也不亏时，即0y =，
∴()2
501550000x --+=，解得125x =，25x =， ∴当525x <<时，0y >，
∵租赁公司拥有20辆小型汽车，
答：当每日租出520x <≤（x 为整数）辆时，租赁公司的日收益才能盈利．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
26．1211x x =-=-【分析】
利用配方法解方程．
【详解】
2250x x +-=
225x x +=
2(1)6x +=
1x =-±
∴1211x x =-=-
【点睛】
此题考查解一元二次方程的方法—配方法，将等式变形为平方形式是解题的关键．。